扩展式博弈概述
博弈论策略的扩展式和战略式表述
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博弈论2
3
二、扩展型博弈转化为策略型博弈 例1 房地产开发博弈 A 开发 B 不开发 （-3，-3） 开发 不开发
开发
B 不开发
（1，0）（0，1）
（0，0）
4
例2 考虑以下动态博弈。 第一步：局中人1从{1，2}中选择一数x。 第二步：局中人2知道x的值，从{1，2}中选择y。 第三步：局中人1不知y，也忘了x，从{1，2}中选择z，博弈结 束。对选定的x，y，z，局中人2给局中人1的费用为U1（x,y,z） U1(1，1，1)=-2； U1(1，1，2)=-1； U1(1，2，1)=3； U1(1，2，2)=-4； U1(2，1，1)=5； U1(2，1，2)=-2； U1(2，2，1)=2； U1(2，2，2)=6。
M (π , y ) = −cπ 2 − y − k y
− 2
c>0
β >0
k >1
产出y与通胀
−
π 间的关系可用如下菲力普斯曲线描述：
e
y = y+ β π − π
(
)
14
例 工资奖金制度 模型基本假设：1）一个雇主有两个雇员，雇员i（i=1，2）的产 出为
'
y i = ei + ε i ，雇员努力的负效用为 g (e) ，g (e) > 0 '' g (e ) > 0 。扰动项 ε i 从分布密度为 f (ε ) 、均值为0的概率分
10
例
斯坦克尔伯格（Stackelberg）寡头竞争模型
例 讨价还价博弈
例 有点数为1，2，3的三张牌，先由A任抽一张，看 后反放于桌上，并喊大（H）或小（L）。然后由B从 剩下牌中任抽一张，看过后，B有两种选择： ①弃权， 付给A一元； ②翻A的牌，当A喊H时，点数小者付给对 方3元，当A喊L时，点数大者付给对方2元。要求：1） 说明A、B各有多少纯策略？2）据理性原则淘汰具有劣 势的策略。3）求双方的最优策略及各自的支付值。
第三章扩展型博弈论
如果甲先行动，但在博弈开始前商铺主乙有一次行动A的机会， 请利用子博弈完美纳什均衡概念分析下述两种情况下的博弈结果
（1）A：商铺主乙逢人便说自己一定要进货，无论对方如何行 动他都不会改变这个决定；
（2）A：商铺主乙与某个嘲笑他说大话的第三者丙打赌：如果 自己到时不进货，向丙支付1500元；如果自己到时候进货，丙 向他支付100元。并且，乙将这个赌局通知甲。
甲
甲
进 乙
不进 乙
进 乙
不进 乙
进
不进 进
不 进
进
不进 进
不 进
（-1000，-1000） （0，1000） （0，0）（-1000，-900）
（0，1100）（0，-1500）
（1000，0）
（1000，-1500）
作业： 阅读“蜈蚣博弈”
拍卖人拿出一张10元钞票，请大家给这张
钞票开价，无底价，竞拍者可无限制的轮 流叫价，每次叫价的增幅以5毛为单位，出 价最高者可以得到这张10元钞票，但出价
即每阶段都选“不坦白”，A总得益贴现为
2 ( 2 ) ( 2 ) 2 .. . 2
当
1(6) 2 1 1
1 时，A选“不坦白”是最优的，即
当
1 5
时，A在没有人先选“坦白”时选“不坦白”是最优的，并且A 在之后每阶段都选“不坦白”是最优的选择。
乙
甲
坦白 不坦白
坦白 -6，-6 -1，-8
最高和次高者都要向拍卖人支付出价数目 的费用。
——苏比克拍卖模型
第四节
重复博弈
重复博弈
单次博弈重复进行构成的博弈过程，但博 弈方的行为和博弈结果不一定是单次博弈 的简单重复，其中，单次博弈可称为阶段 博弈
4.3博弈扩展式向策略式表述的转化
博弈扩展式表述转化为策略式表述有时为了理论研究，借助策略式表述博弈的结果分析扩展式博弈，需要将扩展式博弈转化为策略式表述博弈。
扩展式博弈的策略定义是：参与人在其每一个信息集上都要给出一个行动方案。
扩展式博弈分析的重要工作内容就是确定每个参与人在其每个信息集上如何进行行动选择。
策略一般地，若参与人i 的信息集集合为H i ，信息集i ∈H i 上的行动集为A i (i ),该行动集上的行动为a i (i )∈A i (i ),则参与人i 的策略则可表示为h i k i ∈ Hi {a i (i )}若参与人在每个信息集上的行动可以随机化，则称该策略为行为策略（behavioral strategy ），可记为h i k i ∈ Hi {i (i )}，其中，i (i )∈（A i (i )）策略——一个例子请写出右图所示的博弈树双方各自的策略。
1有2个信息集，第一个信息集有三个行动，第二个信息集有2个行动。
因此共有六个策略。
可记参与人1的策略集为S 1={Aa ,Ab ,Ba ,Bb ,Ca ,Cb }。
这样表示的含义，以策略Bb 为例，表示的是参与人1在第一个信息集选行动B ，第二个信息集选行动b 。
同理，参与人2有两个信息集的策略集可以表示为S 2={lL ,lR ,rL ,rR }支付函数的确定确定了一个策略组合，就确定了相关路径。
通过对相关路径结果的分析，就可以确定参与人在该策略组合下的支付值。
以Aa VS lL 为例，这个策略组合确定的路径为所以在策略组合{Aa , lL }对应的支付向量为（4，1）参与人1的策略集为S 1={Aa ,Ab ,Ba ,Bb ,Ca ,Cb }，参与人2的策略集为S 2={lL ,lR ,rL ,rR }支付函数的确定分析策略组合{Ca , lL }对应的博弈路径。
参与人在博弈开始首先选择行动C ，然后到达虚拟参与人结点Chance 。
在Chance 点，两条路径出现的概率分别为1/4和3/4，对应的支付向量分别为(0, 0)和(8, 8)。
博弈论拓展型表格
博弈论拓展型表格通常被称为扩展式，是博弈论分析和解决多方参与复杂决策的重要工具。
下面我会为您简单介绍一下扩展式表格的结构和应用。
扩展式表格是一种用于博弈分析的结构化表示工具。
该表格由多个行为者（称为玩家）组成，每个玩家都有不同的可选策略，例如行动或不行动，而策略组合将会决定博弈结果的概率。
扩展式表格通常采用树状结构，每个分支都展示了一种策略的发展过程。
通常，扩展式表格可以由以下四个部分组成：
1. 玩家：参与博弈的玩家，每个玩家都有自己的策略集合。
2. 信息集：表明在某些必须在同一时间内作出决策的情况下，玩家可能无法判断对手所采取的策略，因此可以将这些相同的决策节点分到一个信息集中。
3. 行动：博弈中玩家可以选择的行动或策略。
4. 支付：在每个可能的情况下，如果某一方采取了一定策略，它将付出或获得多少报酬或利益。
在使用扩展式表格解决博弈问题时，通常会使用一些主要的博弈解决方法，如支配策略、纯策略，混合策略和子博弈平衡等，这些方法将有助于决策者分析博弈结果、推导出最优策略以及各玩家获得的报酬或利益。
总之，扩展式表格是一种博弈论分析工具，将博弈问题转化成了树状结构，有助于博弈分析和解决多方参与的复杂决策问题。
第4讲 完全信息扩展博弈(1)：理论
研究生《博弈论与信息经济学》第四讲 完全信息扩展式博弈：理论董志强 dongzhq@Spring,20061．什么是完全信息扩展式博弈？局中人的行动具有先后顺序。
完全信息：自然不首先行动，局中人的赢利是共同知识。
共同知识：令1K 2K 为参与人1和参与人2对状态集合Ω的知识函数。
一个事件E ⊆Ω是状态ω∈Ω中参与人1和2的共同知识(common knowledge between 1 and 2 in the state)，如果ω是无穷序列121221(),(),(()),(()),K E K E K K E K K E ……中每个集合的一个元素。
通俗地说，如果存在这样一个状态，该状态下1和2都知道事件E ，并且1和2都知道“对方知道事件E ”，并且1和2都知道『对方知道“对方知道事件E ”』……如此循环，至于无穷。
那么，事件E 就可以说是这个状态下参与人1和2的共同知识。
完美信息：每个局中人在做决策时候都知道以前所发生的所有事件。
显然，若没有完全信息，就不可能有完美信息；但是反过来，若没有完美信息，则可能有或可能没有完全信息。
Definition ：完美信息扩展博弈(extensive game with perfect information)有下列组成部分：• 一个参与人集合N ；• 一个序列集合H （有限或无限的）满足以下三个性质：空序列φ是H 的一个元素；如果1,,()k k K a H ∞=∈"（这里K 可以是无限的）且L K <，那么1,,()k k L a H ∞=∈"；如果一个无限序列1,()k k a ="对每个正数L 满足1,,()k k L a H =∈"，那么1,()k k a H =∈"。
H 的每个元素是一段历史（History ）；一段历史的每一组成部分都是一个参与人采取的行动。
如果k 是无限的，或者没有1K a +使1,,1()k k K a H ∞=+∈"，那么历史1,,()k k K a H ∞=∈"就是终点（terminal ）。
7.3扩展式博弈
7.3扩展式博弈扩展式博弈定义7.13扩展式博弈一个扩展式博弈Γ由下列要素组成由下列要素组成：：1、 有限的有限的参与人集合参与人集合N ;2、 行动集A ,它包括所有可能的行动它包括所有可能的行动，，不必是有限的不必是有限的3、 结或者或者历史的集合历史的集合X .（1） 初始结X ∈0x ，或空的历史或空的历史。
博弈从初始结开始开始。
（2） 对于一些有限多的行动A a i ∈，每个}{\0x x X ∈采取的形式为),...,,(21k a a a x =，这里a 1,a 2…表示第一步表示第一步、、第二步第二步。
的行动的行动。
（3） 如果对于一些K>1,K>1, }{\),...,,(021x X a a a k ∈,那么那么，，}{\),...,,(0121x X a a a k ∈−一个结或一段历史只是对在博弈中迄今已被采取的行动的一个完全的描述的行动的一个完全的描述。
}),({)(X a x A a x A ∈∈≡表示在历史}{\0x X x ∈之后轮到参与人行动时的该参与人可选择的行动集后轮到参与人行动时的该参与人可选择的行动集。
4、 一个行动集A x A ⊆)(0以及在A(x 0)上的一个概率分布π被用于描述博弈中自然的行被用于描述博弈中自然的行动动。
自然总是首先行动的首先行动的，，并且只行动一次并且只行动一次，，以概率π随机的在A(x 0)中选择一个行动。
因此，}{\),...,,(021x X a a a k ∈意味着对于i=1且只有i=1i=1，，)(0x A a i ∈。
5、 终点结集合A a X a x X x E ∈∉∈≡对于一切,),({}，。
每个终点结描述了由开始至结束的博弈的一个特殊的完全演变特殊的完全演变。
6、 一个函数N x E X →}){(\:0U ι,表明在属于X 的每一个决策结上那个将轮到的采取行动的每一个决策结上那个将轮到的采取行动的参与参与人。
4.扩展式博弈与反向归纳策略
扩展式博弈的形式
完全信息的情况
①
L
②
R
②
l
2 0
r
2 1
l1Biblioteka 0r 3 1
不完全信息的情况
①
L
R
l
2 0
r
2 1
②
l
1 0
r
3 1
扩展式博弈的规则
在一个偏僻的山里，有一个村庄，村里有100对夫妇。 在这个村里已经形成了约定成俗的规定，如果女人发现自己的丈夫对自 己不忠的话，就会毫不犹豫的将他杀死，而且当天执行。当然，她必须 有确切的证据来证明他丈夫的不忠。由于这个因素，某个女人发现某个 男人不忠，她不会告诉那个不忠男人的妻子。但是，她会告诉其他人的 妻子，并且女人们会相互的传递这一信息，因此最后，一个男人不忠， 除了其妻子不知道外，其他女人都知道。 事实上是，村子里的这100对夫妇的男人都不忠，但由于女人不会将她们 知道的事实告诉不忠男人的妻子，每个女人不知道自己的男人不忠，因 此，该村子一直很稳定，而没有发生妻子杀丈夫的行为。 村子里有1个辈分很高的老太太，她德高望重，诚实可敬，对村子里的情 况了如指掌。一天，这位老人对这这100个女人说了一句很平常的话： “你们的男人当中至少有一个是不忠的。”于是，村里发生了这样一个 事情，前99天，村里风平浪静，但到了第100天，村里发生了一场大屠杀， 所有的女人都杀死了她们的丈夫！ 为什么会这样？
结论
作为博弈方你不应该仅仅是个被动的参与人，满足于接受别人制定的博 弈规则，而应该设法改变博弈使其对自己尽量有利
可置信的承诺能够促进长期利润，但承诺方也确实因此而对自己的行动 施加了严格的限制。这种通过限制自己行动来获取竞争优势的做法被称 为策略性行为
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• 如果要用扩展式博弈对一个博弈问题进 行建模，那么除了要说明博弈问题所涉 及到的参与人及每位参与人的支付函数 以外，还必须对博弈过程中参与人所遇 到的决策问题的序列结构，进行详细的 解释，说清楚每个参与人在何时行动， 以及参与人行动时可供选择的行动方案 和所了解到的信息。
例子： “新产品开发博弈”
• 也就是说，除了“企业2行动时是否观测 到企业1的选择”这一点，暂时无法从上 图中知道以外，完全信息动态的“新产 品开发博弈”的扩展式描述所需要的信 息(或要素)，都可以从上图中得到。
• 如果还能够直接从博弈树中知道“企业2 行动时是否观测到企业1的选择”，那么 给出博弈树，就意味着给出了完全信息 动态的“新产品开发博弈”的扩展式描 述。
• 对于第二种情形，企业2不知道企业1的 选择，即不知道博弈是从x1到了x2还是从 x1到了x3。因此，当轮到企业2决策时， 他不知道自己是在点x2上还是在点x3上。 所以，“企业2行动时是否观测到企业1 的选择”这一问题，实际上就等价于 “企业2行动时是否知道自己是在博弈树 中的点x2上还是在点x3上”。
将“企业1”标示在点x 1上，表示博弈开始于 企业1的选择。
称为博弈树的结(node) 决策结
回过来再考察上图中的博弈树，可以得到 这样的信息： (1) 博弈中的参与人是企业1和企业2； (2) 博弈中企业1先选择，企业2后选择； (3) 企业1选择时有行动“开发”和“不开 发”，企业2选择的行动有“开发”和 “不开发”； (4) 博弈中企业的支付。
问题：
• 如何在博弈树中，将“企业2行动时 是否观测到企业1的选择”这一信息 表示出来？
•
在完全信息动态的“新产品开发博弈” 中，企业2决策时，企业1已经做出选 择。此时，企业2面临的决策情形就 有以下两种： (1) 企业2知道企业1的选择； (2) 企业2不知道企业1的选择。
• 对于第一种情形，企业2知道企业1的选 择，即知道企业1选择了“开发”还是 “不开发”，因此，企业2知道博弈是从 x1到了x2还是从x1到了x3。这就意味着当 轮到企业2决策时，他知道自己是在点x2 上还是在点x3上；
扩展式博弈的定义：
扩展式博弈包括以下要素： (1) 参与人集合 {1, 2,..., n} ； (2) 参与人的行动顺序，即每个参与人在何时行 动； (3) 每个参与人行动时面临的决策问题，包括参 与人行动时可供他选择的行动方案以及他所 了解的信息； (4) 参与人的支付函数，即博弈结束时每个参与 人得到的博弈结果。
扩展式博弈
主要内容： 一、扩展式博弈 二、扩展式博弈的战略及其Nash均衡 三、两种博弈描述形式的比较
扩展式博弈
主要内容： 一、扩展式博弈 二、扩展式博弈的战略及其Nash均衡 三、两种博弈描述形式的比较
一、扩展式博弈
• 所谓扩展式博弈(extensive form game)是 博弈问题的一种规范性描述。与战略式 博弈侧重博弈结果的描述相比，扩展式 博弈更注重对参与人在博弈过程中所遇 到决策问题的序列结构的的方法 给出了博弈问题的扩展式描述。对于一 些简单的博弈问题，这种文字表述的方 法也许是简单可行的。但可以想象，如 果我们遇到的是更为复杂的博弈问题， 文字描述所给出的模型就会显得繁冗拖 沓，极不直观。
• 因此，我们需要寻找一种简便易行的扩 展式博弈的描述方式。下面我们就以 “新产品开发博弈”为例，介绍一种不 仅简单方便，而且十分直观的扩展式博 弈的描述方式——博弈树。
研究博弈问题的具体进程必须弄清楚的两个问题
(1) 每个参与人在什么时候行动(决策)； (2) 每个参与人行动时，他所面临决策问题 的结构。这包括参与人行动时可供他选 择的行动方案，以及参与人行动时所了 解的信息。
• 上述两个问题构成了参与人在博弈过程 中所遇到决策问题的序列结构。 • 对于一个博弈问题，如果能够说清楚博 弈过程中参与人的决策问题的序列结构， 那么就意味着知道了博弈问题的具体进 程。
• 为了将“企业2行动时是否知道自己是 在博弈树中的点x2上还是在点x3上”这 一点说清楚，需要引入“信息集”(infor mation set)的概念。
•
在博弈树中，参与人i的一个信息集(用Ii表示) 是参与人i决策结的一个集合，它满足以下两 个条件： (1) Ii中的每个决策结都是参与人i的决策结； (2) 当博弈到达信息集Ii(即博弈到达Ii中某个决策 结)时，参与人i知道自己是在信息集Ii中的决 策结上，但不知道自己究竟在Ii中哪个决策结 上。
(4) 两个企业的支付如下：
对手不开发，获利润800万元 需求大 对手开发，获利润300万元 开发(a )：投入2千万元资金 对手不开发，获利润200万元 企业 需求小 对手开发，赔400万元 不开发(b )：不投入资金,利润为0
• 所谓博弈树就是由结和有向枝构成的 “有向树”。
企业1的选择 最上端的一个点(用空心圆 有“开发”和 表示)，表示博弈的开始 。 “不开发”， 表示博弈达到 分别用标有 该点时企业的 “开发”和 所得 ，其中， “不开发”的 支付向量中的 有向枝表示。 第一个数字表 示企业1的所得， 第二个数字表 示企业2的所 得。
• 试用扩展式博弈对两个企业都知道市场 需求，且企业1先决策，企业2观测到企 业1的选择后再进行选择的博弈情形即完 全信息动态的“新产品开发博弈”进行 建模。
完全信息动态的“新产品开发博弈”的扩 展式博弈包括以下要素： (1) 参与人是企业1和2； (2) 企业1先行动，企业2后行动； (3) 企业1行动时有两种选择——“开发”和 “不开发”，企业1行动时不知道企业2 的行动；企业2行动时有两种选择—— “开发”和“不开发”，但企业2行动时 已经知道企业1的行动；