阿诺尔德谈数学教育
三大数学流派
三大数学流派十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。
但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。
数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。
因而集合论成为现代数学的基石。
可是，好景不长。
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响导致了第三次数学危机。
罗素悖论使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。
而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。
如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派。
从1900年到30年这三十年间，许多数学家就数学的哲学基础这一问题展开了讨论，并形成了不同的数学基础学派，主要有逻辑主义、形式主义和直觉主义三大学派逻辑主义“数学即逻辑”逻辑主义的主要代表人物是罗素，在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。
简单来讲，即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。
2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。
3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。
形式主义一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特。
希尔伯特建议两条最基本的原则：一、形式主义原则：所有符号完全看做没有意义的内容，即使将符号、公式或证明的任何有意的意义或可能的解释也不管，而只是把它们看作纯粹的形式对象，研究它们的结构性质；二、有限主义原则，即总能在有限机械步骤之内验证形式理论之内一串公式是否一个证明。
应用数学方法于这样一个形式理论，避免涉及无穷的推断，这就排除了康托尔集合论的方法。
希尔伯特的23个数学问题
希尔伯特的23个数学问题展开全文德国数学家希尔伯特(图8-6)是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一．希尔伯特希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题．”同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的．只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止．”1900年8月，在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特应邀做了题为“数学问题”的著名讲演．在这具有历史意义的演讲中，他提出许多重要的思想：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题．正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界．他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰性和易懂性；虽困难但又给人以希望；意义深远．同时，他还分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法．就是在这次会议上，希尔伯特根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出23个悬而未决的数学问题，即著名的“希尔伯特的23个数学问题”．这次大会是数学史上一个重要的里程碑，他提出的23个问题更是功勋卓著、影响深远．希尔伯特的23个问题分为四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题是属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析问题．经过一个多世纪，希尔伯特提出的23个问题中，接近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要的进展．问题1康托尔的连续统基数问题(公理化集合论)1874年，康托尔猜测在可数集基数与实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设．1938年，奥地利数理逻辑学家哥德尔证明了连续统假设与策梅洛-弗伦克尔(Zermelo-Fraenkel，ZF)集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科恩证明了连续统假设与ZF 集合论公理系统彼此独立．因而连续统假设不能用ZF集合论公理系统加以证明，即连续统假设的真伪不可能在ZF集合论公理系统内判定．在这个意义上，问题已经解决了．问题2算术公理的相容性(数学基础)欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明方法加以证明，后来发展为系统的希尔伯特计划(“元数学”或“证明论”)，但1931年，哥德尔发表“不完备性定理”做出否定．1936年，根茨(G. Gentaen，1909—1945)使用超限归纳法证明了算术公理系统的相容性，但数学的相容性问题至今未解决．问题3只根据合同公理证明等底等高的四面体有相等之体积是不可能的(几何基础)问题的含义是：存在两个等底等高的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等，这一问题很快于1900年由希尔伯特的学生德恩(M. Dehn，1878—1952)给出了肯定的解答．这是希尔伯特问题中最早获得解决的一个．问题4直线作为两点间最短距离问题(几何基础)这一问题提得过于一般，满足这一性质的几何例子很多，只需要加以某些限制条件．在构造特殊度量几何方面已有很大进展，但未完全解决．1973年，苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．问题5不要定义群的函数的可微性假设的李群概念(拓扑群论)这一问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧式群都一定是李群．经过漫长的努力，这个问题于1952年，由美国格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montqomery)和齐宾(Zipping)共同解决．1953年，日本的山迈彦得到完全肯定的结果．问题6物理公理的数学处理(数学物理)希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理学．1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A. Kolmogorov，1903—1987)将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论和热力学等领域，公理化方法获得很大成功，但物理学各个分支能否全盘公理化，很多人对此表示怀疑．公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题．问题7某些数的无理性与超越性(超越数论)要求证明：若是代数数，是无理数的代数数，则一定是超越数或至少是无理数．苏联数学家盖尔丰德(A. O. Gelfond)于1929年、德国数学家施奈德(T. Schneieder)及西格尔(C. L. Siegel，1896—1981)于1934年各自独立地解决了这问题的后半部分．1966年贝克等大大推广了此结果．但是，超越数理论还远远未完成．要确定所给的数是否超越数，还没有统一的方法，如欧拉常数的无理性至今未获得证明．问题8素数分布问题(数论)希尔伯特在此问题中提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题．一般情形的黎曼猜想至今未解决．哥德巴赫猜想和孪生素数问题也未最终解决，这两个问题的最佳结果均属于中国的数学家陈景润．问题9任意数域中最一般的互反律之证明(类域论)该问题于1921年由日本学者高木贞治(1875—1860)、1927年由德国学者阿廷(E. Artin)各自给以基本解决．类域理论至今仍在发展之中．问题10丢番图方程可解性的判别(不定分析)希尔伯特提出问题：能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解．1970年，由苏联数学家马蒂雅塞维奇证明希尔伯特所期望的一般算法是不存在的．尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系．问题11系数为任意代数数的二次型(二次型理论)德国数学家哈塞(H. Hasse，1898—1979)于1929年和西格尔于1951年在这个问题上获得了重要的结果．20世纪60年代，法国数学家魏依取得了新的重大进展，但未获最终解决．问题12阿贝尔(Abel)域上的克罗内克(L. Kroneker，1823—1891)定理推广到任意代数有理域(复乘法理论)尚未解决．问题13不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程(方程论与实函数论)连续函数情形于1957年由苏联数学家阿诺尔德(V. Arnold，1937—2010)否定解决．1964年，苏联数学家维图斯金(Vituskin)推广到连续可微情形．但若要求是解析函数，则问题仍未解决．问题14证明某类完全函数系的有限性(代数不变式理论)1958年，日本数学家永田雅宜举出反例给出了否定解决．问题15舒伯特(Schubert)记数演算的严格基础(代数几何学)由于许多数学家的努力，舒伯特演算的基础的纯代数处理已有可能，但舒伯特演算的合理性仍待解决．至于代数几何的基础，已由荷兰数学家范·德·瓦尔登于1940年及法国数学家魏依于1950年各自独立建立．问题16代数曲线与曲面的拓扑(曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论)这个问题分为两部分：前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目，后半部分要求讨论极限环的最大个数和相对位置．关于问题的前半部分，近年来不断有重要结果出现．关于问题的后半部分，1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出了至少有4个极限环的具体例子．1983年，中国的秦元勋进一步证明了二次系至多有4个极限环，从而最终解决了二次微分方程的解的结构问题，并且为希尔伯特第16问题的研究提供了新的途径．问题17半正定形式的平方表示式(实域论)一个实数n元多项式对任意数组都恒大于零或等于零，是否能写成平方和的形式？此问题于1927年，由阿廷给予肯定的解决．问题18用全等多面体构造空间(结晶体群理论)该问题由三部分组成．第一部分欧式空间仅有有限个不同类的带基本区域的运动群．第二部分包括是否存在不是运动群的基本区域但经适当毗连即可充满全空间的多面体？第一部分由德国数学家贝尔巴赫(Bieberbach)于1910年做出了肯定的回答．第二部分由德国数学家莱因哈特(Reinhart)于1928年、黑施于1935年做出了部分解决．第三部分至今未能解决．问题19正则变分问题的解是否一定解析(椭圆型偏微分方程理论) 1929年，德国数学家伯恩斯坦(L. Bernstein，1918—1990)证明了一个变元的、解析的非线性椭圆方程，其解必定是解析的．这个结果后来又被伯恩斯坦和苏联数学家彼德罗夫斯基等推广到多变元和椭圆组的情形．在此意义下，问题已获解决．问题20一般边值问题(椭圆型偏微分方程理论)偏微分方程边值问题的研究正处于蓬勃发展的阶段，已成为一个很大的数学分支，目前还在继续发展，进展十分迅速．问题21具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性证明(线性常微分方程大范围理论)此问题属于线性常微分方程的大范围理论．希尔伯特于1905年、勒尔(H. Rohrl)于1957年分别得出重要结果．1970年，法国数学家德利涅(Deligne)做出了突出的贡献．问题22用自守函数将解析函数单值比(黎曼曲面体)此问题涉及深奥的黎曼曲面理论，一个变数的情形已由德国数学家克贝(P. Koebe)于1907年解决，但一般情形尚未解决．问题23变分法的进一步发展(变分法)这是一个不明确的数学问题，只是谈了一些对变分法的一般看法．希尔伯特本人和许多数学家对变分法的发展做出了重要的贡献．20世纪变分法已有了很大的进展．希尔伯特的23个数学问题的影响及意义希尔伯特的23个数学问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的，但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向．在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域．一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用．许多世界一流的数学家都深深为这23个问题着迷，并力图解决这些问题．希尔伯特所提出的问题清晰、易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试．解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，就自然地被公认为是世界一流水平的数学家．我国的数学家陈景润因在解决希尔伯特第8个问题(即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大贡献而为世人所瞩目，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位．经过整整一个世纪，希尔伯特的23个数学问题中，将近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要进展．希尔伯特提出的问题是极其深奥的，不少问题一般人连题目也看不懂．正因为困难，才吸引有志之士去做巨大的努力．但它又不是不可接近的，因而提供了使人们终有收获的科学猎场．一百多年来，人们始终注视着希尔伯特问题的研究，绝不是偶然的．希尔伯特问题的研究与解决大大推动了许多现代数学分支的发展，包括数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论和变分法等．第2问题和第10问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长．当然，预测不可能全部符合后来的发展，20世纪数学发展的广度和深度都远远超出20世纪初年的预料，像代数拓扑、抽象代数、泛函分析和多复变量函数等许多理论学科都未列入这23个问题，更不要说与应用有关的应用数学以及随计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了．（本期责编：王芳）本文摘编自胡伟文徐忠昌主编《数学文化欣赏》（北京：科学出版社，责任编辑吉正霞，2016.11）第八章部分，内容略有删节。
感受数学史的教育价值
感受数学史的教育价值作者：赵婷杨闻起来源：《读与写·教育教学版》2019年第09期摘 ;要：本文从数学家的角度介绍了数学史的教育价值，根据侧重点不同将国内数学学者对数学史的看法进行分类总结，在此基础上结合个人观点，探讨了数学史教育价值的具体体现，以期能让更多人感受到数学史的教育价值。
关键词：数学史 ;教育价值 ;数学教育中图分类号：G632.0 ; ; ; ; 文献标识码：A ; ; ; ; ; ;文章编号：1672-1578（2019）09-0049-02公元前4世纪，古希腊数学家就已经开始系统研究数学历史。
随着数学学科的发展以及数学教学的需要，诸多数学家开始意识到数学史与数学教育有着千丝万缕的联系，了解数学史并能合理运用数学史，这对教师教学与学生学习都有不小的帮助。
从19世纪开始，一些数学家已经关注数学史的教育价值。
例如，1855年，法国犹太数学家泰尔康创办的《数学文献、历史与传记通报》，这一刊物中就有许多教育取向的数学史文章，从这一方面来说，数学史可以为数学教学提供丰富的数学素材。
1865年，英国数学家德摩根在伦敦数学会主席的就职演说中指出，“人类数学思想的早期历史引导我们发现自己的错误;从这个方面说，关注数学的历史是很有益的”[1]。
1894年，美国数学史家卡约黎所著《数学史》一书的前言中指出，“如果用历史回顾和历史轶事点缀枯燥的问题求解和几何证明，学生的学习兴趣就会大大增加”[1]。
1900年前后，美国数学家史密斯所著《初等数学的教学》《近代数学史》《几何的教学》等书籍介绍了有关算术、几何为何教、教什么、如何教等问题。
从19世纪到20世纪初，不同时期的数学家都在以他们关注到的角度来阐述数学史对于数学教学的重要意义。
其中有延续之前学者的思想，对其进行补充说明，也有换一个角度来说明数学史的教育价值。
数学史与数学教学关系国际研究小组（简称HPM）于1972年在第二届国际数学教育大会成立，标志着数学史与数学教育关系作为一个新的学术领域出现。
数学家译名及其贡献
数学家译名及其贡献oyoy收集整理数学书上有许多定理、函数、数值、公式···，是以外国人命名的，中文译名又有差异。
看到后，不能很好的将外文与中文名对照，也不便了解其人在数学上的贡献。
故收集整理这份资料，可能对读者阅读有所帮助。
数学大师，因为他们的贡献太多，网上也很好找到他们的资料，一般简介。
AAbel，阿贝尔（尼尔斯·亨利克·阿贝尔Niels Henrik Abel，1802.08.05－1829.04.06），挪威数学家，天才人物。
以证明五次方程的根式解的不可能性和对椭圆函数论的研究而闻名。
现代有以他名字命名的阿贝尔奖。
跟同样早逝的伽罗华一同被奉为群论的先驱。
主要贡献和研究成果：椭圆函数论；阿贝尔积分理论；阿贝尔定理；阿贝尔群；阿贝尔判别法。
Ackermann，威廉·阿克曼（Wilhelm Ackermann，1896.03.29－1962.12.24），德国数学家，最著名的成果是计算理论的重要例子阿克曼函数。
1928年他跟大卫·希尔伯特合写《理论逻辑原理》（Grundzuge der Theoretischen Logik）。
他又写了Solvable cases of the decision problem (决策问题的可解情况，荷兰 1954)。
Adams，弗兰克·亚当斯（约翰·弗兰克·亚当斯John Frank Adams，1930.11.05－1989.01.07），英国数学家，同伦论的创始人之一。
在20世纪50年代，同伦论是在发展的初期阶段，未解决的问题很多。
但他的创新动机总是由具体问题开始，使代数拓扑学的重要理论得到发展。
Adams，亚当斯（John Couch Adams，1811－1877）英国天文学家及数学家，24岁时，第一次预告了天王星外行星质量的位置。
但不幸地是，亚当斯没有公告他的预言。
数学学科深度教学的三个实践着力点
数学学科深度教学的三个实践着力点作者：燕学敏来源：《教学与管理(理论版)》2021年第10期摘要深度教学缘起于深度学习，立意于改革我国课堂教学中注重教学形式的千变万化而疏于对学科本质的深入理解。
深入分析深度教学的重要意义后，提出数学学科中深度教学主要体现为深入数学本质的知识逻辑教学、触及学生心灵深处的思维逻辑教学和促进每个学生发展的差异教学。
关键词深度教学知识逻辑思维逻辑差异教学深度教学缘起于深度学习研究，但立意于改革我国课堂教学的形式主义、工具主义和技术主义。
深度教学中的“深度”与深度学习中的“深度”含义一致，由此引申，深度教学指的是触及教育教学本质和规律的教学[1]。
雅斯贝尔斯指出“教育过程首先是一个精神成长的过程，然后才成为科学获知的一部分”[2]。
反映在教学中，首先体现的是个体精神孕育的过程，在这个过程中，知识和技能是精神成长的媒介，只有引起学生情感上的共鸣、思维上的碰撞，才有可能真正走进学生的精神世界，生成智慧、获得新知、习得能力。
如此，深度教学是指教师在准确把握学科本质和知识内核的基础上，旨在触动学生情感和思维的深处，引导学生自主发现和真正理解的一种教学样态[3]。
深度教学强调的是教师对学科本质的深刻理解，深度融合教学内容与学生已有经验和情感体验，捕捉、微缩学科相关概念、定理和符号的发现或发明的关键环节，激活静态的知识，“视频化”学科发展的历史画面，设计深度参与的活动过程，使学生全身心地体验学科知识本身蕴含的丰富的、立体多维的教育意义。
深度教学虽意在教师理解学科知识的本质和情感因素，但是并非要求教师把学科内容挖得越深越好、越难越好，而是指教师要深入理解教学内容背后的文化意义，理解知识原初发明和发现时人们面临的问题、解决问题的思路，采用的思维方式、思考过程，理解知识发现者可能有的情感，判断评价知识的价值。
透过符号去理解符号背后的内容与意义，甚至在“未书出”的无字无句之中去体会内容与意义[4];深入把握知识的内在结构体系（包含符号、逻辑形式、意义）;体现知识依存性，彰显知识与主体发展的意义关系，赋予教学丰富性、回归性、关联性和严密性的特质[5]。
西学东渐记
西学东渐记容闳(1828－1912)，字纯甫，广东香山人，生于澳门彼多罗岛。
他写过一本自传性的书，是用英文写成，书名《My Life in China and America》，一九○九年在美国出版，一九一五年商务印书馆发行译本，题名《西学东渐记》，是一本值得怀念的书。
毛泽东主席在《论人民民主专政》一文中说过：“自从一八四○年鸦片战争失败那时起，先进的中国人，经过千辛万苦，向西方国家寻找真理。
洪秀全、康有为、严复和孙中山，代表了在中国共产党出世以前向西方寻找真理的一派人物。
那时求进步的中国人，只要是西方的新道理，什么书也看。
向日本、英国、美国、法国、德国派遣留学生之多，达到了惊人的程度。
”在毛主席所列举的向西方寻找真理的进步的中国人中，从引进西方文化的角度看，严复的功绩和影响最大。
他所翻译的《天演论》、《原富》等书，成为他的不朽事业。
当时所谓西方真理，就是西化。
中国接触到近现代的西方文化，推动着我国历史的发展前进。
康梁的维新运动，固然失败了，有它的历史意义。
过二十年，五四运动爆发，以文化为中心的思想解放，发出了灿烂的光辉。
五四思想的中心内容是民主和科学。
光阴如逝水，五四过去六十年了。
我们非常幸运，亲爱的祖国在伟大的中国共产党领导下迎接再一次思想大解放，而思想大解放的内容仍然是民主和科学。
民主是手段，四化是目的。
为了实现四个现代化，我们在热心引进先进技术和先进设备，也要学习先进学问。
现在我们派遣大批人员出国考察，也派遣大批青年出国留学，这是根本之图。
为了借鉴前人的经验，容闳和他的《西学东渐记》是值得略加介绍的。
容闳是较早到西方留学，并且用其所学，筚路蓝缕，为祖国的教育文化和物质建设做了开山辟路的工作。
容闳最注重教育事业，他引西方大教育家阿诺尔德(Arnold)的话说：“善于教育者，必能注意于学生之道德，以养成其优美之品格；否则，仅仅以学问知识授予学生，自谓尽其能事，充乎其极，不过使学生成一能行之百科全书，或一具有灵性之鹦鹉耳，曷足贵哉？”这可作为容闳的教育主旨看。
80后天才Strongart自学数学的非常故事(100%的真实经历)
女士们先生们，我是Strongart。
记得在我24岁生日那天，曾经写过一段自学数学的小故事。
现在又是一年多过去了，就再介绍一点回到家之后的情况吧，顺便把以前的故事精简一下。
其实我从小启蒙教育就比较好，倒不是有什么专门的培训，只是上小学之前都在家里，有意无意地从爷爷那里学了很多东西。
到上小学的时候，我就已经能熟练掌握四则运算，可惜后来进了学校就停滞了，对数字的感觉明明已经非常敏锐了，还得跟他们一起背什么乘法口诀表！直到四年级的时候为准备竞赛，数学老师给我们几个数学好的学生开小灶。
在不到一个学期的时间里学完了五六年级的数学，一点都不觉得有什么困难。
此后又是一段长期的停滞，直到一天我偶然发现一本书，是讲如何教育孩子成材的，其中有许多天才成长的故事深深打动了我。
记得里面有一句大意是这样的：在孩子成熟之前，只要有一个小小的起点，让他体会到自己独特的价值并为之努力，那么他成年后将远远超过其他一般的人。
那时我不知是初一还是初二，只是对这样的语句有一种模糊的体验。
后来，在放假前无意间有个顽皮的同学送了我一本高中的《立体几何》，促使我真正走上了自学数学的道路，再结合家里一些已经发黄了的中等数学教辅，到中考前已经完成相当于高中的数学课程。
幸好当时能在大学附近的一个临时的小书店里买到了两本《数学分析》，然后就开始为按定义证明极限苦恼，能问老师吗？我不敢，因为直觉告诉我这是犯规的，可能这就是“潜规则”的压力了。
刚开始看《数学分析》真的很困难，手头只有一本教科书，习题只能做开头的几道。
特别是极限初论讲完之后直接进入极限绪论，像有限覆盖定理之类的东西直到后来看到拓扑才真正明白。
直到后来看到微分学，又在一堆中高考的辅导书里挖掘到一本微积分词典，才算是稍微送了口气。
记得当时“违规”用导数做出道难题，反倒没办法讲给别人听，只轻轻说了“导数”两个字（据说现在高中数学讲导数了，很人性啊！那时的标准答案是用了一个BT的不等式的技巧），惹得他们看外星人一样的看我！回顾高中以前的经历，运气要占了很大的因素，可后来就没那么巧了。
1.3 概率的一般定义
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例3
已知 A B, AC P(A)=0.2,P(B)=0.4, 计算:P(B-C),P(B+C)
P(BC)=0.1,P(C)=0.3 P(A+C),P(B-C-A),
§1.3 概率的一般定义(公理化定义) 1.定义:设Ω 是样本空间,T是随机试验. 对于 T 的每个事件A对应一个实数P(A),称为事 件 A的概率,其中集合函数P(.)满足下列条 件: (1) 对任一事件A,有0≤ P(A)≤1; (非负性） (2) P(Ω )=1;（规范性)
(3)设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
P( A1 A 2 A n )
P( A i )
i 1 n 1 i j n j k
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A
i n 1
)
( 1)
P( A 1 A 2 A n ).
例 1 在 1~2000 的整数中随机的取一个数，问取 到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概 率是多少？ 解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为 “ 取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：
B A BA B
应用例1
1 (2) P(B－A)=P(B)－P(A)= 4 3 (3) P(B－A)=P(B)－P(AB)=
8
P(B－A)=P(B)=1/2
例8一只口袋中有45只白球，5只黑球，今从中任取 3只球，求其中有黑球的概率. 解 以A表示“取出的3只球中有黑球”, A i分别表示 “取出的3只球中有i只黑球”, i=1, 2, 3,