【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末综合检测(B)新人教A版必修4
第三章 三角恒等变换章末检测（B ）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( )A ．0 B.12 C.32D ．12．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]5．化简：＋θ＋cos 120°sin θcos θ的结果为( )A ．1 B.32C. 3 D ．tan θ 6．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a 等于( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．38．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[－12，32]B ．[－22＋12，22＋12]C ．[－32，12]D ．[－22－12，22－12]9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )A ．－75 B.75 C ．－35 D.3510．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( ) A ．±4 B．4 C ．－4 D ．111．若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边所在的直线方程为( )A ．7x ＋24y ＝0B ．7x －24y ＝0C ．24x ＋7y ＝0D ．24x －7y ＝012．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ的值为( )A ．－πB ．－π C.5π D.2π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是______．14．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.15．若0<α<π2<β<π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________.16．函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)．(1)求α－π2－3π2＋απ－α＋π＋α的值；(2)求cos(2α－3π4)的值．18．(12分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值； (3)求函数f (x )的单调增区间．19．(12分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[－π3，π4]．(1)求a ²b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ²b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．20．(12分)已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b 且a ，b 满足：a ²b ＝－9，|a |＝3，|b |＝5，θ为a ，b 的夹角． (1)求角B ；(2)求sin(B ＋θ)．21．(12分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2326，求α＋π4π＋2α的值．22．(12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．第三章 三角恒等变换(B)答案1．D [原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.]2．D [f (x )＝sin 2x －12＝12(2sin 2x －1)＝－12cos 2x ，∴T ＝2π2＝π，f (x )为偶函数．]3．A [∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.]4．D [f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)．令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，令k ＝0得－π6≤x ≤5π6.由此可得[－π6，0]符合题意．]5．B [原式＝sin 60°cos θ＋cos 60°sin θ－12sin θcos θ＝sin 60°cos θcos θ＝sin 60°＝32.]6．C [f (sin x )＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ，∴f (x )＝2x 2＋2，∴f (cos x )＝2cos 2x ＋2＝1＋cos 2x ＋2＝3＋cos 2x .]7．B [f (x )＝sin(x ＋π3)－a sin(π6－x )＝sin(x ＋π3)－a cos(π3＋x )＝1＋a 2sin(x ＋π3－φ)∴f (π2)＝sin 5π6＋a sin π3＝32a ＋12＝1＋a 2.解得a ＝ 3.]8．B [y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin(2x －π4)＋12， ∵x ∈R ，∴－1≤sin(2x －π4)≤1，∴y ∈[－22＋12，22＋12]． 9．B [∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝13.cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θ＝cos 2θ＋2sin θcos θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋2tan θ－tan 2θ1＋tan 2θ＝1＋2³13－191＋19＝75.] 10．C [3cos(2α＋β)＋5cos β＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α， ∴tan(α＋β)tan α＝－4.]11．D [cos θ2＝35，sin θ2＝－45，tan θ2＝－43，∴tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝－831－169＝247.∴角θ的终边在直线24x －7y ＝0上．]12．D [∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝sin θ＋3cos θ＝0.∴tan θ＝－ 3.∴θ＝k π－π3，(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)＝±2sin 2x .∵f (x )在[－π4，0]上为减函数，∴f (x )＝－2sin 2x ，∴θ＝2π3.]13.π2解析 ∵f (x )＝12[1－cos(4x －π2)]＝12－12sin 4x ∴T ＝2π4＝π2.14．1解析 ∵sin αcos β＝1，∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1， ∴cos α＝sin β＝0.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1. 15.429解析 cos β＝－13，sin β＝223，sin(α＋β)＝13，cos(α＋β)＝－223，故cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－223)³(－13)＋223³13＝429. 16．1解析 令x ＋10°＝α，则x ＋40°＝α＋30°， ∴y ＝sin α＋cos(α＋30°)＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30° ＝12sin α＋32cos α ＝sin(α＋60°)． ∴y max ＝1.17．解 (1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)⇒cos α＝－55，α∈(0，π)⇒sin α＝255.α－π2－3π2＋απ－α＋π＋α＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13.(2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin 2α＝－45，cos 2α＝－35. cos(2α－3π4)＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210.18．解 (1)原式＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2(12sin 2x ＋32cos 2x )＝2(sin 2x cos π3＋cos2x sin π3)＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)当2x ＋π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )有最大值为2.当2x ＋π3＝2k π－π2，即x ＝k π－5π12(k ∈Z )时，f (x )有最小值为－2.(3)要使f (x )递增，必须使2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．19．解 (1)a ²b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝cos 3x 2＋cos x 22＋sin 3x 2－sinx22＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈[－π3，π4]，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x . (2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2(cos x －12)2－32.∵x ∈[－π3，π4]．∴12≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.20．解 (1)2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，即4cos 2B －8cos B ＋3＝0，得cos B ＝12.又B 为△ABC 的内角，∴B ＝60°.(2)∵cos θ＝a ²b |a |²|b |＝－35，∴sin θ＝45.∴sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310. 21．解 (1)由题意，得m ²n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ²(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12. 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin(2x 3＋π6)＋12，所以f (32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326.解得cos α＝513.因为α是第一象限角，故sin α＝1213.所以α＋π4π＋2α＝α＋π4cos 2α＝22sin α＋22cos αcos 2α－sin 2α＝2α－sin α＝－13214.22．解 (1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． 又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2³π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1，又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)，因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3)≤1.所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第3章 3.1.1
β α β α ＝cosα－2cos2－β＋sinα－2sin2－β
1 5 4 5 2 7 5 ＝－9× 3 ＋ 9 ×3＝ 27 .
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3.1.1
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π 1 11 例 3 已知 cos α＝ ，cos(α＋β)＝－ ，且 α、β∈0，2 ， 7 14 求 β 的值． π 1 11 解 ∵α、β∈0，2且 cos α＝7，cos(α＋β)＝－14， 4 3 2 ∴sin α＝ 1－cos α＝ 7 ， 5 3 2 sin(α＋β)＝ 1－cos α＋β＝ 14 . 又∵β＝(α＋β)－α，
解
π π (1)原式＝cos2－12
π π π π 5 － － ＝cos 12π＝cos4＋6＝cos 4 6
6－ 2 π π π π ＝cos 4cos 6－sin 4sin 6＝ 4 .
(2)原式＝cos(15° －105° )＝cos(－90° )＝0.
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3 x；(2)cos2π－x＝－sin
(1)cos(π－x)＝－cos
x.
证明 (1)cos(π－x)＝cos πcos x＋sin πsin x
＝(－1)×cos x＋0×sin x＝－cos x；
3 (2)cos2π－x＝cos
3 3 2πcos x＋sin 2πsin x
1－cos
2
2
β α－ ＝ 2
1 4 5 1－81＝ 9 ， 4 5 1－9＝ 3 .
1－sin
α －β＝ 2
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3.1.1
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第三章3.3(一)
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①方程－x2＋4x－3＝0的解集是 ②不等式－x2＋4x－3>0的解集是 ③不等式－x2＋4x－3<0的解集是
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§3.3（一）
问题2 作出函数y＝－x2＋4x－3的图象,根据图象完成下列问题： ； ； ．
答案 y＝－x2＋4x－3的图象．
①{1,3}；
集之间的联系，请补充完整. Δ>0 Δ＝0 Δ<0
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4ac 二次函数y＝ ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
有两不等实数 一元二次方程
根x1,2＝ ax2＋bx＋c＝ －b± b2－4ac 数根x1＝x2 b 2a ＝－ 0(a>0)的根 2a (x1<x2)
有两相等实 没有实 数根
或者小于小根 ____________的实数的集合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就 大于小根，且小于大根 是______________________的实数的集合．
一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．
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典型例题 例1 求下列不等式的解集： (1)2x2－3x－2≥0； (2)－3x2＋6x>2.
作出函数y＝x2－x－6的图象，根据图象完成下列问题：
①方程x2－x－6＝0的解集是 ②不等式x2－x－6>0的解集是 ③不等式x2－x－6<0的解集是
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§3.3（一）
答案
函数y＝x2－x－6的图象．
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①{－2,3}；
②{x|x<－2或x>3}；
③{x|－2<x<3}．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修3【配套备课资源】1.1.3 第1课时
1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示 第 1 课时 顺序结构与条件分支结构
【学习要求】
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1.进一步熟悉程序框图的画法. 2.掌握顺序结构与条件分支结构的程序框图的画法. 3.能用这两种结构框图描述实际问题. 【学法指导】 通过模仿、操作、探索,经历通过设计顺序结构、条件分支 结构程序框图表达解决问题的过程;学会灵活、正确地利用 顺序结构、条件分支结构画程序框图;认识到学习程序框图 是我们学习计算机语言的必经之路.
P0(x0,y0)到直线 l 的距离 d 的算法，并画出程序框图.
解 (1)用数学语言描述算法:
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S1 S2 S3
S4
S5
输入点的坐标 x0,y0,输入直线方程的系数 A,B,C; 计算 z1＝Ax0＋By0＋C; 计算 z2＝A2＋B2;
计算 d＝
输出 d.
|z1 | ; z2
相应的程序框图如下图:
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1.1.3第1课时
例 3 任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断以这 3 个正 实数为三边边长的三角形是否存在,并画出这个算法的程
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序框图.
解 S1
S2
算法步骤如下: 输入 3 个正实数 a,b,c.
判断 a＋b>c,b＋c>a,c＋a>b 是否同时成立.若是,则存
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1.1.3第1课时
[问题情境]
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上一节课我们已经画了一些程序框图,它们都
是顺序结构,顺序结构像是一条没有分支的河流,奔流到海 不复回,事实上多数河流是有分支的,因此我们还要学习有 分支的逻辑结构——条件分支结构.
第三章三角恒等变换教案
高中数学必修4 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家能够猜测，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也能够用角α的余弦线来表示。
思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三(1) 怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角βαβα-，、、思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活使用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：此题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：不查表计算以下各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= （五）小结：两角差的余弦公式，首先要理解公式结构的特征，理解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活使用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中灵活处理已、未知关系． （六）作业3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
高中数学 第三章 三角恒等变换 第2节 简单的三角恒等变换教案(含解析)高一数学教案
3.2 简单的三角恒等变换[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 139～P 142的内容，回答下列问题． (1)α与α2是什么关系？提示：倍角关系．(2)如何用cos α表示sin 2α2，cos 2α2和tan 2α2？提示：sin2α2＝1－cos α2，cos2α2＝1＋cos α2，tan2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．归纳总结，核心必记 (1)半角公式(2)三角恒等变换的特点三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．[问题思考](1)能用不含根号的形式用sin α，cos α表示tan α2吗？提示：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.(2)如何用tan α2表示sin α，cos α及tan α？提示：sin α＝2sin α2·cos α2＝2sin α2·co sα2sin 2 α2＋cos 2 α2＝2tanα21＋tan 2α2. cos α＝cos 2 α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2 α2＋sin 2 α2＝1－tan 2α21＋tan 2 α2.tan α＝sin αcos α＝2tanα21－tan 2α2. [课前反思](1)半角公式的有理形式： ； (2)半角公式的无理形式： .知识点1求值问题讲一讲1．已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[尝试解答] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55， tan α2＝sinα2cosα2＝－2.类题·通法解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 练一练1．已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解：由题意得⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝2.知识点2三角函数式的化简讲一讲2．化简：1＋sin α＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．[尝试解答] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2 α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2－cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·－cos α－cosα2＝cos α.类题·通法化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．练一练 2．化简：(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π；(2)sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2，∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π， ∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0. ∴原式＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2.(2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)，∴原式＝sin[α＋β＋α]－2cos α＋βsin αsin α＝sin α＋βcos α－cosα＋βsin αsin α＝sin[α＋β－α]sin α＝sin βsin α.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan x ·tan x 2＝tan x .[尝试解答] 法一：左边＝2sin x cos x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x cos x ·1－cos x sin x＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－cos x cos x ＝sin x cos x＝tan x ＝右边．法二：左边＝sin 2x2cos x ·tan x －tanx2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＝sin 2x 2cos x ·sin x cos x －sinx2cos x 2tan x 2＝sin 2x 2cos x ·sin x cos x 2－sin x 2cos x cos x cos x 2·tan x 2＝2sin x cos x2cos x ·sinx2cos x cos x 2·tanx2 ＝sin xcos x ＝tan x ＝右边． 类题·通法三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．练一练 3．求证：2sin x cos x sin x ＋cos x －1sin x －cos x ＋1＝1＋cos xsin x.证明：左边＝2sin x cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2 x 2＝2sin x cos x 4sin 2 x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 x 2－sin 2 x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cosx2sinx 2＝2cos 2x22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x ＝右边．∴原等式成立．[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用． 2．要掌握三角恒等变换的三个应用 (1)求值问题，见讲1； (2)化简问题，见讲2； (3)三角恒等式的证明，见讲3. 3．对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α2.(3)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件． (4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2求解． 课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]题组1 求值问题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝( )A.1＋a2B. 1－a2C ．－1＋a2D ．－ 1－a2解析：选D ∵θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，6π4， ∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( ) A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 3解析：选B f (x )＝2tan x －2sin 2x2－sin 2x2－cos 2x212sin x＝2tan x ＋cos x 12sin x ＝2(tan x ＋1tan x )．又tan π12＝sinπ61＋cosπ6＝13＋2，∴原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2＋3＋2＝8.3．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2.题组2 三角函数式的化简4．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1解析：选 C 原式＝2＋1－2sin 21－sin 21＝3－3sin 21＝31－sin 21＝3cos 21＝3cos 1.5．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2得( )A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos2π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.题组3 三角恒等式的证明6．求证：cos 4θ＝14＋12cos 2θ＋14cos 22θ.证明：法一：原式左边＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22＝14＋12cos 2θ＋14cos 22θ＝右边，∴原式成立． 法二：原式右边＝14(cos 22θ＋2cos 2θ＋1)＝14(cos 2θ＋1)2＝14(2cos 2θ－1＋1)2＝cos 4θ＝左边， ∴原式成立．7．求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －12(cos 4x ＋cos 2x )＝2(1＋cos 2x )．证明：左边＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 22＋34sin 22x ＋5⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 22－12(cos 4x ＋cos 2x )＝2×1－2cos 2x ＋cos 22x 4＋34sin 22x ＋5×1＋2cos 2x ＋cos 22x 4－12(2cos 22x －1＋cos2x )＝2×14＋54＋12＋2×－2cos 2x 4＋5×2cos 2x 4－12cos 2x ＋2×cos 22x 4＋5×cos 22x 4－12×2cos 22x ＋34sin 22x ＝94＋cos 2x ＋34cos 22x ＋34sin 22x＝94＋cos 2x ＋34＝3＋cos 2x ＝3＋(2cos 2x －1)＝2(1＋cos 2x )＝右边． ∴原式成立．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数解析：选D 由cos 2x ＝2cos 2x －1，得f (x )＝cos 2x ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝12＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12－sin 2x 2，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：选 C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b .3．已知关于x 的方程x 2＋x cos A cos B －2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C 由一元二次方程根与系数的关系得－cos A cos B ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin 2 C 2，即cos A cos B ＝sin 2C2＝sin2π－A ＋B 2＝cos 2A ＋B 2＝12[1＋cos(A ＋B )]．得cos(A －B )＝1.∴A ＝B .4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2＝________.解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin π6＋α＝23.所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α2＝1＋232＝56.答案：565．已知sin αcos β＝12，则cos αsin β的取值范围是________．解析：法一：设x ＝cos α·sin β，则sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝12＋x ，sin(α－β)＝sin α·cosβ－cos α·sin β＝12－x .因为－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤12＋x ≤1，－1≤12－x ≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12，－12≤x ≤32，所以－12≤x ≤12.法二：设x ＝cos α·sin β，sin α·cos β·cos α·sin β＝12x ，即sin 2α·sin2β＝2x .由|sin 2α·sin 2β|≤1，得|2x |≤1，所以－12≤x ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，126．已知tan α2＝12，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6的值． 解：∵tan α2＝12，∴sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tanα21＋tan 2α2＝2×121＋14＝45，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－141＋14＝35.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6＝45×32＋35×12＝3＋4310.7．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域． 解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ .由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1. 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 即ω＝k 2＋13(k ∈Z )． 又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2， 函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第3章三角恒等变换章末复习课
研一研·题型解法、解题更高效
∴tan A＝2tan B. π 3 (2)解 ∵ <A＋B<π，sin(A＋B)＝ ， 2 5 tan A＋tan B 3 3 ∴tan(A＋B)＝－ ，即 ＝－ . 4 4 1－tan Atan B
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章末复习课
将 tan A＝2tan B 代入上式并整理得 2tan2B－4tan B－1＝0 2＋ 6 2± 6 解得 tan B＝ ，舍去负值，得 tan B＝ . 2 2 ∴tan A＝2tan B＝2＋ 6.
π 解得 x＝2kπ＋ ，k∈Z. 4 π 综上，当 x＝2kπ－π 或 x＝2kπ－2，k∈Z 时，f(x)取得最小值，
π f(x)min＝－1；当 x＝2kπ＋4，k∈Z 时，f(x)取得最大值，f(x)max 1 ＝ 2＋ . 2
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题型三 转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用 3 x 2sin x 例 3 求证：tan x－tan ＝ . 2 2 cos x＋cos 2x 3 x sin 2x sin 2 3 x 证明 ∵左边＝tan 2x－tan2＝ 3 － x cos x cos 2 2 3 x x 3 sin 2xcos 2－sin 2cos 2x ＝ x 3 cos 2cos 2x sin x 2sin x ＝1 ＝ cos x＋cos 2x cos 2x＋cos x 2
1 5 当 t＝2时，ymax＝4； 当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1. 5 ∴函数的值域为－ 2－1，4.
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章末复习课
小结
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在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修3【配套备课资源】1.1.3 习题课
试一试·双基题目、基础更牢固
习题课
3.某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 ( A )
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A.4
B.5
C.6
D.7
解析 当 k＝0 时,执行一次循环后,S＝1,k＝1; 再执行循环体后,S＝3,k＝2; 第三次执行循环体后 S＝3＋23＝11<100,k＝3;
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2x－1 跟踪训练 1 已知函数 y＝log2x＋1 x2
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x≤－1 －1<x<2 x≥2 ,试设
计一个算法,输入 x 的值,求对应的函数值.
解 算法如下: S1 输入 x 的值.
S2 S3 S4 S5 当 x≤－1 时,计算 y＝2x－1,否则执行 S3. 当 x<2 时,计算 y＝log2(x＋1),否则执行 S4. 计算 y＝x2. 输出 y.
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解 程序框图如下
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小结
在循环结构中,要注意根据条件设置合理的计数变
量、累加(乘)变量,同时条件的表述要恰当、准确.累加变量 的初值一般为 0,而累乘变量的初值一般为 1.
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解析 由 x≥60 与及格对应知 1 处填是,则 2 处填否.
试一试·双基题目、基础更牢固
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9 5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 s＝__.
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解析 按程序框图循环到 n＝3 时输出结果. 当 n＝1 时,s＝1,a＝3;当 n＝2 时,s＝1＋3＝4,a＝5; 当 n＝3 时,s＝4＋5＝9,a＝7,所以输出 s＝9.
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)必修1第三章章末复习课
画一画·知识网络、结构更完善
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题型一
指数、对数的运算
1．指数、对数的运算应遵循的原则
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指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根 式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式 分解以达到约分的目的． 对数运算首先注意公式应用过程中范围的 变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒 等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
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g(x)在(－∞，
1]上也是增函数， 所以
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1 1 3 g(x)max＝g(1)＝－ ＋ ＝－ . 4 4 2
1 1 x a>－4 ＋2x在(－∞，1]上恒成立，
因为
3 所以 a 应大于 g(x)的最大值，即 a>－4. 故所求 a
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(2)①若 a>1，则 y＝logat 递增，且 t＝a－ax 递减，而 a－ax>0，即 ax<a，∴x<1，∴y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上递减．
②若 0<a<1， y＝logat 递减， t＝a－ax 递增， a－ax>0， ax<a， 则 且 而 即
， 1 2
1.5
＝21.5，
∵y＝2x 在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴4 >
高中数学步步高必修4资料第三章
1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值. 分析 将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系.解 ∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_______________________.分析 要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝135，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析 由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135.∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.∵α为第四象限的角， ∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，∴2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝45，∴2α在第四象限， ∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案 －34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值. 分析 转化为已知角⎝⎛⎭⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值.这样可以将所求式子化简，使其出现⎝⎛⎭⎫π4－x 这个角的三角函数. 解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，且0<x <π4， ∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4 求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值.分析 观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x ).解 f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos [(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)， 当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.2 三角函数化简求值的“主角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招： 第一招 单角化复角例1 已知sin α＝12，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为________.解析 因为sin α＝12，α为第二象限的角，所以cos α＝－32，所以tan α＝－33. 所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝－3－(－33)1＋(－3)×(－33)＝－2332＝－33.答案 －33点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：α＝(α＋β)－β、α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等. 第二招 复角化单角例2 化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β).解 原式＝sin (2α＋β)－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin[α＋(α＋β)]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β－α)sin α＝sin βsin α.点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可. 第三招 复角化复角例3 已知π4<α<34π，0<β<π4，cos(π4＋α)＝－35，sin(34π＋β)＝513，求sin(α＋β)的值.解 因为π4<α<34π，π2<π4＋α<π，所以sin(π4＋α)＝1－cos 2(π4＋α)＝45.又因为0<β<π4，34π<34π＋β<π，所以cos(34π＋β)＝ －1－sin 2(34π＋β)＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β) ＝－sin[(π4＋α)＋(34π＋β)]＝－[sin(π4＋α)cos(34π＋β)＋cos(π4＋α)sin(34π＋β)]＝－[45×(－1213)＋(－35)×513]＝6365.点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较烦琐，故需要找到α＋β与π4＋α和34π＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.3 三角恒等变换的几个技巧三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂 例13－sin 70°2－cos 210°＝________.解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2.答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等.二、化平方式 例2 化简求值： 12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π)). 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝ 12－121＋cos 2α2＝12－12cos α＝ sin 2α2＝sin α2. 点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现：前者和后者的一半互余. 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________.解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3.答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.4 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x的最值.解 原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x ＝⎝⎛⎭⎫1＋12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合. 解 原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }.点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域.解 原函数整理得：sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域.解 原函数整理得：sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3，∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y2.∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式.解 y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－⎝⎛⎭⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1， 此时cos x ＝－1.当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－12a 2－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决.例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值.解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2，2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2).四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x的最值.解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t 在[1,3]上为增函数.故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求PQ的最小值.解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－xa sin θ， ∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ，∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2. 从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t4在区间(0,1]上单调递减，从而，当sin 2θ＝1时，⎝⎛⎭⎫P Q min ＝94.点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.5 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值. [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π). 所以α＋β＝π4或3π4.[剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值. [正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.温馨点评 根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.[错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0.角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.温馨点评 在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其它知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误. 三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确.[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾.∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.温馨点评 涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现. 四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x 的奇偶性.[错解] f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x2－1＝2sin x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 22cos x2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数.[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错. [正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得 sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－1， 从而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称. 因此，函数f (x )为非奇非偶函数.温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错. 五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值. [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±1， ∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] ∵x ＋θ与x －θ是不同的角.∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理. [正解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立.即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立. ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立. 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立. ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .温馨点评 注意公式a sin x ＋b cos x ＝\r(a 2＋b 2)·sin (x ＋φ)的左端是同角x .当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.,例如：函数f (x )＝sin (x ＋θ)＋\r(3)cos (x －θ)(x ∈R )的最大值不是2.6 平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解. 一、平面向量平行与三角函数交汇例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________.解析 由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案 π点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解.二、平面向量垂直与三角函数交汇例2 已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，若a ⊥b ，则cos(2α＋π4)＝________.解析 因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0， 解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45.cos 2α＝1－2sin 2α＝725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，于是cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－17250.答案 －17250点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理. 三、平面向量夹角与三角函数交汇例3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2,0)的夹角为π3，则θ＝________.解析 由条件得 |m |＝sin 2θ＋(1－cos θ)2＝2－2cos θ，|n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n|m ||n |＝2sin θ22－2cos θ＝12，整理得2cos 2 θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去).因为0<θ<π，所以θ＝2π3.答案2π3点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解. 四、平面向量的模与三角函数交汇例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________.解析 由条件可得|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝3cos θ－sin θ， 则|2a －b |＝ |2a －b |2＝4a 2＋b 2－4a ·b＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos (θ＋π6)≤4，所以|2a －b |的最大值为4. 答案 4点评 解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a |2＝a 2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解. 五、平面向量数量积与三角函数交汇例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3)(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( ) A.－32 B.－16 C.16 D.32解析 由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，答案 D点评 平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角.7 单位圆与三角恒等变换巧结缘单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘的.一、借助单位圆解决问题例1 已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求tan α＋β2.(提示：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22)解 设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)均在单位圆上，如图，则以OA 、OB 为终边的角分别为α、β，由已知，sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，用题设所给的中点坐标公式，得AB 的中点C ⎝⎛⎭⎫16，18，如图，由平面几何知识知，以OC 为终边的角为β－α2＋α＝α＋β2，且过点C ⎝⎛⎭⎫16，18，由三角函数的坐标定义，知tan α＋β2＝1816＝34.点评 借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始 终，特别在求值中更能显出它的价值. 二、单位圆与恒等变换的交会例2 已知圆x 2＋y 2＝R 2与直线y ＝2x ＋m 相交于A 、B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则tan(α＋β)的值为________. 解 如图，过O 作OM ⊥AB 于M ，不妨设α、β∈[0,2π]， 则∠AOM ＝∠BOM ＝12∠AOB ＝12(β－α)，又∠xOM ＝α＋∠AOM ＝α＋β2，所以tan α＋β2＝k OM ＝－1k AB ＝－12，故tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝－43.点评 若是采用先求A 、B 两点的坐标，再求α、β的正切值这一思路就很繁锁甚至做不下去，可见用不同的解决方法繁简程度不同.例3 如图，A ，B 是单位圆O 上的点，OA 为角α的终边，OB 为角β的终边，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交圆O 于点C.(1)若α＝π6，β＝π3，求点M 的坐标；(2)设α＝θ(θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3)，β＝π3，C (m ，n )，求y ＝m ＋n 的最小值，并求使函数取得最小值时θ的取值.解 (1)由三角函数定义可知，A ⎝⎛⎭⎫32，12，B ⎝⎛⎭⎫12，32， 由中点坐标公式可得M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋14，3＋14.(2)由已知得∠xOC ＝12(α＋β)＝12(θ＋π3)，即C ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6， 故m ＝cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，n ＝sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6， 所以y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋5π12，又θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故5π12≤12θ＋5π12≤7π12， 当θ＝0或π3时，函数取得最小值y min ＝2sin 5π12＝3＋12.点评 借助单位圆和点的坐标，数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化.8 教你用好辅助角公式在三角函数中，辅助角公式a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)，其中角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝ba 确定，它在三角函数中应用比较广泛，下面举例说明，以供同学们参考. 一、求最值例1 求函数y ＝2sin x (sin x －cos x )的最小值. 解 y ＝2sin x (sin x －cos x ) ＝2sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin 2x＝1－2⎝⎛⎭⎫sin 2x ·12＋cos 2x ·12 ＝1－2⎝⎛⎭⎫sin 2x ·cos π4＋cos 2x ·sin π4 ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以函数y 的最小值为1－ 2. 二、求单调区间例2 求函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的单调区间.解 y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＋1 ＝34sin 2x ＋14cos 2x ＋54＝12⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z ).所以函数的单调增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )；函数的单调减区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z ).三、求周期例3 函数y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x 的最小正周期是( ) A.2π B.π C.π2 D.π4答案 C解析 y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x ＝12cos 4x ＋2sin 4x ＋12＝172sin(4x ＋φ)＋12(其中sin φ＝1717，cos φ＝41717)，函数的最小正周期T ＝2π4＝π2.故选C.四、求参数的值例4 如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则实数a 的值为( )A. 2B.－ 2C.1D.－1答案 D 解析 y ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)(其中tan φ＝a ). 因为x ＝－π8是对称轴，所以直线x ＝－π8过函数图象的最高点或最低点.即x ＝－π8时，y ＝1＋a 2或y ＝－1＋a 2.所以sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝±1＋a 2. 即22(a －1)＝±1＋a 2. 所以a ＝－1.故选D.9 二倍角公式用法揭秘从两角和的三角公式推出二倍角的正弦、余弦和正切公式，是化归思想的体现，倍角公式的内涵是：揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.下面对此公式的应用作以梳理，供同学们参考.一、二倍角公式的正用例1 已知sin α＋cos α＝13，且0＜α＜π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值. 分析 可先将已知式平方，再利用二倍角公式求sin 2α、cos 2α，进而利用商数关系求出tan 2α的值.解 因为sin α＋cos α＝13， 所以(sin α＋cos α)2＝19， 即1＋2sin αcos α＝19， 所以sin 2α＝－89. 因为0＜α＜π，所以sin α＞0，又sin αcos α＝－49＜0，所以cos α＜0， 从而sin α－cos α＞0，所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2 ＝1－sin 2α＝173. 故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α) ＝13×⎝⎛⎭⎫－173＝－179. tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 评注 一般情况下，求sin 2α、cos 2α时需先求出sin α、cos α的值，往往需用到平方关系和方程或方程组，解题过程中需注意角α的范围的判定，即cos α符号的判定.二、二倍角公式的逆用例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4x 的值. 分析 由题设注意到π4＋x ＋π4－x ＝π2，因此需变换之后再用公式求解. 解 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝12cos 2x ， 所以12cos 2x ＝16，即cos 2x ＝13. 因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2x ∈(π，2π)，所以sin 2x ＝－223. 故sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝－429. 评注 一般说来，在题目中有单角、倍角时，应将倍角化为单角，同时应注意2α、2α－π2、α－π4等角之间关系的应用. 三、二倍角公式的变形应用例3 求tan 67°30′－tan 22°30′的值.分析 考虑到67°30′×2＝135°，22°30′×2＝45°，且67°30′＋22°30′＝90°，故可用二倍角的正切公式来求解.解 原式＝tan 67°30′－sin22°30′cos 22°30′＝tan 67°30′－cos 67°30′sin 67°30′＝－2×1－tan 267°30′2tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2. 评注 本题是二倍角正切公式的变用，强调的是在具体的运算过程中对公式的灵活变换.二倍角公式灵活多样，应用广泛，如升幂、降幂等，在具体应用中要根据具体的题目要求，合理选用公式进行相关运算.四、二倍角公式的构造例4 求sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值.分析 可利用二倍角的正弦公式的变形公式sin α＝sin 2α2cos α进行运算；也可利用诱导公式先将正弦全部化为余弦，再逆用二倍角公式求解；也可以构造对偶式列方程求解.解 方法一 因为sin 2α＝2sin αcos α，所以sin α＝sin 2α2cos α， 故原式＝sin 20°2cos 10°×12×sin 100°2cos 50°×sin 140°2cos 70°＝sin 20°2sin 80°×12×sin 80°2sin 40°×sin 40°2sin 20°＝116. 方法二 原式＝cos 80°×12×cos 40°×cos 20° ＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°4sin 20° ＝sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20° ＝sin 160°16sin 20°＝116. 方法三 令x ＝sin 10°sin 50°sin 70°，y ＝cos 10°cos 50°cos 70°，则xy ＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°＝12sin 20°×12sin 100°×12sin 140° ＝18sin 20°sin 80°sin 40° ＝18cos 10°cos 50°cos 70°＝18y ， 因为y ≠0，所以x ＝18， 从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116. 评注 本题是二倍角公式应用的经典题型，方法一和方法二通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角正弦公式的形式.方法三利用构造对偶式解题具有一般性，事实上，有些数学问题，可根据本身的特点，相应地构造相“匹配”的另一整体，然后由其相依相伴的关系进行求解，这种思想我们称之为“配对”，本题中是一种积式的对偶，三角函数中的sin α、cos α就是一种常见的对偶关系.。
步步高学案导学设计2014-2015学年高中数学1.5用样本估计总体习题课北师大版必修3
§5习题课课时目标 1.进一步巩固基础知识，学会用样本估计总体的思想、方法.2.提高学生分析问题和解决实际应用问题的能力．1．要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的( )A．平均数 B．方差 C．众数 D．频率分布2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差等于( )A．3.5 B．－3 C．3 D．－0.5 3．容量为组号12345678频数1013x 141513129A．14和0.14 B．0.14和14C.114和0.14 D.13和1144．某中学高三(2)班甲、乙两名同学自高中以来每次考试成绩的茎叶图如图，下列说法正确的是( )A．乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩也比甲同学高B．乙同学比甲同学发挥稳定，但平均成绩不如甲同学高C．甲同学比乙同学发挥稳定，且平均成绩比乙同学高D．甲同学比乙同学发挥稳定，但平均成绩不如乙同学高5．数据70,71,72,73的标准差是________．一、选择题1．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000中再用分层抽样方法抽出100人作出一步调查，则在[2 500,3 000](元)/月收入段应抽出的人数为( )A．20 B．25 C．40 D．502．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A．55.2,3.6 B．55.2,56.4C．64.8,63.6 D．64.8,3.63．一容量为20的样本，其频率分布直方图如图所示，样本在[30,60)上的频率为( )A．0.75 B．0.65 C．0.8 D．0.942)：品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8A．甲 B．乙C．稳定性相同 D．无法确定5．某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，下面是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频率分布直方图(如图所示)．已知从左至右4个小组的频率分别为0.05,0.15,0.35,0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有(分数大于或等于80分为优秀且分数为整数)( )题号1234 5答案6．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．7．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.8．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次相差0.1，又第一小组的频数是10，则n＝________.三、解答题9．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？10．潮州统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽多少人？能力提升11．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]．由此得到频率分布直方图如图，则由此估计该厂工人一天生产该产品数量在[55,70)的人数约占该厂工人总数的百分率是________．双基演练1．D [样本的平均数、方差、众数都不能反应样本在某一范围的个数所占样本容量的比例，故选D .]2．B [少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际的平均数等于－3.] 3．A [频数为100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝14；频率为14100＝0.14.] 4．A [从茎叶图可知乙同学的成绩在80～90分分数段的有9次，而甲同学的成绩在80～90分分数段的只有7次；再从题图上还可以看出，乙同学的成绩集中在90～100分分数段的最多，而甲同学的成绩集中在80～90分分数段的最多．故乙同学比甲同学发挥较稳定且平均成绩也比甲同学高．] 5.52解析 x ＝70＋71＋72＋734＝71.5， s ＝14×[(70－71.5)2＋(71－71.5)2＋(72－71.5)2＋(73－71.5)2]＝52. 作业设计1．B [由题意可知：在[2 500,3 000](元)/月的频率为0.000 5×500＝0.25，故所求的人数为0.25×100＝25.]2．D [每一个数据都加上60时，平均数也应加上60，而方差不变．]3．B [由图可知，样本在[30,60)上的频率为0.02×10＋0.025×10＋0.02×10＝0.2＋0.25＋0.2＝0.65，故选择B .] 4．A [方法一 x 甲＝15×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10， x 乙＝15×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10， 即甲、乙两种冬小麦的平均单位面积产量的均值都等于10，其方差分别为s 2甲＝15×(0.04＋0.01＋0.01＋0＋0.04)＝0.02， s 2乙＝15×(0.36＋0.09＋0.64＋0.09＋0.04)＝0.244， 即s 2甲<s 2乙，表明甲种小麦的产量比较稳定．方法二 (通过特殊的数据作出合理的推测)表中乙品种在第一年的产量为9.4，在第三年的产量为10.8，其波动比甲品种大得多，所以甲种冬小麦的产量比较稳定．]5．D [第5个小组的频率为1－0.05－0.15－0.35－0.30＝0.15，∴优秀的频率为0.15＋0.30＝0.45∴优秀的调查报告有60×0.45＝27(篇)．]6．24 23 解析 x 甲＝110(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24， x 乙＝110(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23.解析 ∵第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，∴前三组频数为2＋3＋420·n＝27，故n ＝60. 8．100解析 设第1个小长方形的面积为S ，则4个小长方形的面积之和为S ＋(S ＋0.1)＋(S ＋0.2)＋(S ＋0.3)＝4S ＋0.6.由题意知，4S ＋0.6＝1，∴S ＝0.1.又10n＝0.1，∴n ＝100. 9．解 (1)画茎叶图、中间数为数据的十位数．从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些．乙发挥比较稳定，总体情况比甲好．(2)x 甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33. x 乙＝33＋29＋38＋34＋28＋366＝33. s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的极差为11，乙的极差为10.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．10．解 (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0．000 3×(3 500－3 000)＝0.15.(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－(0.1＋0.2)0.000 5＝2 000＋400＝2 400(元)． (3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0．000 5×(3 000－2 500)＝0.25，所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)，再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25(人)． 11．52.5%解析 结合直方图可以看出：生产数量在[55,65)的人数频率为0.04×10＝0.4，生产数量在[65,75)的人数频率为0.025×10＝0.25，而生产数量在[65,70)的人数频率约为0.25×12＝0.125，那么生产数量在[55,70)的人数频率约为0.4＋0.125＝0.525，即52.5%.。