空间几何体知识点归纳

第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：（1）.在已知图形中取相互垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于O 。

画直观图时，把它们画成对应的'x 轴与'y 轴，两轴交于点'O ，且使'''45(135)x O y ∠=︒︒或，它们确定的平面表示水平面。

（2）.已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴或'y 轴的线段；（3）.已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积24R S π=（二）空间几何体的体积1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积334R V π=222r rl S ππ+=基础练习1选择题1．如图的组合体的结构特征是( )A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台[答案] C2．有下列命题：①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．其中正确的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] B3．(2013～2014·模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的( )[答案] A4．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(1)(5)[答案] D5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是( )A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π 解析：设圆锥底面半径为R ，∴12·2R ·3R ＝3，∴R ＝1，母线l 长为2， ∴S 全＝πR 2＋πRl ＝π＋2π＝3π. 答案：A6．长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是( ) A ．6 3 B ．3 6 C ．11 D ．12解析：设长方体长、宽、高分别为a ，b ，c ，不妨设ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3. 答案：A7．(2013·卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )A．V1<V2<V4<V3B．V1<V3<V2<V4C．V2<V1<V3<V4D．V2<V3<V1<V4答案：C8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是( )A．1∶3 B．1∶(3－1)C．1∶9 D.3∶2解析：由题意可知，截面面积与底面面积之比为1∶3，∴截面半径与底面半径之比为1∶3，∴这两段母线长之比为1∶3－1.答案：B二、填空题1．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．[答案] 圆柱2．已知一个体接于一个球，过球心作一截面，则下图中，截面不可能是________(填序号)．[答案] ④3．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF、PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是________．解析：三个几何体都是棱柱． 答案：34．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．解析：通过三视图还原三棱柱直观图如图所示，通过正视图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为矩形，上下底面为正三角形，∴S 表＝3×(2×1)＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22＝6＋2 3. 答案：6＋235．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2πcm ，高为2 cm ，AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、BC 是母线，若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是________cm(结果保留根式)．答案：2 26．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，圆台的表面积是（ ）分析：由题目可获取以下主要信息：①求圆台的表面积应考虑上、下底面及侧面积；②上、下底面面积易得，主要求侧面积．解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．解析：如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角是180°，故C＝π·SA＝2π×10，∴SA＝20，同理可得SB＝40，∴AB＝SB－SA＝20，∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100πcm2.7 .如右图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中接一个高为3的圆柱，圆柱的表面积为（）解析：圆锥高h＝42－22＝23，画轴截面积图(如右图)，则323＝2－x2.故圆锥接圆柱的底半径x＝1.则圆柱的表面积S＝2π×12＋2π×1×3＝(2＋23)π.答案：(2＋2 3 )π强化提升一选择题1．在棱柱中( )A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行[答案] D2．下列命题中，正确的是( )A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形[答案] D3．(2012－2013·高一检测)如下图都是体的表面展开图，还原成体后，其中两个完全一样的是( )A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] B[解析]在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同[解题提示] 让其中一个形不动，其余各面沿这个形的各边折起，进行想象后判断．4．下列说法不正确的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[答案] C5．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( ) A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[答案] B[解析]圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B. 6．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为( )A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台[答案] D7．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是( )A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] D8．(2012－2013·高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①②B．①③C．①④D．②④[答案] D[解析]①体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．[点评] 熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．下图是最基本的常见几何体的三视图.几何体直观图形正视图侧视图俯视图体长方体圆柱圆锥圆台球①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．10．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③形的直观图是形；④菱形的直观图是菱形．以上说确的是( )A．①B．①②C．③④D．①②③④[答案] B[解析]根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．二填空题1．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③水面EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是________．[答案]①③2．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________．[答案]②④⑤[解析]三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．3．由若干个小体组成的几何体的三视图如下图，则组成这个组合体的小体的个数是________．[答案] 5[解析]由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小体．4．(2012～2013·高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．[答案]①②③④5．(2012－2013·高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的体．[答案] 3[解析]该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A－A1B1C1D1，如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A－DD1C1C可以拼成一个棱长为4的体．6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________，点M′的找法是________．[答案]M′(4,2) 在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′.[解析]在x′轴的向上取点M1，使O1M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.7．如右图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是________． [答案] 10[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.8．如图，是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．[答案] 16[解析] 由图易知△AOB 中，底边OB ＝4， 又∵底边OB 的高为8， ∴面积S ＝12×4×8＝16.9．如图所示，形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________ [答案] 8 [解析] 原图形为OABC 为平行四边形， OA ＝1，AB ＝OA 2＋OB 2＝3，∴四边形OABC 周长为8.章节练习一、选择题1．右面的三视图所示的几何体是( )． A ．六棱台 B ．六棱锥C ．六棱柱D ．六边形 (第1题) 2．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为( )． A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶9D ．1∶81正视图 俯视图侧视图3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为( )．4．A ，B 为球面上相异两点，则通过A ，B 两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有( )． A ．一个 B ．无穷多个C ．零个D ．一个或无穷多个5．右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是( )． )．A B C D6．下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有( )． A ．1块 B ．2块 C ．3块 D ．4块7．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( )． A ．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同 B ．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴 C ．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变 D ．斜二测坐标系取的角可能是135°8．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．正(主)视图侧(左)视图 (第3题)正视图侧视图俯视图(第5题)(第6题)A．①②B．①③C．①④D．②④9．一体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是( )．A B C D10．如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列结论正确的是( )．A．原三角形的心的平行投影还是投影三角形的心B．原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心C．原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心D．原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心二、填空题11．一圆球形气球，体积是8 cm3，再打入一些空气后，气球仍然保持为球形，体积是27 cm3．则气球半径增加的百分率为．12．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是．13．右图是一多面体的展开图，每个面都给了字母，请根据要求回答问题：①如果A是多面体的下底面，那么上面的面是；(第13题)②如果面F在前面，从左边看是面B，那么上面的面是．14．一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是．三、解答题15．圆柱有一个四棱柱，四棱柱的底面是圆柱底面的接形．已知圆柱表面积为6p ，且底面圆直径与母线长相等，求四棱柱的体积．16．下图是一个几何体的三视图(单位：cm) (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积.17．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．俯视图A BC B ＇ A ＇ C ＇1 1 正视图B ＇B A ＇A 3 侧视图ABC1 (第16题)18．已知体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，试比较它们的体积V 体，V 球，V 圆柱的大小．19．如图，一个圆锥形容器的高为a ，装有一定量的水．如果将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为2a，求原来水面的高度．20．如图，四棱柱的底面是菱形，各侧面都是长方形．两个对角面也是长方形，面积分别为Q 1，Q 2．求四棱柱的侧面积．参考答案一、选择题 1．B解析：由正视图和侧视图可知几何体为锥体，由俯视图可知几何体为六棱锥． 2．A解析：由设两个球的半径分别为r ，R ，则 4p r 2∶4πR 2＝1∶9. ∴ r 2∶R 2＝1∶9， 即r ∶R ＝1∶3．3．C解析：在根据得到三视图的投影关系，∵正视图中小长方形位于左侧，∴小长方形也位于俯视图的左侧；∵小长方形位于侧视图的右侧，∴小长方形一定位于俯视图的下侧， ∴ 图C 正确．4．D解析：A ，B 不在同一直径的两端点时，过A ，B 两点的大圆只有一个；A ，B 在同一直(第20题)(第19题)径的端点时大圆有无数个．5．D解析：由几何体的正视图和侧视图可知，几何体上部分为圆锥体，由三个视图可知几何体下部分为圆柱体，∴ 几何体是由圆锥和圆柱组成的组合体．6．D解析：由三视图可知几何体为右图所示，显然组成几何体的长方体木块有4块．7．C解析：由平行于x 轴和z 轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中是原来的一半，∴ C 不对．8．D解析：①的三个视图均相同；②的正视图和侧视图相同；③的三个视图均不相同；④的正视图和侧视图相同．∴有且仅有两个视图相同的是②④．9．A解析：B 是经过体对角面的截面；C 是经过球心且平行于体侧面的截面；D 是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．10．B解析：在平行投影中线段中点在投影后仍为中点，故选B ． 二、填空题 11．50%．解析：设最初球的半径为r ，则8＝34p r 3；打入空气后的半径为R ，则27＝34p R 3． ∴ R 3∶r 3＝27∶8．∴ R ∶r ＝3∶2．∴气球半径增加的百分率为50%． 12．160．解析：依条件得菱形底面对角线的长分别是22515-＝200和2259-＝56． ∴菱形的边长为4256256220022=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛＝ 8． ∴棱柱的侧面积是5×4×8＝160． 13．F ，C ．解析：将多面体看成长方体， A ，F 为相对侧面．如果A是多面体的下底面，那么上面(第6题)的面是F ；如果面F 在前面，从左边看是面B ，则右面看必是D ，于是根据展开图，上面的面应该是C ．14．80．解析：由三视图可知，几何体是由棱长为4的体和底面边长为4，高为3的四棱锥组成，因此它的体积是V ＝43＋31×42×3＝64＋16＝80． 三、解答题15．参考答案：设圆柱底面圆半径为r ，则母线长为2r ．∵圆柱表面积为6p ，∴ 6p ＝2p r 2＋4p r 2． ∴ r ＝1．∵ 四棱柱的底面是圆柱底面的接形， ∴ 形边长为2．∴ 四棱柱的体积V ＝(2)2×2＝2×2＝4．16．(1)略．(2)解：这个几何体是三棱柱．由于底面△ABC 的BC 边上的高为1，BC ＝2，∴ AB ＝2．故所求全面积S ＝2S △ABC ＋S BB ′C ′C ＋2S ABB ′A ′＝8＋62(cm 2)．几何体的体积V ＝S △ABC ·BB ′＝21×2×1×3＝3(cm 3)． 17．解：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝p ×52＋p ×(2＋5)×5＋p ×2×22＝(60＋42)p ． V ＝V 台－V 锥＝31p(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31p r 2h 1＝3148p ． 18．解：设体的边长为a ，球的半径为r ，圆柱的底面直径为2R ，则6a 2＝4πr 2＝6πR 2＝S ．∴ a 2＝6S ，r 2＝π4S ，R 2＝π6S ． ∴(V 体)2＝(a 3)2＝(a 2)3＝36⎪⎭⎫ ⎝⎛S ＝2163S ， (V 球)2＝23π34⎪⎭⎫ ⎝⎛r ＝916π2(r 2)3＝916π23π4⎪⎭⎫ ⎝⎛S ≈1083S ， (V 圆柱)2＝(πR 2×2R )2＝4π2(R 2)3＝4π23π6⎪⎭⎫ ⎝⎛S ≈1623S ．∴V 体＜V 圆柱＜V 球．19．解：设水形成的“圆台”的上下底面半径分别为r ，R ，高为h ，则R r ＝a h a -． 则依条件得3π·h ·(r 2＋rR ＋R 2)＝3π·2a ·22⎪⎭⎫ ⎝⎛R ，化简得(h －a )3＝－87a 3． 解得h ＝a －873a ． 即h ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-271a ． 20．解：设底面边长为a ，侧棱长为l ，底面的两对角线长分别为c ，d ．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧③ ＝ 21 ＋ 21② ＝ ① ＝ 22221a d c Q dl Q cl ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ 由 ① 得c ＝l Q 1，由 ② 得d ＝l Q 2，代入 ③ 得212⎪⎭⎫ ⎝⎛l Q ＋222⎪⎭⎫ ⎝⎛l Q ＝a 2． ∴21Q ＋22Q ＝4l 2a 2， ∴2la ＝2221＋Q Q ．故S 侧＝4al ＝22221＋Q Q ．33(第20题)。