ANSYS粘弹性材料Prony总结
CAE-ANSYS Mechanical介绍(超弹性、粘弹性)
应用多种超弹性本构的案例：膝盖韧带分析
Cartilage(软骨) Isotropic Mooney-Rivlin
Ligament(韧带) Transversely isotropic Neo-Hookean
Meniscus(半月板)
Fung
W
2
I1
3
F2 (I4 )
Orthotropic Hyperelastic:
i 1
2i
3 i
3
第三类分子统计学本构模型，Neo-Hookean、Gent。
W
2
I1
3
5
超弹性模型 介绍
6
超弹性模型 选择
• 2阶项的 Mooney-Rivlin模型（ANSYS提供2,3,5,9参数的 模型）
W C1I1 3 C2 I2 3
W C1(I1 3) C2 (I2 3) C3 (I1 3)(I2 3)
Cauchy应力 剪切松弛模量 Green应变
t
0
2G t
de
d
d
t
I 0
K
t
d
d
d
式中σ——Cauchy应力(真实应力)
G(t)——为剪切松弛核函数
K(t)——为体积松弛核函数(由于体积几乎不变，可不考虑)
e——为应变偏量部分(剪切变形)
Δ——为应变体积部分(体积变形)
t——当前时间
τ——过去时间
粘弹性模型 静态 时温等效
• 时温等效原理 升高温度与延长时间对分子运动或高聚物的粘弹行为都
是等效的，这个等效性可以借助转换因子aT，将在某一温度 下测定的力学数据转换成另一温度下的数据.
静态下，升高温度与延长时间等效 降低温度与缩短时间等效
ansys prony
在做粘弹性分析之前建议先看一些粘弹性理论方面的书籍，知道一些基本概念，在做粘弹性分析之前建议先看一些粘弹性理论方面的书籍，知道一些基本概念，ansys中粘弹性材料模型的参数可以直接指定，也可以通过蠕变或者松弛实验数据输入。
最终的参数是基本单元的数目，基本单元对应的迟豫时间，各单元的相对剪切模量，各单元的相对体积模量，初始剪切模量，初始泊松比。
以上是一位高人告诉我的,我也不是特别清楚,下面是一篇关于粘弹性模型的帖子,你看看吧转贴一篇大海之子和dengnch两位学兄写的帖子，原来发在有限元联盟，希望对你有帮助。
ANSYS中粘弹性材料的参数意义：我用的材料知道时温等效方程（W.L.F.方程），ANSYS 中的本构模型用MAXWELL模型表示。
１．活化能与理想气体常数的比值（Tool-Narayanaswamy Shift Function）或者时温方程的第一个常数。
２．一个常数当用Tool-Narayanaswamy Shift Function（这个方程我不懂）的方程描述，或者是时温方程第２个常数３．定义体积衰减函数的MAXWELL单元数（在时温方程中用不到）４．时温方程的参考温度５．决定１、２、３、４参数的值６－１５定义体积衰减函数的系数，１６－２５定义fictive temperature的松弛时间这２０个数最终用来定义fictive temperature（在理论手册中介绍，不用在时温方程中）２６－３０和３１－３５分别定义了材料在不同物理状态时的热扩散系数３６－４５用来定义fictive temperature的fictive temperature的一些插值一类的数值，时温方程也用不到４６剪切模量开始松弛的值４７松弛时间无穷大的剪切模量的值４８体积模量开始松弛的值４９松弛时间无穷大的体积模量的值５０描述剪切松弛模量的MAXWELL模型的单元数５１－６０拟合剪切松弛模量的prony级数的系数值６１－７０拟合剪切松弛模量的prony级数的指数系数值（形式参看理论手册）７１描述体积松弛模量的MAXWELL模型的单元数７６－８５拟合体积松弛模量的prony级数的系数值８５－９５拟合体积松弛模量的prony级数的指数系数值（形式参看理论手册）进入ansys非线性粘弹性材料有两项：（1）maxwell(麦克斯韦)模型前面大海之子兄弟介绍了，最多可以输入95个常数（2）prony(普朗尼）模型这个模型下面又有三项：（a)shear Responsea1: 即理论中的C1-Relative modulus: 相对剪切模量t1: 即理论中的C2-Relative time: 相对时间（b） Volumetric Response（容积响应）a1: 即理论中的C1-Relative modulus: 相对弹性模量t1: 即理论中的C2-Relative time: 相对时间（c） Shift function (转换函数)有三项可以选择：（I） William-Landel, ferry: 时温等效方程Tref: 即理论中的C1-Relative temperature: 相对温度（对应《粘弹性理论》中的时温等效方程（WFL方程）应该是玻璃化转变温度）C1,C2: 没有什么好说的了，就是WFL方程的常量，与材料有关；（II） Tool-Narayanaswamy 方程Tref: 即理论中的C1-Relative temperature: 相对温度（应该是玻璃化转变温度）C1: 没有什么好说的了，就是TN常量；（III）用户定义Tref: 即理论中的C1-Relative temperature: 相对温度（应该是玻璃化转变温度）C1: 没有什么好说的了，就是方程的常量；-------------------------------------------------------------------------我做的结构是夹层板壳结构，就是利用粘弹性材料剪切耗能，师兄用nastran计算的时候，对粘弹性材料，只输入了粘弹性材料的剪切模量，我认为至少没考虑温度，另外还有频率问题。
workbench建立橡胶的超弹性和粘弹性本构模型
10分钟教你Ansys workbench建立橡胶的超弹性和粘弹性本构模型Ansys workbench橡胶-聚合物-天然橡胶-硅橡胶-聚氨酯等粘弹性本构模型的建立需要具体指导可以重要截图如下：补充：ANSYS 粘弹性材料1.1ANSYS 中表征粘弹性属性问题粘弹性材料的应力响应包括弹性部分和粘性部分，在载荷作用下弹性部分是即时响应的，而粘性部分需要经过一段时间才能表现出来。
一般的，应力函数是由积分形式给出的，在小应变理论下，各向同性的粘弹性本构方程可以写成如下形式：()()002t t de d G t d I K t d d d σττττττ∆=-+-⎰⎰(1)其中σ＝Cauchy 应力()G t ＝为剪切松弛核函数()K t ＝为体积松弛核函数e ＝为应变偏量部分（剪切变形）∆＝为应变体积部分（体积变形）t ＝当前时间τ＝过去时间I ＝为单位张量。
该式是根据松弛条件本构方程(1)，通过将一点的应变分解为应变球张量（体积变形）和应变斜张量（剪切变形）两部分，推导而得的。
这里不再敖述，可参考相关文献等。
ANSYS 中描述粘弹性积分核函数()G t 和()K t 参数表示方式主要有两种，一种是广义Maxwell 单元（VISCO88和VISCO89）所采用的Maxwell 形式，一种是结构单元所采用的Prony 级数形式。
实际上，这两种表示方式是一致的，只是具体数学表达式有一点点不同。
1.2Prony 级数形式用Prony 级数表示粘弹性属性的基本形式为：()1exp G n i G i i t G t G G τ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑(2)()1exp K n i K i i t K t K K τ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑(3)其中，G ∞和i G 是剪切模量，K ∞和i K 是体积模量，G i τ和K i τ是各Prony 级数分量的松弛时间(Relative time)。
再定义下面相对模量(Relative modulus)0G i i G G α=(4)0K i i K K α=(5)其中，0G ，0K 分别为粘弹性材质的瞬态模量，并定义式如下：()010G n i i G G t G G ∞====+∑(6)()010Kn i i K K t K K ∞====+∑(7)在ANSYS 中，Prony 级数的阶数G n 和K n 可以不必相同，当然其中的松弛时间G i τ和K i τ也不必相同。
最新ANSYS常用材料弹性模量及泊松比摩擦系数汇总
A N S Y S常用材料弹性模量及泊松比摩擦系数CAE常用材料弹性模量及泊松比摩擦系数摩擦系数━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━摩擦副材料摩擦系数μ无润滑有润滑────────────────────────钢-钢 0.15* 0.1-0.12*0.1 0.05-0.1钢-软钢 0.2 0.1-0.2钢-不淬火的T8 0.15 0.03钢-铸铁 0.2-0.3* 0.05-0.150.16-0.18钢-黄铜 0.19 0.03钢-青铜 0.15-0.18 0.1-0.15*0.07钢-铝 0.17 0.02钢-轴承合金 0.2 0.04钢-夹布胶木 0.22 -钢-钢纸 0.22 -钢-冰 0.027* -0.014石棉基材料-铸铁或钢 0.25-0.40 0.08-0.12皮革-铸铁或钢 0.30-0.50 0.12-0.15材料(硬木)-铸铁或钢 0.20-0.35 0.12-0.16 软木-铸铁或钢 0.30-0.50 0.15-0.25钢纸-铸铁或钢 0.30-0.50 0.12-0.17毛毡-铸铁或钢 0.22 0.18软钢-铸铁 0.2*,0.18 0.05-0.15软钢-青铜 0.2*,0.18 0.07-0.15铸铁-铸铁 0.15 0.15-0.160.07-0.12铸铁-青铜 0.28* 0.16*0.15-0.21 0.07-0.15铸铁-皮革 0.55*,0.28 0.15*,0.12铸铁-橡皮 0.8 0.5皮革-木料 0.4-0.5* -0.03-0.05铜-T8钢 0.15 0.03铜-铜 0.20 -黄铜-不淬火的T8钢 0.19 0.03黄铜-淬火的T8钢 0.14 0.02黄铜-黄铜 0.17 0.02黄铜-钢 0.30 0.02黄铜-硬橡胶 0.25 -黄铜-石板 0.25 -黄铜-绝缘物 0.27 -青铜-不淬火的T8钢 0.16 -青铜-黄铜 0.16 -青铜-青铜 0.15-0.20 0.04-0.10 青铜-钢 0.16 -青铜-夹布胶木 0.23 -青铜-钢纸 0.24 -青铜-树脂 0.21 -青铜-硬橡胶 0.36 -青铜-石板 0.33 -青铜-绝缘物 0.26 -铝-不淬火的T8钢 0.18 0.03 铝-淬火的T8钢 0.17 0.02铝-黄铜 0.27 0.02铝-青铜 0.22 -铝-钢 0.30 0.02铝-夹布胶木 0.26 -硅铝合金-夹布胶木 0.34 -硅铝合金-钢纸 0.32 -硅铝合金-树脂 0.28 -硅铝合金-硬橡胶 0.25 -硅铝合金-石板 0.26 -硅铝合金-绝缘物 0.26 -钢-粉末冶金 0.35-0.55* -木材-木材 0.4-0.6* 0.1*0.2-0.5 0.07-0.10麻绳-木材 0.5-0.8* -0.545号淬火钢-聚甲醛 0.46 0.01645号淬火钢-聚碳酸脂 0.30 0.0345号淬火钢-尼龙9(加 0.57 0.023%MoS2填充料)45号淬火钢-尼龙9(加 0.48 0.02330%玻璃纤维填充物)45号淬火钢-尼龙1010 0.039 -(加30%玻璃纤维填充物)45号淬火钢-尼龙1010 0.07 -(加40%玻璃纤维填充物)45号淬火钢-氯化聚醚 0.35 0.03445号淬火钢-苯乙烯 0.35-0.46 0.018-丁二烯-丙烯腈共聚体(ABS)━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━注:1.表中滑动摩擦系数是试验数值,只能作为近似计算参考.2.表中带"*"者为静摩擦系数.各种工程用塑料的摩擦系数━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━下试样上试样(钢) 上试样(塑料)静摩擦动摩擦静摩擦动摩擦(塑料) 系数μs系数μk系数μs系数μk──────────────────────────聚四氟乙烯 0.10 0.05 0.04 0.04聚全氟乙丙烯 0.25 0.18 - -低密度聚乙烯 0.27 0.26 0.33 0.33高密度聚乙烯 0.18 0.08-0.12 0.12 0.11聚甲醛 0.14 0.13 - -聚偏二氟乙烯 0.33 0.25 - -聚碳酸酯 0.60 0.53 - -聚苯二甲酸乙 0.29 0.28 0.27* 0.20*二醇酯聚酰胺(尼龙66) 0.37 0.34 0.42* 0.35*聚三氟氯乙烯 0.45* 0.33* 0.43* 0.32*聚氯乙烯 0.45* 0.40* 0.50* 0.40*聚偏二氯乙烯 0.68* 0.45* 0.90* 0.52*━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━注:*表示粘滑运动.常用材料的滚动摩擦系数━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━摩擦副材料滚动摩擦系数 k,cm────────────────────淬火钢-淬火钢 0.001铸铁-铸铁 0.05木材-钢 0.03-0.04木材-木材 0.05-0.08铁或钢质车轮-木面 0.15-0.25钢质车轮-钢轨 0.05━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━注:表中滚动摩擦系数是试验值,只能作近似参考.材料弹性模量及泊松比━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━名称弹性模量 E 切变模量 G 泊松比μGPa GPa─────────────────────────镍铬钢 206 79.38 0.25-0.30合金钢 206 79.38 0.25-0.30碳钢 196-206 79 0.24-0.28铸钢 172-202 0.3球墨铸铁 140-154 73-76 0.23-0.27灰铸铁 113-157 44 0.23-0.27白口铸铁 113-157 44 0.23-0.27冷拔纯铜 127 48轧制磷青铜 113 41 0.32-0.35轧制纯铜 108 39 0.31-0.34轧制锰青铜 108 39 0.35铸铝青铜 103 41冷拔黄铜 89-97 34-36 0.32-0.42轧制锌 82 31 0.27硬铝合金 70 26轧制铝 68 25-26 0.32-0.36 铅 17 7 0.42玻璃 55 22 0.25混凝土 14-23 4.9-15.7 0.1-0.18 纵纹木材 9.8-12 0.5横纹木材 0.5-0.98 0.44-0.64橡胶 0.00784 0.47电木 1.96-2.94 0.69-2.06 0.35-0.38 尼龙 28.3 10.1 0.4可锻铸铁 152拔制铝线 69大理石 55花岗石 48石灰石 41尼龙1010 10.7夹布酚醛塑料 4-8.8石棉酚醛塑料 1.3高压聚乙烯 0.15-0.25低压聚乙烯 0.49-0.78聚丙烯 1.32-1.42。
ANSYS弹性及塑性分析非常经典
目录什么是塑性 (1)路径相关性 (1)率相关性 (1)工程应力、应变与真实应力、应变 (1)什么是激活塑性 (2)塑性理论介绍 (2)屈服准则 (2)流动准则 (3)强化准则 (3)塑性选项 (5)怎样使用塑性 (6)ANSYS输入 (7)输出量 (7)程序使用中的一些基本原则 (8)加强收敛性的方法 (8)查看结果 (9)塑性分析实例（GUI方法） (9)塑性分析实例（命令流方法） (14)弹塑性分析在这一册中,我们将详细地介绍由于塑性变性引起的非线性问题--弹塑性分析,我们的介绍人为以下几个方面:•什么是塑性•塑性理论简介•ANSYS程序中所用的性选项•怎样使用塑性•塑性分析练习题什么是塑性塑性是一种在某种给定载荷下,材料产生永久变形的材料特性,对大多的工程材料来说,当其应力低于比例极限时,应力一应变关系是线性的。
另外,大多数材料在其应力低于屈服点时，表现为弹性行为，也就是说，当移走载荷时，其应变也完全消失。
由于屈服点和比例极限相差很小，因此在ANSYS程序中，假定它们相同。
在应力一应变的曲线中，低于屈服点的叫作弹性部分，超过屈服点的叫作塑性部分，也叫作应变强化部分。
塑性分析中考虑了塑性区域的材料特性。
路径相关性：即然塑性是不可恢复的，那么这种问题的就与加载历史有关，这类非线性问题叫作与路径相关的或非保守的非线性。
路径相关性是指对一种给定的边界条件，可能有多个正确的解—内部的应力，应变分布—存在，为了得到真正正确的结果，我们必须按照系统真正经历的加载过程加载。
率相关性：塑性应变的大小可能是加载速度快慢的函数，如果塑性应变的大小与时间有关，这种塑性叫作率无关性塑性，相反，与应变率有关的性叫作率相关的塑性。
大多的材料都有某种程度上的率相关性，但在大多数静力分析所经历的应变率范围，两者的应力－应变曲线差别不大，所以在一般的分析中，我们变为是与率无关的。
工程应力，应变与真实的应力、应变：塑性材料的数据一般以拉伸的应力—应变曲线形式给出。
ANSYS弹性及塑性（详细、全面）1讲解
ANSYS弹性及塑性（详细、全⾯）1讲解⽬录什么是塑性 (1)路径相关性 (1)率相关性 (1)⼯程应⼒、应变与真实应⼒、应变 (1)什么是激活塑性 (2)塑性理论介绍 (2)屈服准则 (2)流动准则 (3)强化准则 (3)塑性选项 (5)怎样使⽤塑性 (6)ANSYS输⼊ (7)输出量 (7)程序使⽤中的⼀些基本原则 (8)加强收敛性的⽅法 (8)查看结果 (9)塑性分析实例（GUI⽅法） (9)塑性分析实例（命令流⽅法） (14)弹塑性分析在这⼀册中,我们将详细地介绍由于塑性变性引起的⾮线性问题--弹塑性分析,我们的介绍⼈为以下⼏个⽅⾯:什么是塑性塑性理论简介ANSYS程序中所⽤的性选项怎样使⽤塑性塑性分析练习题什么是塑性塑性是⼀种在某种给定载荷下,材料产⽣永久变形的材料特性,对⼤多的⼯程材料来说,当其应⼒低于⽐例极限时,应⼒⼀应变关系是线性的。
另外,⼤多数材料在其应⼒低于屈服点时，表现为弹性⾏为，也就是说，当移⾛载荷时，其应变也完全消失。
由于屈服点和⽐例极限相差很⼩，因此在ANSYS程序中，假定它们相同。
在应⼒⼀应变的曲线中，低于屈服点的叫作弹性部分，超过屈服点的叫作塑性部分，也叫作应变强化部分。
塑性分析中考虑了塑性区域的材料特性。
路径相关性：即然塑性是不可恢复的，那么这种问题的就与加载历史有关，这类⾮线性问题叫作与路径相关的或⾮保守的⾮线性。
路径相关性是指对⼀种给定的边界条件，可能有多个正确的解—内部的应⼒，应变分布—存在，为了得到真正正确的结果，我们必须按照系统真正经历的加载过程加载。
率相关性：塑性应变的⼤⼩可能是加载速度快慢的函数，如果塑性应变的⼤⼩与时间有关，这种塑性叫作率⽆关性塑性，相反，与应变率有关的性叫作率相关的塑性。
⼤多的材料都有某种程度上的率相关性，但在⼤多数静⼒分析所经历的应变率范围，两者的应⼒－应变曲线差别不⼤，所以在⼀般的分析中，我们变为是与率⽆关的。
⼯程应⼒，应变与真实的应⼒、应变：塑性材料的数据⼀般以拉伸的应⼒—应变曲线形式给出。
ansys高级非线性分析五粘弹性
粘塑性
A. 粘塑性背景
Training Manual
• 与前述的率无关塑性相反, 率相关塑性与应变速率或时间有关。从
材料的观点看, 粘塑性 和蠕变是相同的。
– 通常, 对工程用途, 蠕变用于描述在恒载荷下应变的变化。通常当温度 达到材料熔点的30-60%时, 蠕变变形就很重要，而且, 时间更长，蠕 变和塑性应变解耦。
Training Manual
记住首先定义线弹性材 料(EX 和 PRXY)。
否则, 当定义粘塑性时, 材料GUI将提示该信息。
第112页/共34页
Advanced Structural Nonlinearities 6.0
粘塑性
... 定义 RATE 材料特性
• 本例中选择了双线性等向强化的各向异性粘塑性。
• 当输入RATE常数后, 会出现率无关塑性参数对话框。
– 该例中, 输入双线性等向强化模型( BISO)的值, 即屈服应力和剪切模 量。
第143页/共34页
粘塑性
... 定义 RATE 材料特性
• 最后, 需要输入HILL参数来指定各向异性。
– 下面对话框中需要输入6个应力比率。
Training Manual
have different time scales
type problems
Temperature effects included as Can input temperature-dependent Anand's equation considers
part of equation (or material material constants, but equations do temperature effects directly. No
ansys高级非线性分析七粘弹性
September 30, 2001 Inventory #001491 7-4
粘弹性
... 粘弹性理论背景
Training Manual
Advanced Structural Nonlinearities 6.0
• 粘弹性是率相关行为 材料特性可能与时间和温度都有关，粘弹性 粘弹性是率相关行为, 响应可看作由弹性和粘性部分组成。 响应可看作由弹性和粘性部分组成。
响应
t
ε = constant
(plus delta function)
ε
←δ(t-to)
加载
t
响应
t
September 30, 2001 Inventory #001491 7-14
粘弹性
... Kelvin-Voigt 模型
• Kelvin-Voigt 模型有以下特征 模型有以下特征:
– 对蠕变 在外载作用下 应变是指数的并渐近至 σo/E 对蠕变, 在外载作用下,
– 首先定义一些常用的术语 – 通过使用一维流变模型来解释线性粘弹性行为，这将有助于说明广义 通过使用一维流变模型来解释线性粘弹性行为， Maxwell 模型的基本特征。 模型的基本特征。 – 使用所有粘弹性材料通用的一般输入要求。 使用所有粘弹性材料通用的一般输入要求。 – 焦点将转至 WLF 偏移函数和聚合物。 偏移函数和聚合物。 – 将他讨论 TN偏移函数及其对玻璃材料的适用性。 偏移函数及其对玻璃材料的适用性。 偏移函数及其对玻璃材料的适用性
η
September 30, 2001 Inventory #001491 7-11
粘弹性
... Maxwell 模型
• Maxwell模型是一个串联的弹簧和阻尼器。 模型是一个串联的弹簧和阻尼器。 模型是一个串联的弹簧和阻尼器 σ spring = σ dashpot
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ANSYS 粘弹性材料
1.1 ANSYS 中表征粘弹性属性问题
粘弹性材料的应力响应包括弹性部分和粘性部分，在载荷作用下弹性部分是即时响应的，而粘性部分需要经过一段时间才能表现出来。
一般的，应力函数是由积分形式给出的，在小应变理论下，各向同性的粘弹性本构方程可以写成如下形式：
()()002t t de d G t d I K t d d d σττττττ
∆=-+-⎰⎰ (1) 其中
σ＝Cauchy 应力
()G t ＝为剪切松弛核函数
()K t ＝为体积松弛核函数
e ＝为应变偏量部分（剪切变形）
∆＝为应变体积部分（体积变形）
t ＝当前时间
τ＝过去时间
I ＝为单位张量。
该式是根据松弛条件本构方程(1)，通过将一点的应变分解为应变球张量（体积变形）和应变斜张量（剪切变形）两部分，推导而得的。
这里不再敖述，可参考相关文献等。
ANSYS 中描述粘弹性积分核函数()G t 和()K t 参数表示方式主要有两种，一种是广义Maxwell 单元（VISCO88 和 VISCO89）所采用的Maxwell 形式，一种是结构单元所采用的Prony 级数形式。
实际上，这两种表示方式是一致的，只是具体数学表达式有一点点不同。
1.2 Prony 级数形式
用Prony 级数表示粘弹性属性的基本形式为：
()1exp G n i G i i
t G t G G τ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑ (2) ()1exp K n i K i i t K t K K τ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
∑ (3) 其中，G ∞和i G 是剪切模量，K ∞和i K 是体积模量，G i τ和K i τ是各Prony 级数分量的松弛时
间(Relative time)。
再定义下面相对模量(Relative modulus)
0G i i G G α= (4)
0K i i K K α= (5)
其中，0G ，0K 分别为粘弹性材质的瞬态模量，并定义式如下：
()010G
n i i G G t G G ∞====+∑ (6)
()010K
n i i K K t K K ∞====+∑ (7)
在ANSYS 中，Prony 级数的阶数G n 和K n 可以不必相同，当然其中的松弛时间G i τ和K
i τ也不必相同。
对于粘弹性问题，粘弹体的泊松比一般是取为时间的函数()t μμ=。
不过有时情况允许也可近似设为常数，这时根据弹性常数关系就有：
()()
()
()()()21312E t G t E t K t μμ=+=- (8)
其中，()E t 为松弛模量，由实验来确定。
()()(),,E t G t K t 的相应系数比相同。
这样就可以将()G t 和()K t 统一于()E t 形式。
若我们将松弛模量表示为Prony 级数形式，即：
()1exp n i i i t E t E E τ∞=⎛⎫=+-
⎪⎝⎭
∑ (9) 于是，()G t 和()K t 中有，G K n n n ==，(Relative Time)G K i i i τττ==，(Relative
Modulus)G K i i i ααα==。
类似于0G 、0K ，我们也同样定义瞬态松弛模量0E ： ()010G
n i i E E t E E ∞====+∑ (10)
这样，由错误!未找到引用源。
可得
()()000
021312E G E K μμ=
+=- (11)
1.3 Shift Function ：
Shift function (转换函数)
有三项可以选择：
(a) William-Landel, ferry: 时温等效方程, 适用于聚合体
Tref: 即理论中的C1-Relative temperature: 相对温度（对应《粘弹性理论》中的时温等效方程（WFL 方程）应该是玻璃化转变温度）
C1,C2: WFL 方程的常量，与材料有关；
（b ） Tool-Narayanaswamy 方程
Tref: 理论中的C1-Relative temperature: 相对温度（应该是玻璃化转变温度） C1: 就是TN 常量；
(c) 用户定义
Tref: 理论中的C1-Relative temperature: 相对温度（应该是玻璃化转变温度）
C1: 方程的常量；
在使用PRONY 模拟时，SHIFT FUNCTION 不是一定要输入的，如果松弛模量E(t)与温度不相关，可以不用输入shift function.
1.4 PRONY 输入例子：
E 0=2.903153MPA v =0.495，松弛模量E(t)用Prony 级数表示为： 30130.73013.07301.307()0.7058860.1681690.098714 1.930384 (MPa)t
t t E t e e e ---=+++
0 2.903153MPa E =，0.495v =；根据(8)式，
11112222333330130.7, 0.0579
3013.07, 0.0340301.307, 0.6649
G K G K G K G K G K G K τταατταατταα============
参数输入情况分别如下图所示：
()()
base base T t T C T t T C T a -+-=)()(log )('2'110。