高二数学竞赛试题2
2001年锦州市“语数外”三科联赛高二数学
考生注意：本试卷满分100分，时间90分钟。
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）不等式|2001-x|+|11+x|＞25的解集是（）
（A）φ（B）(-1,3) （C）(-3,1) （D）(-∞,+∞)
（2）设a，b是满足ab＜0的实数，则（）
（A）|a+b|＜|a-b| （B）|a+b|＞|a-b|
（C）|a+b|＞|a|-|b| （D）|a-b|＜|a|+|b|
（3）两曲线(x-1)2+(y-1)2=8与xy=1的公共点的个数是（）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）0
（4）已在x2+y2=1，则3x+4y的最大值是（）
（A）5 （B）4 （C）3.5 （D）7
（5）直线Ax+By+1=0在y轴上的截距是-1，而它的倾斜角是直线x+y=2的倾斜角的一半，则A、B的值分别是（）
（A）,1 （B）-,1 （C）-,-1 （D）,-1
（6）直线的倾斜角θ满足sinθ+cosθ=，则直线的斜率为（）
（A）-（B）-（C）-或-（D）-4或-3
（7）两点M(m+2,n+2)和N(n-m,-n)关于直线4x+3y=11对称，则m与n的值分别是（）（A）-4，2 （B）4，-2 （C）2，4 （D）4，2
（8）当函数y=-(x＜0)取得最小值时，x的值等于（）
（A）-（B）-1 （C）-（D）-
（9）一批货物随17列货车从A市以vkm/h的平均速度运往B市，已知两地铁路长为400km，为了安全，
两列货车间距不得小于()2km，那么这批货物全部运到B市最快需要（）
（A）6小时（B）8小时（C）10小时（D）12小时
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
（10）已知函数f(n)=(n∈N)，则当n=_________时，f(n)最大。
（11）如图，△ABC的高AO在y轴正半轴上（O为原点），已知|AB|=4，|AC|=3，则△ABC的外接圆的方程是____________。
（12）已知圆x2+y2=25内一点P(1,-2)，则被P点平分的弦所在的直线方程是
___________。
（13）不等式|x|＞的解集是_________。
三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（14）（本小题满分11分）
已知圆的动弦P1P2垂直于直径A1A2，建立适当的坐标系，求直线P1A1与P2A2的交点M的轨迹方程。
（15）（本小题满分12分）
设函数f(x)=2x-(x≥1)
（Ⅰ）解不等式f(x)≥2；
（Ⅱ）求f(x)的最小值。
（16）（本小题满分12分）
某人上午7时，乘摩托艇以匀速vnmihe/h(4≤v≤20)从A港出发到距50nmihe的B港去，然后乘汽车以匀速ukm/h（30≤u≤100）自B港向距300km的C市驶去，应该在同一天16至21时到达C市。
设汽车、摩托艇所需时间分别是x，y小时，如果已知所需经费p=131-3x-2y元，那么，v，u分别是多少时，走得最经济？此时需花费多少元?。
高二数学竞赛试题及答案广东
高二数学竞赛试题及答案广东高二数学竞赛试题及答案（广东）试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
2. 解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
答案：1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的导数为\( f'(x) = 4x - 3 \)。
令\( f'(x) = 0 \)得\( x = \frac{3}{4} \)。
在区间[-1, 2]上，\( f(x) \)在\( x = \frac{3}{4} \)处取得最小值\( f\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{8} \)，在区间端点\( x = -1 \)和\( x = 2 \)处分别取得最大值\( f(-1) = 4 \)和\( f(2) = 5 \)。
2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)可以分解为\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，解得\( x = 2 \)或\( x = 3 \)。
试题二：不等式1. 证明不等式\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)在\( a, b > 0 \)时成立。
2. 解不等式\( |x - 1| + |x - 3| \geq 4 \)。
答案：1. 由于\( a, b > 0 \)，根据调和平均数与几何平均数的关系，有\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =2\sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot 2 \geq 4 \)。
2. 根据绝对值的性质，\( |x - 1| + |x - 3| \)表示数轴上\( x \)到1和3两点的距离之和。
当\( x \)在区间[1, 3]之外时，距离之和大于4。
安徽高二高中数学竞赛测试带答案解析
安徽高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．3.下列命题中是假命题的是（）A．对任意，B．对任意，C．存在，使D．存在，使4.在中，角，，的对边分别为，，，若，则等于（）A．B．C．D．5.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）A．1B．2C．4D．86.若是实数，则“且”是“对任意，有”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8.变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解不唯一，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．9.定义:数列前项的乘积.已知列的通项公式为，则下面的等式中正确的是（）A．B．C．D．10.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有（）条A．0B．1C．2D．无数个11.若直线过点，则的最小值等于（）A．5B．C．6D．12.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A．B．C．D．二、填空题1.不等式的解集为__________．2.在正四面体中，，，则异面直线和所成角的余弦值为___________．3.在中，，，的面积为，则的外接圆的半径为__________．4.设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为_________．三、解答题1.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.2.解关于的不等式组.3.在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且. （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.4.已知数列的前项和为，且.（1）若数列是等比数列，求的取值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和.5.如图，为等腰梯形的底边的中点，，将沿折成四棱锥，使.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.6.已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）若，求直线的方程；（3）已知为原点，求证：为定值.安徽高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】命题“若，则”是真命题，则根据逆否命题的等价性可知：命题“若，则”是真命题，故选C.2.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线的，，可得渐近线方程为，即有，故选B.3.下列命题中是假命题的是（）A．对任意，B．对任意，C．存在，使D．存在，使【解析】因为，故其最大值为，所以存在，使不正确，故选D.4.在中，角，，的对边分别为，，，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理可得，即，所以，解得，故选D5.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】由题意可得，解得，∴，故选A.6.若是实数，则“且”是“对任意，有”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若且，则对任意，有，反之，则不一定成立．如，且时，也有对任意，有．故“且”是“对任意，有”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．⑤判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系.7.设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵点在椭圆上，线段的中点在轴上，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故选A.8.变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解不唯一，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．【解析】不等式对应的平面区域如图：由得，若时，直线，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．若，则直线截距取得最大值时，取的最大值，此时满足直线与平行，此时，解得．若，则直线截距取得最大值时，取的最大值，此时满足直线与平行，此时，解得，综上满足条件的或，故实数的取值集合是，故选B.点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，结合取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合是解决本题的根据；作出不等式组对应的平面区域，利用取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论.9.定义:数列前项的乘积.已知列的通项公式为，则下面的等式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴∴，，故不正确；，，故不正确；，，故C正确；，，故不正确；故选C.10.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有（）条A．0B．1C．2D．无数个【答案】B【解析】设正方体的棱长为2，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，则，设，则，∴，∵直线与平面垂直，∴，解得，∵方程组只有唯一的一组解，∴与平面垂直的直线有1条，故选B.11.若直线过点，则的最小值等于（）A．5B．C．6D．【答案】C【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．12.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，代入椭圆方程得，相减得，∴，∵，，．∴，化为，又，解得，．∴椭圆的方程为，故选C.点睛：点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程，还可用于求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题等.二、填空题1.不等式的解集为__________．【答案】【解析】∵，∴原不等式等价于，其解集为，故答案为.2.在正四面体中，，，则异面直线和所成角的余弦值为___________．【答案】【解析】在正四面中，设向量，，，则三个向量两两夹角为，设正四面体的棱长等于1，且，，，则∵中，，，∴，，，，∵，∴，即直线和所成角的余弦值为，故答案为.3.在中，，，的面积为，则的外接圆的半径为__________．【答案】2【解析】由，，得到，解得，根据余弦定理得：，解得，根据正弦定理得：（为外接圆半径），则，故答案为.点睛：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题；由度数和的值，利用三角形的面积公式表示出三角形的面积，让等于即可求出的值，由及的值，根据余弦定理即可求出的值，然后由和的值，再利用正弦定理即可求出三角形外接圆的半径.4.设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为_________．【答案】10【解析】∵，∴取最小值为1，取最大值为2．所以最大值，又∵，即最小值，所以，故答案为.三、解答题1.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.【答案】（1）见解析; （2）18.【解析】（1）根据每天生产甲乙两种产品分别为，吨，然后根据题目条件建立约束条件，列出不等式组即可；（2）根据（1）中的约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出的最大值.试题解析：（1）由题意可列，其表示如图阴影部分区域：（2）设该企业每天可获得的利润为万元，则.当直线过点时，取得最大值，所以.即该企业每天可获得的最大利润18万元.2.解关于的不等式组.【答案】①当时，不等式组的解集为；②当时，不等式组的解集为；③当时，不等式组的解集为；④当时，不等式组的解集为；⑤当时，不等式组的解集为.【解析】依据指数函数的单调性将不等式转化为，分为，和三种情形得其解；由于对应的两个零点为，应比较两零点的大小，结合第一个不等式，故而应分为，，，，五种情形.试题解析：由，得，当时，；当时，不存在；当时，；由，得.①当时，，又，所以原不等式组的解集为；②当时，，又，所以原不等式组的解集为；③当时，，又，所以原不等式组的解集为；④当时，，又不等式的解集为，所以原不等式组的解集为；⑤当时，，又，所以原不等式组的解集为；点睛：本题主要考查了分类讨论思想在解不等式中的应用，解题的关键是做到不重复不遗漏，确定讨论的标准；对于，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不变，同时除以一个负数不等号改变的性质，故对其分为，和三种情形；对于含有参数的一元二次不等式，按照以下三种情形进行分类：1、二次项系数的符号；2、对应函数零点的个数；3、对应函数零点的大小进行比较.3.在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且. （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）依据向量平行的坐标运算公式，利用正弦定理将边化为角，故可转化为，再根据三角形内角和以及诱导公式可得，故得；（2）余弦定理和基本不等式相结合可得面积最值.试题解析：（1）由得，，由正弦定理可得，，，，，又，.（2）的面积.由已知及余弦定理，得.又，故，当且仅当时，等号成立.因此面积的最大值为.4.已知数列的前项和为，且.（1）若数列是等比数列，求的取值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和.【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】（1）结合由已知等式易得递推式，可得，，的值，由等比数列的性质可得的值；（2）结合（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式；（3）由（2）得，利用裂项相消法得其前项和.试题解析：（1）由，得，当时，，即，所以，，依题意，，解得.（2）有（2）知，所以，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.（3）由（2）知，则.点睛：本题主要考查了等比数列的概念及其构造，等式以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.5.如图，为等腰梯形的底边的中点，，将沿折成四棱锥，使.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析; （2）.【解析】（1）取的中点为，由已知得，，从而面，由此能证明平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.试题解析：（1）证明：由题意可得为等边三角形，取的中点为，则，，，，又，，面，又，所以平面平面.（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，设面的法向量为，面的法向量，由，即，取，则，，；由，即，取，则，，，，所以二面角的余弦值为.6.已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）若，求直线的方程；（3）已知为原点，求证：为定值.【答案】（1），，;（2）或;（3）为定值.【解析】（1）将代入，得，由此能求出抛物线方程和焦点坐标；（2）设，及直线的方程，联立方程组结合韦达定理得，，由即，代入得的值，故可得其直线方程；（3）设，，写出直线的点斜式方程，将代入得，同理可得，利用整体代换思想得可得结果.试题解析：（1）将代入，得，所以抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为.（2）设，，设直线方程为，与抛物线方程联立得到，消去，得：，则由韦达定理得：，.由得，，又，，所以，，所以，，所以，，解得，所以，所求直线方程为或.（3）设，，直线的方程为：，即，令，得，同理可得：，又，，.所以，即为定值.。
高中数学竞赛二试题
高中数学竞赛二试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是有理数？A. √2B. πC. -1/3D. 02. 如果一个函数f(x)在x=a处可导，那么下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=a处一定连续B. f(x)在x=a处不一定连续C. f(x)在x=a处一定不连续D. 以上都不对3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，那么该数列的第10项是：A. 17B. 19C. 21D. 234. 在一个平面直角坐标系中，点A(1,2)和点B(4,6)，直线AB的斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么这个直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知等差数列的首项为3，公差为2，该数列的第5项是________。
7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点是________。
8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其外接圆的半径是________。
9. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，求直线l与x轴的交点坐标________。
10. 将圆x^2 + y^2 = 25沿着x轴正方向平移3个单位后，新的圆的方程是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。
12. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。
13. 已知椭圆的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0)，且椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于10。
求椭圆的方程。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：对于任意实数x和y，不等式(x + y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)总是成立。
15. 证明：如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
高二数学竞赛试题及答案.doc
高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。
假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。
高等数学高数2竞赛试题
命题人： 试卷分类（A 卷或B 卷） A五邑大学高等数学竞赛（第二组） 试 卷专业：班级：姓名： 学号：填空题（每小题3分，共15分） 1.1lim(123).xxxx →+∞++=2..x =⎰求3.20000(())()()lim .x f x x x f x f x x ∆→+∆+∆-'=∆设存在，求4.设()f x 在2x =处连续,且2()lim3,2x f x x →=- 则(2).f '=5.()cot 110lim .xx xx +-→=选择题（每小题3分，共15分）(将正确选项的字母填入括号内)1. 当0x →时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（ ） A 2x B 1cos x - C tan x x - D ln(1)x +.2.1402sin lim ()1x x x e x x e →⎛⎫++= ⎪ ⎪+⎝⎭A 1B -1C 0D 不存在.3. 设有三非零向量,,a b c 。
若0, 0a b a c ⋅=⨯= ，则b c ⋅=。
A 0B -1C 1D 34. 函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ).A 充分条件,但不是必要条件B 必要条件,但不是充分条件5.110(,)xdx f x y dy -⎰⎰=( )A 1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰； B1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰； C110(,)y dy f x y dx -⎰⎰； D110(,)ydy f x y dx -⎰⎰.8分，共24分）1. 求(1)sin ()(1)(1)x xf x x x x +=+- 的间断点, 并判别其类型.2. 设2sin x y e =求.y '3. 计算二重积分222()d d ,xy DI x x ye x y +=+⎰⎰其中:(1) D 为圆域221;x y +≤(2) D 由直线,1,1y x y x ==-=围成 .1. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上, 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m, 问观察者在距墙多 远处看图才最清楚(视角θ 最大) ?2. 计算半径为 a 的球的表面积.3.计算三重积分d d d ,x x y z Ω⎰⎰⎰其中Ω 为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域.1.证明02x π<≤时, 成立不等式sin 2.x x π≥2．()[,](),f x a b a b 设在上连续，在，内可导且0,a b <<试证存在,(,),a b ξη∈()().2a bf f ξηη+''=使。
[高二]希望杯数学竞赛试题(第二届第2试)
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第二届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第2试一、选择题1.映射:(,,,)(1,2,3)f a b c d →，如果10()()()()20f a f b f c f d <<，这样的映射共有A．23个 B．24个 C．25个 D．26个 2.曲线22116x y k k−=−与曲线22925225x y +=的焦距相等的充要条件是 A．16k <且0k ≠ B．0k >且16k ≠ C．016k << D．0k <或16k >3.定义在全体实数上的函数()f x ，满足：（1）33()()f x f x =（2）对任意12x x ≠，都有12()()f x f x ≠.则(1)(0)(1)f f f −++的值是A．0 B．1 C．-1 D．不能确定4.正方体表面正方形的对角线所在直线中有两条直线的距离是1，则此正方体的体积是A．1 B．或5. 33{(,)862,,}M x y x y xy x y R ==++≥∈，222{(,)8,,0}P x y x y t t R t ==+≤∈≠，若P M =∅∩，则有A．11t −<< B．44t −<< C．55t −<< D．1122t −<< 6.函数()arcsin(cos )arccos(sin )f x x x =+的值域是 A．3[,]22ππ− B．3[0,]2π C．[,]2ππ− D．[0,]π 7.把函数1()y f x −=的图象在坐标轴内以原点为旋转中心按逆时针方向旋转90度，得到A．()y f x =− B．()y f x =− C．1()y fx −=− D．()y f x =−− 8.过(,0)A p 作抛物线222(0)y p px p +=>的与对称轴垂直的弦12,PP O 为原点，则12POP ∠是A．直角 B．钝角 C．锐角 D．不确定9.设()arccos 2arcsin f x x x =+，则1()fx −是 A．sin ,[,]22x x ππ∈− B．cos ,[0,]x x π∈ C．sin ,[,]22x x ππ−∈− D．cos ,[0,]x x π−∈ 10.设,,||1,||1x y R x y ∈<<，记[]x 表示不超过x 实数的最大整数，则不等式[][][]x y x y +≤+的解集区域图是（此题改为作图题，选项略去）二、填空题11．集合{(,)||6||12||12|2|3|15,,}M x y x y x y x y R =−++=−++=∈中的元素的个数是_____.12．已知台体上、下底的面积分别为12,S S ，若与底面平行的平面把台体截成体积相等的两部分，则截面面积为_____.13．方程330x −=的全部负根之和是_____.14．以实数,x y 为自变量的函数2(,)u x y x =+15．过圆222610x y x y ++−+=与圆2266170x y x y +−−+=的交点的直线方程可表示为_____.16．{}x 表示不小于实数x 的最小整数，则222{log 1}{log 2}{log 1991}+++= _____. 17．函数arcsin arccos x y x=的值域是_____. 18．()f x 对任意12,x x R ∈都有1212()()()f x x f x f x −=+，则它的奇偶性是_____.19．定义在正整数上且函数值总是自然数的严格增函数()f n ，对任意,m n N +∈，当,m n 的最大公约数是1时，()()()f mn f m f n =×．若(180)180f =，则(1991)f =_____.20．正十二面体有20个顶点，30条棱，每一个顶点是3条棱的交点，这三条棱的另一个端点是正十二面体的另外3个顶点，我们称这3个顶点与前一个顶点是相邻的．在每个顶点处放上一个实数，要求每个顶点所放的实数恰是该顶点相邻的3个顶点处所放实数的算术平方值．设,M m 分别是这20个实数中最大的和最小的，则M m −的取值范围是_____.三、解答题21．直角三角形ABC 中AB AC =．用C 点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且椭圆过,A B 点．求这个椭圆的离心率．22．已知正四面体ABCD ，考察下列集合．X ：与四面体四个顶点的距离都相等的平面； Y ：X 中任意两平面的交线；Z ：Y 中任意两直线的交点；求：Z 中包含的元素数目，并指出Z 中各元素在空间的位置（也可画出Z 中各元素的空间位置并加以说明）．。
高二数学竞赛试题及答案
高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。
______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。
______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。
______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。
______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。
数学竞赛试题2篇
数学竞赛试题数学竞赛试题第一篇一、选择题1. 下面哪一个数是质数？A. 12B. 15C. 19D. 242. 一个长方形的周长是60厘米，如果它的宽度是10厘米，那么它的长度是多少？A. 35厘米B. 40厘米C. 45厘米D. 50厘米3. 某学校有800名学生，其中60%是男生。
男生的人数是多少？A. 480人B. 420人C. 360人D. 320人二、填空题1. 3 x 7 + 18 ÷ 3 = __________2. 5的三次方等于__________3. 两边都是直角的三角形叫做__________三角形。
4. 31 ÷ 5 的余数是__________。
三、解答题1. 某商店原价卖一件衣服是300元，现在降价20%。
现在这件衣服的售价是多少？2. 岳春今年8岁，她的姐姐岳秋比岳春大4岁。
到岳秋今年年龄的两倍时，岳春多大？3. 将20分钱分给4个人，每人分到几分？第二篇一、选择题1. 下面哪一个数是一个平方数？A. 16B. 21C. 27D. 322. 阿峰每天骑行沿着一条直线道路去上学，他早上以每小时20公里的速度骑行，回家时以每小时15公里的速度骑行。
如果他每天上学和回家所用的时间总和是5小时，那么离家多远的地方是他的学校？A. 50公里B. 60公里C. 70公里D. 80公里3. 某个数加上5的结果等于20，那么这个数是多少？A. 25B. 15C. 10D. 5二、填空题1. 齐天大圣孙悟空带了72只猴子去打妖怪，结果打死了3只，还剩下__________只。
2. 把120分钱分成3个相等的份额，每份是__________。
3. -12，-9，-6，-3，0，3，6，9，12 这些数中哪些是正数？三、解答题1. 小明从家里骑自行车去超市，骑了25分钟到达。
回家的路上，他以更快的速度骑行，只用了20分钟。
那么整个往返的路程共有多远？2. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了5个小时后，汽车的总里程是多少公里？3. 去年小明的身高是120厘米，今年他长高了20%。
汕尾高二数学竞赛试题及答案
汕尾高二数学竞赛试题及答案试题：一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 复数集CD. 无理数集2. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1，求f'(x)。
A. 6x^2 - 6xB. 6x^2 + 6xC. 6x^2 - 6x + 1D. 6x^2 + 6x - 13. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的符号是？A. 正B. 负C. 零D. 不确定4. 以下哪个不等式是正确的？A. √2 < πB. e > 2.72C. √3 > 1.7D. 1/3 < 0.35. 若cosθ = 1/3，且θ属于第一象限，求sinθ的值。
A. 2√2/3B. √2/3C. √5/3D. 2√5/3二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求第10项。
__________7. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，且a = 6，b = 3，求椭圆的面积。
__________8. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1在区间[-3,1]上的最大值为4，求f(x)的最小值。
__________9. 已知正方体的体积为64，求正方体的表面积。
__________10. 已知直线y = 3x + 2与抛物线y^2 = 4x相交于两点，求这两点的横坐标之和。
__________三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。
12. 解不等式：|x + 1| + |x - 2| ≤ 4。
13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f(x)的极值。
14. 已知点A(1,2)，B(4,6)，求直线AB的斜率及方程。
15. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求其前5项的和。
高二数学竞赛试题.doc
高二年级数学比赛题一 .选择题 :1.已知 f(x) 是 R 上的增函数，它的图像经过 A(0 ，-2） ,B(3 ，2），则不等式 |f(x+1)| ≥ 2 的解集为（ ） .(A)(- ∞ ,-1] ∪ [2,+ ∞) (B)[2,+ ∞ ) (C)(- ∞ ,-1] (D)[3,+∞ )2.设 x, y 知足 arccos(y-2)=arcsin(x-1), 则 3x+y 的取值范围是（）.(A)[5- 10 ,5+ 10 ](B) [5-10 ,6](C) [6, 8](D) [6,5+10 ]3.不等式 x-2-|x 2-4x+3| ≥ 0 的解集是（） .(A)[35 , 55 ](B)[22(C)(- ∞ ,35 ]∪ [55,+∞)(D)[2235 , 55 ]2 255 , 35 ]2 24. 已知椭圆 x2y21 上有三点 P i (x i ,y i ) (i=1,2,3) ，它们到同一焦点的距离分别为22a2 ad 1 ,d 2,d 3，则 d 1,d 2 ,d 3 成等差数列的充要条件是（ ）.(A) x 1,x 2,x 3 成等差数列 (B) y 1,y 2,y 3 成等差数列 (C) 上述同时建立 (D) (A),(B) 之外的条件5.方程 2x+2= |x+3| - |x-1| 的解有（ ）个 .(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 无量多个6.关于角 α, β , 若 sin α sin β +cos α cos β =0, 则 sin2α +sin2β的值等于（） .(A) 0(B) 1(C) 2(D)比 2大的数7.y=x-sinx 在区间 (0,2)上的单一性是（） .(A) 单一增添(B) 单一减少(C)先单一增添 ,后单一减少(D) 先单一减少 ,后单一增添8.椭圆 x2 y 2(a>b>0) 上的两焦点为 F 1 , F 2 ， M 为椭圆上与 F 1 , F 2 不共线的随意一221ab点， I 为△ MF 1F 2 的心里，延伸 MI 交线段 F 1F 2 于 N ， 则 |MI| : |NI|的值等于（） .aab (D)c (A)(B)(C)abcc9.平面直角坐标系中， O 为原点，已知 A （3，1），B （ -1，3），若点 C 知足 OC OA OB ,此中 α +β =1，则点 C 的轨迹方程为（ ） .(A) 3x+2y-11=0(B) (x-1) 2+(y-2) 2=5 (C) 2x-y=0(D) x+2y-5=0210.若 a ≤ -1 ,则不等式x 1≥ a 的解集是（） .x(A) (- ∞ ,-1](B) [1,+ ∞ )(C) (- ∞ ,-1]∪ [1,+ ∞ ) (D) [-1,1]二 .填空题 :11.函数 y= 1与 y=2x4x 的图像有两个交点 (x 1,y 1), (x 2 ,y 2),则式子 x 1 -y 1+x 2-y 2= .12.acosx+bsinx=c ,x ∈ (0,π)有两根 α , β , 则 sin(α +β )=.2是在 (-∞ ,3)上的减函数，则 a 的取值范围是.13.函数 f(x)=2ax+4(a-3)x+52214.y= 54x x4 4xx 的值域是.15.已知直线 y=x+1 与椭圆x 2 y 21 (0<b<a<3)有两个交点， 则椭圆的离心率22e 的取值ab4范围是.16.椭圆x2y21与抛物线 x 2-y+m=0 有 2 个交点，则 m 的取值范围是.2m62-1) 都建立的实数 x 的取值范围是.17.关于 |m|≤ 1 的一确实数，使不等式 2x-1>m(x18.若 3x 2-xy+3y 2 =则 8x 2+23y 2的最大值是.19.抛物线 y 2=4x的一条弦的倾斜角为 α ，该弦长为 4csc 2α ，那么这类弦必经过必定点，这个定点是.面上有一整数点P ，则 P 点到直线 y=3x+2的距离的最小值是.57交卷时沿此线撕下高二年级数学比赛题答题卷姓名成绩一 .选择题 :题次 1 2 3 4 567 8 9 10答案 ADABDAABDC二 .填空题 :11. 012. 2ab/(a2+b2) 13. [0, 3/4]14. [-3,3]15. (0,2/3)16. (0, 6 )17.( 3-1,2)18.16019. (1,0)334/238。