经验分布函数与直方图
描述性统计分析与探索性统计分析
第一章 描述性统计我们把对某一个问题的研究对象的全体称为总体，总体就是一个具有确定分布的随机变量．我们统计分析的目的是通过从总体中抽得的样本，对总体分布进行推断，要想较准确的推断出总体的分布，首先要对样本的分布状况有一个基本的了解，这一章就是介绍用以描述样本分布状况的一些常用统计分析方法，这些方法既直观又简单，而且也很实用．1.1频数分析与图形表示一、总体X 为只取少数个值的离散型随机变量 例1.1.1考察一枚骰子是否均匀，设计实验如下： 独立地掷这枚骰子42次，所得点数纪录如下：3 24 15 1 5 3 4 3 56 4 2 5 3 1 3 4 1 4 3 1 6 3 3 1 2 4 2 6 3 4 6 6 1 6 2 4 5 2 6 X 为掷一枚均匀的骰子一次所得的点数二、当总体X 取较多离散值或X 为连续取值时设x x x n ,,21是总体X 的一组样本观测值，具体做法如下：1求出x )1(和x n )(，取a 略小于x )1(,b 略大于x n )(；2将区间[a ，b]分成m 个小区间（m ＜n ）,小区间长度可以不等，分点分别为a =t t t m <<< 10=b注意：使每个小区间中都要有一定量的观测值，且观测值不在分点上。
划分区间个数的确定：区间过少：分布信息混杂，丢失信息． 区间过多：出现很多空区间．区间划分个数m 依赖于样本总数n ，理论上有如下两个公式可参考： Moore(1986) ： m ≈C n 5/2，C = 1～3； Sturges(1928) ： m ≈1+3.322（lg n ）；3用n j 表示落在小区间（t j 1-,t j ]中观测值的个数（频数）并计算频率f j =nn j （j=1,2,…,m ）；4在直角坐标系x-o-y 的x 轴上标出t t t m ,,,10 ，分别以（t j 1-,t j ]为底边，以n j 为高作矩形，即得频数条形图。
概率论课件第十六次课
XY 0.005
Cov X , Y XY D( X ) D(Y ) 0.01
D X Y D X D Y 2Cov X , Y
1 4 0.02
4.98
则 P{ X Y 6} P{ X Y 0 6}
2 2
( 2)
2
2 分布的概率密度: 分布的密度函数为
n x 1 1 n2 x 2 e 2，x 0 f ( x ) 2 ( n 2) ， 0 ，x 0
其中( x ) e t
0
t x 1
dt，( x 0)称为伽马函数.
( 3)有关 分布的一些结论 :
一、复习： 1、契比雪夫不等式可以用来干什么？ 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分 别为1和4，而相关系数为0.005，则根据切比雪夫 不等式求： P{ X Y 6}
解： E X E Y 2, D X 1, D Y 4,
E X Y E X E Y 0
第六章 样本及其分布
第一节 随机样本和统计量
一、总体、个体
1、总体： 研究的对象的某个(或某些)数量指标的 全体,称为总体(母体)， 它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X . X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数 和数字特征. 2、个体: 组成总体的每一个元素称为个体. 即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 X i 表示.
须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样” 它要求抽取的样本满足下面两点: 1) 代表性： X1, X2, …, Xn中每一个与所考察的总体 有相同的分布. 2) 独立性： X1, X2, …, Xn是相互独立的随机变量.
概率统计建模讲义(重要分布举例卡方检验)
数理统计例举王晓谦wxqmath@南京师范大学主要内容随机变量及其分布经验分布函数和频率直方图参数估计假设检验相关分析与回归分析简介MATLAB例题例1能量供应问题（二项分布）例2 放射性（泊松）例3正态分布例4指数分布例5 多元随机变量例6经验分布函数例7超市问题（指数分布）例8区间估计例9 拟合检验1例10拟合检验2 例11概率纸检验法例12道德（独立性检验）例13肠癌例14J 效应随机变量及其分布例1、能量供应问题（二项分布）假定有10n =个工人间歇性地使用电力，估计所需要的总负荷。
首先我们要知道，或者是假定，每个工人彼此独立工作，而每一时刻每个工人都以相同的概率p 需要一个单位的电力。
那么，同时使用电力的人数就是一个随机变量，它服从所谓的二项分布。
用X 表示这个随机变量，记做(,)X B n p ，且有()(1),k k n k n P X k C p p -==-0,1,,k n =这是非常重要的一类概率分布。
其中E(X)＝np ， D(X)=np(1-p)。
其次，要根据经验来估计出，p 值是多少？例如，一个工人在一个小时里有12分钟在使用电力，那么应该有120.260p ==。
最后，利用公式我们求出随机变量X 的概率分布表如下：为直观计，我们给出如下概率分布图：目录 Back Next可以看出，{6}1{6}0.000864P X P X >=-≤=，也就是说，如果供应6个单位的电力，则超负荷工作的概率只有0.000864，即每11147200.000864≈≈分钟小时中，才可能有一分钟电力不够用。
还可以算出，八个或八个以上工人同时使用电力的概率就更小了，比上面概率的111还要小。
问题：二项分布是一个重要的用来计数的分布。
什么样的随机变量会服从二项分布？进行n次独立观测，在每次观测中所关心的事件出现的概率都是p，那么在这n次观测中事件A出现的总次数是一个服从二项分布B（n，p）。
D分布函数与概率密度函数的近似解
1） Fn x 是单调非减跳跃函数（阶梯函数） 2） Fn x 在点 x xk 处有间断， 在每个间断点的跃度 1 为 , k 1,2,,n n
*
Fn ( x ) 0, 3） 0 Fn ( x ) 1 xlim
x
lim Fn ( x ) 1
2） 数频数 观测值落在各组的频数分别为
m1 ,2 , ,ml
频率为
ml m1 m2 , , , n n n
3） 作图 以各组为底边，以相应组的频率除以组距为高， 建立个 l 小矩形，即得总体的直方图 如图6-2 直方图中每一矩形的面积等于相应组的频率
y
f x
o
m2 m1 n a0 n a a
0,
Fn x
* x x1
* x* x x k k 1 k 1, 2, ,n 1
k , n
1,
x x* n
称 Fn x 是总体 X 的经验分布函数 其图如6-1
y
1
k n 1 n
x x
* 1
* 2
o
x
* k
x
* k 1
x
* n
x
图 6-1
由图6-1容易看出
第六章 第二节 分布函数与概率密度函数的 近似解
一、分布函数的近似解—经验分布
二、概率密度函数的近似解—直方图
一、分布函数的近似解—经验分布
设 X 1， X 2， X n 是来自总体 X 的样本， x2， xn x1，
是样本的一个观测值, 设这n个数值按由小到大的
* * x2， x* ，定义： 顺序排列后为 x1 n ,对 x R
显然满足一般分布函数的三个性质 随着 n 的增大，Fn ( x ) 越来越接近 X 的分布函数 F( x )
数理统计知识小结
数理统计知识小结------缪晓丹 20114041056第五章 统计量及其分布§5.1总体与样本一、 总体与样本在一个统计问题中，把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。
对于实际问题，总体中的个体是一些实在的人或物。
这样，抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现机会多，有的出现机会小，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是合适的，从这个意义上说：总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。
例5.1.1考察某厂的产品质量，将其产品分为合格品和不合格品，并以0记合格品，以1记不格品，若以p 表示不合格品率，则各总体可用一个二点分布表示：不同的p 反映了总体间的差异。
在有些问题中，我们对每一研究对象可能要观测两个或更多个指标，此时可用多维随机向量及其联合分布来描述总体。
这种总体称为多维总体。
若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体。
实际中总体中的个体数大多是有限的，当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种合理抽象。
二、样本与简单随机样本 1、样本为了了解总体的分布，从总体中随机地抽取n 个个体，记其指标值为 n x x x ,,,21 , 则n x x x ,,,21 称为总体的一个样本，n 称为样本容量或简称为样本量，样本中的个体称为样品。
当30 n 时，称n x x x ,,,21 为大样本，否则为小样本。
首先指出，样本具有所谓的二重性：一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此样本是随机变量，用大写字母 n X X X ,,,21 表示；另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此样本又是一组数值，此时用小写字母n x x x ,,,21 表示。
简单起见，无论是样本还是其观测值，本书中均用n x x x ,,,21 表示，从上下文我们能加以区别。
每个样本观测值都能测到一个具体的数值，则称该样本为完全样本，若样本观测值没有具体的数值，只有一个范围，则称这样的样本为分组样本。
概率论与数理统计实验
整理课件
3、指数分布随机数
1) R = exprnd(λ)：产生一个指数分布随机数 2)R = exprnd(λ,m,n)产生m行n列的指数分布随机数
例3、产生E(0.1)上的一个随机数，20个随机数， 2行6列的随机数。
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,1000)
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,10000)
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.3,1000)
整理课件
二、常用统计量
1、表示位置的统计量—平均值和中位数
概率论与数理统计实验
实验2 随机数的产生
数据的统计描述
整理课件
实验目的
学习随机数的产生方法 直观了解统计描述的基本内容。
实验内容
1、随机数的产生 2、统计的基本概念。 3、计算统计描述的命令。 4、计算实例。
整理课件
一、随机数的产生 定义：设随机变量X~F(x),则称随机变量X的 抽样序列{Xi}为分布F(x)的随机数 10常用分布随机数的产生
整理课件
例6 生成单位圆上均匀分布的1行10000列随机数，并 画经验分布函数曲线。
Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000); %(0,2pi)上均匀分布随机数 xRandnum=cos(Randnum);%横坐标 yRandnum=sin(Randnum);%丛坐标 plot(xRandnum,yRandnum);
例9：产生5组指数分布随机数，每组100个， 计算样本偏度和峰度。
也能做精算actuar 包学习笔记一
用R也能做精算—actuar包学习笔记（一）李皞（中国人民大学统计学院风险管理与精算）本文是对R中精算学专用包actuar使用的一个简单教程。
actuar项目开始于2005年，在2006年2月首次提供公开下载，其目的就是将一些常用的精算功能引入R系统。
actuar是一个集成化的精算函数系统，虽然其他R包中的很多函数可以供精算师使用，但是为了达到某个目的而寻找某个包的某个函数是一个费时费力的过程，因此，actuar将精算建模中常用的函数汇集到一个包中，方便了人们的使用。
目前，该包提供的函数主要涉及风险理论，损失分布和信度理论，特别是为非寿险研究提供了很多方便的工具。
如题所示，本文是我在学习actuar包过程中的学习笔记，主要涉及这个包中一些函数的使用方法和细节，对一些方法的结论也有稍许探讨，因此能简略的地方简略，而讨论的地方可能讲的会比较详细。
文章主要是针对R语言的初学者，因此每种函数或数据的结构进行了尽可能直白的描述，以便于理解，如有描述不清或者错漏之处，敬请各位指正。
闲话少提，下面就正式开始咯！1 数据描述本节介绍描述数据的基本方法，数据类型主要分为分组数据和非分组数据。
对于非分组数据的描述方法大家会比较熟悉，无论是数量上，还是图形上的，比如均值、方差、直方图、柱形图还有核密度估计等。
因此下文的某些部分只介绍如何处理分组数据。
1.1 构造分组数据对象分组数据是精算研究中经常见到的数据类型，虽然原始的损失数据比分组数据包含有更多的信息，但是某些情况下受条件所限，只能获得某个损失所在的范围。
与此同时，将数据分组也是处理原始数据的基本方法，通过将数据分到不同的组中，我们可以看到各组中数据的相对频数，有助于对数据形成直观的印象（比如我们对连续变量绘制直方图）；而且在生存函数的估计中，数据量经常成千上万，一种处理方法是选定合适的时间或损失额度间隔，对数据进行分组，然后再使用分组数据进行生存函数的估计，这样可以有效减小计算量。
数理统计基本概念
1 1 n1 n2
~ t ( n1 n2 2)
定理 5 (两总体样本方差比的分布)
且X与Y独立, 设X ~ N ( 1, ), Y ~ N ( 2 , )， X1, X2,…, X n1是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律， 也就是样本取到样本值的规律，因而可以由 样本值去推断总体.
二、统计量和抽样分布 1. 统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本 值进行“加工”，这就要构造一些样本的 函数，它把样本中所含的（某一方面）的 信息集中起来.
这种不含任何未知参数的样本的函数 称为统计量. 它是完全由样本决定的量.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机 变量.
由简单随机抽样得到的样本称为简单 随机样本，它可以用与总体独立同分布的 n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示.
若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机 样本的联合分布函数为 F(x1) F(x2) … F(xn) 简单随机样本是应用中最常见的情 形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某 总体的样本”时，若不特别说明，就指简 单随机样本.
数理统计的基本概 念
一、总体和样本
1.总体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
…
研究某批灯泡的质量
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅 是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标 和该数量指标在总体中的分布情况. 这时， 每个个体具有的数量指标的全体就是总体.
统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.
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2 直方图
2. 直方图
整理数据的常用方法是根据数据给出频数/频率分布表。
例3 20名新生婴儿的体重的观察值为 2880 2440 2700 3500 3600 3080 3860 3200 3500 3100 3180 3200 3300 3040 3020 3420 2900 3440 3000 2620
3000
3300
3600
3900
思考题
• 直方图与经验分布函数之间具有怎样的关 系？
• 如何利用直方图做概率密度的粗略估计？
若x 355
定理（格里纹科定理）
设x1, x2,L , xn是总体分布函数为F (x)的样本，
Fn (x)为其经验分布函数,当n 时,有
P{lim n
sup
x
|
Fn
(
x)
F
(
x)
|
0}
1.
注：定理表明：只要 n 充分大， 经验分布数 Fn(x) 是总体分布函数 F(x) 的良好近似。这是用样本来
步骤如下：
Step1 对样本值进行分组：确定组数 k。 Step2 确定每组组距(等距）：组距 d x(n) x(1)
k
Step3 确定每组组限：选取a(略小于x(1) )和b(略大于x(n) ), 分区间(a,b]为 k 等份
(ai , ai1],i 1, 2,L , k, a1 a, ak1 b
Step4 统计样本值落入各区间的频数, 并求出频率。
三、样本数据的图形显示
1. 频率直方图(frequency histogram)
以“变量”为横轴, 以“频率”为纵轴画柱形图, 即得频率直方图.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 2700
体重频率表
定义1 设 x1 ,…, xn 来自总体 X 的样本 X1,…, Xn 的一组观测值，设
vn(x)表示 x1 ,…, xn n个数中小于 x 的个数， 称vn(x)为经验频数。
注：固定 x， vn(x) 是样本 X1,…, Xn 的函数，是一个 统计量。
定义2 称
Fn( x)
vn ( x) n
( x )
为总体 X 的经验分布函数。
例 某厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮 料，称其净重量（单位：g) 如下，求经验分布函数。
351，347，355 ，34.4, 0.8, 1,
若x 344 若344 x 347 若347 x 351 若351 x 355
第二节 经验分布函数与直方图
1、经验分布函数 2、直方图
1 经验分布函数
2. 经验分布函数
问题引入的背景：设 X1 , X2，……, Xn 是取自某总体 X 的样本，X 的分布完全未知， 如何利用 X1 , X2，……, Xn 的信息，来推断总体 X 的 分布函数 F(x) 的形式！
理论基础：大数定律（频率趋向于概率！）