离散数学2012秋复习本科
离散数学本科试题及答案
离散数学本科试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合{1,2,3}的子集个数是（）。
A. 4B. 6C. 7D. 8答案：D2. 若A={x|x^2-3x+2=0}，则集合A的元素个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 命题“若x>0，则x^2>0”的逆否命题是（）。
A. 若x≤0，则x^2≤0B. 若x^2≤0，则x≤0C. 若x≤0，则x^2>0D. 若x^2>0，则x>0答案：B4. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的值域是（）。
A. [-1,1]B. [0,1]C. [0,4]D. [-1,4]答案：B5. 有限集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）。
A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {4}答案：B6. 命题“若x>0，则x^2>0”的逆命题是（）。
A. 若x>0，则x^2>0B. 若x^2>0，则x>0C. 若x≤0，则x^2≤0D. 若x^2≤0，则x≤0答案：B7. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上是（）。
A. 增函数B. 减函数C. 非单调函数D. 常数函数答案：C8. 集合{1,2,3}的真子集个数是（）。
A. 4B. 6C. 7D. 8答案：B9. 命题“若x>0，则x^2>0”的否命题是（）。
A. 若x>0，则x^2>0B. 若x^2>0，则x>0C. 若x≤0，则x^2≤0D. 若x^2≤0，则x≤0答案：C10. 有限集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=（）。
A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,2,3,4}D. {4}答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1,2,3}的幂集是{∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。
离散数学期末考试复习题及参考答案-专升本
《离散数学》复习题一、填空题1、若P ，Q 为二命题，Q P ↔真值为1，当且仅当 。
2、对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ∀∨∃∧∀中自由变元进行代入的公式为 。
3、))(()(x xG x xF ∃⌝∧∀的前束范式为 。
4、设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元，A 的论域为D ，A （x ）关于y 的自由的，则 被称为全称量词消去规则，记为US 。
5、与非门的逻辑网络为 。
6、}0|{>∧∈=+x Z x x Z ，*表示求两数的最小公倍数的运算（Z 表示整数集合），对于*运算的幺元是 ，零元是 。
7、代数系统<A,*>中，|A|>1，如果θ和e 分别为<A,*>的幺元和零元， 则θ和e 的关系为 。
8、设<G,*>是一个群，<G,*>是阿贝尔群的充要条件是 。
9、图的完全关联矩阵为 。
10、一个图是平面图的充要条件是 。
二、选择题1、下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。
A 、R Q P ⌝∧∧)(；B 、)()((S R Q P ∧→→；C 、R Q P ∧∨∨；D 、S R Q P ∨∧∨⌝))((。
2、下列语句是命题的有（ ）。
A 、2是素数；B 、x+5 > 6；C 、地球外的星球上也有人；D 、这朵花多好看呀！。
3、下列公式是重言式的有（ ）。
A 、)(Q P ↔⌝；B 、Q Q P →∧)(；C 、P P Q ∧→⌝)(；D 、P Q P ↔→)(4、下列问题成立的有（ ）。
若C B C A ∨⇔∨，则B A ⇔； B 、若C B C A ∧⇔∧，则B A ⇔； C 、若B A ⌝⇔⌝，则B A ⇔； D 、若B A ⇔，则B A ⌝⇔⌝。
5、命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。
A 、在推演过程中可随便使用前提；B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果；C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ；D 、设)(A Φ是含公式A 的命题公式，A B ⇔，则可用B 替换)(A Φ中的A 。
《离散数学》复习题及答案
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
本科离散数学复习题
离散数学复习题一、填空题。
1. 集合A={φ,1}，B={1,2}，则()()A B ρρ-=___{（φ，φ），（φ，1），（1，φ）}______.*A 与B 的笛卡尔积A ⨯B=____{（φ，1），（φ，2），（1,1），（1,2）}_____. 2. 设集合A={1,2,3}，B={a,b,c,d}，则A ⨯B 共有__12___个元素。
A 到B 的关系(包括空关系)共有__2^12___个，其中又有__4^3___个是A →B 的函数,有__4___ 个是A → B 的射, 有___4__ 个是A → B 的双射。
若#A=m,#B=n,A*B 有mn 个元素，A 到B 的关系共有2^mn 个，A 到B 的函数有n^m 个，有P （从上到下是m ，n ）个A 到B 的射，有n ！个A 到B 的双射。
（课本75页）3. 设A={ a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8}.则由B 15 表示的A 的子集是____{a5,a6,a7,a8}________.A 的一个子集{ a 2, a 4, a 5, }可表示为____B88________P8 B15=B00001111={a5,a6,a7,a8},{a2,a4,a5}=B01011000=B884. 若{1,2,4,7}Y A={1,2,4,7,8,10,11} 且 {1,2,4,7}I A={1,7},则A=_{1,7,8,10,11}____5. 集合A 上的两个关系 ρ1={(1,2),(1,3),(2,1)(2,2),(4,1)},ρ2={(1,3),(3,1)}，则ρ1I ρ2=__{(1,3)}__.ρ1Y ρ2.={(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(4,1)}ρ1ρ2=_{(1,1),(2,3),(4,3)}_.ρ2ρ1=_{(3,2)}_.ρ1c =____________.*P436.集合A={1,2,3} 上的关系ρ={(1,1),(1,2),(1,3),(3,3)} 具有的性质是_传递性_.P52 自反性：apb对称性：任何apb必有bpa反对称：每个apb和bpa必有a=b传递性：每当apb和bpc必有apc7.集合A={1,2,3,4} 上具有自反性的关系有___15__个，具有对称性的关系有___44__个.N个元素集合上有2^(n*(n+1)/2)个关系是对称的、有2^n*3^(n(n+1)/2)个关系是反对称的、有3^(n(n-1)/2)个关系是非对称的、有2^n(n-1)个关系是反自反、有2^(n(n-1)/2)个关系是既不自反也不反自反、有2^(n^2)-2*2^(n(n-1))个关系是自反和对称的8.集合A={a,b,c,d}，则A共有__15___中不同的分划。
2012年全国各高校离散数学试题
2012年各高校离散数学试题答案一、填空（每题5分共20分）1、数集A={1,2,3}与运算“min ”构成的代数系统的单位元是 3 。
2、一个连通的(n,m)平面图的面数为k ，则m ，n ，k 满足的Euler 公式为 n-m+k=2 。
3、设T 是一棵完全二元树，有n 个结点，n 0片树叶，则n 和n 0满足如下的公式 2n 0-1。
4、减法“-” 不是 正整数集N 上的二元运算。
二、单项选择（每题5分共10分） 1.⊆ρI ×I, i 1ρi 2⇔ ︱i 1-i 2︱≦10,则ρ是 b 。
(a) 反自反的；(b)对称的；(c)反对称的；(d)传递的。
2. 下列各图是Euler 图的是 d。
（a ） （b ） （c ） （d ） 三、设A={1},B={2,3},求A ×2B(8分)。
解：因}}3,2{},3{},2{,{2φ=B ， 4分 则})}3,2{,1(}),3{,1(}),2{,1(),,1{(2φ=⨯B A 。
8分 四、证明：集合论中的德·摩根律：(A ∩B)/=A /∪B /(8分)。
证 )B A (a '⋂∈∀,则B A a ⋂∉,所以B a A a ∉∉或,即B a A a '∉'∈或, 2分 因此B A a '⋃'∈, 故B A B A '⋃'⊆'⋂)(. 5分 同理B A a '⋃'∈∀,则B a A a '∉'∈或,所以B a A a ∉∉或,因此B A ⋂∉a , 7分 即)B A (a '⋂∈∀, 故)('⋂⊆'⋃'B A B A . 8分 五、设X={1,2,3,4}上的关系R={(1,1)，(2,3)，(3,2)}, 求R 的传递闭包t(R)。
(10分)。
解法一==R R R 2)3,3(),2,2(),1,1{(， 3分==R R R 23{(1,1)，(2,3)，(3,2)}， 5分 R R R 34==)3,3(),2,2(),1,1{(， 7分则=⋃⋃⋃=432)(R R R R R t )3,3(),2,3(),3,2(),2,2(),1,1{( 10分 解法二⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000001001000001R M ，(3分)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∧=00000100001000012R R R M M M ， (4分) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∧=000000100100000123M M M R R (5分)，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∧=000001000010000134M M M R R (6分) 则432432)(R R R R R R R R t M M M M M M ∨∨∨==⋃⋃⋃⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000011001100001,(7分) 因此=)(R t )3,3(),2,3(),3,2(),2,2(),1,1{(。
离散数学课件总复习之习题讲解
4 c8
25 c2
10 c5
11 c6
36 c7
7 3 c3 11 4 c8 17 6 c4 10 c5 7 3 c3
11
5 c1
6 c4
25 c2
11 c6
36 c7
5 c1
22 11
4 c8
25 c2
36 c7 5 c1
17
11 c6 10 c5 7 3 c3 4 c8
6 c4
25 c2
36 c7 11 5 c1 61
6 c4
11 10 c6 c5
3 c3
c7 01
4 c8
c8 1111
c5 110
c6 101
电文总码数：4×5＋ 2×25＋ 4×3＋ 4×6＋ 3×10＋ 3×11＋ 2×36＋ 4×4＝257
P295 6.9
设散列表为 HT[13] ，散列函数 H(key)=key%13 ，用闭散列法解决冲突， 对下列关键码序列12,23,45,57,20,03,78,31,15,36造表。 （1）采用线性探查法寻找下一个空位，画出相应的散列表，并计算等概率 下搜索成功的平均搜索长度和搜索不成功的平均搜索长度。 （ 2 ）采用双散列法寻找下一个空位，再散列函数 RH(key)=(7*key)%10+1 ， 寻找下一个空位的公式为 Hi＝（ Hi-1＋RH(key)）% 13，H1=H(key) 。画出 相应的散列表，并计算等概率下搜索成功的平均搜索长度。 温习：
20122012年秋季年秋季各内容重点题型讲解各内容重点题型讲解容容比比示例例题示例例题线性表线性表1515p86222p86222栈和队列栈和队列1515p133322p133322数组矩阵和串数组矩阵和串1010p185413p185413二叉树堆二叉树堆huffmanhuffman2020p248518p2485185205201010p29569p295691100p393810p393810p395824p395824搜索结构搜索结构2020p343715p343715排序排序p44092p44092p86222p86222设在一个带附加头结点的单链表中所有元素结点的数据值按递增顺序排列试编写一个函数删除表中所有大于min小于max的元素若存firstppqq温习
离散数学复习资料
离散数学复习资料离散数学是计算机科学与数学领域中的重要学科，它研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。
在计算机科学领域，离散数学是构建算法和设计计算机系统的基础。
为了更好地复习离散数学，我们可以从以下几个方面入手。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其运算。
在集合论中，我们需要了解集合的定义、基本运算和集合间的关系。
此外，还需要掌握集合的代数运算法则，如交、并、差和补集等。
复习时可以通过解题来加深理解，例如证明集合之间的等价关系、集合的幂集等。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的重要分支，它研究的是推理和论证的规则。
在逻辑中，命题是最基本的逻辑单位。
复习时需要了解命题的定义和常见的逻辑运算符，如非、与、或、异或等。
此外，还需要熟悉命题的真值表和命题之间的逻辑等价关系。
通过解题和推理，可以提高对逻辑的理解和应用能力。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图及其性质。
在图论中，我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径、环等。
此外，还需要熟悉图的表示方法，如邻接矩阵和邻接表。
复习时可以通过解题来加深对图的理解，例如求最短路径、判断图的连通性等。
四、代数系统代数系统是离散数学中的一个重要内容，它研究的是代数结构及其性质。
在代数系统中，我们需要了解群、环、域等代数结构的定义和性质。
此外，还需要熟悉代数运算法则和代数结构之间的关系。
复习时可以通过解题来加深对代数系统的理解，例如证明一个集合构成一个群、判断一个环是否是域等。
五、概率论与统计学概率论与统计学是离散数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件和随机变量的概率性质。
在概率论与统计学中，我们需要了解概率的定义和性质，掌握常见的概率分布和统计方法。
此外，还需要熟悉概率的运算法则和统计推断的基本原理。
复习时可以通过解题和实际问题的分析来加深对概率论与统计学的理解。
总之，离散数学作为计算机科学与数学领域中的重要学科，对于计算机科学专业的学生来说具有重要意义。
《离散数学》本科期末复习提要
《离散数学》本科期末复习提要《离散数学》本科期末复习提要四川电⼤周勇2007年5⽉《离散数学》使⽤的教材为中央电⼤出版的《离散数学》（刘叙华等编）和《离散数学学习指导书》（虞恩蔚等编）。
离散数学主要研究离散量结构及相互关系，使学⽣得到良好的数学训练，提⾼学⽣抽象思维和逻辑推理能⼒，为从事计算机的应⽤提供必要的描述⼯具和理论基础。
其先修课程为：⾼等数学、线性代数；后续课程为：数据结构、数据库、操作系统、计算机⽹络等。
课程的主要内容1、集合论部分（集合的基本概念和运算、关系及其性质）；2、数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；3、图论部分（图的基本概念、树及其性质）。
4、布尔代数学习建议离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学（集合论、数理逻辑和图论）有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运⽤，并要多做练习。
教学要求的层次各章教学要求的层次为了解、理解和掌握。
了解即能正确判别有关概念和⽅法；理解是能正确表达有关概念和⽅法的含义；掌握是在理解的基础上加以灵活应⽤。
⼀、各章复习要求与重点第⼀章集合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表⽰⽅法、⼦集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、De Morgan 律等），⽂⽒（Venn）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明[复习要求]1、理解集合、元素、⼦集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表⽰法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的⽅法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
[本章重点习题]P5~6，4、6；P14~15，3、6、7；P20，5、7。
[疑难解析]1、集合的概念因为集合的概念学⽣在中学阶段已经学过，这⾥只多了⼀个幂集概念，重点对幂集加以掌握，⼀是掌握幂集的构成，⼀是掌握幂集元数为2n。
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一、 命题逻辑部分
1．计算真值表、并由此写出主析取与主合取范式
2．证明 P →(Q →R )⇔Q →(P →R )⇔ ┐R →(Q → ┐P ) 3．证明从前提P →Q ，┐(Q ∨R)可演绎出┐P .
4．证明R →S 可从前提P →(Q →S)，┐R ∨P 和Q 推出。
├ 5、使用推理规则或归结推理，论证推理形式 1) P →Q, R →⌝Q ,R ∨S, S →Q ⌝ ├⌝P
2) ⌝P ↔Q, S →⌝Q, ⌝R, R ∨S ├ P 二、 谓词逻辑
1、 写出谓词的含义、一个谓词公式的解释应包含什么内容？
2、 并非一切劳动都能用机器代替。
解 设 L(x): x 是一种劳动, M(x): x 是一种机器, R(x, y): x 被y 代替。
命题表示为: ⌝(∀x) (L(x) → (∃y) (M(y)∧R(x,y)))
3、数学分析中函数f (x)在点a 连续的定义为: 对任意的ε>0, 存在一个δ>0, 使得对所有x, 若|x – a|<δ, 则 |f (x) – f (a)|<ε, 符号化此定义。
解 令R(x): x 是实数, G(x, y): x 大于y 。
(∀ε) ((R(ε)∧G(ε, 0)) → (∃δ) (R(δ)∧G(δ, 0)∧(∀x) ((R(x)∧G(δ, |x – a|)) →G(ε, |f (x) – f (a)| ) )))。
4、 证明等价式：┐(∀x )A ⇔(∃x )┐A
5、 证明等价式：(∀x )(A (x )∧B (x ))⇔(∀x )A (x )∧(∀x )B (x )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
((p →q ) →(⌝q →⌝p )) ∨r
⌝q →⌝p p →q p q r
6、证明蕴含式：(∀x)(A(x)→B(x))⇒(∃x)A(x)→(∃x)B(x)
7、证明蕴含式：(∃x)(∀y)A(x，y)⇒(∀y)(∃x)A(x，y)
三、集合与关系
1、A⊂B⇒┐(B⊂A)
2、∪(A∪B)=(∪A)∪(∪B)
3、定理3.5.1 对于任意集合S，有S∉S。
证明：设有集合S使S ∈S，由此构造一个单元集{S}，显然S ∈{S}，即{S}不空。
由正则公理可知{S}有极小元，而{S}只有元素S，故S∩{S}= ∅。
但由假设S ∈S，所以S∩{S} ≠ ∅，矛盾。
4、定理3.5.2 对任何集合S1和S2，都有┐(S1∈S2∧S2∈S1)。
证明：设S={S1，S2}，假设有(S1∈S2)∧(S2∈S1)，则S1 ∈(S2 ∩S)且S2 ∈(S1 ∩S)。
于是S2 ∩S ≠ ∅，S2 ∩S ≠ ∅，而S1与S2都是S的极小元，故与正则公理矛盾。
因此对对任何集合S1和S2，都有┐(S1∈S2∧S2∈S1)
5、一个集合A是传递集当且仅当A⊆P(A)。
6、从集合的观点来定义有序对<x,y>={{x},{x,y}}，解释其合理性。
6、设R={<a，b>，<b，c>，<c，a>}，试求r(R)，s(R)和t(R)
7、设R、S、T、W为关系，证明
1) (R⋃S)-1=R-1⋃S-1
2) R⊆S∧T⊆W ⇒R*T⊆S*W
3) R*(S⋃T)=(R*S) ⋃ (R*T)
4) (R*S)-1=S-1*R-1
8、设R是实数集合，定义R⨯R上关系Q：<u,v>Q<x,y> 当且仅当u+y=x+v，证明Q是R⨯R上等价关系。
四、代数部分
1、定理12.2.5 给定<S，⊙>且| S |＞1。
如果θ，e∈S，其中θ和e分别为关于⊙的零元和幺元，则θ ≠ e。
2、定理12.2.6 给定<S，⊙>及幺元e∈S。
如果⊙是可结合的并且一个元素x的左逆元x l-1和右逆元x r-1存在，则x l-1=x r-1。
3、定理12.2.7 给定<S，⊙>及幺元e∈S。
如果⊙是可结合的并且x的逆元x-1存在，则x-1是惟一的。
4、给定<X，⊙，*> ~ <Y，⊕，⊗>且f为其满同态映射，则
(a)如果⊙和*满足结合律，则⊕和⊗也满足结合律。
(b)如果⊙和*满足交换律，则⊕和⊗也满足交换律。
5、定理12.4.1 设<S，⊙>与<T，*>是同类型的且f为其同态映射。
对应于f，定义关系
E f如下：
xE f y：=f(x)= f(y)，其中x，y∈S
则E f是<S，⊙>中的同余关系，并且称E f为由同态映射f所诱导的同余关系。
6、习题
7、
8、
9、12。
7、积代数：例题12.6.1.
五、图论部分
1、两个图的关系
(b)
(a)
(b)
(a)
1
1
d
1
1
g 1
e
d
2写出Dijkstra 算法，并计算图中从v1到其他结点的最短链长度。
3、给定PERT 图，计算关键路径。
4、已知图的邻接矩阵，计算可达矩阵，再计算一个图的强分图，Warshall 算法。