两辆铁路平板车的装货问题的讨论
两辆铁路平板车的装货问题1.0
数学建模论文题目：两辆铁路平板车的装货问题小组成员：李航纪俊吉刘骏萍两辆铁路平板车的装货问题摘要：本题是一个装货问题，即在有限的空间内装最多的货物，使空间浪费率最小。
包装箱的宽度和高度是一样的，厚度是不同的。
每个装箱策略都会产生不同的浪费。
本文讨论的就是怎么样装箱，使浪费最小。
本文首先建立一个整数规划模型，考虑问题所给的约束条件，使得包装箱装到两辆铁路平板车，并且使得浪费的空间最小。
求解时运用LINGO软件和建立在线性规划求解的单纯基础上的分支界限法求的最优解。
在求得本问题的最优目标后，进一步运用C语言，求得了本问题的所有最优解，一共有30种。
并进一步分析，在实际装货过程中可能遇到的问题，比如在相同的空间利用率的情况下，装货的总重量问题，在30组解中进一步优化，求得最终的结果。
关键字：整数优化 LING最优解装货问题一、问题重述：有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上。
包装箱的高和宽是一样的，但厚度（t,以厘米计）及重量（g，以千克计）是不同的。
下表给出来了每种包装箱的厚度，重量以及数量。
每辆平板车有10.2m长的地方可以用来装包装箱（像面包片那样），载重为40t。
由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7厚度（cm） 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0重量（kg） 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数（件） 8 7 9 6 6 4 8二、问题分析：七种包装箱的重量和W= 89t，而两辆平板车只能载2*40=80t，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。
由题意，只考虑面包重叠那样的装法，把问题简化为：两辆车上装箱总厚度之和尽可能大，解决这一问题，以寻找最合适的方案：所浪费的空间最小，也就是说，是要让使用的空间最大。
两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题1、两辆铁路平板车的装货问题有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t,以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5、C6、C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7厘米。
试把包装箱（见下表）装到平板车上去使得浪费的空间最小。
max=48.7*x11+48.7*x21+52*x12+52*x22+61.3*x13+61.3*x23+72*x14+72*x24+48.7*x15+48.7*x25+52*x16+52*x26+64* x17+64*x27;x11+x21<=8;x12+x22<=7;x13+x23<=9;x14+x24<=6;x16+x26<=4;x17+x27<=8;2*x11+3*x12+x13+0.5*x14+4*x15+2*x1 6+x17<=40;2*x21+3*x22+x23+0.5*x24+4*x25+2*x2 6+x27<=40;48.7*x11+52*x12+61.3*x13+72*x14+48.7*x15+52*x16+64*x17<=1020;48.7*x21+52*x22+61.3*x23+72*x24+48.7*x25+52*x26+64*x27<=1020;48.7*x15+52*x16+64*x17+48.7*x25+52*x26+64*x27<=302.7;@gin(x11);@gin(x12);@gin(x13);@gin(x14);@gin(x15);@gin(x16);@gin(x17);@gin(x21);@gin(x22);@gin(x23);@gin(x24);@gin(x25);@gin(x26);@gin(x27);max48.7x11+48.7x21+52x12+52x22+61.3x13+61.3x23+72x14+ 72x24+48.7x15+48.7x25+52x16+52 x26+64x17+64x27 stx11+x21<=8x13+x23<=9x14+x24<=6x15+x25<=6x16+x26<=4x17+x27<=82x11+3x12+x13+0.5x14+4x15+2x16+x17<=402x21+3x22+x23+0.5x24+4x25+2x26+x27<=4048.7x11+52x12+61.3x13+72x14+48.7x15+52x16+64x17<= 102048.7x21+52x22+61.3x23+72x24+48.7x25+52x26+64x27<= 102048.7x15+52x16+64x17+48.7x25+52x26+64x27<=302.7endGIN x11GIN x12GIN x13GIN x14GIN x15GIN x16GIN x17GIN x21GIN x22GIN x23GIN x24GIN x25GIN x26GIN x27。
大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题
大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题题目：两辆铁路平板车的装货问题摘要：在现代物流运输中，铁路平板车被广泛应用于货物运输。
在铁路货运过程中，如何高效地装货是一个重要的问题。
本文通过数学建模的方法，研究了两辆铁路平板车的装货问题。
根据问题的具体要求和约束条件，我们建立了一个优化模型，旨在最大化装货效率和减少装货时间。
我们采用整数规划模型，并使用数值实例进行了求解和验证。
关键词：铁路平板车；装货问题；数学建模；优化模型1. 引言近年来，物流运输行业日益发展，货物运输效率成为一个关键问题。
铁路平板车是一种常用的货物运输工具，它具有运能大、运输距离长、安全可靠等优点。
然而，如何高效地装货是一个需要解决的问题。
2. 问题描述假设有两辆铁路平板车，它们需要装载一批货物。
货物的重量和体积不同，平板车的装载能力也有限制。
问题要求确定如何合理地将货物装载到平板车上，使得装货效率最大化，并且尽量减少装货时间。
3. 模型建立我们首先将问题进行数学抽象，定义相关的变量和参数。
然后根据问题的具体要求和约束条件，建立一个优化模型。
在模型中，我们考虑了货物的重量、体积以及平板车的装载能力等因素，并在保证装货的合理性的前提下，最大化装货效率。
4. 模型求解为了求解优化模型，我们采用整数规划的方法，并使用数学软件进行求解。
通过数值实例的求解和验证，我们得出了合理的装货方案，并评估了装货效率和装货时间等指标。
5. 结论与展望本文研究了两辆铁路平板车的装货问题，通过数学建模的方法，建立了一个优化模型，并采用整数规划进行求解。
通过数值实例的验证，我们证明了模型的合理性和有效性。
然而，由于时间和资源的限制，本文的研究还有一定的局限性。
未来的研究可以进一步考虑更多的因素和约束条件，以提高装货效率和减少装货时间。
数学建模习题
数学建模练习题1.1.线性规划题目问题1：毛坯切割问题用长度为500厘米的材料，分别截成长度为98厘米和78厘米的两种毛坯，要求截出长度98厘米的毛坯1000根，78厘米的毛坯2000根，问怎样去截，才能是所用的原材料最少，试建立数学模型。
问题2：进货收获问题某商店你制定某种商品7－12月的进货、售货计划，已知商品仓库最大容量为1500件，6月底已经库存300件，年底不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进和售出的价格如下表所示，若每件每月库存费为0.5元，问各月进货，售货多少件，才能是净收益最多。
试建立数学模型。
问题3：货船装货问题某货船的载重量为12000吨，总容积为45000立方米，冷藏容积为3000立方米，可燃性指数的总和不得超过7500，准备装6中货物，每种货物的单价、重量、体积和可燃性指数如下表：1.2.微分方程题目问题1. 什么时候开始下雪？早晨开始下雪，整天稳降不停。
正午一辆扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积计为一常数。
到下午2时它清扫了两公里，到下午4时又清扫了1公里，问雪是什么时候开始下的？问题2. 谁喝的咖啡热一些？总统与首相面前同时送上同温度的热咖啡。
总统在送到咖啡后立即加上一点冷奶油，等了10分钟才喝；首相则等了10分钟后添加等量的冷奶油开始喝，问谁喝的咖啡热一些？问题3. 需冷却多久？一位稀里糊涂的咖啡泡煮师，想让水达到185o F，可他几乎总是忘记这一点而把水煮开。
温度计又坏了，他要你计算一下，从212o F冷却到185o F要等多少时间，你能解决他的问题吗？问题4. 纽约的人口如果不考虑移民与高杀人率，纽约城的人口将满足方程，其中t 以年度量。
(1)事实上，每年有6000人从该城迁出，又有4000人被杀，试修正上面方程。
(2)已知1970年纽约城人口为800万，求未来任何时刻的人口，且求时的极限。
问题5.开火的最优距离A 方反坦克导弹与B 方坦克之间进行战斗。
两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题11统计摘要本文针对包装箱的运输问题，建立了关于使得平板车空间浪费最小的一般数学模型与方法。
即使得空间浪费最小的最优解，属于优化类模型。
利用线性规划原理对问题进行分析求解，建立数学模型。
首先，将7种包装箱的厚度和重量分别设成相应的未知数，方便在题中的代入求解。
由此再进一步的研究。
对于问题，假设出各辆铁路平板车所载的7种包装箱的数目。
并考虑到铁路平板车，对所载包装箱的高度、重量等要求，利用所设未知数和已知的条件限制建立约束条件。
再对铁路平板车得空间浪费最少建立目标函数。
由此，可建立线性规划数学模型，对本文问题进行求解。
利用LINGO编程进行求得最优解,即得到最优设计方案：第一辆平板车载C1种类型的包装箱0件，C2种类型的包装箱5件，C3类型的包装箱2件，C4种类型的包装箱5件，C5种类型的包装箱2件，C6种类型的包装箱1件，C7种类型的包装箱2件；另一辆平板车载C1种类型的包装箱6件，C2种类型的包装箱2件，C3种类型的包装箱6件，C4种类型的包装箱0件，C5种类型的包装箱0件，C6种类型的包装箱0件，C7种类型的包装箱4件；这样的装载能使得两辆平板车的使用高度达到20.4米，空间利用率达到100%。
关键词：最小浪费空间、长度、重量、数量。
一、问题重述有 7 种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（ω，以kg 计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2m 长的地方可用来装包装箱302.7cm问:应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小？试建立此问题的数学模型。
二、模型假设1、包装箱的底面积恰好与平面车的平面积恰好相等。
2、包装箱之间不存在间隙，即包装箱所铺成的总高度没有影响。
3、将每个包装箱装入平板车都具有可行性。
4、各个货物装在车上的概率相同，相互之间的排放不存在关联性；5、在该平板车装载的过程中不考虑各个货物的厚度及重量的误差性，均为题中所给的准确数值；6、装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序及各个货物的重量密度，排除因局部过重而造成的平板车不能行驶的情况；三、符号定义说明i a : 表示第i 类包装箱的厚度 i b ：表示第i 类包装箱的重量 i c ：表示第i 类包装箱i x ：表示在其中一辆车上装第i 类包装箱x 件 i y ：表示在另一辆车上装第i 类包装箱y 件 （i=1,2,3,4,5,6,7）四、问题分析七种包装箱的重量和W= =89t ，而两辆平板车只能载240=80t ，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。
美赛历年题目_pdf
马剑整理历年美国大学生数学建模赛题目录MCM85问题-A 动物群体的管理 (3)MCM85问题-B 战购物资储备的管理 (3)MCM86问题-A 水道测量数据 (4)MCM86问题-B 应急设施的位置 (4)MCM87问题-A 盐的存贮 (5)MCM87问题-B 停车场 (5)MCM88问题-A 确定毒品走私船的位置 (5)MCM88问题-B 两辆铁路平板车的装货问题 (6)MCM89问题-A 蠓的分类 (6)MCM89问题-B 飞机排队 (6)MCM90-A 药物在脑内的分布 (6)MCM90问题-B 扫雪问题 (7)MCM91问题-B 通讯网络的极小生成树 (7)MCM 91问题-A 估计水塔的水流量 (7)MCM92问题-A 空中交通控制雷达的功率问题 (7)MCM 92问题-B 应急电力修复系统的修复计划 (7)MCM93问题-A 加速餐厅剩菜堆肥的生成 (8)MCM93问题-B 倒煤台的操作方案 (8)MCM94问题-A 住宅的保温 (9)MCM 94问题-B 计算机网络的最短传输时间 (9)MCM-95问题-A 单一螺旋线 (10)MCM95题-B A1uacha Balaclava学院 (10)MCM96问题-A 噪音场中潜艇的探测 (11)MCM96问题-B 竞赛评判问题 (11)MCM97问题-A Velociraptor(疾走龙属)问题 (11)MCM97问题-B为取得富有成果的讨论怎样搭配与会成员 (12)MCM98问题-A 磁共振成像扫描仪 (12)MCM98问题-B 成绩给分的通胀 (13)MCM99问题-A 大碰撞 (13)MCM99问题-B “非法”聚会 (14)MCM2000问题-A空间交通管制 (14)MCM2000问题-B: 无线电信道分配 (14)MCM2001问题- A: 选择自行车车轮 (15)MCM2001问题-B 逃避飓风怒吼（一场恶风...） .. (15)MCM2001问题-C我们的水系-不确定的前景 (16)MCM2002问题-A风和喷水池 (16)MCM2002问题-B航空公司超员订票 (16)MCM2002问题-C (16)MCM2003问题-A: 特技演员 (18)MCM2003问题-B: Gamma刀治疗方案 (18)MCM2003问题-C航空行李的扫描对策 (19)MCM2004问题-A：指纹是独一无二的吗？ (19)MCM2004问题-B：更快的快通系统 (19)MCM2004问题-C安全与否？ (19)MCM2005问题A.水灾计划 (19)MCM2005B.Tollbooths (19)MCM2005问题C：不可再生的资源 (20)MCM2006问题A: 用于灌溉的自动洒水器的安置和移动调度 (20)MCM2006问题B: 通过机场的轮椅 (20)MCM2006问题C : 抗击艾滋病的协调 (21)MCM2007问题B ：飞机就座问题 (24)MCM2007问题C：器官移植：肾交换问题 (24)MCM2008问题A:给大陆洗个澡 (28)MCM2008问题B：建立数独拼图游戏 (28)MCM85问题-A 动物群体的管理在一个资源有限，即有限的食物、空间、水等等的环境里发现天然存在的动物群体。
两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]两辆铁路平板车的装货问题2014摘要：将七种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上并要求浪费空间最小的问题，实质上就是整数线性规划问题。
建立整数线性规划模型，并用lingo软件求得目标函数最小值得给出一组最优解。
然而由于LINGO软件的缺陷性，我们发现仍然存在其他多组最优解。
通过对原始数据的分析论证，我们得到一个结论：对任意一组最优解，两辆车的总包装箱种类和数量是确定的（即浪费空间最小的情况下，装载包装箱的厚度和重量一定）。
在此结论的基础上，通过穷举法，并利用Java高级计算机语言进行编程，大大减少了计算量，加快了运算速度，最终求解出24组等价最优解。
关键词：装货问题整数线性规划穷举法 LINGO Java语言1、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以cm计）及重量（w，以kg计）是不同的。
表一给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过。
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
表一2、问题分析优化问题，一般是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源，即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或者利润最低[]1。
在此问题中，要求浪费的空间最小，且存在车长、载重40t 、货运限制C5，C6，C7类的包装箱的总数≤三个约束条件，并且自变量（包装箱的数量）取整数值才有意义，所以此问题可以通过建立整数线性规划来求解。
其一般形式为：∑==nj jj x c z 1min⎪⎩⎪⎨⎧⋯=⋯==∑=),,2,1(),,2,1(..1n j x m i b x a t s j i nj jij 为非负整数。
两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题摘要本题针对铁路平板车装货的问题，有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
在厚度、载重、件数等条件的限制下，要求我们把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
针对本问题，初步分析可得：题中所有包装箱共重89t，而两辆平板车只能载重共80t，因此，不可能全安装下。
根据题意可得，浪费的空间最小就是要求尽可能使两辆车上的装箱总厚度尽可能大。
根据题目中关于厚度、载重、件数等限制条件，建立相应的线性规划数学模型，写出相应的目标函数和约束条件。
使用数学软件matlab和lingo得出相应的最优解。
若有数组最优解，最后用Excel 对得到的最优解进行分析，得出最符合题意的答案。
关键词：线性规划最优解lingo matlab一、问题重述有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0w(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数 8 7 9 6 6 4 8问：应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小（尽量使这些包装箱所占的空间最大）？试建立此问题的数学模型。
二、问题分析2.1对题目的分析题目中的所有包装箱的总重量W=2*8+3*7+9*1+0.5*6+4*6+2*4+1*8=89t但是两辆平板车的总载重量只有80t，所以不可能全部装下所有货物。
题目要求试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
所以不以尽可能装满80t货物为目标函数，而是以使两辆车上的装箱总厚度尽可能大为目标函数建立数学模型。
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两辆铁路平板车的装货问题的讨论Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-两辆铁路平板车装货问题的讨论摘要本文针对两辆铁路平板车装运包装箱的问题，建立了铁路平板车装运包装箱的整数规划模型，通过LINGO软件方便快捷地求出了平板车不同种类包装箱装运件数一组最优解，同时使用Fortran编程求出所有符合条件的最优解。
本文鉴于题目中"当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数的特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm"的存在的歧义，对该问题分两种情况进行讨论，分别建立模型，得出了不同情况下满足题设的最优方案。
第一种情况认为货运的限制针对于每辆平板车，即每辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm。
针对该情况，我们建立了两辆铁路平板车装运包装箱的整数规划模型一，并用LINGO求得最优解为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（6，2，6，0，0，0，4；1，5，2，5，1，1，2），剩余厚度为0cm。
考虑到LINGO求解整数规划只能求出一组最优解的局限性，我们进而用Fortran编程求出了所有符合条件的12组最优解。
因为不考虑两车先后次序，我们又用对结果去重，最终得到6组最优解（详见表一）。
另一种则认为货运的限制针对于一次货运，在本题中则为两辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm。
针对该情况，我们同样也建立了铁路平板车装运包装箱的整数规划模型二，并用LINGO求得最优解为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（3，2，9，1，3，0，0；5，5，0，5，0，3，0），剩余厚度为0.6cm。
同样由于LINGO 软件的局限性，我们又用Fortran编程求得所有符合条件的54组最优解，经过去重后最终得到27组最优解（详见表二）。
关键词：整数线性规划 LINGO局限性 Fortran一、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有1020cm的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm（分两辆车和一辆车两种情况讨论）。
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
C1 C2C3C4C5C6C7t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0w(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数 8 7 9 6 6 4 8二、问题分析通过理解题目，本例属于整数型线性规划问题，由题目中给出的条件,我们可以算出货物的总重量为89吨，而两辆车的载重量为80吨，所以必然不能将货物全部装载完，也就是说必然会有货物剩余。
我们假设平板车上恰好只能放一排包装箱，且包装箱之间间隙忽略不计。
对于题目中限制条件C5,C6,C7类包装箱的总厚度不超过302.7cm，存在以下两种理解：（1）一种是对于每辆车而言，车上C5,C6,C7类包装箱的总空间不超过302.7cm，（2）另一种是对于两辆车而言，C5,C6,C7类包装箱的总空间不超过302.7cm。
由此，我们分别对这两种情况建立模型，并利用LINGO解出该整数型线性规划的最优解。
考虑到变量较多以及变量权值的特殊性（如C2、C6的长度相等，均为52.0cm），我们猜想对每种情况都可能存在多组最优解。
我们利用lingo软件解出一组最优解作为参考，再根据Fortran编译程序，讨论得出所有最优解。
三、模型假设一、每辆平板车上恰好只能装载一排的包装箱，不存在并排或者叠加等情况二、包装箱之间的间隙可忽略不计三、两辆平板车完全相同，不考虑两车先后次序问题四、不考虑一辆车上同一种包装箱组合方案的不同排列五、在重量符合要求的情况下，不考虑两车重量差别大小对最优解的影响四、符号系统f 浪费的空间Cij第i种包装箱装在第j辆平板车上数目ti第i种包装箱的厚度W i 第i 种包装箱的质量n i 第i 种包装箱的数目五、 模型建立与求解对于题目中所说的对C5,C6,C7类包装箱的总数的特别限制，存在以下两种理解：（1）一种是对于每辆车而言，车上C5,C6,C7类包装箱的总空间不超过302.7cm ，（2）另一种是对于两辆车而言，C5,C6,C7类包装箱的总空间不超过302.7cm 。
对此我们分别建立了以下两种模型：1、两辆铁路平板车装运包装箱的整数规划模型一2、两辆铁路平板车装运包装箱的整数规划模型二5.1模型一的建立与求解假设装箱时每辆平板车上只能装载一排的包装箱，不存在并排或者叠加等情况，同时有包装箱之间的间隙可忽略不计。
此时，设第i 种包装箱装在第j 辆平板车上数目Cij,则包装箱在两辆车上所占据的长度： 即为两辆平板。
车的总长为2040cm ，所以浪费的空间27112040ij i j i f C t ===-∑∑。
由于两辆平板车均有各自的长度限制，所以在两辆平板车上的包装箱总厚度不应超过两辆平板车各自的长度限制。
问题中给出两辆车的容许长度均为1020cm,据此建立第一个约束条件71102001,2ij i i C t j =-≥=∑。
由于当地货运的限制，对C 5,C 6,C 7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm 。
据此建立第二个约束条件75302.71,2ij i i C tj =≤=∑。
由于两辆平板车均为超出容许的载重，在平板车上的载重为，两辆平板车的载重均为40000Kg 。
据此建立第三个约束条件71400001,2ij i i C W j =≤=∑。
若包装箱全部装车，则所需空间为2749.5cm 。
而两辆平板车的总长仅2040cm,可以发现包装箱不可以完全装到平板车上。
因此不应将所有包装箱都装到平板车上。
所以七种包装箱的数目在提供的包装箱件数ni 的容许的范围内，并且包装箱在每辆平板车上的数目不为负值，所以可以建立第四个约束条件2101,2,...,7ij ij C n i =≤≤=∑。
根据以上分析可建立以下整数线性规划数学模型：根据两辆铁路平板车装运包装箱的整数规划模型一，我们用LINGO 求得最优解为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（6，2，6，0，0，0，4；1，5，2，5，1，1，2），剩余厚度为0cm 。
考虑到LINGO 求解整数规划只能求出一组最优解的局限性，我们进而用Fortran 编程求出了所有符合条件的12组最优解。
因为不考虑两车先后次序，我们又用对结果去重，最终得到6组最优解（详见下表）。
表一：5.2模型二的建立与求解5.2.1模型二的建立分析可知模型二与模型一的差别，在于模型一中的第二约束条件。
模型二中，两辆平板车上C5,C6,C7类箱子所占总空间的（厚度）不能超过302.7cm。
所以约束条件2715302.7 ij ij i C t==≤∑∑。
可以建立如下整数线性规划模型：5.2.2模型二的求解根据铁路平板车装运包装箱的整数规划模型二，用LINGO求得最优解为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（3，2，9，1，3，0，0；5，5，0，5，0，3，0），剩余厚度为0.6cm。
同样由于LINGO软件的局限性，我们又用Fortran编程求得所有符合条件的54组最优解，经过去重后最终得到27组最优解（详见下表）。
表二：六、模型分析本文针对两辆铁路平板车装运包装箱的问题（视两辆平板车相同，不考虑方案不同仅仅是AB车车次相互交换的情况）装货建立整数规划模型，通过LINGO实现了平板车浪费空间最小的目标，得出了不同种类包装箱装运件数的最优解。
然而，用LINGO求得最优解（仅为多组解中一组），我们采用高级语言：Fortran编译程序，从而得出其他解系（详见附件）。
七、模型推广铁路平板车装运包装箱的整数规划模型在多重约束的线性排列组合问题上具有一定通用性。
八、结论对于第一种理解即每辆车C5、C6、C7这类箱子所占的空间不超过302.7cm的情况，我们建立了模型一，得到6组最优解，两辆车浪费的总空间（厚度）最少为0cm。
对于第二种理解即两辆车C5、C6、C7这类箱子所占的总空间不超过302.7cm的情况，我们建立了模型二、模型三、模型四，最终得到27组最优解，两辆车浪费的总空间（厚度）最少为0.6cm。
九、参考文献[1] 马瑞民，FORTRAN90程序设计，哈尔滨工程大学出版社，2005。
附录1：程序说明1、pbc1.lg4 平板车装货问题规划模型1 Lingo求解的输出数据2、pbc1.lgr 平板车装货问题规划模型1 Lingo求解源程序3、pbc2.lg4 平板车装货问题规划模型1 Lingo求解源程序4、pbc2.lgr 平板车装货问题规划模型1 Lingo求解的输出数据5、pbcgh1.dat 平板车装货问题规划模型1 Fortran90求解的输出数据6、pbcgh1.f90 平板车装货问题规划模型1 Fortran90求解的源程序7、pbcgh2.dat 平板车装货问题规划模型2 Fortran90求解的输出数据8、pbcgh2.f90 平板车装货问题规划模型2 Fortran90求解的源程序附录2：!平板车装货问题规划模型1program pbcgh1implicit noneinteger,dimension(14)::c !C为第一辆、第二辆平板车装各类包装箱数量的组合；integer ::i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,wi,wj，n!i1,i2,...,i7为分别为第一辆车装C1，C2,...,C7类包装箱的数量;!i1,i2,...,i7为分别为第一辆车装C1，C2,...,C7类包装箱的数量;!wi,wj分别为第一辆车、第二辆车上包装箱总重量;! n为最优解的个数;real::t1,t2,ti,tj,s!t1,t2分别为第一辆车、第二辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度；!ti,tj分别为第一辆车、第二辆车上所有包装箱的总厚度；!s为平板车上剩余厚度（空间剩余量）；open(1,file='pbcgh1.dat',status='old')!文件pbcgh1为平板车装货问题模型1的数据文件s=2040 !平板车剩余厚度!为优化算法从C7,C6,...,C1的顺序穷举do i7=0,8do i6=0,4do i5=0,6t1=48.7*i5+52.0*i6+64.0*i7if(t1<=302.7)then !第一辆车C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm;do i4=0,6do i3=0,9do i2=0,7do i1=0,8ti=48.7*i1+52.0*i2+61.3*i3+72.0*i4+48.7*i5+52.0*i6+64.0*i7if(ti<=1020)then !第一辆车上所有包装箱的总厚度不超过车长1020cm；wi=2000*i1+3000*i2+1000*i3+500 *i4+4000*i5+2000*i6+1000*i7if(wi<=40000)then !第一辆车上包装箱总重量不超过40000Kg;do j7=0,8-i7do j6=0,4-i6do j5=0,6-i5t2=48.7*j5+52.0*j6+64.0*j7if(t2<=302.7)then !第二辆车C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm; do j4=0,6-i4do j3=0,9-i3do j2=0,7-i2do j1=0,8-i1tj=48.7*j1+52.0*j2+61.3*j3+72.0*j4+48.7*j5+52.0*j6+64.0*j7if(tj<=1020)then !第二辆车上所有包装箱的总厚度不超过车长1020cm；wj=2000*j1+3000*j2+1000*j3+500 *j4+4000*j5+2000*j6+1000*j7if(wj<=40000)then !第二辆车上包装箱总重量不超过40000Kg;!如果该组合下平板车剩余厚度小于s，最优解的个数记为1，并将该组合下平板车剩余厚度记s；!将该最优解组合存放在数组c中，并将文件定位到文件初始点在第一行按顺序记录下n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,s的值if((2040-ti-tj)<s)thenn=1s=2040-ti-tjc=(/i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7/)rewind(1)write(1,'(1X,17I6,5F7.1)')n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,s!如果该组合下平板车剩余厚度等于s，最优解的个数n加1；!将该最优解组合存放在数组c中，并将文件定位到文件初始点在第n行按顺序记录下n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,s的值else if((2040-ti-tj)==s)thenn=n+1c=(/i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7/) write(1,'(1X,17I6,5F7.1)')n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,s end ifend ifend ifend doend doend doend doend ifend doend doend doend ifend ifend doend doend doend doend ifend doend doend doclose(1)end program pbcgh1附录3：平板车装货问题规划模型2求解的Fortran程序!平板车装货问题规划模型2program pbcgh2implicit noneinteger,dimension(14)::c !C为第一辆、第二辆平板车装各类包装箱数量的组合；integer ::wi,wj,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,n!i1,i2,...,i7为分别为第一辆车装C1，C2,...,C7类包装箱的数量;!i1,i2,...,i7为分别为第一辆车装C1，C2,...,C7类包装箱的数量;!wi,wj分别为第一辆车、第二辆车上包装箱总重量;! n为最优解的个数;real::ti,tj,t1,t2,t12,s!t1,t2分别为第一辆车、第二辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度；!ti,tj分别为第一辆车、第二辆车上所有包装箱的总厚度；!s为平板车上剩余厚度（空间剩余量）；open(1,file='pbcgh2.dat',status='old') !文件pbcgh2为平板车装货问题模型1的数据文件s=2040 !平板车剩余厚度!为优化算法从C7,C6,...,C1的顺序穷举do i7=0,8do i6=0,4do i5=0,6t1=48.7*i5+52.0*i6+64.0*i7 !第一辆车C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm;do i4=0,6do i3=0,9do i2=0,7do i1=0,8ti=48.7*i1+52.0*i2+61.3*i3+72.0*i4+48.7*i5+52.0*i6+64.0*i7if(ti<=1020)then !第一辆车上所有包装箱的总厚度不超过车长1020cm；wi=2000*i1+3000*i2+1000*i3+500 *i4+4000*i5+2000*i6+1000*i7if(wi<=40000)then !第一辆车上包装箱总重量不超过40000Kg;do j7=0,8-i7do j6=0,4-i6do j5=0,6-i5t2=48.7*j5+52.0*j6+64.0*j7t12=t1+t2if(t12<=320.7)then !两辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm; do j4=0,6-i4do j3=0,9-i3do j2=0,7-i2do j1=0,8-i1tj=48.7*j1+52.0*j2+61.3*j3+72.0*j4+48.7*j5+52.0*j6+64.0*j7if(tj<=1020)then !第二辆车上所有包装箱的总厚度不超过车长1020cm；wj=2000*j1+3000*j2+1000*j3+500 *j4+4000*j5+2000*j6+1000*j7if(wj<=40000)then !第二辆车上包装箱总重量不超过40000Kg;!如果该组合下平板车剩余厚度小于s，最优解的个数记为1，并将该组合下平板车剩余厚度记s；!将该最优解组合存放在数组c中，并将文件定位到文件初始点在第一行按顺序记录下n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,t12,s的值if((2040-ti-tj)<s)thenn=1s=2040-ti-tjc=(/i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7/)rewind(1)write(1,'(1X,17I6,6F7.1)')n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,t12,s!如果该组合下平板车剩余厚度等于s，最优解的个数n加1；!将该最优解组合存放在数组c中，并将文件定位到文件初始点在第n行按顺序记录下n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,t12,s的值else if((2040-ti-tj)==s)thenn=n+1c=(/i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7/)write(1,'(1X,17I6,6F7.1)')n,c,wi,wj,ti,tj,t1,t2,t12,send ifendifend ifend doend doend doend doend ifend doend doend doend ifend ifend doend doend doend doend doend doend doclose(1)end program pbcgh2附录3：平板车装货问题规划模型1 Lingo求解的输出数据:Global optimal solution found.Objective value: -0.1705303E-12 Objective bound: 0.000000Infeasibilities: 0.1154632E-12Extended solver steps: 231161Total solver iterations: 380690Model Title: 两辆铁路平板车的装货问题Variable Value Reduced Cost A1 6.000000 -48.70000 A2 2.000000 -52.00000 A3 6.000000 -61.30000 A4 0.000000 -72.00000 A5 0.000000 -48.70000 A6 0.000000 -52.00000 A7 4.000000 -64.00000 B1 1.000000 -48.70000 B2 5.000000 -52.00000 B3 2.000000 -61.30000 B4 5.000000 -72.00000B6 1.000000 -52.00000 B7 2.000000 -64.00000 Row Slack or Surplus Dual Price1 0.000000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 12.00000 0.0000005 10.50000 0.0000006 46.70000 0.0000007 74.00000 0.0000008 1.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 1.000000 0.00000011 1.000000 0.00000012 5.000000 0.00000014 2.000000 0.000000 附录4：平板车装货问题规划模型2 Lingo求解的输出数据:Global optimal solution found.Objective value: 0.6000000Objective bound: 0.6000000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 18522Total solver iterations: 57502Model Title: 两辆铁路平板车的装货问题2Variable Value Reduced Cost A1 3.000000 -48.70000 A2 2.000000 -52.00000 A3 9.000000 -61.30000 A4 1.000000 -72.00000A6 0.000000 -52.00000 A7 0.000000 -64.00000 B1 5.000000 -48.70000 B2 5.000000 -52.00000 B3 0.000000 -61.30000 B4 5.000000 -72.00000 B5 0.000000 -48.70000 B6 3.000000 -52.00000 B7 0.000000 -64.00000 Row Slack or Surplus Dual Price1 0.6000000 -1.0000002 0.1000000 0.0000003 0.5000000 0.0000004 6.500000 0.0000005 6.500000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 3.000000 0.00000012 1.000000 0.00000013 8.000000 0.000000。