常微分方程在数学建模中的应用.
数学建模中的常微分方程
数学建模中的常微分方程在科学中，常微分方程（ODE）是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有着广泛的应用，例如物理、化学、生物学等。
在数学建模中，ODE也起到了至关重要的作用。
一、什么是ODE？ODE是指只包含一个自变量（通常是时间）和它的一个或多个导数的方程。
例如，形式为dy/dx=f(x)的方程就是一个ODE，其中y是x的函数。
ODE分为一阶ODE和高阶ODE。
一阶ODE只包含y和它的一阶导数，而高阶ODE则包含更高阶的导数。
在数学建模中，我们通常使用一阶ODE来描述物理、化学、生物等系统。
二、ODE在数学建模中的应用1.物理建模ODE被广泛运用于物理建模中。
例如，在经典力学中，牛顿第二定律指出，质点的运动状态可以由ODE描述。
在电磁学中，麦克斯韦方程组也可以转化为ODE来描述电磁场的变化。
2.化学建模化学过程中涉及到许多反应，这些反应的速率常常可以使用ODE来描述。
在化学反应模型中，ODE可以用来描述化学反应底物的浓度、反应速率、反应机理等。
3.生物建模ODE在生物建模中也有着广泛的应用。
例如，ODE可用来描述种群数量的变化、生物系统的动力学行为、遗传学习环境等。
三、ODE的求解方法一阶ODE的求解方法非常多，例如欧拉方法、隐式欧拉方法、龙格-库塔方法等。
这些方法可以通过计算机程序实现。
四、数学建模实例考虑一个简单的数学建模实例：一个小球在重力作用下自由落体。
我们可以使用ODE来描述这一过程，即y''=-g，其中g为重力加速度。
假设小球的初始位置为y0，速度为v0，则小球的运动状态可以用ODE求解。
欧拉方法可以得到如下结果：y(n+1)=y(n)+h*v(n)v(n+1)=v(n)-h*g其中，h是自变量的步长。
通过不断迭代，我们可以得到小球落到地面的时间t和落地时的位置y(t)。
总结：ODE在数学建模中具有非常广泛的应用。
它不仅可以描述生物、化学、物理等系统的行为，还可以指导我们如何求解这些系统。
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模在常微分方程中的应用常微分方程是数学中一个重要的研究领域，它描述了物理、工程等各个领域中的许多现象和问题。
数学建模是将实际问题抽象为数学模型，通过数学方法来研究和解决这些问题。
在常微分方程中，数学建模的应用有着重要的地位。
数学建模在常微分方程中的应用，首先体现在对实际问题的建模过程中。
常微分方程可以描述许多现象，例如生物学中的人口增长问题、化学反应动力学、电路中的电流变化等等。
通过对实际问题的观察和分析，可以建立相应的常微分方程模型。
数学建模的主要任务是确定模型中的方程形式和参数值。
这一过程需要深入了解实际问题的背景和特性，结合数学的方法和技巧，确定合适的数学模型。
数学建模在常微分方程中的应用还体现在对方程的求解和分析过程中。
常微分方程一般是通过解析方法或数值方法来求解。
对于一些简单的常微分方程可以通过分离变量、变量代换等方法直接求解。
但是对于一些复杂的常微分方程，求解比较困难甚至无解析解。
此时，数值方法就发挥了重要的作用，如欧拉法、龙格-库塔法等。
数值方法通过数值逼近和计算机模拟，求得近似解，能够克服解析解的困难。
数学建模在常微分方程中的应用还包括对方程解的分析和结果的验证。
对于一些简单的常微分方程，可以通过对解的性质和图像特征的分析来得到对问题的深入理解。
通过对解的稳定性和渐近行为的分析，可以得到对系统行为的预测。
而对于一些复杂的常微分方程，数值解可以作为解的近似，对结果进行验证。
通过比较数值解和解析解（如果存在）的差异，可以评估数值方法的精确度和可靠性。
数学建模在常微分方程中的应用有着重要的作用。
它是将实际问题抽象为数学模型的过程，是求解和分析常微分方程的方法和手段。
通过数学建模，可以对实际问题进行深入理解，提供对问题的解决方案和预测。
数学建模和常微分方程的相互关系也促进了数学和其他学科的交叉和发展。
数学建模的发展对于常微分方程的研究和应用提供了更广阔的空间和方法，对各个领域的科学研究和工程实践具有重要的指导意义。
数学建模思想在常微分方程教学中的运用
数学建模思想在常微分方程教学中的运用在大学数学教学中，常微分方程教学十分重要，在整体的数学教学中具有承上启下的意义，另一方面，常微分方程教学与我们的生活息息相关。
尽管现阶段常微分方程教学在大学数学中的地位逐渐提高，然而因为教学中存在的一些问题导致教学过程中仍然面临诸多问题，其一常微分方程教学过于重视理论，缺乏实践；其二，课堂中教师忽略学生的主观作用，缺乏学生动手实践的能力，只是学习常微分方程的基础理论，却不能利用其解决实际问题。
为了解决这些问题，文章中笔者针对常微分方程教学，对数学建模思想的运用进行了分析。
一、数学建模思想在常微分方程教学中应用重要性（一）是满足数学应用技能型人才培养的基本需求现阶段受社会发展的影响，大学阶段学生面临的就业问题十分现实，而就现在的院校而言，培养应用技能型人才已经逐渐成为办学的主要趋势。
然而受传统教学观念的影响，教师缺乏具体的实践教学，因此，教师要在教学的同时将理论知识与实践进行结合，重点培养学生解决实际问题的能力。
在常微分方程教学中运用数学建模思想，能够重点培养学生的应用技能，同时也是满足数学应用技能型人才培养的基本需求，是大学阶段进行数学常微分方程教学的主要教学手段，学生通过对建模思想的学习，能够提高自身的理论的实际应用水平，培养其应用实践技能。
（二）是满足常微分方程教学设置的基本要求大学阶段的常微分方程教学是数学专业的一门必修课程，然而在具体的课程设置中，在数学分析、以及高等代数等一些专业课程教学之后会进行常微分方程教学，由此可以奠定常微分方程教学在数学专业教学中的重要位置。
为此，在大学阶段的数学专业中，常微分方程教学具有特殊的地位，同样也是数学专业课程设置中最为重要的课程。
将数学建模思想在常微分方程教学中运用，实现数学理论与实践的融合，对大学阶段的数学教学都具有十分重要的影响，可以从中呈现数学课程设置的科学合理性。
二、数学建模思想在常微分方程教学中的运用在大学阶段的常微分方程教学中运用数学建模思想，主要可以从以下几个方面入手，其一是相关方程所涉及的理论以及应用背景；其二，在数学建模思想的基础上应用实际案例教学，进行常微分方程教学；其三，激发学生学习积极性，培养学生理论与实践结合的能力。
常微分方程在数学建模中的应用初探
由于产品是优质品，每 一个产品都会带来新的销量，因此 ｔ 时刻 的产 品销 量增 长率 与 ， 成正 比，与此同时，市场有一定 的容量 ，即产 品的销 ｆ
订ｆ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
２常见常微分方程 数学建模应用举例 、
数学建模是当前理论与实践两方面的研究热点。 数学模型 是指用数 学 符号或数学语言针对一种实际问题或实际系统 的发 生现 象的描述 ， 这种描 述在一般情 况下是近似描述 。数学建模 就是结合 实际情况获得 该数学模 型、 解该模型从而得到结论， 求 并验 证 结 论 正确 合 理 与 否 的 整 个 过程 。 的 总 来说 ， 这是一个用数 学方法解 决实际 问题 的过程 ， 特别 是体现 了“ 数学 ” 用 的精神 。 具体到微分理论主要是解决人们在解决实际 问题是遇到 的以下 困 境： 如果一个变 量变化 （ 增大或者减 小） 另一个变量的变化情况 ， ， 包括变化 大 小 、 向 等性 质 。 解 决 这 种 问 题 的 时 候 ， 接 建 立 需 求 两 个 变 量 之 间 的 方 在 直 关 系 式 求 出两 者 变 化 的 关 系 是 比 较 困 难 的 ， 但 是 建 立 关 于 未 知 变 量 的 导 数， 形成未知变量 以及 自变量 的等式 ， 即构建微分方程则较为简洁 。 在微分 方程 中， 常微分方程涉及 的应用领域非常广泛 ， 已经从最初的物理 、 学应 力 用扩 展 到 了 生 物 、 学 以 及 工 程 技 术 等 各 个 领 域 ， 因 此 成 为 了 重 要 的 数 化 也 学 工 具 。常 微 分 方 程 解 决 实 际 问题 的 时 候 主 要 涉 及 两 方 面 的 内容 ， 一 是 其 哪些 问题可 以作为基础而建立一个常微分方程模 型， 其二是对模型进行分 析求解并 以其结果指导或解释现实世界发生的现象。 本文将 以常见 的常微 分方程为例 ， 分析常微分方程在数学建模中的重要应 用。
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模是指运用数学方法和技巧分析和解决实际问题的过程。
在数学建模中，常微分方程是一个重要的工具，它用于描述许多实际问题中的变化和发展。
下面将介绍常微分方程在数学建模中的应用。
常微分方程可以用来描述许多自然科学和工程科学中的变化和发展过程。
描述物理学中的运动、天文学中的行星运动和混合和反应过程等。
它们还可以用于解决实际问题，如人口增长、疾病传播、金融模型和生态系统动力学等。
常微分方程的一个重要应用领域是物理学。
在经典力学中，可以通过常微分方程来描述物体在外力作用下的运动。
牛顿第二定律可以用常微分方程的形式表示为：
m*d^2x/dt^2 = F(x,t)
其中m是物体的质量，dx/dt是物体的速度，F(x,t)是物体受到的外力。
这个方程可以用来研究物体的运动轨迹和速度随时间的变化。
常微分方程在工程科学中也有广泛的应用。
热传导方程可以用常微分方程的形式表示为：
d(theta)/dt = k*d^2(theta)/dx^2
其中theta是温度分布，t是时间，k是热传导系数，x是空间位置。
这个方程可以用来研究材料中的温度分布和传热过程。
在生物学和生态学中，常微分方程被用来描述生物种群的增长和相互作用。
Lotka-Volterra方程可以用常微分方程的形式表示为：
dN/dt = r*N - a*N*P
dP/dt = -b*P + c*N*P
其中N是捕食者的数量，P是猎物的数量，t是时间，r、a、b和c是常数。
这个方程可以用来研究捕食者和猎物种群之间的相互作用和稳定性。
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是一类用来描述物理系统动态变化的方程。
它们在数学建模中有广泛的应用，可以用来描述各种各样的系统，包括力学系统、电学系统、热学系统、生物学系统等等。
举个例子，假设你想描述一个物体在受到重力作用力时的运动轨迹。
这个问题可以用常微分方程来解决，具体来说，你可以用下面的方程来描述物体的运动：
其中，x 是物体的位置，t是时间，g 是重力加速度。
这个方程表示物体受到重力作用力时的加速度，根据牛顿第二定律，加速度等于作用力除以质量。
因此，这个方程可以用来描述物体在受到重力作用力时的运动轨迹。
常微分方程还可以用来描述其他类似的问题，例如：
•电路中的电流和电压的变化
•化学反应过程中物质浓度的变化
•振动系统中振动的频率和振幅的变化
•生物学系统中生物体内激素浓度的变化
总的来说，常微分方程在数学建模中有着广泛的应用。
它们可以用来描述各种各样的物理系统的动态变化，并且通常都有解析解或者近似解的存在。
此外，常微分方程还有很多的数学理论，可以用来解决常微分方程的特殊情况。
尽管常微分方程在数学建模中有着广泛的应用，但它们也有一些局限性。
例如，常微分方程通常假设系统是连续的、平滑的，并且忽略了离散的、非连续的现象。
在这些情况下，常微分方程可能不再适用。
因此，在使用常微分方程进行数学建模时，需要谨慎考虑是否适用。
(完整版)常微分方程在数学建模中的应用.
微分方程应用1 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.2 数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．3 常微分方程模型3．1 常微分方程的简介微分方程的发展有着渊远的历史．微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解.后来，瑞士数学家雅各布·贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系.如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量.微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式．在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具.3．2 常微分方程模型示例数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等．当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型．建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来．下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型．例1 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？解：第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息．如果我们用)y表示总数，第一句话告诉我们(tky dtdy = 它的通解为kt y Ae =A 和k 这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即,100)0(=y (3.1) 和 ,400)24(=y (3.2) 其中t 的单位为小时．(3.1)意味着.100)0(0===A Ae y(3.2)意味着.400100)24(24==k e y它给出 .24)4(ln =k 故 .100)(244ln t e t y =要我们求的是200100)12(4ln )2412(==e y 个细菌．例 2 将室内一支读数为 60的温度计放到室外．10min 后，温度计的读数为 70；又过了10min ，读数为 76.先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案．牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T 的物体放进处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差．在这个数学模型中，假定介质足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时，m 基本上不受影响．实验证明，这是一个相当好的近似．解 显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。
它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。
本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。
假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。
现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。
为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。
根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。
感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。
总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。
进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。
例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。
反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。
另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。
相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。
通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。
例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。
在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。
此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。
总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。
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微分方程应用1 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等. 数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程. 利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步. 建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程. 要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.2 数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．3 常微分方程模型3．1 常微分方程的简介洛阳师范学院本科毕业论文微分方程的发展有着渊远的历史•微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解•牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解•后来，瑞士数学家雅各布•贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系•如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律•后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置•而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量•微分方程是自变量、未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式•在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质•常微分方程是解决实际问题的重要工具.3. 2常微分方程模型示例数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等.当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型.建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来.下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型.例1细菌的增长率与总数成正比.如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400,那么，前12h后总数是多少？解：第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息.如果我们用y（t）表示总数，第一句话告诉我们它的通解为巴ky dt 典 k ty Ae A 和k 这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即y (o )100, (3.1) y(24) 400, (3.2)其中t 的单位为小时.(3.1)意味着 y(0) Ae 0 A 100. (3.2)意味着 y(24) 100e 24k 400. 它给出 k 也 24 y(t) 100e tln424要我们求的是12 (―)In 4 y(12) 100e 24 200个细菌. 例2将室内一支读数为60的温度计放到室外.10min 后，温度计的读数为 70 ;又过了 10min ,读数为76 .先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿 的冷却定律计算出正确的答案. 牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为 T 的物体放进处于常温m 的介质 中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差.在这个数学模型中，假定介质 足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时， m 基本上不受影响.实验证明， 这是一个相当好的近似.解 显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了。
所 以，用了两段话来作为我们求解的出发点.第三段关键词“以某一速度变化” •这句话是说dT dt与T m是成正比例的，即dT dt k(T m) •给出的三个特定条件是：T(0) 60,T(10) 70,T(20) 76.其中t的单位是分钟，而的单位是度。
微分方程的解为T Ae kt m解出三个常数代k,m解出m 85 .例3红绿灯问题在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则•这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？现在，让我们来分析一下这个问题.在十字路口行驶的车辆中，交警主要考虑的是机动车辆，因为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然也应当能停住。
驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：是停车还是通过路口.如果他决定停车，必须有足够的距离能让他能停得住车.也就是说，在街道上存在着一条无形的线，从这条线到街口的距离与此街道的法定速度有关，法定速度越大，此距离也越大.当黄灯亮起时车子到路口的距离小于此距离时不能停车，否则会冲出路口.大于此距离时必须停车，等于此距离时可以停车也可以通过路口(注：此街道的法定速度由另一问题讨论，制定法定速度的目的是为了最大限度地发挥这一街道的作用).对于那些已经过线而无法停住的车辆，黄灯又必须留下足够的时间使它们能顺利地通过路口.根据上述分析，我们确定了求解这一问题的步骤如下：步1.根据该街道的法定速度V0求出停车线位置(即停车线到街口的距离)步2•根据停车线位置及法定速度确定黄灯该亮多久(停车线的确定)要确定停车线位置应当考虑到两点：(1) 驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间t i，在这段时间里，驾驶员尚未刹车.(2) 驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离.驾驶员的反应时间(实际为平均反应时间)t i 较易得到，可以根据经验或者统 计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求(在考驾照时都必须经过测试).例如，不失一般性，我们可以假设它为 1秒，(反应时间的长短并不影响到计算方法).停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下•设汽车质量为m ,刹车摩擦系数为f ，第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程将(3.4)再积分一次，得将t 2曽代入，即可求得停车距离为x(t2)殊据此可知，停车线到路口的距离应为:1 v L "o t i 岚等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离.(黄灯时间的计算)x(t)为刹车后在t 时刻内行 驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg (g 为重力加速度)•由牛顿d 2x m dt 2 fmg x(0) o, dX dtV 。
(3.3) 在方程(3.3)两边同除以m 并积分一次,并注意到当 0时d "o ，得到 dxfgt dt 刹车时间t 2可这样求得，当t t 2时， dtV o (3.4) t 2V ofg 0，故 X(t)i fgt v o t现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了•在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口. 记街道的宽度为D( D很容易测得)，平均车身长度为I，这些车辆应通过的路程最长可达到L D l，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为：3. 3建立常微分方程模型的方法和步骤从上边的例子大致可以看出微分方程模型的特点是反映客观现实世界中量与量的变化关系，往往与时间有关是一个动态(力)系统.构造常微分方程的数学模型有如下几种方法：1. 运用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的•如力学中的牛顿第二运动定律，万有引力定律，傅里叶传热导定律，弹性形变中的虎克定律，拆里定律，阿基米德原理，放射性问题中的衰变率，生物学、经济学、人口问题中的增长率等.2. 利用导数的定义建立微分方程模型在微积分中导数是一个重要概念，其定义为包lim f(x x) f(x) |jm」dx x 0 x x 0 x如果函数f(x)是可微的，那么dy就可解释为y相对于x在该点的瞬时变化率。
把dx导数解释为瞬时变化率在很多建模应用问题中都有用.如在生物学以及人口问题研究中出现的“速率”、“增长”；在放射问题中出现的“衰变”，在经济学中出现的“边际的”等，这些词的出现就是一个信号，这个时候要注意哪些研究对象在变化，这些变化规律也许可以用在微分方程的表示中.例如在考古学中，经常需要测定某种文物的绝对年龄，这时我们可以考察其中的放射性物质，由裂变规律：放射性物质的裂变速度与其存余量成正比. 我们假设时刻t时该放射性物质的存余量为u , u是t的函数，则我们可以建立常微分方程模型dukudt其中k 0是衰变系数，与放射性物质本身有关•求解该模型，我们解得：u ce kt其中c是待定系数，它可以由初始条件确定•这样我们就可以测定这种文物的绝对年龄•3 •利用微元法建立常微分方程模型这种方法主要是通过寻求微元之间的关系式，直接对函数运用有关定律建立模型•一般的，如果某一实际问题中所求的变量I符合下列条件：I是与一个自变量x的变化区间［a,b］有关的量；I对于区间［a,b］具有可加性；部分量I i f ( i ) X i •那么就可以考虑利用微元法来建立常微分方程模型，其步骤是：根据问题的具体情况，选取一个自变量X，并确定其变化区间为［a,b］；在区间［a,b］中任意选取一个任意小的区间记作［x, x dx］，求出相应于这个区间的部分量I的近似值•将I 近似的表示为一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积，即I f (x)dx，记f (x)dx dI ，dI称为量I的微元.等式两边同时积分就可以求出要求的量I了.这种方法经常被应用于各种领域.例如在空间解析几何上可以用微元法求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积；代数方面求近似值以及流体混合问题；物理上求变力做功、压力、静力矩与重心.4. 模拟近似对于规律或现象不很清楚，比较复杂的实际问题，常用模拟近似法来建立常微分方程模型.这类模型一般要做一些合理假设，将要研究的问题突出出来.这个过程往往是近似的，因此用此法建立常微分方程模型后，要分析其解的有关性质，在此基础上同实际情况对比，看所建立的模型是否符合实际，必要时要对假设或模型进行修改.3.4建立微分方程模型的一般准则在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的规律.微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲线.(1)转化翻译：有许多表示导数的常用词，如速率、增长、衰变、边际、弹性等.改变、变化、增加、减少这些词可能是一种暗示信号，只需弄清楚什么在变，随什么而变，这时也许导数就用得上.(2) 机理分析：将所研究的问题看成一个封闭和系统，思考研究的问题是否遵循什么原理或物理定律，是应该用已知的定律还是去推导问题的合适结果•在不知道问题的机理时，合理的想象和类比是很重要的.不少问题都遵循下面的平衡式：净变化率输入率-输出率如果当这个平衡式出现的时候我们能理解它，并且能使用正确的物理量纲，或许就得到了需要的微分方程.(3) 微分方程模型：微分方程是在任何时刻必须正确的瞬时表达式•如看到了表示导数的关键词，就要寻找y (t)与y(t), t的关系•首先将注意力集中在文字形式的总关系式上，如“速率二输入-输出” •写出这些关系式，然后准确填好式中的所有项.(4) 单位：一旦确定了哪些项应该列入微分方程中，就要确保每一项都采用同样的物理单位，保证式子的平衡.(5) 定解条件：系统在某一特定时刻的信息，独立于微分方程而成立，利用它们来确定有关的常数，包括比例系数、原微分方程的其它参数以及解中的积分系数.4微分方程建模4.1数学建模的简介数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程•这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象；也包涵抽象的现象，如顾客对某种商品所取的价值倾向.这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容•我们还可以直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家变成物理学家、生物学家，经济学家甚至是心理学家等的过程.要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音、录像、比喻、传言等等.而数学语言以其科学性、逻辑性、客观性及可重复性的特点，在描述各种现象时体现出其别具一格地严密与贴合实际.正是由于这样，更多人越来越喜欢运用数学这种严格而又严密的语言，而使用数学语言描述的事物就称为数学模型•有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代.举个简单例子：某司机欲把某货物从甲地运往乙地，应如何选择运输路线使总路程最短？该司机不会开着车去试探，而是利用交通图来确定自己的行车路线•从这个简单的例子中我们可以看到数学模型的重要性.应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，也就是说使抽象的事物变的感性化.而建立模型首先要通过调查、收集数据资料，其次是观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，最后是建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.在这个过程中深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力、对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面就尤为重要•其实，数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到各类学科的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一• 4.2数学建模的方法与步骤数学模型就是针对或参照某种问题（事件或系统）的特征和数量相依关系，采用形式化语言，概括或近似地表达出来的一种数学结构•数学模型因问题不同而异，建立数学模型也没有固定的格式和标准，甚至对同一个问题，不同角度，不同要求出发，可以建立起不同的数学模型，因此，与其说数学建模是一门技术，不如说是一门艺术•它需要熟练地数学技巧，丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要大量阅读，思考别人做的模型，尤其要自己动手，亲身体验•数学建模注重的是建模的方法和过程，一般的建模方法和步骤如下：1. 模型准备如果想对某个实际问题进行数学建模，通常要先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清楚要建模的问题属于哪类学科，然后通过互联网或图书馆查找，搜集与建模要求相关的资料和信息，对该问题进行全面的，深入细致的调查和研究.2. 模型假设一个实际问题往往会涉及很多因素，如果把涉及的所有因素都考虑到，既不可能也没必要，而且还会使问题复杂化导致建模失败•要想把实际问题变为数学问题，需要抓住主要因素，暂不考虑或忽略次要因素，对其进行必要的、合理的简化和假设•一般的，所得建模的结果依赖于对应模型的假设，模型假设到何种程度取决于经验和具体问题•在整个建模过程中，模型假设可以通过模型的不断修改得到逐步完善.3. 模型建立有了模型假设，就可以选择适当的数学工具并根据已有的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构•在建模时有几点是需要注意的：①分清变量类型，恰当使用数学工具如果实际问题中的变量时确定性变量，建模时数学工具多用微积分、微分方程、线性规划、非线性规划、图论与网络、投入产出、插值与拟合等•如果是随机变量，建模时数学工具多用概率、统计、随机性存贮论、排队论、对策论、决策论、随机微分方程等•由于数学分支很多, 又加之互相交叉渗透，派生出许多分支•建模时具体用什么分支好，一是因问题而异，二是因人而异，应看自己对哪门学科比较熟悉精通，尽量发挥自己的特长.②抓住问题的本质，简化变量之间的关系模型尽可能简单、明了、思路清晰, 能不采用尽量不用高深的数学知识，不要追求模型技术的完美，要侧重于实际应用.③建模要有严密的推理在己定的假设下，建模过程中推理一定要严密，以保证模型的正确性，否则会造成模型错误，前功尽弃.④建模要有足够的精确度所建的模型应能够满足实际问题对精度的具体要求.4. 模型求解在已经建立起来的数学模型中可采用解方程、推理、图解、定理证明等各种传统和现代的数学方法进行求解，其中有些工作可以用计算机软件来完成•目前市场上流行的数学工具软件比较多.如Mathlab，Mathematic等.5. 模型检验在求得模型的解之后，需要对模型进行分析和检验.模型分析主要包括误差分析、模型对数据的稳定性分析和灵敏度分析等.模型检验是将所得结果的理论数值与实际数值相比较，如果两者相符，则说明所建模型是成功的：否则需要对所建模型进行修改.因为所建模型是在一定假设条件下所得的，理想化的产物，可能与实际问题有较大出入，这时需要反过来仔细检查简化与假设是否合理•如果不合理则进行修改同时根据新的简化与假设建立数学模型•这个过程需要反复循环进行，直到满足要求为止.6. 模型应用利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释和预报供决策者参考，这一过程称为模型应用.一般来说，建模是预测的基础，而预测又是决策与控制的前提.建立数学模型的步骤可以用下面的框图4一1表示4.3数学建模示例在建模中，根据问题不同建立的模型不同，在前文也讲到了具体哪些问题用 到建立微分方程模型.在数学建模中有各种各样的常微分方程模型，例如：人口 模型、传染病模型、糖尿病模型、作战模型、交通模型、经济模型、辨别艺术伪 造品模型等，这里以人口模型为例简单介绍常微分方程在建模中的应用.例4人口模型人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口 也以空前的规模增长，统计数据见表 4— 1.由表4— 1可见，世界人口每增加10 亿的时间由100年缩短为十二、三年，人类赖以生存的地球已经携带着它的 60亿子民进入了 21世纪.长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和 环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系，人口数量 的变化规律，以及如何进行人口控制等问题•认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人 口增长的前提•长期以来人们在这方面做了不少工作，下面介绍两个最基本的人口 模型，并利用表4-2给出的近两个世纪的美国人口统计数据，对模型作检验 .表4 — 2美国人口统计数据(单位：百万)图4—1数字工具解释、预测1.人口指数增长模型(马尔萨斯人口模型)最简单的人口增长模型是：记今年人口为x o，k年后人口为x k，年增长率为r，则kX k X o(1 r) ,k 1,2,L . (4.1)显然，这个公式的基本前提是年增长率r保持不变.二百多年前英国人口学家马尔萨斯 (Malthus, 1766-1834)调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口的增长率是常数的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型.(1)模型构成记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，x(t)是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数.记初始时刻(t 0)的人口为X。