常微分方程在数学建模中的应用论文
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模在常微分方程中的应用数学建模是一项广泛应用于各领域的数学方法，而常微分方程恰好是数学建模中常见的一种手段。
常微分方程是描述自然界许多物理现象和生物现象的数学工具，如机械振动、电路理论、生物种群模型、人口增长模型等。
本文将深入探讨数学建模在常微分方程中的应用，为你带来一些启发和思考。
一、模型的建立建立数学模型的第一步是明确问题的背景和目标，确定所涉及的变量及其相互之间的关系。
在常微分方程中，模型通常可以写成如下形式：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中，$y$是待定函数，$x$是自变量，$f(x,y)$则是关于$y$和$x$的已知函数。
这个模型描述了函数$y$的变化速率与它所处的位置$x$和它自身的值$y$有关。
二、利用数学方法解常微分方程在将模型建立起来后，我们需要求出未知函数$y$的解，这就需要利用各种数学方法。
下面是几种解常微分方程的方法：1.分离变量法当常微分方程可以写成以下形式：我们就可以采用“分离变量”的方法，将未知函数$y$和独立变量$x$分别在两边隔离，然后进行积分即可解出方程的解。
2.变量代换法当常微分方程比较复杂，难以直接求解时，我们可以尝试将自变量$x$或者$y$进行代换，将方程转化为更容易解决的形式。
3.常数变易法当常微分方程无法直接求解，但是已知特定的边界条件时，我们可以采用常数变易法，通过对未知函数常数进行变异，消去特定边界条件，从而解出常微分方程的解。
常微分方程在各个领域中的应用广泛，下面列举了其中的一些实际问题：1.自由落体运动自由落体运动是物理学中的一个基本概念，可以通过常微分方程建立模型。
当物体从高空落下时，它所受的重力和阻力之间的平衡关系将导致其速度的变化。
可以用以下的常微分方程来描述这个过程：其中，$v$为物体的速度，$t$为时间，$g$为重力加速度，$k$为空气阻力系数。
2.生物种群模型生物种群模型通常涉及到生物种群数量的变化。
一个典型的生物种群模型可以写作以下的常微分方程组：其中，$S$表示易感者的数量，$I$表示感染者的数量，$R$表示恢复者的数量，$b$和$d$分别为出生率和自然死亡率，$e$表示感染率，$a$为发病率，$v$为治愈率，$c$和$d$为康复者的死亡率和自然死亡率。
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模在常微分方程中的应用常微分方程是数学中一个重要的研究领域，它描述了物理、工程等各个领域中的许多现象和问题。
数学建模是将实际问题抽象为数学模型，通过数学方法来研究和解决这些问题。
在常微分方程中，数学建模的应用有着重要的地位。
数学建模在常微分方程中的应用，首先体现在对实际问题的建模过程中。
常微分方程可以描述许多现象，例如生物学中的人口增长问题、化学反应动力学、电路中的电流变化等等。
通过对实际问题的观察和分析，可以建立相应的常微分方程模型。
数学建模的主要任务是确定模型中的方程形式和参数值。
这一过程需要深入了解实际问题的背景和特性，结合数学的方法和技巧，确定合适的数学模型。
数学建模在常微分方程中的应用还体现在对方程的求解和分析过程中。
常微分方程一般是通过解析方法或数值方法来求解。
对于一些简单的常微分方程可以通过分离变量、变量代换等方法直接求解。
但是对于一些复杂的常微分方程，求解比较困难甚至无解析解。
此时，数值方法就发挥了重要的作用，如欧拉法、龙格-库塔法等。
数值方法通过数值逼近和计算机模拟，求得近似解，能够克服解析解的困难。
数学建模在常微分方程中的应用还包括对方程解的分析和结果的验证。
对于一些简单的常微分方程，可以通过对解的性质和图像特征的分析来得到对问题的深入理解。
通过对解的稳定性和渐近行为的分析，可以得到对系统行为的预测。
而对于一些复杂的常微分方程，数值解可以作为解的近似，对结果进行验证。
通过比较数值解和解析解（如果存在）的差异，可以评估数值方法的精确度和可靠性。
数学建模在常微分方程中的应用有着重要的作用。
它是将实际问题抽象为数学模型的过程，是求解和分析常微分方程的方法和手段。
通过数学建模，可以对实际问题进行深入理解，提供对问题的解决方案和预测。
数学建模和常微分方程的相互关系也促进了数学和其他学科的交叉和发展。
数学建模的发展对于常微分方程的研究和应用提供了更广阔的空间和方法，对各个领域的科学研究和工程实践具有重要的指导意义。
数学建模思想在常微分方程教学中的运用
数学建模思想在常微分方程教学中的运用在大学数学教学中，常微分方程教学十分重要，在整体的数学教学中具有承上启下的意义，另一方面，常微分方程教学与我们的生活息息相关。
尽管现阶段常微分方程教学在大学数学中的地位逐渐提高，然而因为教学中存在的一些问题导致教学过程中仍然面临诸多问题，其一常微分方程教学过于重视理论，缺乏实践；其二，课堂中教师忽略学生的主观作用，缺乏学生动手实践的能力，只是学习常微分方程的基础理论，却不能利用其解决实际问题。
为了解决这些问题，文章中笔者针对常微分方程教学，对数学建模思想的运用进行了分析。
一、数学建模思想在常微分方程教学中应用重要性（一）是满足数学应用技能型人才培养的基本需求现阶段受社会发展的影响，大学阶段学生面临的就业问题十分现实，而就现在的院校而言，培养应用技能型人才已经逐渐成为办学的主要趋势。
然而受传统教学观念的影响，教师缺乏具体的实践教学，因此，教师要在教学的同时将理论知识与实践进行结合，重点培养学生解决实际问题的能力。
在常微分方程教学中运用数学建模思想，能够重点培养学生的应用技能，同时也是满足数学应用技能型人才培养的基本需求，是大学阶段进行数学常微分方程教学的主要教学手段，学生通过对建模思想的学习，能够提高自身的理论的实际应用水平，培养其应用实践技能。
（二）是满足常微分方程教学设置的基本要求大学阶段的常微分方程教学是数学专业的一门必修课程，然而在具体的课程设置中，在数学分析、以及高等代数等一些专业课程教学之后会进行常微分方程教学，由此可以奠定常微分方程教学在数学专业教学中的重要位置。
为此，在大学阶段的数学专业中，常微分方程教学具有特殊的地位，同样也是数学专业课程设置中最为重要的课程。
将数学建模思想在常微分方程教学中运用，实现数学理论与实践的融合，对大学阶段的数学教学都具有十分重要的影响，可以从中呈现数学课程设置的科学合理性。
二、数学建模思想在常微分方程教学中的运用在大学阶段的常微分方程教学中运用数学建模思想，主要可以从以下几个方面入手，其一是相关方程所涉及的理论以及应用背景；其二，在数学建模思想的基础上应用实际案例教学，进行常微分方程教学；其三，激发学生学习积极性，培养学生理论与实践结合的能力。
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模是指运用数学方法和技巧分析和解决实际问题的过程。
在数学建模中，常微分方程是一个重要的工具，它用于描述许多实际问题中的变化和发展。
下面将介绍常微分方程在数学建模中的应用。
常微分方程可以用来描述许多自然科学和工程科学中的变化和发展过程。
描述物理学中的运动、天文学中的行星运动和混合和反应过程等。
它们还可以用于解决实际问题，如人口增长、疾病传播、金融模型和生态系统动力学等。
常微分方程的一个重要应用领域是物理学。
在经典力学中，可以通过常微分方程来描述物体在外力作用下的运动。
牛顿第二定律可以用常微分方程的形式表示为：
m*d^2x/dt^2 = F(x,t)
其中m是物体的质量，dx/dt是物体的速度，F(x,t)是物体受到的外力。
这个方程可以用来研究物体的运动轨迹和速度随时间的变化。
常微分方程在工程科学中也有广泛的应用。
热传导方程可以用常微分方程的形式表示为：
d(theta)/dt = k*d^2(theta)/dx^2
其中theta是温度分布，t是时间，k是热传导系数，x是空间位置。
这个方程可以用来研究材料中的温度分布和传热过程。
在生物学和生态学中，常微分方程被用来描述生物种群的增长和相互作用。
Lotka-Volterra方程可以用常微分方程的形式表示为：
dN/dt = r*N - a*N*P
dP/dt = -b*P + c*N*P
其中N是捕食者的数量，P是猎物的数量，t是时间，r、a、b和c是常数。
这个方程可以用来研究捕食者和猎物种群之间的相互作用和稳定性。
常微分方程理论在数学建模中的简单应用
常微分方程理论在数学建模中的简单应用摘要：众所周知，自然界中一切物质都按照自身的规律在运动和演变，不同物质的运动规律总是在时间和空间中运动着的，虽然物质的运动形式千差万别，但我们总可以找到它们共性的一面，即具有共同的量的变化规律。
为了能够定性和定量的研究一些特定的运动和演变过程，就必须将物质运动和演变过程中相关的因素进行数学化。
这种数学化的过程就是数学建模的过程，即根据运动和演变规律找出不同变量之间互相制约、互相影响的关系式。
由于大量的实际问题中，稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数，却容易建立变量及其导数(或微分)间的关系式，即微分方程。
微分方程描述的是物质运动的瞬时规律。
将常微分方程应用于数学建模是因为常微分方程理论是用数学方法解决实际问题的强有力的工具，是一门有着重要背景应用的学科，具有悠久的历史，系统理论日臻完善，而且继续保持着进一步发展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题中。
关键词：常微分方程，常微分方程模型，稳定性，数学建模正：１数学建模简介对复杂现象进行分析，用数学语言来描述其中的关系或规律，抽象出恰当的数学关系，并将其实际问题转化成为一个数学问题，同时运用数学系统的知识方法对数学问题进行求解，对现实问题作出解释的过程，这就是数学建模…。
与数学不同，构建数学模型的过程不仅要对复杂的问题进行提炼、归纳和总结而且还应进行演绎推理。
所以构建数学模型的过程也是一个演绎推理与归纳总结相结合的过程。
对现实问题的观察、假设、归纳，怎样将其化为一个数学问题是数学建模的关键。
但这仅仅是数学建模的开始，完整的数学建模过程还应求解数学问题并能得到所要求的解。
同时还应看到得出的解是否与数据或实际经验相吻合，是否能解释实际问题；否则，还应重新修正。
２常微分方程和数学建模结合的特点通常在建立对象的动态模型时，应对不同的实际对象建立不同的并与之相适合的数学模型。
首先要具体的问题具体分析对建模的目的应该做出简化的假设，而后还要依照对可以类比的其它对象的规律或者其对象内在的微分方程进行解题并求出这一方程的解，这样才能将其结果反馈回实际的对象，然后再进行预测或控制，描述与分析。
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是一类用来描述物理系统动态变化的方程。
它们在数学建模中有广泛的应用，可以用来描述各种各样的系统，包括力学系统、电学系统、热学系统、生物学系统等等。
举个例子，假设你想描述一个物体在受到重力作用力时的运动轨迹。
这个问题可以用常微分方程来解决，具体来说，你可以用下面的方程来描述物体的运动：
其中，x 是物体的位置，t是时间，g 是重力加速度。
这个方程表示物体受到重力作用力时的加速度，根据牛顿第二定律，加速度等于作用力除以质量。
因此，这个方程可以用来描述物体在受到重力作用力时的运动轨迹。
常微分方程还可以用来描述其他类似的问题，例如：
•电路中的电流和电压的变化
•化学反应过程中物质浓度的变化
•振动系统中振动的频率和振幅的变化
•生物学系统中生物体内激素浓度的变化
总的来说，常微分方程在数学建模中有着广泛的应用。
它们可以用来描述各种各样的物理系统的动态变化，并且通常都有解析解或者近似解的存在。
此外，常微分方程还有很多的数学理论，可以用来解决常微分方程的特殊情况。
尽管常微分方程在数学建模中有着广泛的应用，但它们也有一些局限性。
例如，常微分方程通常假设系统是连续的、平滑的，并且忽略了离散的、非连续的现象。
在这些情况下，常微分方程可能不再适用。
因此，在使用常微分方程进行数学建模时，需要谨慎考虑是否适用。
(完整版)常微分方程在数学建模中的应用.
微分方程应用1 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.2 数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．3 常微分方程模型3．1 常微分方程的简介微分方程的发展有着渊远的历史．微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解.后来，瑞士数学家雅各布·贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系.如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量.微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式．在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具.3．2 常微分方程模型示例数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等．当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型．建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来．下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型．例1 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？解：第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息．如果我们用)y表示总数，第一句话告诉我们(tky dtdy = 它的通解为kt y Ae =A 和k 这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即,100)0(=y (3.1) 和 ,400)24(=y (3.2) 其中t 的单位为小时．(3.1)意味着.100)0(0===A Ae y(3.2)意味着.400100)24(24==k e y它给出 .24)4(ln =k 故 .100)(244ln t e t y =要我们求的是200100)12(4ln )2412(==e y 个细菌．例 2 将室内一支读数为 60的温度计放到室外．10min 后，温度计的读数为 70；又过了10min ，读数为 76.先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案．牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T 的物体放进处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差．在这个数学模型中，假定介质足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时，m 基本上不受影响．实验证明，这是一个相当好的近似．解 显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。
它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。
本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。
假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。
现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。
为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。
根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。
感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。
总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。
进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。
例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。
反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。
另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。
相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。
通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。
例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。
在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。
此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。
总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
毕业论文论文题目：常微分方程在数学建模中的应用姓名：学科专业：指导教师：完成时间：常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。
本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。
关键字常微分方程、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液的数学模型、震动模型第一章人口预测模型第二章市场价格模型第三章混合溶液的数学模型第四章震动模型绪论当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。
建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。
事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初速度是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。
”又如“容器内有盐水100L,内含盐10kg,令以3L/min的速度从一管放进净水，以2L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化规律。
”本文讨论的是常微分方程在数学建模中的应用。
第一章 人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（马尔萨斯（Malthus ）模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e 1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，000)(1d d N t N N N N r t N上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ；（2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数； （3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<tN ,t N d d 单减,即人口增长率t N d d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿.值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.第二章 市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率t p d d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f t p α 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t p αα①其中d c b a ,,,均为正常数,其解为 c a d b c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e )(α. 下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-, 于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 p p p t p tc a +-=+-)(0e )()(α ,令+∞→t ,取极限得p t p t =+∞→)(lim这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p p =0,则动态价格就维持在均衡价格p 上,整个动态过程就化为静态过程；（2）由于t c a c a p p t p )(0e )()(d d +-+-=αα , 所以,当p p >0时,0d d <t p ,)(t p 单调下降向p 靠拢；当p p <0时, 0d d >tp ,)(t p 单调增加向p 靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.第三章 混合溶液的数学模型例4 设一容器内原有100L 盐,内含有盐10kg,现以3L/min 的速度注入质量浓度为0.01kg/L 的淡盐水,同时以2L/min 的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.解 设t 时刻容器内的盐量为)(t x kg,考虑t 到t t d +时间内容器中盐的变化情况,在dt 时间内容器中盐的改变量=注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量 容器内盐的改变量为x d ,注入的盐水中所含盐量为t d 301.0⨯,t 时刻容器内溶液的质量浓度为tt x )23(100)(-+,假设t 到t t d +时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于t d 时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为t tt x d 2)23(100)(-+,这样即可列出方程 t tx t x d 1002d 03.0d +-=, 即tx t x +-=100203.0d d . 又因为0=t 时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为d 20.03d 100(0)10x x t t x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪⎪=⎩，, 这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为 24)100(109)100(01.0)(t t t x +⨯++=. 下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t 时刻容器内溶液的质量浓度为34)100(10901.0100)()(t t t x t p +⨯+=+=, 且当+∞→t 时,01.0)(→t p ,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量1V 注入质量浓度为1C 的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以2V 的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.首先设容器中溶质的质量为)(t x ,原来的初始质量为0x ,t =0时溶液的体积为2V ,在d t 时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即t V C t V C x d d d 2211-=,其中1C 是流入溶液的质量浓度, 2C 为t 时刻容器中溶液的质量浓度,，tV V V xC )(2102-+=于是,有混合溶液的数学模型11220d d (0)xC V C V tx x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，． 该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.第四章 振动模型振动是生活与工程中的常见现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.例 5 设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为m 的物体,试研究其振动规律.解 假设（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取x 轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移0x 及初始速度0v 下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；（3）物体在t 时刻的位置坐标为)(t x x =,即t 时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为txhd d -,h 为阻尼系数； （5）当质点有位移)(t x 时,假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为kx -,其中k 为劲度系数；（6）在振动过程中受外力)(t f 的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得)(d d d d 22x f kx t xh tx m+--= , ① 这就是该物体的强迫振动方程.由于方程①中, )(t f 的具体形式没有给出,所以,不能对式 ①直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论.1. 无阻尼自由振动在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力 作用.此时方程①变为图40d d 22=+kx txm ,令2ω=mk,方程变为 0d d 222=+x txω,特征方程为 022=+ωλ, 特征根为 ωλi 2,1±=,通解为 t C t C x ωωcos sin 21+=,或将其写为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=t C C C t C C C C C x ωωcos sin 22212222112221()t t A ωϕωϕcos sin sin cos +=，)sin(ϕω+=t A 其中 2221C C A +=,22212sin CC C +=ϕ,22211cos CC C +=ϕ.这就是说,无阻尼自由振动的振幅2221C C A +=,频率mk=ω均为常数. 2.有阻尼自由振动在该种情况下,考虑物体所受到的阻力,不考虑物体所受的外力.此时,方程①变为0d d d d 22=++kx t xh tx m ,令2ω=m k ,δ2=mh,方程变为 0d d 2d d 222=++x t xtx ωδ, 特征方程为0222=++ωδλλ,特征根 222,1ωδδλ-±-=.根据δ与ω的关系,又分为如下三种情形：(1)大阻尼情形, δ>ω.特征根为二不等实根,通解为ttC C x )(2)(12222eeωδδωδδ-+--+-+=(2)临界阻尼情形,ωδ=.特征根为重根,通解为t t C C x δ-+=e )(21这两种情形,由于阻尼比较大,都不发生振动.当有一初始扰动以后,质点慢慢回到平衡位置,位移随时间t 的变化规律分别如图5和图6所示.图5 图6(3)小阻尼情形,δ<ω.特征根为共轭复根,通解为)sin C sin C (e 222221t t x t δωδωδ-+-=-将其简化为)sin(e 22ϕδωδ+-=-t A x t其中,cos ,sin ,22211222122221C C C C C C C C A ++=+=ϕϕ振幅A t δ-e 随时间t 的增加而减小.因此,这是一种衰减振动.位移随时间t 的变化规律见右图7.3.无阻尼强迫振动在这种情形下,设物体不受阻力作用,其所受外力为简谐力pt m t f sin )(=,此时,方程①化为 图7pt m kx txm sin d d 22=+,pt x txsin d d 222=+ω,根据p i 是否等于特征根ωi ,其通解分为如下两种情形：（1）当ω≠p 时,其通解为t C t C pt p x ωωωcos sin sin 12122++-=,此时,特解的振幅221p-ω为常数,但当p 接近于ω时,将会导致振幅增大,发生类似共振的现象；（2）当ω=p 时,其通解为t C t C pt t px ωωcos sin cos 2121++-=, 此时,特解的振幅t p21随时间t 的增加而增大,这种现象称为共振,即当外力的频率p 等于物体的固有频率ω时,将发生共振.4.阻尼强迫振动在这种情形下,假定振动物体既受阻力作用,又受外力pt m x f sin )(=的作用,并设ωδ<,方程①变为pt x t xtx sin d d 2d d 222=++ωδ , 特征根0,i 22≠-±-=δδωδλ,则p i 不可能为特征根,特解为pt B pt A x cos sin *+=,其中22222224)(p p p A δωω+--=,222224)(2pp pB δωδ+--=, 还可将其化为*22222221[()sin 2cos ]()4x w p pt p pt w p pδδ=---+, 由此可见,在有阻尼的情况下,将不会发生共振现象,不过,当ω=p 时,pt px cos 21*δ-=, 若δ很小,则仍会有较大的振幅；若δ比较大,则不会有较大的振幅.结论在科学研究和生产实际中，经常要寻求表示客串事物的变量的函数关系。