最新31微分方程与微分方程建模法汇总

31微分方程与微分方

程建模法

第三章微分方程模型

3.1微分方程与微分方程建模法

一、微分方程知识简介

我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。

微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）

?Skip Record If...?(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）

?Skip Record If...?(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。

0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。

1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。

分离变量法：（1）可分离变量方程： ?Skip Record If...?

(2) 齐次方程：?Skip Record If...?

常数变易法：(1) 线性方程，?Skip Record If...??Skip Record If...?

(2) 伯努里方程，?Skip Record If...??Skip Record If...?

积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。

对于一阶隐式微分方程?Skip Record If...?有

参数法：(1) 不含x或y的方程:?Skip Record If...?

(2) 可解出x或y的方程：?Skip Record If...?

对于高阶方程，有

降阶法：?Skip Record If...?

恰当导数方程

一阶方程的应用问题（即建模问题）。

2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）；

n阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特

殊型非齐次常系数线性方程解的待定系数法；（4）求解初值问题的拉普拉斯变换法；（5）求二阶线性方程的幂级数解法。

4．常微分方程的基本定理：常微分方程的几何解释（线素场），初值问题解的存在与唯一性定理（条件与结论），求方程的近似解（欧拉折线法与毕卡逐次逼近法），解的延展定理与比较定理、唯一性定理证明解的存在区间（如为左右无穷大），奇解与包络线，克莱罗方程。

5．常微分方程的稳定性理论：掌握稳定性的一些基本概念，以及运用特征根法判断常系数线性方程（组）的解的稳定性，运用李雅普诺夫函数法判断一般方程（组）的解的稳定性。

6．常微分方程的定性理论：掌握定性理论的一些基本概念，运用特征根法判断奇点类型，极限环。

7．差分方程。

8．偏微分方程。

二、数学建模的微分方程方法

微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建

模适用的领域比较广，利用它可建立纯数学（特别是几何）模型，物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型，航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型，考古（鉴定文物年代）模型，交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）模型，生态（人口、种群数量）模型，环境（污染）模型，资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模型，医学（流行病、传染病问题）模型，经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，战争（正规战、游击战）模型等。其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。下面，我们给出如何利用方程知识建立数学模型的几种方法。

1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型。这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。

例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的[5]。又如在天文学、气象学中常用到的等角轨线，已知曲线或曲线族(c)，求曲线?Skip Record If...?（等角轨线或正交轨线），使?Skip Record If...?与(c)中每条曲线相交成给定的角度（这是题目中明确给出的条件，即曲线的切线相交成给定的角度，这样，就在它们的导数之间建立了联系），又题目中隐含的条件是：在?Skip Record If...?与(c)中曲线相交点处，它们的函数值相等；这样，我们只要求出已知曲线或曲线族的微分方程，根据它们之间的联系，就可以建立等角轨线的微分方程模型，从而求出等角轨线的方程[5]。

2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型。我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线y=y(x)上某点的切线斜率即函数y=y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运动定律：f=ma,其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数；电学中的基尔霍夫定律等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。

例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻力系数为?Skip Record If...?，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t时物体的下落速度为?Skip Record If...?，初始条件：?Skip Record If...?。由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：

?Skip Record If...?

求解模型可得：

?Skip Record If...?

由上式可知，当?Skip Record If...?时，物体具有极限速度：

?Skip Record If...?，

其中，阻力系数?Skip Record If...?，?Skip Record If...?为与物体形状有关的常数，?Skip Record If...?为介质密度，s为物体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在?Skip Record If...?一定时，要求落地速度?Skip Record If...?不是很大时，我们可以确定出s来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的直径大小来。

3．利用导数的定义建立微分方程模型。导数是微积分中的一个重要概念，其定义为

?Skip Record If...?，

商式?Skip Record If...?表示单位自变量的改变量对应的函数改变量，就是函数的瞬时平均变化率，因而其极限值就是函数的变化率。函数在某点的导数，就是函数在该点的变化率。由于一切事物都在不停地发展变化，变化就必然有变化率，也就是变化率是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的。这就很容易将导数与实际联系起来，建立描述研究对象变化规律的微分方程模型。

例如在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射性物质（如镭、铀等），已经证明其裂变速度（单位时间裂变的质量，即其变化率）与其存余量成正比。我们假设时刻t时该放射性物质的存余量R是t 的函数，由裂变规律，我们可以建立微分方程模型:

?Skip Record If...?

期中?Skip Record If...?是一正的比例常数，与放射性物质本身有关。求解该模型，我们解得：?Skip Record If...?，其中c是由初始条件确定的常数。从这个关系式出发，我们就可以测定某文物的绝对年龄。（参考碳定年代法）另外，在经济学领域中，导数概念有着广泛的应用，将各种函数的导函数（即函数变化率）称为该函数的边际函数，从而得到经济学中的边际分析理论。

4．利用微元法建立微分方程模型。一般的，如果某一实际问题中所求的变量p符合下列条件：p是与一个变量t的变化区间[a, b]有关的量；p对于区间[a, b]具有可加性；部分量?Skip Record If...?的近似值可表示为?Skip Record If...?。那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，其步骤是：首先根据问题的具体情况，选取一个变量例如t为自变量，并确定其变化区间[a, b]；在区间[a, b]中随便选取一个任意小的区间并记作[?Skip Record If...?]，求出相应于这个区间的部分量?Skip Record If...?的近似值。如果?Skip Record If...?能近似的标示为[a,

b]上的一个连续函数在t处的值?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的乘积，我们就把?Skip Record If...?称为量?Skip Record If...?的微元且记作?Skip Record If...?。这样，我们就可以建立起该问题的微分方程模型：

?Skip Record If...?。对于比较简单的模型，两边积分就可以求解该模型。

例如在几何上求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积、空间立体体积[3]；代数方面求近似值[3]以及流体混合问题[4]；物理上求变力做功、压力、平均值、静力矩与重心[3]；这些问题都可以先建立他们的微分方程模型，然后求解其模型。

在2005年的全国大学生数学建模竞赛A题（原题见竞赛试题）中，对于长江流域的三类主要污染物----溶解氧，高锰酸盐指数与氨氮污染，我们运用微元法，建立了其含参数的微分方程模型，并用平均值法估计出了其参数，具体求出了他们的解，之后，我们又给出了他们统一的微分方程模型及其求解公式。5．熟悉一些经典的微分方程模型，对一些类似的问题，经过稍加改进或直接套用这些模型。多年来，在各种领域里，人们已经建立起了一些经典的微分方程模型，熟悉这些模型对我们是大有裨益的。下面，我们仅以人口问题为例，说明用常微分方程、偏微分方程和差分方程建立的人口问题模型。

1）常微分方程模型

设?Skip Record If...?为时刻?Skip Record If...?人口总数， ?Skip Record If...?为人口的增长率，其中?Skip Record If...?分别为出生率与死亡率，他们可以是?Skip Record If...?的函数。1798年，英国神父Malthus建立了最简单的人口增长模型为

?Skip Record If...?

得出了人口按几何级数增长的结论。此结论在短时期内与人口的实际增长吻合得比较好，时间越长误差越大。经过对一些地区具体人口资料的分析，发现在人口基数较少时，人口的繁衍增长起重要作用，人口的自然增长率r基本为常数，但随着人口基数的增加，人口增长将越来越受自然资源、环境条件等的限制。此时人口的自然增长率是变化的，即人口的自然增长率与人口数量有关。1837（8）年，荷兰生物学家P。F。Verhulst修改了上述模型，引入本地区自然资源和环境条件允许下的最大人口数目为?Skip Record If...?，给出了类似于电感器产生阻抗的生物反馈因子?Skip Record If...?，将Malthus模型中的假设条件“，人口自然增长率r为常数”修正为人口自然增长率为 ?Skip Record If...?，得出上述模型的修正模型

?Skip Record If...??Skip Record If...?

该模型为著名的Logistic(逻辑斯谛)模型，方程为变量分离方程，带入初始条件?Skip Record If...?，可以求出其解。

上述模型对单种群群体规模的变化规律是很好地描述。

2）差分方程模型

上面考虑的是人口群体变化的规律问题，该模型没有考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定。但不同年龄的人的繁殖率和死亡率有着明显的不同。考虑按年龄分组的种群增长模型，我们介绍Leslie在20世纪40年代建立的一个具有年龄结构的人口离散模型。

我们将人口按年龄划分成m个年龄组，即1，2，…,m组。此处还隐含假定所有人的年龄不能超过m组的年龄。现将时间也离散为时段?Skip Record If...?，并且?Skip Record If...?的间隔与年龄区间大小相等。记时段?Skip

Record If...?第i年龄组的种群数量为?Skip Record If...?，记?Skip Record If...?时段种群各年龄组的分布向量为

?Skip Record If...?

则我们可以建立人口增长的差分方程模型为

?Skip Record If...?

此处L为已知矩阵。当?Skip Record If...?时段各年龄组的人数已知时，即

?Skip Record If...?已知时，可以求得?Skip Record If...?时段的按年龄组的分布向量?Skip Record If...?为

?Skip Record If...?

由此可以算出各时段的种群总量[6]。

3）偏微分方程模型

当我们要考察的量同时与两个变量有关时，要想描述其变化率的关系，则通常要用偏微分方程模型来描述。下面介绍考虑人口年龄的连续模型。设?Skip Record If...?表示年龄，?Skip Record If...?表示时间，?Skip Record If...?表示?Skip Record If...?时刻年龄小于?Skip Record If...?的人口总数，记?Skip Record If...?为人类寿命的上限，?Skip Record If...?为?Skip Record If...?时的总人口数，设?Skip Record If...?为人口密度，?Skip Record If...?为死亡率函数。另外，我们给出初始条件和边界条件，记最近一次人口普查的时间为?Skip Record If...?，从而?Skip Record If...?为已知，记?Skip Record If...?为?Skip Record If...?时刻单位时间内出生的人口数，则可得到如下的连续人口发展的偏微分方程模型

?Skip Record If...?

由偏微分方程理论，我们可以求出人口密度函数?Skip Record If...?。

3.1 微分方程模型的建模步骤

第3章微分方程模型 3.1 微分方程模型的建模步骤在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤?天）乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。模型分析在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W ）关于时间t 的函数。如果我们把体重W 看作是时间t 的连续可微函数，我们就能找到一个含有的dt dW 微分方程。模型假设 1.以)(t W 表示t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为0W 。 2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 )(t W 是关于t 连续而且充分光滑的。 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。模型建立问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天” 体重的变化=输入-输出。由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得体重的变化/天=输入/天—输出/天。代入具体的数值，得输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天），输出/天 = 69（焦/公斤?天）×W （公斤）= 69W （焦/天）。体重的变化/天=t W ??（公斤/天）dt dW t =→?0 考虑单位的匹配，利用 “公斤/天=公斤焦天焦/41868 /”, 可建立如下微分方程模型

常微分方程在数学建模中的应用(免费版)

常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯（Malthus ）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==．， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9 1006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 ) 1961(02.09 e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地

微分方程建模案例

第五章微分方程建模案例微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法： 1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。 2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型

我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m ，空气阻力系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型: 求解模型可得: 体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的直径大小来 3?利用导数的定义建立微分方程模型 dv m 一 dt mg kv 2 ? k(exp[2t 由上式可知，当t 其中，阻力系数k 1) 时，物体具有极限速度: lim v t mg :k ， s ，为与物体形状有关的常数, 为介质密度，s 为物、mg(exp[2t 1)

04第四章微分方程(1)

第四章微分方程考纲要求 1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法. 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程. 4.会用降阶法解下列微分方程：() ()n y f x =，(,)y f x y ′′′=和(,)y f y y ′′′=. 5.理解线性微分方程解的性质及解的结构. 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，比会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程. 7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程. 8.会解欧拉方程. 9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.一、基本概念 1微分方程的基本概念考纲要求了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式. 微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数. 微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.定解条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件（初始条件和边界条件）.微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解.初值问题（Cauchy 问题）：求微分方程满足初始条件的特解.一阶微分方程初值问题： (,,)0F x y y ′=，00()y x y =. 二阶微分方程初值问题： (,,,)0F x y y y ′′′=，00()y x y =，00 ()y x y ′′=.微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）.二、一阶微分方程一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y ′=，解出y ′： (,)dy f x y dx =，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、齐次微分方程、伯努利方程的解法.求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解.1.可分离变量的微分方程： ()()dy g x h y dx =解法分离变量： ()()dy g x dx h y =；两端积分：()() dy f x dx h y =∫∫.

数学建模之微分方程建模与平衡点理论

微分方程列微分方程常用的方法：（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。一、模型的建立与求解 1.1传染病模型（1）基础模型假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。建模：t 到t t +?病人人数增加 ()()()x t t x t x t t λ+?-=?（1） 0,(0)dx x x x dt λ==（2）解得： 0()t x t x e λ=（3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。（2）SI 模型

假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： di N Nsi dt λ=（4）由于 ()()1s t i t +=（5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型 0(1),(0)di i i i i dt λ=-=（6）解得： 01()111kt i t e i -= ??+- ??? （7）用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt 图形如下，结论：在不考虑治愈情况下 ①当12i = 时di dt 达到最大值m di dt ?? ???，这时101ln 1m t i λ-??=- ???

常微分方程第4章习题答案

习题 4—1 1．求解下列微分方程 1） 22242x px p y ++= )(dx dy p = 解利用微分法得 0)1)( 2(=++dx dp p x 当 10dp dx +=时，得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解 22 242y p px x p x c ?=++?=-+? 或消参数P ，得通解 )2(2 122x cx c y -+= 当 20x p +=时，则消去P ，得特解 2x y -= 2）2()y pxlnx xp =+； ??? ? ?=dx dy p 解利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ??++= ??? 当0=+p dx dp x 时，得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解： 2 ()y pxln xp px c ?=+?=? 或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时，消去p 得特解 21()4 y lnx =- 3）() 21p p x y ++= ??? ??=cx dy p 解利用微分法，得 x dx p p p - =+++22 11 两边积分得 () c x P P P =+++2211

由此得原方程以P 为参数形式的通解： 21(p p x y ++= ，() .11222c x p p p =+++ 或消去P 得通解 222)(C C X y =-+ 1．用参数法求解下列微分方程 1）45222=?? ? ??+dx dy y 解将方程化为 2215 42=??? ??+dx dy y 令2sin y t = 2cos 5 dy t dx = 由此可推出 1 515(2sin )22cos 2 cos 5dx dy d t dt t t ===从而得 c t x +=25 因此方程的通解为 52x t c = + ，2sin y t = 消去参数t ，得通解 22sin ()5 y x C =- 对于方程除了上述通解，还有2±=y ， 0=dx dy ，显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。 2）223()1dy x dx -= 解：令u x csc =， u dx dy cot 31-= 又令tan 2 u t = 则t t u x 21sin 12+==

第4章微分法与微分方程模型

第4章微分法与微分方程模型 4.1 微分法模型优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常见到的一类问题。如设计师要在满足强度要求等的条件下选择材料的尺寸，使结构总重量最轻；企业经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获利润最高；……。有些优化问题可以归结为微积分中的函数极值问题，因而可以直接用微分法求解。下面我们就利用微分法建立几个数学模型。 4.1.1 不允许缺货的存贮模型问题：工厂要定期的定购各种原料，存在仓库里供生产之用。商店要成批购进各种商品，放在货柜中以备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。显然，不论是原料、商品还是水的存贮，都有一个存贮多少的问题。原料、商品存贮过多，贮存费用高；存得太少则无法满足需求。在这里我们为讨论上的方便，假定需求量是恒定的。并且不允许缺货现象出现。试建立不允许缺货条件下的数学模型。分析：在不允许缺货的情况下，我们只考虑两种费用：订货时需付的一次性订货费；货物的存贮费。至于货物的价格，下面将看到它与要讨论的优化问题无关。建立模型的目的是在单位时间的需求量为常数的情况下，假定最优存贮策略，即多长时间订一次货，每次订多少货，使总费用最少？首先我们假设：（1）每次订货费为c1,每天每吨货物存贮费为c2. （2）每天的货物需求量为r吨。（3）每T天订货Q吨，当存贮量降到零时订货立即到达。对于（3）的假设中订货可以瞬时完成，可解释为由于需求是确定和已知的，只要提前订货使得贮存量为零时立即进货就行了。当然，贮存量降到零不符合实际生产的需要，应该有一个最低库存量，可以认为模型中的贮存量是在这个最低存量之上计算的。模型的建立：订货周期T、订货量Q与每天需求量r之间满足 Q=rT （1）订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮存量为q，则q(t)的变化规律可以用下图表示

常微分方程的建模训练

常微分方程的建模训练各位同学：欢迎大家开始《高等数学》课程的第二阶段的学习。本次辅导材料是关于建立微分方程的模型，主要目的有2个。一是开阔大家的视野，二是练习如何将一个实际问题用数学语言描述出来，也就是平时讲的建模，这是一个理工科学生的最重要的基本功之一。希望大家努力掌握之。建立微分方程的途径主要有： 1）根据问题的性质，利用相应学科已经知道的客观规律，比如研究物体的运动，在已知外力的情况下，可运用著名的牛顿第二定律；研究热力学问题，可以用热力学定律，研究电路问题就可以用电路的基尔霍夫定律等。 2）对于一些没有明显规律可用时，可以考虑应用微元法（上学期学习积分时已经学习过），这时，需要考虑的是在自变量[,d] +的微段d x中，函数的增 x x x 量的微分表达式。本次材料包括的题目不少，你可能没有太多的时间做。没有关系，可以边学边做，或有空时做，拳不离手，曲不离口，功夫是逐渐炼成的。要注意的是，对一个确定的问题，仅仅列出微分方程是不够的，还要有一组初始条件或边界条件，才能使微分方程的通解具体化，称为一个对应与问题本身的特解！如何列出这样的条件，也需要训练你的观察能力，因为很多题目中，这些条件常隐含在题目的叙述中。本次练习不要求你去求解这些方程，但随着我们课堂的进度，当你学会微分方程的求解后，你再去求解它们。好，开始吧！ 1. 有一类物质具有放射性，根据观察，放射性元素的质量随时间推移而逐渐减少，这种现象称为衰变。由实验测定，每一时刻放射性元素镭的衰变率（即质量减少的速率）与该时刻 λ>。求镭的衰变规律。的镭的质量成正比，比例系数0 又由经验判断，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，求镭的质量R与时间t的函数关系。 2. 物理上把已知物体质量和外力的条件下，求物体的运动规律的问题称为动力学问题。物 s t来表示。体的运动可用它的位移量() 已知物体质量为m的物体在外力F的作用下沿外力的方向作直线运动。试根据下列提供的外力特点，求物体的运动规律： 1）外力为地球重力； 2）外力为与其速度的平方成反比的阻力； 3）外力为与其位移成正比，但方向相反的弹性恢复力；

微分方程建模学习

微分方程建模一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤： 1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间； 2.列方程。可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）； 3.解微分方程； 4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。一.增长模型在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间的增量都与该量自身当时的大小成正比。运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。 1.马尔萨斯人口模型严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus )（1766—1834）。他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数。于是，设t 时刻的人口总数为)(t y ，则单位时间人口的增长量即为 t t y t t y ?-?+)()( 根据基本假设，有 t t y t t y ?-?+)()()(t y r ?= （r 为比例系数）令0→?t ，可得微分方程

微分方程模型建模实例

微分方程模型建模实例 1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ 3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？ 4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。 5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？ 6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？ 7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。 8． 1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。 9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（）

高等数学第四章微分方程

第四章常微分方程 §4．1 基本概念和一阶微分方程甲内容要点一．基本概念 1．常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2．微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4．微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5．积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6．线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解()()? ? +=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解 ()()()()C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln （2） ()()0,0≠≠++=b a c by ax f dx dy 令u c by ax =++，则 ()u bf a dx du += ()c x dx u bf a du +==+?? （3） ??? ? ??++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy

常微分方程建模方法概要

第二章微分方程方法在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题. 利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究. 2.1 微分方程的一般理论 2.1.1微分方程简介所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程.若未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.而未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 例如 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- （2.1.1） 2''12'50x y xy y -+= （2.1.2） 2(')0y xy += （2.1.3） 2'''0y y xy += （2.1.4） 01)(=+n y （2.1.5） 2t xx u a u = （2.1.6）其中，方程（2.1.6）是偏微分方程，其他都是常微分方程. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶.例如，方程（2.1.1）是四阶微分方程，（2.1.3）是一阶微分方程.一般n 阶微分方程具有形式 F (x , y , y ', ? ? ? , y (n ) )=0 或

第四章微分方程模型

第四章微分方程模型当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。事实上在微分方程课程中，我们已经遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由落下，初速是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器内有盐水100L，内含盐10kg,今以3 L/min的速度从一管放进净水，以2 L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律。”这些问题大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，已经确定的。而本章要讨论的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件。作出不同的假设，就得到不同的方程，所以事先是没有答案的。求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。人口增长模型人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长。统计数据显示：年1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 可以看出，世界人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。用微分方程来研究人口增长规律，基本上采用的是模拟近似的方法。即用某一微分方程来模拟人口的数量，分析该方程的解，将解与实际情况作对比，看其是否在一定程度上刻划了人口的实际增长情况，如刻划得较好（或在一段时期内吻合较好）就加以利用，

微分方程与微分方程建模法

第三章微分方程模型 3.1微分方程与微分方程建模法微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。微分方程的体系：（1）初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）（3）高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理 0.常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。 1.初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。 dx f(x)g(y); M(x)N(y)dx P(x)Q(y)dy 0; 常数变易法：（1）线性方程，y p （x ）y f （x ）, (2)伯努里方程，y p(x)y f (x)y n , 积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。对于一阶隐式微分方程F （x,y, y ） 0,有参数法：（1）不含x 或y 的方程:F （x,y ） 0,F （y,y ） 0; 对于高阶方程，有分离变量法：（1）可分离变量方程: （2）齐次方程: dy dx dy dx f(ax by C ); ux vy w

⑵可解出x或y的方程：y f（x,y）,x f （ y, y ）; 降阶法：F(x,y(k),y(k 1), ,y(n)) F(y,y,y) 0; 恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题） 2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根［待定系数法］），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。 3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）； n 阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特殊型非齐次常系数线性方程解的待定系数法；（4）求解初值问题的拉普拉斯变换法；（5）求二阶线性方程的幂级数解法。 4．常微分方程的基本定理：常微分方程的几何解释（线素场），初值问题解的存在与唯一性定理（条件与结论），求方程的近似解（欧拉折线法与毕卡逐次逼近法），解的延展定理与比较定理、唯一性定理证明解的存在区间（如为左右无穷大），奇解与包络线，克莱罗方程。 5．常微分方程的稳定性理论：掌握稳定性的一些基本概念，以及运用特征根法判断常系数线性方程（组）的解的稳定性，运用李雅普诺夫函数法判断一般方程（组）的解的稳定性。 6．常微分方程的定性理论：掌握定性理论的一些基本概念，运用特征根法判断奇点类型，极限环。 7．差分方程。 8．偏微分方程。二、数学建模的微分方程方法微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现

微分方程型建模实例题

一个数学问题都可以用不同的方法来求解的，不同的方法做出来效果不同，效率也不同。下面就微分方程模型建模展开建模。下面给出些微分方程建立模型的实例，供大家参考。 1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ 3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？ 4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。 5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？ 6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。 8．1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。 9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（） 10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？ 11．生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6亿（3.06×）而当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？ 12．早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（=λV，其中λ为常数），（1）求肿瘤的增倍时间σ。根据统计资料，一般有σ (7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式 D = 13．正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm，重约0.001μg.，（1）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一（2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭。 14．设药物吸收系数（k为药物的分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度的峰值（峰浓度）级达峰时间。 15．医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会

第四章微分方程模型

第四章微分方程模型 §4.1利用平衡原理和微元法建模进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法．所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样. 微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的．例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ?+内, 酒精浓度的改变量t t x x ??∝?)(, 即 t t kx t x t t x ?-=-?+)()()( 其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ?, 并令0→?t , 则得到 ,d d kx t x -= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =. 模型求解容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到 kt x t x -=e )(0 则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得 17.040 56e 40 e 56 e 25030=?=????==--k x x k k k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017.030≈?=?=??-x x >80

最新31微分方程与微分方程建模法汇总

3.1 微分方程模型的建模步骤

常微分方程在数学建模中的应用(免费版)

微分方程建模案例

04第四章 微分方程(1)

数学建模之微分方程建模与平衡点理论

常微分方程第4章习题答案