微分方程建模学习

微分方程建模一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；2.列方程。

可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；3.解微分方程；4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。

若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。

下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。

一.增长模型在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间的增量都与该量自身当时的大小成正比。

运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。

1.马尔萨斯人口模型严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。

但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。

这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。

最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus )（1766—1834）。

他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。

他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数。

于是，设t 时刻的人口总数为)(t y ，则单位时间人口的增长量即为tt y t t y ∆-∆+)()( 根据基本假设，有tt y t t y ∆-∆+)()()(t y r ⋅= （r 为比例系数） 令0→∆t ，可得微分方程y r dtdy ⋅= （4.1） 这就是著名的马尔萨斯人口方程。

若假设0t t =时的人口总数为0y ，则不难求得该方程的特解为 )(00t t r e y y -⋅= (4.2) 即任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长。

人们曾用这个公式对1700—1961达二百六十余年世界的人口资料进行了检验，发现计算结果与人口的实际情况竟然是惊人的吻合！2.放射性元素衰变模型放射性元素的质量随时间的推移而逐渐减少（负增长），这种现象称为衰变。

由物理学定律知，放射性元素任一时刻的衰变速度与该时刻放射性元素的质量成正比。

根据这一原理，我们也可以通过微分方程研究放射性元素衰变的规律。

设放射性元素t 时刻的质量)(t m m =，则其衰变速度就是dtdm ，于是可得 m dtdm λ-= (4.3) 其中0>λ是比例常数，可由该元素的半衰期（质量蜕变到一半所需要的时间）确定；λ前置负号表明放射性元素的质量m 是随时刻t 递减的。

如果在初始时刻（0=t ）放射性元素的质量0m m =，则可求得该方程的特解为t e m t m λ-⋅=0)( (4.4)这说明放射性元素的质量也是随时刻按指数规律递减的。

为了能将求得的放射性元素衰变规律应用于实际，还必须确定上式中的比例常数λ。

这时，我们可以假设放射性元素的半衰期为T ，从而有T e m m λ-⋅=002解之，得T2ln =λ，于是反映放射性元素衰变规律的（4.4）式又可以表示为 t T em t m 2ln 0)(-⋅= (4.5)并由此可解得 )(ln 2ln 0t m m T t = (4.6) 它所反映的是放射性元素由初始时刻的质量0m 衰减到)(t m 所需要的时间。

放射性元素的衰变规律常被考古、地质方面的专家用于测定文物和地质的年代，其中最常用的是C 14（碳-12的同位素）测定法。

这种方法的原理是：大气层在宇宙射线不断的轰击下所产生的中子与氮气作用生成了具有放射性的C 14，并进一步氧化为二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而动物又以植物为食物，于是放射性碳就被带到了各种动植物的体。

对于具有放射性的C 14来说，不论是存在于空气中还是生物体，它都在不断地蜕变。

由于活着的生物通过新代不断地摄取C 14，因而使得生物体的C 14与空气中的C 14有相同的百分含量；一旦生物死亡之后，随着新代的停止，尸体的C 14就会不断地蜕变而逐渐减少，因此根据C 14蜕变减少量的变化情况并利用（4.6）式，就可以判定生物死亡的时间。

下面，我们就来看一个运用C 14测定法确定年代的具体实例：1972年8月，出土了马王堆一号墓（注：出土时因墓中女尸历经千年而未腐曾经轰动世界）。

经测定，出土的木炭标本中C 14的平均原子蜕变速度为29.78次/分，而新砍伐烧成的木炭中C 14的平均原子蜕变速度为38.37次/分；如果C 14的半衰期取为5568年（注：C 14的半衰期在各种资料中说法不一，分别有5568年、5580年和5730年不等），那么，怎样才能根据以上数据确定这座墓葬的大致年代呢？在确定衰变时间的公式（4.6）中，由于0m 和)(t m 表示的分别是该墓下葬时和出土时木炭标本中C 14的含量，而测量到的是标本中C 14的平均原子蜕变速度，所有我们还要对（4.6）式作进一步的修改：对（4.4）式求导，得 )()(0t m e m t m t λλλ-=-='- 从而有0)0()0(m m m λλ-=-='上面两式相除，得)()()0(0t m m t m m ='' 代入（4.6），得)()0(ln 2ln t m m T t ''=(4.7) 于是，衰变时间由(4.6)式根据C 14含量的变化情况确定就转化为由（4.7）式根据C 14衰变速度的变化情况来确定，这就给实际操作带来了很大的方便。

在本例中，5568=T 年，78.29)(='t m 次/分，)0(m '虽然表示的是下葬时所烧制的木炭中C 14的衰变速度，但考虑到宇宙射线的强度在数千年的变化不会很大，因而可以假设现代生物体中C 14的衰变速度与马王堆墓葬时代生物体中C 14的衰变速度相同，即可以用新砍伐烧成的木炭中C 14的平均原子蜕变速度38.37次/分替代)0(m '。

代入（4.7）可求得 203678.2937.38ln 2ln 5568)()0(ln 2ln ≈=''=t m m T t （年）若以5580=T 年或5730=T 年计算，则可分别算得2040≈t 年或2095≈t 年，即马王堆一号墓大约是2000多年前我国汉代的墓葬。

( 注：后经进一步考证，确定墓主人为汉代国丞相利仓的夫人，名辛追。

)3.固定资产折旧模型企业在进行成本核算的时候，经常要计算固定资产的折旧。

一般说来，固定资产在任一单位时刻的折旧额与当时固定资产的价值都是成正比的。

试研究固定资产价值P 与时间t 的函数关系。

假定某固定资产五年前购买时的价格是10000元，而现在的价值为6000元，试估算再过10年后的价值。

首先我们可以假设t 时刻该固定资产的价值为)(t P P =，则在],[t t t ∆+这段时间该固定资产单位时刻的折旧额可表示为tt P t t P ∆-∆+)()(，由题意可得 )()()(t P k tt P t t P -=∆-∆+ )0(>k 令0→∆t ，即得P k dtdP -= 不难求得该方程的通解为t k e C t P -=)(为方便计算，记五年前的时刻为0=t ，于是有初始条件10000)0(=P代入通解，可求得10000=C ，故原方程的特解为t k e t P -=10000)(为确定比例常数k ，可将另一个条件6000)5(=P 代入上式，得k e 5100006000-=解出k ，得35ln 51=k 从而有 535ln 5)35(1000010000)(tt e t P --== 这就是价值P 与时间t 之间的函数关系。

于是，再过10年（即15=t ）该固定资产的价值即为 2160)35(10000)15(3==-P （元）二.阻滞增长模型与以上所讨论的增长模型不同，实际中存在着大量的另一类增长模型：1.弗尔哈斯特人口模型在人口模型的研究中，马尔萨斯得出了“任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长”的结论，并得到了一段时期人口数据的验证，然而，随着人口基数的增大，公式（4.2）所暴露的不足之处也越来越明显了。

根据公式（4.2）我们不难计算出，世界人口大约35年就要翻一番。

事实上，设某时刻的世界人口数为0y ，人口增长率为2%，且经过T 年就要翻一番，则有T e y y 02.0002= 即 202.0=T e解之，即得 6.342ln 50≈=T （年）。

于是，我们以1965年的世界人口33.4亿为基数进行计算，可以得到如下的一系列人口数据：2515年 200万亿2625年 1800万亿2660年 3600万亿………若按人均地球表面积（包括水面、船上）计算，2625年仅为0.09平方米/人，也就是说必须人挨着人站着才能挤得下；而35年后的2660年，人口又翻了一番，那就要人的肩上再站人了。

而且随着时间的推移，我们有+∞→t lim +∞=-)(00t t r e y这显然不符合人口发展的实际。

这说明，在人口基数不是很大的时候，马尔萨斯人口方程还能比较精确地反映人口增长的实际情况，但当人口数量变得很大时，其精确程度就大大降低了。

究其根源，是随着人口的迅速膨胀，资源短缺、环境恶化等问题越来越突出，这些都将限制人口的增长。

如果考虑到这些因素，就必须对马尔萨斯人口方程进行修改。

1845年，荷兰的数学、生物学家弗尔哈斯特(Verhulst)提出了一个修改方案，即将方程修改为2by y r dtdy -⋅= )0(r b <<< 其中r 、b 称为“生命系数”。

由于r b <<，因此当y 不太大时，2by -这一项相对于y r ⋅可以忽略不计；而当y 很大时，2by -这一项所起的作用就不容忽视了，它降低了人口的增长速度。

于是，我们就有了下面的人口模型：⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅==020y y by y r dt dy t t （4.8）这是一个可分离变量的一阶微分方程。

解之，可得)(0000)(t t r eby r by y r y --⋅-+⋅= （4.9） 这就是人口y 随时间t 的变化规律。

下面，我们就对（4.9）作进一步的讨论，并根据它对人口的发展情况作一些预测。

首先，由于b r e by r by y r y t t r t t =⋅-+⋅=--+∞→+∞→)(0000)(lim lim 即不论人口的基数如何，随着时间的推移，人口总量最终将趋于一个确定的极限值b r ； 其次，由 2by y r dtdy -⋅= 可得 y by r y by y r y '⋅-='⋅-'⋅='')2(2 令0=''y ，得br y 2=，易知这正是函数（4.9）的图象（称为“人口增长曲线”或“S 型曲线”）拐点的纵坐标，它恰好位于人口总量极限值b r一半的位置（如图所示）。