4.3.1对数的概念
人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件(1)
2
③由lg 1000 = 3，得103 =1000.
（2）①由2−7 =
④由ln =2，得e2 =x.
3.求下列各式中x的值.
1
9
2
3
3
（3）log 8=-3；
（4）log 27= .
4
1
1
解：（1）由x=log 27 ，得27 = ，即33 =3−2 ，
9
9
2
所以3x=-2，解得x=- .
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
学习目标
理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简
单的对数计算；
理解常用对数、自然对数的概念与记法；
理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数
式与指数式的互化；
通过对数概念的形成和指数式与对数式的转化，
提升数学抽象、数学运算的相关能力.
一、新知导入
某年，平江县人民在县委、县政府的正确领导下，坚持科
（2）log 8=6；
（3）lg 100=x；
（4）-ln e2 =x.
（3）因为lg 100=x，所以
10 =100， 10 = 102 ，
于是
x=2.
（4）因为-ln e2 =x，所以
ln e2 =-x，e2 = e− ，
于是
x=-2.
利用对数式与指数式的互化求值的策略：
（1）确定范围：首先看x所在对数式中
（4）-ln e2 =x.
2
解：（1）因为log 64 =- ，所以
3
2
−3
2
1
16
3 −3
x=64 =(4 ) =4−2 = .
（2）因为log 8=6，所以 6 =8.又x＞0，所以
4.3.1 对数的概念
类型一 对数的概念及应用(数学抽象)
【题组训练】
1.若a2 020=b(a>0且a≠1)，则 ( )
A.logab=2 020 C.log2 020a=b
B.logba=2 020 D.log2 020b=a
2.在M=log(x-3)(x+1)中，要使式子有意义，x的取值范围为
A.(-∞，3]
B.(3，4)∪(4，+∞)
2.把对数式x=log232改写为指数式_______. 【解析】对数式x=log232改写为指数式为2x=32. 答案：2x=32
3.(教材二次开发：练习改编) 若ln e-2=-x，则x=_______. 【解析】因为ln e-2=-x，所以e-x=e-2，所以x=2. 答案：2
关键能力·合作学习
D.4
2
【解析】选B.因为logx8=3，所以x3=8，解得x=2.
3.(教材二次开发：练习改编) 若10m= 3 ，则m=_______. 【解析】因为10m= 3 ，则m=lg 3 . 答案：lg 3
4.ln(lg 10)=_______. 【解析】ln(lg 10)=ln 1=0. 答案：0
类型二 指数式与对数式的互化(数学运算) 角度1 指数与对数的互化及应用 【典例】如表，其中解正确的题号是 ( )
题号 方程 解
①
2
log64x=- 3
16
A.①②
B.③④
② logx8=6
2
③
lg 100=x
1 2
④ -ln e2=x -2
C.②④
D.②③
【思路导引】利用指数、对数的互化求解验证.
关于指数式的范围
b 0，
利用式子logab⇒ a 0，求字母的范围.
4.3.1对数的概念
4.3.1 对数的概念【引入】1．庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭．(1)取5次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？2．细胞分裂问题，经过几次分裂后细胞的个数为4 096个？2x＝4 096．【新课】一、对数的概念一般地，如果a (a＞0且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么幂指数b叫做以a为底N的对数．“以a为底N的对数b”记作b＝log a N (a＞0且a≠1)，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注意：(1) 底数的限制：a＞0且a≠1；(2)对数的书写格式；(3)对数的真数大于零．二、对数式与指数式的关系由对数的定义可知，a b＝N与b＝log a N两个等式所表示的是a，b，N三个量之间的同一关系的两种不同表示形式．例如：32＝9⇔2＝log39．对数式与指数式的互化：a b＝N ⇔b＝log a N练习1(1) 将下列指数式写成对数式：22＝4；62＝36；7.60＝1；34＝81．(2) 将下列对数式写成指数式：log39＝2；log416＝2；log5125＝3；log749＝2．练习2 将下列指数式写成对数式 ( 其中 a ＞0且 a ≠1)：21＝2； a 1＝a ；60＝1； a 0＝1．三、对数的性质(1) log a a ＝1，即底数的对数等于1；(2) log a 1＝0，即1的对数等于零；(3) 0和负数没有对数．例1 求log 22，log 21，log 216，log 212． 解 (1) 因为 21＝2，所以 log 22＝1；(2) 因为 20＝1，所以 log 21＝0；(3) 因为 24＝16，所以 log 216＝4；(4) 因为 2－1＝12，所以 log 212＝－1． 四、常用对数以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，log 10N 简记作 lg N ． 例2 求lg 10，lg 100，lg 0.01．解 (1) 因为 101＝10，所以 lg10＝1；(2) 因为 102＝100，所以 lg100＝2；(3) 因为 10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2．例 3 利用计算器求对数(精确到0.000 1)．lg2 001； lg0.618；lg0.004； lg396.5．练习3 求下列各式的值(1) lg1＋lg10＋lg100；(2) lg0.1＋lg0.01＋lg0.001．【小结】一、对数二、指数式与对数式的关系式a b ＝N b ＝log a N三、常用对数以10为底的对数叫做常用对数，简记作 lg N ．。
4.3.1对数的概念
巩固练习
练习1 求下列各式中的 x 的范围．
①log2(x－10)；
②log(x－1)(x＋2)．
解：①由题意有 x－10>0，即 x>10，
∴x 的取值范围是{x|x>10}．
x＋2>0，
x>－2，
②由题意有 x－1>0 且 x－1≠1， 即 x>1 且 x≠2，
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对 数，记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
例如，由于 2 1.11x，所以 x 就是以1.11为底2的对数，记作 x log1.11 2; 再如，由于 42 16，所以以4为底16的对数是2，记作 log4 16 2.
2．常用对数与自然对数 通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，log10N 可简记为 lg N. 另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数 e＝2.71828…
为底数的对数.
以 e 为底的对数称为自然对数，logeN 简记为 ln N.
知识梳理
3．对数与指数的关系
当 a>0，且 a≠1，则 ax＝N⇔x=logaN.
设 log a N t at N ，则有 aloga N at N 结论：log a a x x，aloga N N.
例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）54 625
（2）26 1 64
（3）
1 m
3
5.73
（4）log 1 16 4 （5）lg 0.01 2 （6）ln10 2.303
课堂小结
4.3.1 对数的概念
课前篇
自主预习
一
二
三
二、常用对数与自然对数
1.(1)10b=a用对数式如何表示?
提示:b=log10a,简记为b=lg a.
(2)在科学计算器上,有一个特殊符号“ln”,你知道它是什么吗?
提示:符号“ln”是一种对数符号,它是用来计算以“e”为底的对数的.
(3)ln M=n用指数式如何表示?
提示:en=M.
2
答案:C
)
随堂演练
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
3.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,
改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过
程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发
现了指数与对数的互逆关系,即ab=N⇔b=logaN.现在已知a=log23,
2
x
1
A.4 =
2
2
D.log1 b=a
2
)
1
2
Hale Waihona Puke B. =441
C.x =
2
1
2
D.4 =x
(3)若对数 log(x-1)(4x-5)有意义,则 x 的取值范围是 (
5
5
A. ≤x<2
B. <x<2
4
5
C. <x<2 或 x>2
4
2
D.2≤x≤3
-1 > 0,
5
解析:(3)由题意得 -1 ≠ 1, 解得 x> ,且 x≠2.
B.
3
)
3
C. 3
4.3.1 对数的概念
4．3.1 对数的概念(一)教材梳理填空 (1)对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)对数的基本性质①当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N . ②负数和0没有对数．③特殊值：1的对数是0，即log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；底数的对数是1，即log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)．(3)常用对数与自然对数名称 定义记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数lg_N 自然对数 以无理数e ＝2.718 28…为底的对数称为自然对数ln_N(二)基本知能小试 1．判断正误(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log (－2)4.( ) (2)log a N 是log a 与N 的乘积( )(3)使对数log 2(－2a ＋1)有意义的a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12.( ) 2．若a 2＝M (a ＞0且a ≠1)，则有( ) A ．log 2M ＝a B ．log a M ＝2 C ．log a 2＝MD ．log 2a ＝M3．log 21＋log 22＝( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0 4．已知log 32x －15＝0，则x ＝________.题型一指数式与对数式的互化[学透用活](1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分的“去向”：(2)定义中规定a＞0，且a≠1.理由：①当a＜0且N为某些数值时，x不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，因此，规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.②当a＝0，且N≠0时，log a N不存在；当a＝0，且N＝0时，x可取无数个值，因此规定a≠0.③当a＝1，且N不为1时，x不存在；而a＝1且N＝1时，x可以为任何实数，因此规定a≠1.[典例1]将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)33＝27；(2)log128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；(4)lg 1 000＝3.[对点练清]1．3b＝5化为对数式是()A．log b3＝5B．log35＝b C．log5b＝3 D．log53＝b 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是() A．100＝1与lg 1＝0B．27-13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3D．log55＝1与51＝5题型二对数的计算[学透用活][典例2]求下列各式的值．(1)log1381；(2)lg 0.000 1；(3)log(5－2)(5＋2)．求对数式log a N的值的步骤[对点练清]1．求下列对数的值：(1)log 28；(2)log 919；(3)ln e ；(4)lg 1.2．求下列各式中x 的值：(1)⎝⎛⎭⎫13x ＝5；(2)log 64x ＝－23；(3)log x 8＝6；(4)lg 100＝x .题型三 对数的性质及对数恒等式[学透用活][典例3] 求下列各式中x 的值： (1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.[对点练清]1．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？2．[变设问]在本例(3)条件下，计算625log x 3的值．3．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“3log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．4B ．±4C ．256D ．22．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝183．求值：lg 1 000＝________；lg 0.001＝________. 4．已知log 2x ＝3，则x -12＝________.二、创新应用题5．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝aD ．log c a ＝b2．若对数log (2a －1)(6－2a )有意义，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,3)3．若log x 7y ＝z ，则x ，y ，z 之间满足( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x4．对于a ＞0，且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①③ B ．②④ C ．②D ．①②③④5．(2018·河北辛集中学高一期中)若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．52D ．126．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 7．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则1002b a 的值为________．8．给出下列各式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④由log 25x ＝12，得x ＝±5. 其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116； (3)log 3127＝－3. 10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．B 级——高考水平高分练1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x -12等于( ) A.13 B.36 C.24D.332．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(x ＋1)，x ≥0，2x －1，x ＜0，则f (f (3))＝________.3．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34的值．4．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5 帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？。
4.3.1 对数的概念
(2)由 logx27=,得 =27,即 =33,
x=(33) =34=81.
故
(3)由 log3(lg x)=1,得 lg x=3,故 x=103=1 000.
？
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
(1)(-2)4=16可化为log-216=4.( × )
(2)对数运算的实质是求幂指数.( √ )
(3)对数的真数必须是非负数.( × )
(4)若log63=m,则6=3m.( × )
(5)lg(ln e)=0.( √ )
lg =x,所以 10x=10-1,即 x=-1.
(4)因为 log93 =x,所以 9x=3 ,即
因此
2x= ,所以
x= .
32x= ,
.
？
反思感悟
求对数式中未知数的方法
(1)将对数式转化为指数式.
(2)根据指数和幂的运算性质解有关方程,求得结果.
？
【变式训练 2】 计算:(1)log927; (2)lo 81;
-
(2)
=
÷
=7÷2=.
？
将本例(1)改为:“已知 log4(log3(log2x))=0,求 的值”.
解:由 log4(log3(log2x))=0,得 log3(log2x)=1,所以 log2x=3,
因此 x=23=8,故 = =5.
提示:底数分别是10和e.
？
4.(1)常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记
新教材高中数学必修第一册第4章 4.3.1对数的概念
4．3对数4．3.1对数的概念学习目标1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一 对数的有关概念 对数的概念：一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e ＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N . 知识点二 对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x . 对数恒等式：log a Na＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1)．知识点三 对数的性质 1．1的对数为零． 2．底的对数为1. 3．零和负数没有对数．1．若3x ＝2，则x ＝log 32.( √ )2．因为a 1＝a (a >0且a ≠1)，所以log a a ＝1.( √ ) 3．log a N >0(a >0且a ≠1，N >0)．( × ) 4．若ln N ＝12，则N ＝⎝⎛⎭⎫12e .( × )一、指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝14；(2)102＝100；(3)e a＝16；(4)1364-＝14；(5)log 39＝2；(6)log x y ＝z (x >0且x ≠1，y >0)． 解 (1)log 214＝－2.(2)log 10100＝2，即lg 100＝2. (3)log e 16＝a ，即ln 16＝a . (4)log 6414＝－13.(5)32＝9. (6)x z ＝y .反思感悟 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4；(2)13log 27＝－3；(3)43＝64；(4)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.解 (1)由log 216＝4，可得24＝16. (2)由13log 27＝－3，可得⎝⎛⎭⎫13－3＝27.(3)由43＝64，可得log 464＝3. (4)由⎝⎛⎭⎫14－2＝16，可得14log 16＝－2.二、利用对数式与指数式的关系求值 例2 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x .考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 解 (1)2233364(4)x --==＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以1111636662()8(2)2x x =====(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.反思感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练2 (1)计算log 927；的值； (2)求下列各式中x 的值： ①log 27x ＝－23；②log x 16＝－4.解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33， ∴2x ＝3，x ＝32.设81x =，则x＝81,43x ＝34，∴x4＝4，x ＝16.(2)①∵log 27x ＝－23，∴2233327(3)x --==＝3－2＝19.②∵log x 16＝－4，∴x －4＝16，即x 4＝116＝⎝⎛⎭⎫124，∴x ＝12.三、利用对数性质及对数恒等式求值 例3 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)71log 57.x －＝考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5. (2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)771log 5log 5777775.5x ÷÷－＝＝＝＝反思感悟 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记． (2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：log log .a NN a a N a N ＝，＝跟踪训练3 (1)设3(log 21)327x ＋＝，则x ＝ .答案 13(2)若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案 A解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.1．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2B ．13log 9＝－2C ．13log (2)-＝9D ．log 9(－2)＝13答案 B解析 根据对数的定义，得13log 9＝－2，故选B.2．若log a x ＝1，则( )A ．x ＝1B ．a ＝1C ．x ＝aD ．x ＝10 考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案 C 3．方程3log 2x＝14的解是( ) A ．x ＝19 B ．x ＝33 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式与指数式的互化 答案 A 解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．e 0＝1与ln 1＝0B．138 ＝12与log812＝－13C．log39＝2与129＝3D．log77＝1与71＝7考点对数式与指数式的互化题点对数式与指数式的互化答案 C5．已知log x16＝2，则x＝.答案 4解析log x16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4，又因为x>0且x≠1，所以x＝4.1．知识清单：(1)对数的概念．(2)自然对数、常用对数．(3)指数式与对数式的互化．(4)对数的性质．2．方法归纳：(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化．(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确说法的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4考点对数的概念题点对数的概念答案 C解析①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，a x＝N才能化为对数式．2．已知－ln e2＝x，则x等于()A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案 B解析因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e－x，x＝－2.3．若log a 5b＝c，则下列等式正确的是()A．b5＝a c B．b＝a5c C．b＝5a c D．b＝c5a 答案 B解析由log a 5b＝c，得a c＝5b，所以b＝a5c.4．下列四个等式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2. 其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 C解析①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝e e.故只有①②正确．5．若log a3＝m，log a5＝n，则a2m＋n的值是()A．15 B．75 C．45 D．225考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 C解析由log a3＝m，得a m＝3，由log a5＝n，得a n＝5，∴a2m＋n＝(a m)2·a n＝32×5＝45.6．＝.考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案8解析设81＝t ，则(3)t ＝81,23t ＝34，t2＝4，t ＝8. 7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝ .考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x ， ∴12x-＝()1322-＝18＝122＝24. 8．若对数log (x －1)(2x －3)有意义，则x 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，2∪(2，＋∞) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x －1≠1，2x －3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x ≠2，x >32，得x >32且x ≠2.9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116；(3)12log 8＝－3；(4)log 3127＝－3. 解 (1)∵53＝125，∴log 5125＝3. (2)∵4－2＝116，∴log 4116＝－2.(3)∵12log 8＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(4)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127.10．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式．①log 68；②log 62；③log 26.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582. ②因为log x 3＝－13，所以13x -＝3，所以x ＝3－3＝127. (2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a ＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a 3. ③由36a ＝2得32a＝6，所以log 26＝3a .11．方程lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)的根为( )A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3答案 B解析 由lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3. 12.0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72 C ．8 D.37答案 C解析 0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫12－1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.13．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝ . 答案 －3解析 由log (1－x )(1＋x )2＝1，得(1＋x )2＝1－x ， ∴x 2＋3x ＝0，∴x ＝0或x ＝－3.注意到⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，∴x ＝－3. 14．若x 满足(log 2x )2－2log 2x －3＝0，则x ＝ .答案 8或12解析 设t ＝log 2x ，则原方程可化为t 2－2t －3＝0， 解得t ＝3或t ＝－1，所以log 2x ＝3或log 2x ＝－1，所以x ＝23＝8或x ＝2－1＝12.15．若a >0，23a ＝49，则23log a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B解析 因为23a ＝49，a >0， 所以a ＝3249⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫233， 设23log a ＝x ，所以⎝⎛⎭⎫23x ＝a .所以x ＝3.16．若12log x ＝m ，14log y ＝m ＋2，求x 2y 的值． 解 因为12log x ＝m ，所以⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m . 因为14log y ＝m ＋2，所以⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭⎫122m ＋4. 所以x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m ⎝⎛⎭⎫122m ＋4＝⎝⎛⎭⎫122m －(2m ＋4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.。
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大道理： 在生活中，我们自觉不自觉地造了许许多多 的神像。我们渐渐地习惯仰视，习惯了充当忠贞不贰 的信徒。我们不知道每一尊神像里，其实都可能藏着 金子。只有打碎了它，你才能获得。每个人都应该勇 于打破那尊神像，拾起属于你自己的金子。
问题引入
问 题
探索新知
2的多少次幂等于8？ 2的多少次幂等于9？
推 广
3
归纳小结
自我反思
1. 你学习了哪些内容？
2. 你会解决哪些新问题？
3. 在学习方法上你有哪些体会？
布置作业
继续探究
阅 读 教材章节4.3
书 写 学习与训练4.3
实践
了解计算器的其他计算使用方法
再
见
已知底和幂，如何求出指数？
如何用底和幂来表示出指数的问题．
解 决
为了解决这类问题，引进一个新数——对数．
动脑思考 探索新知
如果 ab N (a 0, a 1),
那么 b叫做以a为底N的对数,记作 b log a N , 其中 a 叫做对数的底，N 叫做真数.
a b N 叫做指数式 , loga N b 叫做对数式.
例 题
例 3 求下列对数的值． (1) log 3 3 ； (2) log 7 1 ．
动脑思考 探索新知
练习4.3.1
1． 将下列各指数式写成对数式： (1) 5 125 ；(2) 0.9 0.81 ；(3) 0.2 0.008 ； (4) 343 2．把下列对数式写成指数式：
3 2 x
1 ； 64
（4） 10 x y ．
将下列对数式写成指数式： （2） log3 （4） log2
（1） log 2 32 5 ； （3） log10 1000 3 ；
1 4 ； 81 1 3 ． 8
动脑思考 探索新知
对数 性质
（1） log a 1 0 ； （2） log a a 1 ； （3）N >0，即零和负数没有对数．
1 3
练
1 ． 7
习
1 (1) log 1 4 2 ；(2) log3 27 3 ；(3) log5 625 4 ；(4) log0.01 10 ． 2 2
3．求下列对数的值： (1) log 7 7 ；(2) log0.5 0.5 ；(3) log 1 1 ；(4) log 2 1 ．
第四章 指数函数与对数函数
4.3.1
对数的概念
打破神像拾起你的金子
.....穷人供奉了一尊神像。他虔诚地祈求神为他赐福， 结果他变得越来越穷了。 .....后来，他一气之下抓起那尊神像向墙上摔去，神像 的头破了，脑壳里掉出许多金子来。这人把金子拾起 来，大声地说：“我看你既可恶又愚蠢，我尊敬你的 时候，你一点好处也不给我；我打烂了你，你却给我 这么多好东西。”
当 a 0, a 1, N 0 时， 幂 指数真数源自对数a Nb
强调演示
loga N b
底
底
动脑思考 探索新知
互化
a N
b
1 （2） 27 3
loga N b
例 1 将下列指数式写成对数式：
例
题
1 1 （1） ( )4 ； 2 16
（3） 43 例2
3；