山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷
（1） 求函数y=f（x）解析式，并写出周期、振幅；
（2） 求函数y=f（x）的单调递减区间；
（3） 通过列表描点的方法，在给定坐标中作出函数f（x）在[0，π]上的图象．
19. （10分） (2018高三上·静安期末) 设集合 存在正实数 ，使得定义域内任意 都有 ．
11. （1分） (2017·江苏) 如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n （m，n∈R），则m+n=________．
12. （1分） 对于函数 的图象：
①关于直线 对称；
②关于点 对称；
③可看作是把y=sin2x的图象向左平移 个单位而得到；
⑴（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab
⑵sinA=2cosBsinC
⑶b=acosC，c=acosB
⑷
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题________．
15. （1分） (2018高一上·台州期末) 已知 ，关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为________.
21. （15分） (2020·江西模拟) 已知函数 ，且 ， .
（1） 求 的解析式；
（2） 已知 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围.
参考答案
一、 单选题 (共4题；共8分)
1-1、
2-1、3-1、4-、二、 填空题 (共12题；共12分)
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共4题；共8分)
1. （2分） (2018·大庆模拟) 已知命题 直线 与 平行；命题 直线 与圆 相交所得的弦长为 ，则命题 是 （ ）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
（1） 若 ，试判断 是否为 中的元素，并说明理由；
（2） 若 ，且 ，求 的取值范围；
（3） 若 （ ） ，且 ，求 的最小值．
20. （15分） (2019高三上·城关期中) 设函数 .
（1） 求过 点的切线方程；
（2） 若方程 有3个不同的实根，求 的取值范围。
（3） 已知当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
C . 充要条件
D . 既充分也不必要条件
2. （2分） (2020·漳州模拟) 已知函数 有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2018·石家庄模拟) 在 中， ， ，则 的最大值为（ ）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2018高三上·河北月考) 已知 为自然对数的底数，若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
16. （1分） (2018高一下·山西期中) 函数 ，动直线 与 的图像分别交于点 ，则 的最大值是________．
三、 解答题 (共5题；共47分)
17. （5分） 已知f（α）= ．
（1） 化简f（α）；
（2） 若α是第三象限角，且cos（α﹣ π）= ，求f（α）的值；
（3） 若α=﹣ π，求f（α）的值．
④可看作是把 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍而得到．
以上叙述正确的序号是________
13. （1分） (2017·辽宁模拟) 在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知c=5，B= ，△ABC的面积为 ，则cos2A=________．
14. （1分） (2017高一下·赣州期末) △ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：
A .
B .
C .
D .
二、 填空题 (共12题；共12分)
5. （1分） 第三象限角的集合表示为________．
6. （1分） (2018高三上·泰安期中) 圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 ________ ．
7. （1分） 函数f（x）=2cos2x•（ cos2x﹣3sin2x）﹣ 的最小正周期是________．
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、 解答题 (共5题；共47分)
17-1、
17-2、
17-3、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
20-2、
20-3、
21-1、
21-2、
8. （1分） (2019高一下·上海月考) △ABC中， ，则角A= ________．
9. （1分） (2016高一下·浦东期末) 若sinx=﹣ ，x∈（﹣ ，0），则x=________．（结果用反三角函数表示）
10. （1分） (2016高三上·翔安期中) 已知锐角△ABC的面积为3 ，BC=4，CA=3，则角C的大小为________°．
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2019 高二上·洛阳期中) 若，那么下列不等式中不正确的是（ ）A.B.C.D. 2. （2 分） (2016 高二上·大连期中) 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若 a2+a8+a11=30，那么 S13 值的是 （） A . 130 B . 65 C . 70 D . 以上都不对 3. （2 分） 在空间，下列命题正确的是 （ ） A . 平行直线的平行投影重合； B . 平行于同一直线的两个平面平行； C . 垂直于同一平面的两个平面平行； D . 垂直于同一平面的两条直线平行．4. （2 分） (2019 高一下·鹤岗月考) 若两个正实数满足A.B.第 1 页 共 12 页，则的最小值为（ ）C.D.5. （2 分） (2018 高三上·黑龙江期中) 直三棱柱线与所成角的大小为（ ）A . 30°B . 60°C . 90°D . 120°中，，，则直6. （2 分） 在△ABC 中，cos2 =（a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边），则△ABC 的形状为（ ）A . 正三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形D . 等腰直角三角形7. （2 分） 一个所有棱长均为 1 的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为 （）A. B. C.D. 8. （2 分） (2018 高一下·安庆期末) 在数列 中， A.第 2 页 共 12 页，则 等于（ ）B.C.D.9. （2 分） (2019 高三上·赤峰月考) 在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若是 和 的等比中项，则 A.1（）B.C. D.10. （2 分） (2016 高一下·上栗期中) 数列{an}中，an+1=，a1=2，则 a4 为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 (共 2 题；共 6 分)11. （3 分） (2019 高二上·中山月考) 数列 的前 项和为 ，若数列 的各项按如下规律排列： ，以下运算和结论正确的是（ ）A. B . 数列是等比数列第 3 页 共 12 页C . 数列的前 项和为D . 若存在正整数 ，使，则12. （3 分） (2020 高一下·石家庄期中) 在中，D 在线段上，且若，则（ ）A.B.的面积为 8C.的周长为D.为钝角三角形三、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020·海安模拟) 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 Sn＝nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且 a2＝11， 则 S20 的值为________．14. （1 分） (2018·长安模拟) 定义运算： 的最大值为________.，例如：，，则函数15. （1 分） (2020 高二上·吴起期末) 在中，，，，则________16. （1 分） (2016 高二上·黄浦期中) 已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+3（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn=，n∈N* ， 则 （b1+b2+…+bn）________．四、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） (2019 高二上·集宁期中) 在个根，且.求 的长.中，是方程的两18. （10 分） (2018·广东模拟) 已知数列 的前 项和为 ，且，第 4 页 共 12 页（1） 求数列 的通项公式；（2） 记，求数列 的前 项和 .19. （10 分） (2017 高二下·怀仁期末) 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，且， 是 的中点.（1） 求证：平面平面；（2） 若二面角的余弦值为 ，求直线 与平面20. （10 分） (2018 高三上·丰台期末) 在 （Ⅰ）求角 的值；中，所成角的正弦值. ．（Ⅱ）若，，求 的值.21. （10 分） (2014·山东理) 已知等差数列{an}的公差为 2，前 n 项和为 Sn ， 且 S1 ， S2 ， S4 成等比 数列．（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 令 bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．22. （10 分） (2016 高二下·临泉开学考) 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1=2，E 为 BB1 中点．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）求 DE 与平面 AD1E 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱 AD 上是否存在一点 P，使得 BP∥平面 AD1E？若存在，求 DP 的长；若不存在，说明理由．第 5 页 共 12 页第 6 页 共 12 页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 多选题 (共 2 题；共 6 分)11-1、 12-1、三、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 7 页 共 12 页15-1、 16-1、四、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、18-1、 18-2、 19-1、第 8 页 共 12 页19-2、20-1、第 9 页 共 12 页21-1、 21-2、第 10 页 共 12 页22-1、。
山东青岛高一下数学期中试卷
山东青岛高一下数学期中试卷选择题1. 在复平面内，复数2+i i对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 如图所示，a →+b →=（ ）A.−4e 1→+e 2→B.−e 1→−3e 2→C.−3e 1→−e 2→D.−e 1→+3e 2→3. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军．中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌．颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A.中位数 B.平均数C.方差D.极差4. 如图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A.2019年1至4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B.2019年1至4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C.从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D.从1至4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长5. 已知向量a →=(3,3)，b →=(1,4)，c →=(λ,1)，且(2a −3b )⊥c ，则实数λ的值为（ ） A.4 B.3 C.2 D.16. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，异面直线AC 与C 1D 所成角的余弦值为（ ） A.12 B.√22C.√32D.√527. 设在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C +c cos B =a sin A ，则△ABC 的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定8. 已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：①若l ⊥α，α⊥β，则l // β；②若l//α，α // β，则l // β；③若l ⊥α，α // β，则l ⊥β；④若l // α，α⊥β，则l ⊥β．其中说法错误的是( ) A.①③④ B.③ C.①②④ D.②③9. 有五条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从这三条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为（ ） A.710 B.25C.310D.4510. 已知P ，M ，N 在△ABC 所在平面内，且|PA →|=|PB →|=|PC →|，MA →⋅MB →=MB →⋅MC →=MC →⋅MA →，且NA →+NB →+NC →=0→，则点P ，M ，N 依次是△ABC 的（ ） A.重心 垂心 内心 B.外心 垂心 重心 C.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心11. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为棱CC 1上的动点（点P 不与点C ，C 1重合），过点P 作平面α分别与棱BC ，CD 交于M ，N 两点，若CP =CM =CN,则下列说法正确的是( )A.A1C⊥平面αB.存在点P，使得AC1//平面αC.存在点P，使得点A1到平面α的距离为53D.用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形解答题若复数z=(m+1)+(m−1)i的共轭复数是纯虚数，则m=________．11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的上四分位数是________.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘，则此山的高度CD=________m．已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC，D为底边BC的中点，以AD为折痕，将三角形ABD翻折，使BD⊥CD，则经过A，B，C，D的球的表面积为________.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2−b2=bc，sin C=2sin B (1)若b=2，求c；(2)求∠A的大小．做好疫情防控工作是学校复学后的重要安全工作．教育局安全办要了解疫情防控知识在学校的普及情况，命制了一份试题通过网络做问卷调查．试卷由10个题目组成，答对一个得1分，满分10分．某中学A，B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为：5，8，9，9，9：B班5名学生得分为：6，7，8，9，10．(1)请你估计A，B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；(2)如果把B班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．已知平面上三个向量 a →，b →，c →的模均为 1，它们相互之间的夹角均为2π3(1)求证：(a →−b →)⊥c →(2)若|ka →+b →+c →|>1，求实数k 的取值范围．如图，已知三棱锥A −BPC 中，AP ⊥PC,AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM//平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ．移动公司对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否愿意使用5G 网络的社会调查，若愿意使用的称为“5G 族”，否则称为“非5G 族”，得如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）请补全频率分布直方图并求n，a的值；（2）从年龄段在[40,50)的“5G族”中采用分层抽样法抽取6人参加5G网络体验活动，求年龄段分别在[40,45)、[45,50)中抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中再随机抽取2人获奖，求在年龄段[40,45)和[45,50)中各有1人的概率．如图，三棱柱ABC−A1B1C1，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AB=AA1= 2，∠AA1B1=60∘，E、F分别为棱A1B1−BC的中点．(1)求证：AC⊥AE(2)求三棱锥F−A1B1C1的体积；参考答案与试题解析2019-2020学年山东青岛高一下数学期中试卷选择题 1.【解答】 解：复数2+i i=(2+i)i i⋅i=−1+2i −1=1−2i ，∴ 复数2+i i在复平面内对应的点为(1, −2)，故复数2+i i对应的点位于第四象限．故选D . 2.【解答】 此题暂无解答 3.【解答】解：根据题意，从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，其中位数是不变的． 故选A ． 4. 【解答】解：选项A ，由图可知，3月最高，2月最低，差值为4397−2411=1986≈2000，所以A 正确；选项B ，由图可知，同比增长率分别为55%,53%,62%,58%， 都超过50%，所以B 正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%， 而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的； 对于选项D ，1,2,3,4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 故选D . 5. 【解答】解：∵ (2a →−2b →)⊥c →， ∴ (2a →−3b →)⋅c →=0 ∴ (3,−6)⋅(λ,1)=0 ∴ 3λ−6=0 ∴ λ=2. 故选C ． 6.【解答】 此题暂无解答7.【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵b cos C+c cos B=a sin A，则由正弦定理可得：sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A，即sin(B+C)=sin A sin A，可得sin A=1，故A=π2，故三角形为直角三角形.故选B.8.【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在①中，若l⊥α，α⊥β，则l // β或l⊂β，故①错误；在②中，若l//α，α // β，则l//β或l⊂β，故②错误；在③中，若l⊥α，α // β，则l⊥β，故③正确；在④中，若l // α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故④错误．故选C.9.【解答】此题暂无解答10.【解答】此题暂无解答11.【解答】解：连接AD1，D1P，AM，DB，易得AD1//PM，C1D//PN，DB//MN，对于选项A，可得正方体中A1C⊥面DBC1，即可得A1C⊥平面α，故A正确．对于选项B，连接AC交MN于O，连接OP，若AC1//平面α且AC1⊂平面AC1C,平面AC1C∩平面α=OP，则AC1//OP，那么CPCC1=COCA，不妨设CP=x(0<x<1)，则CN=CM=x，MN=√2x，OC=√22x，而CPCC1=x,所以CPCC1≠COCA，所以不存在点P，使得AC1//平面α，故B错误.对于选项C，A1C⊥平面α，且A1C=√3>53，所以存在点P，使得点A1到平面α的距离为53，故C正确．对于D，用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形PMAD1，PM≠AD 1，四边形PMAD 1一定是梯形，故D 正确.故选ACD . 解答题 【解答】解：复数z 的共轭复数z ¯=(m +1)−(m −1)i ，∵ z 的共轭复数是纯虚数， ∴ m +1=0，−(m −1)≠0， ∴ m =−1. 故答案为：−1． 【解答】 此题暂无解答 【解答】解：在△ABC 中，∠BAC =30∘，∠ABC =105∘，所以∠ACB =45∘， 因为AB =600，由正弦定理得600sin 45∘=BC sin 30∘，即BC =300√2m ，在Rt △BCD 中，因为∠CBD =30∘,BC =300√2， 所以tan 30∘=CD BC=300√2，所以CD =100√6m ．故答案为：100√6m ． 【解答】解：由题意可得：DB ，DC ，DA 两两相互垂直． AD 2=32−12=8．设经过A ，B ，C ，D 的球的半径为R ． 则4R 2=12+12+8=10． ∴ 球的表面积=10π． 故答案为：10π． 【解答】 此题暂无解答 【解答】 解：（1）∵ A 班的5名学生的平均得分为(5+8+9+9+9)÷5=8，方差S 12=15[(5−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(9−8)2+(9−8)2]=2.4；B 班的5名学生的平均得分为(6+7+8+9+10)÷5=8，方差S 22=15[(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=2． ∴ S 12>S 22，∴ B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些．（2）从B 班5名同学中任选2名同学的方法共有10种，其中样本6和7，6和8，8和10，9和10的平均数满足条件，故所求概率为410=25．【解答】（1）证明∵ (a →−b →)⋅c →=a →⋅c →−b →⋅c →=|a →|⋅|c →|⋅cos 2π3−|b →|⋅|c →|⋅cos2π3=0，∴ (a →−b →)⊥c →．（2）解：|ka →+b →+c →|>1⇔(ka →+b →+c →)2>1， 即k 2a →2+b →2+c →2+2ka →⋅b →+2ka →⋅c →+2b →⋅c →>1．∵ |a →|=|b →|=|c →|=1，且a →，b →，c →相互之间的夹角均为120∘， ∴ a →2=b →2=c →2=1，a →⋅b →=b →⋅c →=a →⋅c →=−12，∴ k 2+1−2k >1，即k 2−2k >0， ∴ k >2或k <0．【解答】 证明：（1）已知三棱锥A −BPC 中 ∵ M 为AB 中点，D 为PB 中点∴ DM // APAP ⊂平面APC ，DM ⊄平面APC ∴ DM // 平面APC ．（2）∵ △PMB 为正三角形，D 为PB 的中点 ∴ MD ⊥PB ， ∴ AP ⊥PB又∵ AP ⊥PC ，PB ∩PC =P ∴ AP ⊥面PBC ∵ BC ⊂面PBC ∴ AP ⊥BC又∵ BC ⊥AC ，AC ∩AP =A ∴ BC ⊥面APC ， ∵ BC ⊂面ABC∴ 平面ABC ⊥平面APC .【解答】 此题暂无解答 【解答】(1)证明：三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∵ 侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，且侧面ABB 1A 1∩底面ABC =AB ， 又AC ⊥AB ，AC ⊂平面ABC ，∴ AC ⊥平面ABB 1A 1， 又∵ AE ⊂平面ABB 1A 1，∴ AC ⊥AE ；(2)解：连接AB 1，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1B 1＝AB ，∵ AB ＝AA 1＝2，∴ A 1B 1＝AA 1＝2，又∵ ∠AA 1B ＝60∘，且AE =√3，∴ △AA 1B 1 是边长为2的等边三角形， ∵ E 是棱A 1B 1 的中点，∴ AE ⊥A 1B 1，又∵ AE ⊥AC ，A 1C 1 // AC ，∴ AE ⊥A 1C 1，∵ A 1C 1∩A 1B 1＝A 1，∴ AE ⊥底面A 1B 1C 1．∴ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积V =S △A 1B 1C 1⋅AE =12×2×2×√3=2√3．。
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）函数在其定义域上是（）A . 奇函数B . 偶函数C . 增函数D . 减函数2. （2分）使函数为奇函数，且在上是减函数的的一个值是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·浙江期中) 在△ABC中，AC ，BC＝2，B＝60°，则角A的值为（）A . 75°B . 45°C . 45°或135°D . 135°4. （2分） (2020高一下·浙江期中) 已知函数，下列结论错误的是（）A . 函数f（x）最小正周期为2πB . 函数f（x）在区间（0，π）上是减函数C . 函数f（x）的图象关于（kπ，0）（k∈Z）对称D . 函数f（x）是偶函数5. （2分） (2020高一下·浙江期中) 等比数列中，，，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·浙江期中) 对于实数a，b，c，有下列命题：①若，则；②若，且，则；③若，且，则，；④若，则 .其中真命题的是（）A . ①③B . ②③C . ②④D . ③④7. （2分） (2020高一下·浙江期中) 已知，是方程的两根，且，则的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高一下·浙江期中) 在公差不为零的等差数列中，，则的最小值为（）A .B .C .D . 19. （2分） (2020高一下·浙江期中) 已知向量，满足 |，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为，则的值为（）A . ﹣2B . 2C .D .10. （2分） (2020高一下·浙江期中) 数列{an}为递增的等差数列，数列{bn}满足bn＝anan+1an+2（n∈N*），设Sn为数列{bn}的前n项和，若a2 ，则当Sn取得最小值时n的值为（）A . 14B . 13C . 12D . 11二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）已知命题p：|x2﹣x|≠6，q：x∈N，且“p且q”与“﹁q”都是假命题，则x的值为________．12. （1分）(2020·浙江) 已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为________．13. （1分） (2020高一下·浙江期中) 在△ABC中，三边长分别为a﹣2，a，a+2，最大角的余弦值为，则a＝________，S△ABC＝________.14. （1分）(2020高一下·浙江期中) 已知，则＝________，________.三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分）若数列，满足，，若对任意的，都有，，设，则无穷数列的所有项的和为________．16. （1分）(2019·黄浦模拟) 若函数的反函数为，则 ________17. （1分） (2017高二下·徐州期末) 已知复数z= ，其中i是虚数单位，则z的模是________．四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）(2017·番禺模拟) 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．19. （10分）设向量=（sinx，sinx），=（sinx，cosx），x∈[0，]．（Ⅰ）若||=||，求x的值；（Ⅱ）设函数f（x）=，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的最大值及此时相应的x值．20. （10分）已知函数f（x）=2sin（ωx﹣），（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）若h（x）=f（x）﹣b，在x∈[0， ]上含有2个零点，求b的取值范围．21. （10分）(2019高一上·金华期末) 设函数，其中，，．Ⅰ 求的最小正周期和对称轴；Ⅱ 求函数，的值城．22. （10分） (2020高一下·浙江期中) 已知数列{an}满足a1＝3，a2 ，且2an+1＝3an﹣an-1. （1）求证：数列{an+1﹣an}是等比数列，并求数列{an}通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和为Tn ，若对任意的正整数n恒成立，求k的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共50分)18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高二上·广州期末) 若为实数，则下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，，则D . 若，，则2. （2分）数列的通项公式为，当该数列的前n项和达到最小时，n等于（）A . 24B . 25C . 26D . 273. （2分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一下·元氏期中) 函数的最小值是（）A . 2B . 4C . 6D . 85. （2分） (2016高一下·赣州期中) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A= ，则的值为（）A .B .C . 1D .6. （2分）已知△ABC满足=.+.+.，则△ABC是（）A . 等边三角形B . 锐角三角形C . 直角三角形D . 钝角三角形7. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 棱长为的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A . 4πB . 6πC . 8πD . 10π8. （2分） (2020高一下·南宁期末) 在数列中，，（，），则（）A .B . 1C . -1D . 29. （2分） (2020高一下·佳木斯期中) 在中，已知 cm， cm，，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·中山月考) 在等比数列中，若，则的最小值为（）A . 1B .C . 8D . 16二、多选题 (共2题；共6分)11. （3分） (2020高二下·长沙期末) 已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述不正确的是（）A .B .C .D .12. （3分） (2020高一下·济南月考) 下列说法正确的有（）A . 在中，B . 在中，若，则C . 在中，若，则，若，则都成立D . 在中，三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·济宁期末) 在等差数列{an}中，已知a1=2，S9=54，若数列{ }的前n项和为，则n=________．14. （1分） (2019高一上·宁波期中) 已知函数，则的值域为________．15. （1分） (2019高二上·会宁期中) 在中,角所对的边分别为若则边 ________；16. （1分） (2016高一下·大同期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，an+1= Sn（n=1，2，3，…）．则数列{an}的通项公式为________．四、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一下·承德期末) 已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足asinB= bcosA．（1）求A的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．18. （10分） (2019高三上·富平月考) 已知数列为等差数列，，前项和为，数列为等比数列，，公比为2，且， .（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和 .19. （10分）(2017·晋中模拟) 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．20. （10分） (2019高一下·包头期中) 中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．（1）求；（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．21. （10分） (2019高一下·扶余期末) 已知数列的前项和为，， .（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，，其前项和为，求的取值范围.22. （10分） (2019高二上·永济月考) 已知双曲线 .（1）求该双曲线的焦点坐标、离心率；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、多选题 (共2题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2022-2023学年山东省青岛一中高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省青岛一中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知（1+i ）z ＝3﹣i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝（ ） A ．5B ．√5C ．2D ．√22．sin47°cos43°+sin137°sin43°等于（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．123．如图直角△O 'A 'B '是一个平面图形的直观图，斜边O 'B '＝4，则原平面图形的面积是（ ）A ．8√2B ．4√2C ．4D ．√24．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＝b sin B +（c ﹣b ）sin C ，AD 是△ABC 的角平分线，D 在BC 边上，AD =√3，b ＝3c ，则a 的值为（ ） A ．2√73B ．4√73C ．5√73D ．8√735．先将函数f （x ）＝sin4x 的图象向右平移π12个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝（ ） A ．2sin(2x +π3) B ．12sin(12x −π6)C ．2sin(2x −π3)D ．2sin(12x −π3)6．《算数术》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，当圆周率π近似取3时，其体积V 的近似公式V ≈136L 2ℎ．现有一圆锥，其体积的近似公式V ≈138L 2ℎ，侧面积为其轴截面面积的3倍，母线长为4，则此圆锥的高为（ ） A ．4B ．389C ．8821D ．112277．已知单位向量a →，b →满足|a →−b →|+2√3a →•b →=0，则|t a →+b →|（t ∈R ）的最小值为（ ）A ．√23B ．√32C ．2√23D ．√228．已知θ∈{π4，π2，3π4，2π}，现将函数f （x ）＝cos 4x ﹣sin 4x 的图象向右平移θ个单位后得到函数g （x ）的图象，若两函数g （x ）与y ＝tan ωx （ω＞0）图象的对称中心完全相同，则满足题意的θ的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若复数z 满足z （1﹣2i ）＝8﹣i ，则（ ） A ．z 的实部为2 B ．z 的模为13C ．z 的虚部为2D ．z 在复平面内表示的点位于第四象限10．以下四个命题中，正确命题是（ ） A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面 C ．若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面D ．依次首尾相接的四条线段必共面 11．下列命题正确的是（ ）A ．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin5π6，cos 5π6)，则角x 的最小正值为5π6B ．已知θ是第二象限角，则tan （sin θ）＞tan （cos θ）C ．若扇形周长为20，则其面积最大值为25D ．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有2个12．已知△ABC 的重心为G ，点E 是边BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A ．AG →+BG →=CG →B ．若AE →=23AB →+13AC →，则△EAC 的面积是△ABC 面积的23C ．若AB ＝AC ＝2，BC ＝3，则AB →⋅AG →=76D ．若AB ＝AC ＝2，BC ＝3，则当EA →⋅EB →取得最小值时，|EA →|=√374 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知圆锥的轴截面是斜边为2√3的直角三角形，则该圆锥的体积为 ．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝a cos C ，C ＝30°，c ＝2，则△ABC 的面积为 ．15．如图是函数f （x ）＝A sin （ωx +φ），(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象，则其解析式是 ．16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若DA →=m →，DC →=n →，AF →=23AE →，则DE →= ．（用向量m →，n →表示）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知锐角α、β满足cosα=2√55，sin(α−β)=−35，求sin β的值． 18．（12分）当实数m 分别为何值时． （1）复数z ＝m 2+m ﹣2+（m 2+5m +6）i 是： ①实数？ ②虚数？（2）复数z =log 2(m 2−3m −3)+ilog 2(3−m)为纯虚数？19．（12分）如图所示，某游乐场的摩天轮最高点距离地面85m ，转轮的直径为80m ，摩天轮的一侧不远处有一排楼房（阴影部分）．摩天轮开启后转轮顺时针匀速转动，游客在座舱转到最低点时进入座舱，转动t min 后距离地面的高度为H m ，转一周需要40min ．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数H （t ）的解析式；（2）游客甲进入座舱后观赏周围风景，发现10：14时刚好可以看到楼房顶部，到10：42时水平视线刚好再次被楼房遮挡，求甲进入座舱的时刻并估计楼房的高度． 参考数据：sin3π10≈45．20．（12分）如图，已知OA ＝10，点B 是以O 为圆心，5为半径的半圆上一动点． （1）当∠AOB ＝120°时，求线段AB 的值；（2）若△ABC 为正三角形，求四边形OACB 面积的最大值．21．（12分）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥A ﹣BCD 是一鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，AC ⊥CD ，且高AB ＝3√2，BC =√2CD =√6． （1）求三棱锥A ﹣BCD 的体积和表面积；（2）求三棱锥A ﹣BCD 外接球体积和内切球的半径．22．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知m →=(cos A 2，√3sin A2)，n →=(−2sin A 2，2sin A2)，且m →⋅n →=0． （1）求角A 的大小；（2）点M 是BC 的中点，且AM ＝1，求△ABC 面积的最大值． 附加题23．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a+b a+c=sinC−A2sinC+A 2． （1）若A =π4，求B ； （2）求ca+c b 的取值范围．2022-2023学年山东省青岛一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2022-2023学年山东省青岛二中高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i （1﹣z ）＝﹣1，则z +z =（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．12．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β B ．n ∥m ，n ⊥α⇒m ⊥α C ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n3．给出下列命题中，正确的命题是（ ）A ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B ．侧棱都相等的棱锥是正棱锥C ．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱D ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥4．若向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=2√3，且a →⋅b →=3，则向量b →与b →−a →夹角的余弦值为（ ） A ．√32B ．2√59C ．7√216D ．3√30205．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm ．A ．12B ．16C ．4(1+√3)D ．4(1+√2)6．已知α∈（0，π2），cos2α+2sin2α＝1，则sin α＝（ ） A ．15B ．√55C ．45D ．2√557．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P 为△ABC 的费马点．已知点E 为等边△MNQ 的费马点，且|MN →|=6，则EM →⋅EN →+EM →⋅EQ →+→→A ．﹣12B ．﹣36C ．−12√3D ．﹣188．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在三棱锥C 1﹣BCD 的侧面C 1CB 表面上运动，且A 1P =√153，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．√36π B ．√69π C ．√63π D ．√33π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E10．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，0＜φ＜π，b ∈R ）的部分图像如图，则（ ）A ．ωφb ＝5πB ．f(π3)=2C ．将曲线y ＝f （x ）向右平移π9个单位长度得到曲线y ＝﹣4cos3x +2D ．点(−11π18，2)为曲线y ＝f （x ）的一个对称中心 11．给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A ．非零向量a →，b →，满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →B ．若单位向量 e 1→，e 2 的夹角为 60°，则当 |2e 1→−te 2→|(t ∈R) 取最小值时，t ＝1C ．在△ABC 中，若 {AB→|AB →|+AC→|AC →|}•BC →=0，则△ABC 为等腰三角形D ．已知与a →=（1，2），b →=（1，1）且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53，+∞) 12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的有（ ） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝3，则△ABC 有一解C ．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB =√3，AC =√2，M 为BC 上一点，且有 BM →=2MC →，AM →⋅AO →=67D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若z =−1+√3i ，则z zz−1的虚部是 ．14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 ．15．如图所示，要在两山顶M 、N 间建一索道，需测量两山顶M 、N 间的距离．现选择与山脚B 、C 在同一平面的点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAC ＝60°，N 点的仰角∠NAB ＝30°以及∠MAN ＝45°，若AC ＝100米，AB =50√6米，则MN 等于 米．16．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →=λBC →，AD →•AB →=−32，则实数λ的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →•DN →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角为2π3．（1）求|a →−b →|；（2）当k 为何值时，(a →+2b →)⊥(ka →−b →)．18．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，tanB =43，且AB →⋅BC →=−21． （1）求△ABC 的面积； （2）若c ＝5，求角C ．19．（12分）如图甲，在四边形PBCD 中，PD ∥BC ，BC ＝P A ＝AD ，现将△ABP 沿AB 折起得图乙，点M 是PD 的中点，点N 是BC 的中点． （1）求证：MN ∥面P AB ；（2）在图乙中，过直线MN 作一平面，与平面P AB 平行，且分别交PC 、AD 于点E 、F ，注明E 、F 的位置，并证明．20．（12分）（1）已知函数 f(x)=sin 4x 2+2sin x 2cos x 2−cos 4x 2，若f(α)=15，求sin2α； （2）已知 α∈(0，π2)，β∈(0，π)，sinα=√55，cosβ=√1010，求α﹣β的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD =√7，PA =√3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． （1）证明：BD ⊥面APC ； （2）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG GC的值．22．（12分）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD ＝90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC ＝120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD ＝60°，路宽AD＝12m．设灯柱高AB＝h（m），∠ACB＝θ（30°≤θ≤45°）．（1）当θ＝30°时，求四边形ABCD的面积；（2）求灯柱的高h（用θ表示）；（3）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i（1﹣z）＝﹣1，则z+z=（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1解：i（1﹣z）＝﹣1，则1﹣z=−1i=i，即z＝1﹣i，z=1+i，故z+z=1−i+1+i=2．故选：C．2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．n∥m，n⊥α⇒m⊥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n解：m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于A，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α与β相交或平行，故A错误；对于B，n∥m，由线面垂直的判定定理得到：n⊥α⇒m⊥α，故B正确；对于C，m⊥α，m⊥n⇒n∥α或n⊂α，故C错误；对于D，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n平行或异面，故D错误．故选：B．3．给出下列命题中，正确的命题是（）A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B．侧棱都相等的棱锥是正棱锥C ．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱D ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥解：因为正四棱柱是指：底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱，对于A ，因为底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，所以可得底面是正方形，侧棱与底面垂直，故正确；对于C ，因为底面是正方形，有两个侧面是矩形，不能保证侧棱与底面垂直，故错误； 又因为正棱锥是指底面是正多边形，顶点在底面内的射影是底面的中心的棱锥，对于B ，侧棱都相等则可得侧棱在底面内的射影相等，只能说明顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心，不能保证底面是正多边形，故错误；对于D ，侧面都是等腰三角形的棱锥不能保证底面是正多边形，顶点在底面内的射影是底面的中心，故错误． 故选：A ．4．若向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=2√3，且a →⋅b →=3，则向量b →与b →−a →夹角的余弦值为（ ） A ．√32B ．2√59C ．7√216D ．3√3020解：根据题意，设向量b →与b →−a →夹角为θ，则（b →−a →）2=b →2﹣2a →•b →+a →2＝12﹣6+4＝10，则|b →−a →|=√10， 而b →•（b →−a →）=b →2−a →•b →=12﹣3＝9，故cos θ=b →⋅(b →−a →)|b →||b →−a →|=92√3×√10=3√3020；故选：D ．5．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm ．A ．12B ．16C ．4(1+√3)D ．4(1+√2)解：由直观图可得原图如图所示，且OA ＝2，OB =2O ′B ′=4√2，所以AB ＝6，所以周长为16， 故选：B ．6．已知α∈（0，π2），cos2α+2sin2α＝1，则sin α＝（ ）A ．15B ．√55C ．45D ．2√55解：∵α∈（0，π2），∴cos α＞0，sin α＞0， ∵cos2α+2sin2α＝cos 2α﹣sin 2α+4sin αcos α＝1①， 又sin 2α+cos 2α＝1②， 由①②得sin α=2√55． 故选：D ．7．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P 为△ABC 的费马点．已知点E 为等边△MNQ 的费马点，且|MN →|=6，则EM →⋅EN →+EM →⋅EQ →+EN →⋅EQ →=（ ） A ．﹣12B ．﹣36C ．−12√3D ．﹣18解：设∠EMN ＝α，则∠ENM ＝60°﹣α，∵△MNQ 为等边三角形， ∴∠ENQ ＝α，∠EQN ＝60°﹣α，同理：∠EQM ＝α，∠EMQ ＝60°﹣α， 又MN ＝NQ ＝MQ ，∴△EMN ≅△ENQ ≅△EQM ，则EM ＝EN ＝EQ ， ∴点E 为△MNQ 的中心，∵MN ＝NQ ＝MQ ＝6，∴EM =EN =EQ =2√3， 又∠MEN ＝∠NEQ ＝∠QEM ＝120°，∴EM →⋅EN →+EM →⋅EQ →+EN →⋅EQ →=2√3×2√3×cos120°×3=−18． 故选：D ．8．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在三棱锥C 1﹣BCD 的侧面C 1CB 表面上运动，且A 1P =√153，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．√36π B ．√69π C ．√63π D ．√33π 解：因为A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，且A 1P =√153，所以，点P 的轨迹是以B 1为圆心，半径为r =√A 1P 2−A 1B 12=√53−1=√63的圆在△BCC 1内的交线， 取B 1C 1的中点E ，则B 1E ⊥BC 1，且B 1E =12BC 1=√22，设圆弧交BC 1于M 、N 两点，如下图所示：sin ∠B 1ME =B 1E B 1M =√22×3√6=√32，所以∠B 1ME =π3， 又因为B 1M ＝B 1N ，则△B 1MN 为等边三角形， 故点P 轨迹的长度是π3r =π3×√63=√69π． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E 解：A 不正确，因为CC 1与B 1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面ABB 1A 1； C 正确，因为AE ，B 1C 1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D 不正确，因为A 1C 1所在的平面与平面AB 1E 相交，且A 1C 1与交线有公共点， 故A 1C 1∥平面AB 1E 不正确． 故选：ABD ．10．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，0＜φ＜π，b ∈R ）的部分图像如图，则（ ）A ．ωφb ＝5πB ．f(π3)=2C ．将曲线y ＝f （x ）向右平移π9个单位长度得到曲线y ＝﹣4cos3x +2D ．点(−11π18，2)为曲线y ＝f （x ）的一个对称中心 解：由题图可知，{A +b =6−A +b =−2，解得{A =4b =2，因为函数y ＝f （x ）过点（0，4），所以4sin φ+2＝4，所以sinφ=12，由图像可知，点（0，4）在y ＝f （x ）图像的下降部分上，且0＜φ＜π，所以φ=5π6， 又因为函数y ＝f （x ）过点(2π9，−2)，所以2π9×ω+5π6=3π2，解得ω＝3， 对于选项A ，则ωφb =3×5π6×2=5π，故选项A 正确； 对于选项B ，由A ，得f(x)=4sin(3x +5π6)+2，所以f(π3)=4sin(3×π3+5π6)+2=4sin(π+5π6)+2=−4sin 5π6+2=0，故选项B 错误；对于选项C ，将曲线y ＝f （x ）向右平移π9个单位长度得到曲线y =4sin[3(x −π9)+5π6]+2=4sin(3x +π对于选项D ，令3x +5π6=kπ，k ∈Z ，解得x =kπ3−5π18，k ∈Z ， 取k ＝﹣1，则x =−π3−5π18=−11π18， 所以点(−11π18，2)为曲线y ＝f （x ）的一个对称中心，故选项D 正确． 故选：AD ．11．给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A ．非零向量a →，b →，满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →B ．若单位向量 e 1→，e 2 的夹角为 60°，则当 |2e 1→−te 2→|(t ∈R) 取最小值时，t ＝1 C ．在△ABC 中，若 {AB→|AB →|+AC→|AC →|}•BC →=0，则△ABC 为等腰三角形D ．已知与a →=（1，2），b →=（1，1）且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53，+∞) 解：对选项A ，∵向量不能比较大小，∴A 选项错误； 对选项B ，∵|2e 1→−te 2→|=√4+t 2−2t =√(t −1)2+3， ∴当t ＝1时，|2e 1→−te 2→|取最小值，∴B 选项正确；对选项C ，∵AB→|AB →|+AC→|AC →|表示与∠A 的角平分线平行的向量，又(AB →|AB →|+AC→|AC →|)⋅BC →=0，∴∠A 的角平分线与边BC 所在直线垂直， ∴△ABC 为等腰三角形，∴C 选项正确；对选项D ，∵当λ＝0时，a →与a →+λb →的夹角为0，∴D 选项错误． 故选：BC ．12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的有（ ） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝3，则△ABC 有一解C ．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB =√3，AC =√2，M 为BC 上一点，且有 BM →=2MC →，AM →⋅AO →=67D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C解：对于A ，若A ＞B 则a ＞b ，由正弦定理得2R sin A ＞2R sin B ，整理得sin A ＞sin B ，故A 正确； 对于B ，因为A ＝30°，b ＝4，a ＝3，由正弦定理得3sin30°=4sinB，即sinB =23，又因为b ＞a ，所以B 有两解，故B 错误；对于C ，因为O 是△ABC 的外心，所以AB →⋅AO →=|AB →||AO →|cos∠BAO =12|AB →|2=32，同理可得AC →⋅AO →=12|AC →|2=1， 又因为AM →=AB →+BM →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →，所以AM →⋅AD →=13AB →⋅AD →+23AC →⋅AD →=76，故C 错误；对于D ，由A +B +C ＝π，得A +B ＝π﹣C ，且三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B ＝tan （A +B ）（1﹣tan A tan B ）＝tan （π﹣C ）（1﹣tan A tan B ）＝﹣tan C （1﹣tan A tan B ）＝﹣tan C +tan A tan B tan C ，所以tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C ，故D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若z =−1+√3i ，则zzz−1的虚部是√33． 解：∵z =−1+√3i ，∴zz =(−1+√3i)(−1−√3i)=4， ∴z zz−1=−1+√3i3=−13+√33i ，其虚部为√33． 故答案为：√33． 14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 √32． 解：∵a 2sin C ＝2sin A ， ∴a 2c ＝2a ，∴ac ＝2， ∵（a +c ）2＝6+b 2，∴a 2+c 2+2ac ＝6+b 2，∴a 2+c 2﹣b 2＝2， ∴△ABC 的面积为 √14[22−(22)2]=√32．故答案为：√32． 15．如图所示，要在两山顶M 、N 间建一索道，需测量两山顶M 、N 间的距离．现选择与山脚B 、C 在同一平面的点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAC ＝60°，N 点的仰角∠NAB ＝30°以及∠MAN ＝45°，若AC ＝100米，AB =50√6米，则MN 等于 100√2 米．解：在Rt △ACM 中，∠MAC ＝60°，AC ＝100，所以AM =ACcos60°=10012=200，在Rt △ABN 中，∠NAB ＝30°，AB =50√6，所以AN =AB cos30°=√6√32=100√2，在△AMN 中，∠MAN ＝45°，AM ＝200，AN =100√2，由余弦定理得：MN 2=AM 2+AN 2−2AN ⋅AMcos45°=2002+1002×2−2×200×100√2×√22=1002×4+1002×2﹣1002×4＝1002×2，所以MN =100√2（米）． 故答案为：100√2．16．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →=λBC →，AD →•AB →=−32，则实数λ的值为16，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →•DN →的最小值为132．解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B ＝60°，AB ＝3，∴A （32，3√32），∵BC ＝6，∴C （6，0），∵AD →=λBC →，∴AD ∥BC ，设D （x 0，3√32），∴AD →=（x 0−32，0），AB →=（−32，−3√32）， ∴AD →•AB →=−32（x 0−32）+0=−32，解得x 0=52，∴D （52，3√32）， ∴AD →=（1，0），BC →=（6，0），∴AD →=16BC →，∴λ=16，∵|MN →|＝1，设M （x ，0），则N （x +1，0），其中0≤x ≤5，∴DM →=（x −52，−3√32），DN →=（x −32，−3√32），∴DM →•DN →=（x −52）（x −32）+274=x 2﹣4x +212=（x ﹣2）2+132，当x ＝2时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角为2π3．（1）求|a →−b →|；（2）当k 为何值时，(a →+2b →)⊥(ka →−b →)． 解：（1）∵|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角为2π3，∴a →⋅b →=|a →||b →|cos 2π3=4×8×(−12)=−16，∴|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√16+32+64=4√7； （2）∵(a →+2b →)⊥(ka →−b →)，∴(a →+2b →)⋅(ka →−b →)=ka →2−2b →2+(2k −1)a →⋅b →=16k ﹣128﹣16（2k ﹣1）＝0，解得k ＝﹣7．18．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，tanB =43，且AB →⋅BC →=−21．（1）求△ABC 的面积； （2）若c ＝5，求角C ．解：（1）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长， 因为tanB =43，所以sinB =45，cosB =35， 又AB →⋅BC →=−21，则ac cos B ＝21，则ac ＝35， 则S △ABC =12acsinB =12×35×45=14； （2）因为c ＝5，所以a ＝7，所以b=√a2+c2−2accosB=4√2，所以cosC=a2+b2−c22ab=49+32−252×7×42=√22，又C∈（0，π），则C=π4．19．（12分）如图甲，在四边形PBCD中，PD∥BC，BC＝P A＝AD，现将△ABP沿AB折起得图乙，点M 是PD的中点，点N是BC的中点．（1）求证：MN∥面P AB；（2）在图乙中，过直线MN作一平面，与平面P AB平行，且分别交PC、AD于点E、F，注明E、F的位置，并证明．解：（1）证明：在四边形PBCD中，PD∥BC，BC＝P A＝AD，将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点，点N是BC的中点，取AD中点F，连接FM，FN，MN，如图，则FN∥AB，FM∥P A，FM∩FN＝F，AB∩P A＝A，∴平面P AB∥平面MNF，∵MN⊂平面MNF，∴MN∥平面P AB．（2）取PC中点E，AD中点F，连接ME，MF，NF，则MF∥P A，ME∥NF∥AB，MF∩ME＝M，AB∩P A＝A，∴平面MENF∥平面P AB，∴平面MENF就是过直线MN的平面，且平面MENF∥平面P AB．20．（12分）（1）已知函数f(x)=sin4x2+2sinx2cosx2−cos4x2，若f(α)=15，求sin2α；（2）已知α∈(0，π2)，β∈(0，π)，sinα=√55，cosβ=√1010，求α﹣β的值．解：（1）f （x ）＝（sin 2x 2+cos 2x 2）（sin 2x 2−cos 2x2）+sin x ＝sin x ﹣cos x ，由已知有f （α）＝sin α﹣cos α=15， 两边平方，得1﹣sin2α=125，∴sin2α=2425； （2）∵α∈(0，π2)，β∈(0，π)，sinα=√55，cosβ=√1010＞0， ∴β∈（0，π2），∴cos α=√1−sin 2α=2√55，sin β=√1−cos 2β=3√1010，∴sin β＞sin α，∴β＞α，∴sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣cos αsin β=√55×√1010−2√55×3√1010=−√22， ∵β＞α，且α，β∈（0，π2），∴α﹣β=−π4．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD =√7，PA =√3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． （1）证明：BD ⊥面APC ； （2）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG GC的值．解：（1）证明：底面ABCD 中，AB ＝BC ，AD ＝CD ， 则BD 是AC 的垂直平分线，故BD ⊥AC ，又由P A ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，可得P A ⊥BD ， 又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥面P AC ； （2）设AC 与BD 交于点O ，连接OG ， 若PC ⊥面BGD ，则PC ⊥OG ， 由于P A ⊥面ABCD ，则P A ⊥AC ，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， 由余弦定理可得AC ＝2√3，在Rt △P AC 中，PC =√3+12=√15， 又由△OGC ∽△P AC ，可得OC CG=PC AC，则GC =AC⋅OC PC =2√155，则PG =3√155， 故PG GC=3√1552√155=32．22．（12分）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD ＝90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC ＝120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD ＝60°，路宽AD ＝12m ．设灯柱高AB ＝h （m ），∠ACB ＝θ（30°≤θ≤45°）． （1）当θ＝30°时，求四边形ABCD 的面积； （2）求灯柱的高h （用θ表示）；（3）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．解：（1）当θ＝30°时，∠BAC ＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴AB ＝BC ，又∠CAD ＝90°﹣∠BAC ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴AC ＝AD ＝12， ∴在△ABC 中，AB sin∠ACB=BC sin∠BAC=AC sin∠ABC，即AB =BC =4√3，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12×4√3×4√3×sin120°+12×12×12×sin60°=48√3；（2）∠BAC ＝180°﹣120°﹣θ＝60°﹣θ，∠CAD ＝90°﹣∠BAC ＝θ+30°，∠ADC ＝180°﹣60°﹣（θ+30°）＝90°﹣θ， 在△ACD 中，由正弦定理得AD sin∠ACD=AC sin∠ADC，∴12sin60°=ACsin(90°−θ)，∴AC =8√3cosθ， 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC=AB sin∠ACB，∴AC sin120°=ℎsinθ，∴AC =√3ℎ2sinθ=8√3cosθ，∴h ＝8sin2θ（30°≤θ≤45°）；（3）在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC=BC sin∠BAC，∴8√3cosθsin120°=BC sin(60°−θ)，∴BC =16cosθsin(60°−θ)=16cosθ[sin60°cosθ−cos60°sinθ]=8√3cos 2θ−8sinθcosθ =8√3⋅1+cos2θ2−4sin2θ=4√3+4√3cos2θ−4sin2θ， ∴S =AB +BC =8sin2θ+(4√3+4√3cos2θ−4sin2θ)=4√3+4√3cos2θ+4sin2θ =4√3+8(12sin2θ+√32cos2θ)=8sin(2θ+60°)+4√3， ∵30°≤θ≤45°，∴120°≤2θ+60°≤150°，∴当2θ+60°＝150°，即θ＝45°时，S 取最小值4+4√3，故S 关于θ的函数表达式为S =8sin(2θ+60°)+4√3(30°≤θ≤45°)， S 最小值为4+4√3m 2．。
人教版高一年级下学期期中考试数学试卷与答案解析(共三套)
人教版高一年级下学期期中考试数学试卷（一）（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A 版第二册：第六章 平面向量及其应用、第七章 复数、第八章 立体几何初步一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量)4(-=，m a ，)31(+-=m b ，，若存在实数0<λ，使得b a λ=，则实数m 的值为( )。
A 、4-B 、512- C 、1-D 、12．下列说法中错误的是( )。
A 、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B 、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C 、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D 、斜二测坐标系取的角可能是 1353．在下列命题中，正确命题的个数为( )。
①两个复数不能比较大小；②若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数1±=x ；③z 是虚数的一个充要条件是R z z ∈+；④若a 、b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数；⑤R z ∈的一个充要条件是z z =；⑥1||=z 的充要条件是z z 1=。
A 、1B 、2C 、3D 、4 4．设α、β是两个不同的平面，则β⊥α的充要条件是( )。
A 、平面α内任意一条直线与平面β垂直B 、平面α、β都垂直于同一条直线C 、平面α、β都垂直于同一平面D 、平面α内存在一条直线与平面β垂直5．如图，在长方体D C B A ABCD ''''-中，用截面截下一个棱锥D D A C ''-，则棱锥D D A C ''-的体积与剩余部分的体积之比为( )。
山东省青岛市第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题(含解析)
山东省青岛市第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题 1.下列命题正确的是 A. 若 a ＞b,则a 2＞b 2B. 若a ＞b ，则 ac ＞bcC. 若a ＞b ，则a 3＞b 3D. 若a>b ，则1a ＜1b【答案】C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立. 故选C2.设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC. 若a ∥α，α∥β，则a ∥βD. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确； B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确； C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确； D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确. 故选：D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3..以斜边所在直线为旋转迪，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（ ）A.3πB.23πC. πD.43π【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【详解】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．由题得等腰直角三角形的斜边上的高为1.所以2112233V S h R hπ=⨯⋅=⨯⋅2122(1)133ππ=⨯⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4.ABC∆的三个内角,,A B C的对边分别是,,a b c.已知23b=6Bπ=，6c=，则A=（）A.6πB.2πC.6π或2πD.3π或2π【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理求出角C,再求角A得解.2363,sinsin2CC∴=因为c＞b,所以3Cπ=或23π.所以2Aπ=或6π.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 5.一个等差数列共有13项，奇数项之和为91，则这个数列的中间项为（ ） A. 10 B. 11C. 12D. 13【答案】D 【解析】 【分析】设数列为{}n a ，由题得77=91a 即得解. 【详解】设数列为{}n a ，由题得131113++++=91a a a a ，所以777=91=13a a ∴，. 所以这个数列的中间项为13. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a =7b =，4A π=，则ABC ∆的形状可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 钝角或锐角三角形D. 锐角、钝角或直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得sin B =>, 求出角B 的范围，再求出角C 的范围得解.【详解】由正弦定理得7sin sin 262B B =∴=>, 因为b a >，4A π=，所以233B ππ<<,且2B π≠,所以7115,12121212A B C ππππ<+<∴<<. 所以三角形是锐角三角形或钝角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且2135n n S n T n +=+，则55a b =（ ） A. 38B.23 C.1116D.1932【答案】D 【解析】 【分析】利用95595599S a a T b b ==即可得解. 【详解】由题得955955929119939532S a a T b b ⨯+====⨯+. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.设0a >，0b >，若3是3a 与9b 的等比中项，则12a b+的最小值为（ ） A.92B. 3C.32+ D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由题得22a b +=，再利用基本不等式求最值得解. 【详解】因为3是3a 与9b 的等比中项， 所以223393,22aba ba b +=⋅=∴+=.所以12112112122=()2()(2)(5)222a b a b a b a b a b b a+⋅+⋅=⋅+⋅+=++19(522≥⋅+=当且仅当23a b ==时取等 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数()24f x x mx =++，若()0f x >对任意实数()0,4x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. [)4,-+∞ B. ()4,-+∞ C. (],4-∞-D. (),4-∞-【答案】B 【解析】 【分析】由题得4()m x x>-+ 对任意实数()0,4x ∈恒成立，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题得已知函数240x mx ++>对任意实数()0,4x ∈恒成立， 所以4()m x x>-+ 对任意实数()0,4x ∈恒成立，因为4()4x x -+≤-=-（当且仅当x=2时取等） 所以4m >-. 故选：B【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.若等差数列{}n a 单调递减，24,a a 为函数()2812f x x x =-+两个零点，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时，正整数n 的值为（ ） A. 3 B. 4C. 4或5D. 5或6【答案】C 【解析】 【分析】先求出210n aa n =-+，再得到1456,0,0,,,0n a a a a a >=<，，即得解.【详解】因为等差数列{}n a 单调递减，24,a a 为函数()2812f x x x =-+的两个零点，所以24=6=22,6(2)(2)210n a a d a n n ∴=-∴=+-⨯-=-+，，. 令2+1005n n -≥∴≤，. 所以1456,0,0,,,0n a a a a a >=<，，所以数列前4项或前5项的和最大. 故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”.某个“堑堵”的高为2，且该“堑堵”的外接球表面积为12π，则该“堑堵”的表面积的最大值为（ ）A. 4+B. 12+C. 16+D.20+【答案】B 【解析】 【分析】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,求出21()2(+)42S a b a b =+++，再利用基本不等式求出a+b 的范围，利用二次函数的图象得解. 【详解】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,由题得222221412,1(),=82R R c c a b π=∴==+∴=∴+.由题得该“堑堵”的表面积为2+222+2S ab a b ab a b =++⋅=++因为222221()8,()28,()4,424a b a b a b ab ab a b a b ++=∴+-=∴=+-≤∴+≤.所以21()2(+)42S a b a b =+++令4),a b t t +=<≤21242S t t =++，所以当t=4时，S 最大为12+故选：B【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()1log 01n n ana b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11log 2n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A. n n T M ≥ B. n n T M >C. n n T M <D. n n T M ≤【答案】C 【解析】 【分析】先求出2462log ()13521n a nT n =⨯⨯⨯-，log n a M =，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯∈即得解. 【详解】因为2n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.所以2log 21n anb n =-， 所以24622462log log log log log ()1352113521n a a a aa n nT n n =+++=⨯⨯⨯--111log =log (21)log 22n a n a a M a n +=+=下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈ （1）当1n =时，左边12=，右边=<右边，不等式成立， （2）22414n n -<，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即212221n nn n -<+，∴<，∴<假设当n k =时，原式成立，即1121232k k -⨯⨯⋯⨯<那么当1n k =+时，即112121212322(1)2(1)1k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯=<++即1n k =+时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以246213521nn ⨯⨯⨯>-因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521a a nn ⨯⨯⨯<- 所以n n T M <. 故选：C【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、填空题13.已知等比数列{}n a 的前n 项和14233n n S t -=⋅-，则t =______. 【答案】2 【解析】 【分析】 求出1423a t =-，2=43n n a t -⋅，解方程1214=2433a t t --=⋅即得解. 【详解】当n=1时，114=23a S t =-， 当n ≥2时，12221=232323(31)43n n n n n n n a S S t t t t ------=⋅-⋅=⋅-=⋅，适合n=1.所以1214=243,23a t t t --=⋅∴=. 故答案为：2【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14.已知函数1a >，12b >，若实数()()1211a b --=，则2+a b 的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】求出1112b a+=，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1122,12ab a b b a=+∴+=，所以1122=(a+2b)()22422a b b a b a ++=++≥+=a b . 当且仅当2,1a b ==时取等. 故答案为：4【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.在ABC ∆中，6A π=，A 的角平分线AD 交BC 于点D，若AB =AC =AD =______.【解析】 【分析】先利用余弦定理求出BC AB =，得到4ADB π∠=，再利用正弦定理得解【详解】在△ABC中，由余弦定理得22622,BC BC AB =+-=∴=. 所以263C B ππ==，.所以4ADB π∠=. 在△ABD2AD =∴=.【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱CD 的中点，动点N 在体对角线1A C 上（点N 与点1A ，C 不重合），则平面AMN 可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）【答案】11,,A B C 【解析】 【分析】取1CC 中点E ，取11A B 中点F, 1,A C 在平面1AMEB 两侧，1,A C 在平面1AMC F 两侧，分析即得解. 【详解】见上面左图，取1CC 中点E ，因为ME 1//AB ,所以A,M,E,1B 四点共面，1,A C 在平面1AMEB 两侧，所以1A C 和平面1AMEB 交于点N,此时平面AMN 过点A, 1B ;见上面右图，取11A B 中点F,因为1//AF C M ,所以1,,,A F C M 四点共面，1,A C 在平面1AMC F 两侧，所以1A C 和平面1AMC F 交于点N,此时平面AMN 过点A, 1C ;综上，平面AMN 可能经过该正方体的顶点是11,,A B C . 故答案为：11,,A B C【点睛】本题主要考查棱柱的几何特征和共面定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17.证明：对任意实数()3,x ∈-+∞<.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用分析法证明即可.【详解】要证明对任意实数()3,x ∈-+∞，恒成立，<只需证明2929x x ++++， 只需证明22+918920x x x x +<++， 只需证明1820<， 而1820<显然成立，所以对任意实数()3,x ∈-+∞<.所以原题得证.【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 18.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且()sin 2sin 0c B b A B ++=. （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若7b =，ABC ∆的面积为4，求a c +. 【答案】（Ⅰ）2;3B π=（Ⅱ）8. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简()sin 2sin 0c B b A B ++=即得角B 的大小；（Ⅱ）先求出ac=15,再利用余弦定理求出a+c 的大小即得解.【详解】（Ⅰ）由题得sin 2sin 0,2sin sin cos sin sin 0c B b C C B B B C +=∴+=,因为sin sin 0B C ≠,所以12cos ,0,23B B B ππ=-<<∴=.（Ⅱ）由题得1152a c ac ⨯⨯=∴=. 由222222149=2()()()152a c ac a c ac a c ac a c +-⨯-=++=+-=+-， 所以8a c +=.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()1110n n nS n S n n +-+++=，且110a =.求数列{}na 的前n 项和.【答案】数列{}n a 的前n 项和2211,6=1160,6n n n n T n n n ⎧-+≤⎨-+>⎩【解析】 【分析】先通过已知求出=212n a n -+，再分类讨论求出数列{}n a 的前n 项和.【详解】由题得()()1110n n nS n S n n +-+++=，所以 ()110n n n nS nS S n n +--++=， 所以()()1110,1n n n n na S n n S na n n ++-++=∴=++.当n ≥2时，111=(1)+2,2n n n n n n n a S S na n a n a a -++-=--∴-=-当n=1时，21212202S S a a -+=∴-=-，. 所以数列{}n a 是一个以10为首项，以-2为公差的等差数列， 所以=10+(n 1)(2)212n a n -⨯-=-+. 所以n ≤6时，0n a ≥，n ＞6时，0n a <. 设数列{}n a 的前n 项和为n T , 当n ≤6时，21(10122)112n n nT a a n n n =++=+-=-+；当n ＞6时，221676666(2122)11602n n n T a a a a n n n -=++---=-+--+-=-+.所以数列{}n a 的前n 项和2211,6=1160,6n n n n T n n n ⎧-+≤⎨-+>⎩.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.20.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1AA 的中点.问：在棱11A D 上是否存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ？若存在，请说明点N 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】在棱11A D 上存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ，N 就是11A D 的中点. 【解析】 【分析】如图，取11A D 的中点N,1DD 的中点E,连接DE,1EC .证明平面1NEC //平面1B MC 即得解.【详解】如图，取11A D 的中点N,1DD 的中点E,连接DE,1EC .由题得1//NE B C ,因为NE ⊄平面1B MC ，1B C ⊂平面1B MC ， 所以NE //平面1B MC .由题得111//,C E MB C E ⊄平面1B MC ,1MB ⊂平面1B MC ,所以1//C E 平面1B MC . 因为11,,NEC E E NE C E =⊂平面1NEC ,所以平面1NEC //平面1B MC ， 因为1C N ⊂平面1NEC , 所以1C N //平面1B MC .所以在棱11A D 上存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ，N 就是11A D 的中点.【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2n ≥时，1122n n n S S S +-++=，且10S =，24a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等比数列{}n b 满足22331b a b a ==，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）=44n a n -;（Ⅱ）214(1)()2n n T n -=-+.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据1122n n n S S S +-++=得到数列{}n a 是一个以0为首项，以4为公差的等差数列，即得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【详解】（Ⅰ）由题得2n ≥时，111124,4n n n n n n n S S S S S S S +-+-+=+∴--+=，+14n n a a ∴-=，因为10S =，24a =.所以数列{}n a 是一个以0为首项，以4为公差的等差数列. 所以=44n a n -.（Ⅱ）因为22331b a b a ==，所以1111,,()222n n b q b ==∴=. 所以211=(4n 4)()(1)()22nn n n a b n -⋅-=-.所以01221111=0+1()2()3()(1)()2222n n T n -⨯+⨯+⨯++-⨯，123111111=0+1()2()3()(1)()22222n n T n -⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得122111111=1+1()1()+()(1)()22222n n n T n --⨯+⨯+--⨯， 所以2111[1()]1122=1+(1)()12212n n n T n -----⨯-， 所以214(1)()2n n T n -=-+.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.22.已知数列{}n a 的前n 项和n S 1=，且11a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，且数列{}n b 的前n 项和n T 满足262n T t t <-对任意正整数n 恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）设134nn n c a +⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，问：是否存在正整数m ，使得m n c c ≥对一切正整数n 恒成立？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）21n an =-；（Ⅱ）3t ≥或1t ≤-；（Ⅲ）m=3时，使得m n cc ≥对一切正整数n 恒成立. 【解析】【详解】1=，所以数列是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，21),n n S n -=∴=.当n ≥2时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，适合n=1.所以21n a n =-. （Ⅱ）1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，所以1111111111()(1)2133521212212n T n n n =-+-++-=-<-++， 所以216232t t t ⨯≤-∴≥，或1t ≤-. （Ⅲ）3(21)4nn c n ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭, 所以1+133352(23)(21)4444n n nn n n c c n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+-⋅+=⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以n ≤2时，+13210n n c c c c c ->∴>>，. n ＞2时，+13450n n c c c c c -<∴>>>，所以m=3时，使得m n c c ≥对一切正整数n 恒成立【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，考查数列的单调性和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.在数列{}n a 中，12a =，26a =.当2n ≥时，1122n n n a a a +-+=+.若[]x 表示不超过x 的最大整数，求12320192019201920192019...a a a a ⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值. 【答案】2021 【解析】 【分析】构造1n n n b a a +=-，推出数列{}n b 是4为首项2为公差的等差数列，求出12n n a a n --=，利用累加法求解数列的通项公式．化简数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和，然后求解即可．【详解】构造1n n n b a a +=-，则1214b a a =-=， 由题意可得111()()2n n n n n n a a a a b b +-----=-=，(n ≥2). 故数列{}n b 是以4为首项2为公差的等差数列， 故142(1)22n n n b a a n n +=-=+-=+，故214a a -=，326a a -=，438a a -=，⋯，12n n a a n --=以上1n -个式子相加可得1(1)(42)4622n n n a a n -+-=++⋯+=，(1)n a n n =+．所以1111n a n n =-+， ∴12111111111(1)()()122311n a a a n n n ++⋯+=-+-+⋯+-=-++ ∴122019201920192019201920192020a a a ++⋯+=- 则1220192019201920191[][2018]20182020a a a ++⋯+=+=． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
青岛市2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题含答案
青岛市2022—2023学年度第二学期期中学业水平检测高一数学试题 2023.04本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数2(1i)z =+，则z 的虚部是A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i2．已知向量(12)a =，，(2)b t =，，若a 与a b -垂直，则实数t 的值为A ．0B ．1-C ．32-D ．323．如图所示，在三棱台A B C ABC '''-中，沿平面A BC '截去三棱锥A ABC '-，则剩余的部分是 A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．三棱柱D ．三棱台4．在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2a =，b =，60B =︒，则c =A ．1BC ．3D ．1或35．已知0a >，0b >，复数112i z =-，2i z a =-，3z b =-在复平面内对应的点为123Z Z Z ，，，'''若123Z Z Z ，，三点共线，则12a b +的最小值为 A ．9B ．8C ．6D ．46．在矩形ABCD 中，M ，分别为BC ，CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+=A ．25 B ．1 C ．65 D ．857．在ABC △中，CD 为角C 的平分线，若2B A =，34AD BD =，则cos A 等于A ．0B ．12C ．23D ．348．在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2=2BC AC AB ⋅，则b c的取值范围为A．(2)+∞ B．(2)+∞C．(02，D．(22二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．若复数z 满足(12i)10z ⋅-=，则 A ．24i z =-B ．2z +是纯虚数 C．||||z z ==D ．若z 是关于x 的实系数方程240x x b +=-的一个复数根，则20b =10．下列说法正确的是 A ．向量1(23)e =-，，213()24e =-，能作为平面内所有向量的一组基底 B ．已知OAB △中，点P 为边AB 的中点，则必有1()2OP OA OB =+ C ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心 D ．若G 是ABC △的重心，则点G 满足条件0GA GB CG ++= 11．在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则下列说法正确的是A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC △为等腰三角形B ．若cos cos a bA B=，则ABC △为等腰或直角三角形 C ．若ABC △为锐角三角形，则sin cos A B > D ．若30A =︒，4b =，3a =，则ABC △有两解12．已知函数2π()cos()(0)3f x x ωω=+>在π[π]2-，上单调，且()y f x =的图象关于点N(π03)-，对称，则 A ．()f x 的周期为2πB ．若12|())|2(f x f x -=，则12min ||2πx x -=C ．将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后对应的函数为奇函数D．函数2()y f x =+[0π]，上有1个零点 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示，等腰直角三角形O A B '''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中2O B ''=，则原图形的周长为 ．14．已知向量a b ，满足||4a =，||1b =，|2|23a b +=，则向量a b ，的夹角为 ．15．sin 40(tan10︒︒= ．16．某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径,A B 两点间的距离，现在人工湖岸边取,C D 两点，测得40m CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则=AB m ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知αβ，都是锐角，sin α=3cos()5αβ+=．（1）求cos 2α和πtan(2)4α+的值； （2）求sin β的值．' y ' DC B A18．（12分）已知半圆圆心为O，直径4AB=，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC 上的动点，以O点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示．（1）求OA在OC上投影向量的坐标；（2）若y PA PO=⋅，当y取得最小值时，求点P的坐标及y的最小值．19．（12分）在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数21(4)i,R=+-∈z m m m．（1）若点A位于第四象限，求m的取值范围；（2）若点A关于实轴的对称点为点B，求向量AB对应的复数；（3）若，且，求的取值范围．20．（12分）在“①tan tan tanA B A B+=；②2222(42)cosa ab C b a c-+=+；③()(sin sin sin)sinc a b C A B a B+--+=”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在ABC△中，内角A B C，，的对边分别为a b c，，，且_______．（1）求角C；（2）若ABC△的内切圆半径r=4b=，求ABC△的外接圆半径R．21．（12分）已知向量(2sina x=，π(2cos()1)3xb=+，，记函数()ax bf=⋅．（1）将()f x化为πsin()(00||)2y A x B Aωϕωϕ=++>><，，形式，并求最小正周期T；（2）求函数()f x在区间ππ12[]2-，上的值域；（3）将函数()f x的图象向右平移π6个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的22cos(4sin)izθλθ=++12z z=λ(01)a a <<倍得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在区间[11]-，上至少有100个最大值，求a 的取值范围．22．（12分）对于函数()()f x x I ∈，若存在非零常数M ，使得对任意的x I ∈，都有()()f x M f x +≤成立，我们称函数()f x 为“M 函数”；对于函数()()f x x I ∈，若存在非零常数M ，使得对任意的x I ∈，都有()()f x M f x +<成立，我们称函数()f x 为“严格M 函数”． （1）求证：()cos (R)=∈f x x x ，是“M 函数”；（2）若函数2()cos (R)=+∈f x kx x x ，是“π2函数”，求k 的取值范围； （3）对于定义域为R 的函数()f x 对任意的正实数M ，()f x 均是“严格M 函数”，若322[]()(1)-≥+t t f f a t ，求实数a 的最小值．数学答案一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分． 1-8：A D B C B D C D二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分． 9．ACD ； 10．BC ； 11．CD ； 12．BCD . 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．8+ 14．2π3； 15．1-； 16．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：（1）由题意知24cos 212sin 5αα=-=， ················ 2分 因为α是锐角，sin α=cos α= ·············· 3分所以3sin 22sin cos 5ααα==，所以sin 23tan 2cos 24ααα== ·········· 5分所以π3tan 2tan 1π44tan(2)7π341tan 2tan 1144ααα+++===-⋅-⨯ ·············· 6分 （2）因为αβ，都是锐角，所以(0π)αβ+∈，因为3cos()5αβ+=，所以4sin()5αβ+=. ················· 8分故sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+4355=⨯-⨯= ··················· 10分 18. （12分）解：（1）由题意得，2OC OA ==，π3AOC ∠=， 则2π2π(2cos,2sin )33C，即(C - ·················· 2分 设||e OCOC=，所以1(,22e =-所以OA 在OC 上的投影向量为||cos e e AOC OA ⋅∠=，所以OA 在OC 上的投影向量的坐标为1(2-··············· 4分 （2）设1)0(OP tOC t =≤≤，由（1）知，(()OP t t =-=-，故(,)PO t=，(2,)PA t =-+ ················· 7分所以22211(2)3424()44PA PO t t t t y t t ⋅=-++=-=--= ········ 10分 又因为01t ≤≤，所以当14t =时，y PA PO =⋅有最小值为14- ······· 11分此时点P的坐标为1(,44- ······················ 12分19．（12分）解： （1）由题意得，2(,4)A m m -，因为点A 位于第四象限，所以2,40m m >⎧⎨-<⎩所以2m >. ······················· 3分 （2）由题意得，2(,4)B m m -，所以向量2(0,28)AB m =-，所以向量AB 对应的复数为2(28)i m - ······························· 6分（3）因为12z z =，所以22cos 44sin θλθ=⎧⎨-=+⎩m m ，所以24cos 4sin 4λθθ=--+， 22214(1sin )4sin 44sin 4sin 4(sin )12θθθθθ=---+=-=-- ······ 10分因为1sin 1θ-≤≤，所以[1,8]λ∈- ··················· 12分20．（12分）解：（1）选择①：由已知得，tan tan tan 1)A B A B +=-，所以tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+=-+=-=-在ABC △中，(0,π)C ∈，所以π3C = ··················· 6分选择②：由2222(42)cos a ab C b a c -+=+，得222(2)cos 2a c b a b C a+--=，则由余弦定理得：(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，则2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，因为(0,π)A ∈，则sin 0A ≠，所以1cos 2C =．又因为(0,π)C ∈，所以π3C =······················· 6分选择③：由已知及正弦定理得()()c a b c a b ab +--+=，所以222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，因为(0,π)C ∈，所以π3C =························ 6分（2）由余弦定理得2222164c a b ab a a =+-=+-，①由面积相等得11()sin 22a b c r ab C ++=．即11()422a b c a ++=⨯ 整理得34a c =+，②联立①②，解得57,22a c ==······················· 10分所以72sin c R C ===6R =··············· 12分 21．（12分）解：（1）由题意得，π1()4sin cos()4sin (cos )322a b f x x x x x x =⋅=+=-+1cos 21πsin 22(sin 22)2sin(2)223x x x x x -=-=+=+，所以最小正周期为2ππ2T == ······················· 4分 （2）当ππ,12]2[x -∈时，ππ64π2[3,]3x +∈，πsin(2)[3x +∈，所以()[f x ∈ ··························· 7分（3）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，可得2sin 2y x =的图象； 再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(01)a a <<倍，得到2()2sin xy g x a==的图象．如果()y g x =在区间[]1,1-上至少有100个最大值，则()y g x =在区间[0,1]上至少有50个最大值，在[]1,0-上至少有50个最大值，故区间[0,1]上至少有1974个周期长度，在[]1,0-上至少有1994个周期长度 ··· 10分即12π(49)1432π(49)14ωω⎧+⋅≤⎪⎪⎨⎪-+⋅≥-⎪⎩，所以199π2ω≥，即2199π2a ≥，所以40199πa <≤，故实数a 的范围为4(0,]199π······················· 12分22. （12分）解：（1）证明：取非零常数2πT =，对任意的R x ∈，则(2π)cos(2π)cos ()f x x x f x +=+=≤，所以()cos f x x =，R I =是“M 函数” ·················· 3分（2）因为函数2()cos f x kx x =+是“π2函数”，R I =， 所以π()()2f x f x +≤，即22ππ()cos ()cos 22k x x kx x +++≤+，整理得πcos 22k x ≤，因为cos 2[1,1]x ∈-，所以π12k ≤-，即2πk ≤-，故2(,]πk ∈-∞- ······ 7分（3）因为R x ∈，对任意的正实数M ，都有()()f x M f x +<，所以()f x 在R 上为减函数························· 8分所以322[]()(1)-≥+t t f f a t ，即322(1)-≤+t t a t ·················· 9分设sin cos θθ=t ，则3222221(1)11--=⋅+++t t t t t t t ，222sin sin 1()cos cos sin sin 1()1()cos cos θθθθθθθθ-=⋅++ sin 2cos 2sin 41244θθθ⋅==≤ ··········· 11分所以实数a 的最小值为14························ 12分。
山东省青岛市高一下学期期中数学试卷
山东省青岛市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共21分)1. （2分） (2020高二上·温州期末) 已知直线（为常数），若直线的斜率为，则 ________，若，直线的倾斜角为________．2. （1分） (2019高二上·运城月考) 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆：的半径，则椭圆的短轴长是________.3. （1分） (2019高一下·诸暨期中) 中，，是的中点，若，则 ________．4. （1分） (2020高二上·鹤岗月考) 如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：①四棱锥的体积恒为定值；②存在点，使得平面；③对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.其中真命题的是________．（填写所有正确答案的序号）5. （1分） (2016高一下·沙市期中) 若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为．则直线l的倾斜角的取值范围是________．6. （1分） (2017高一下·玉田期中) 若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b=2，∠C=120°，则边c的最小值是________．7. （2分） (2017高一下·台州期末) 已知直线l1：x+2y﹣4=0，l2：2x+my﹣m=0（m∈R），且l1与l2平行，则m=________，l1与l2之间的距离为________．8. （2分） (2016高二上·绍兴期中) 已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________9. （1分）(2017·兰州模拟) 已知在三棱锥P﹣ABC中，VP﹣ABC= ，∠APC= ，∠BPC= ，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为________．10. （1分）直线和直线l2垂直，则直线l2的倾斜角的大小是________．11. （5分）求与直线3x-4y+7=0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程.12. （1分） (2020高二下·宁波期中) 已知椭圆，，分别为左、右焦点，A为椭圆上一动点，以为直径作圆Q，圆与圆的位置关系为________．13. （1分） (2019高一下·广东期中) 三棱锥的底面的顶点在球的面上，顶点为球心，，球心到的距离为，则球的体积为________.14. （1分） (2016高二上·桐乡期中) 已知圆C：x2+（y﹣2）2=1，P是x轴正半轴上的一个动点，若PA，PB分别切圆C于A，B两点，若|AB|= ，则直线CP的方程为________二、解答题 (共6题；共55分)15. （5分） (2018高一上·阜城月考) 已知直线的斜率与直线的斜率相等，且直线在x 轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线的方程.16. （10分） (2019高一上·淮阳月考) 如图,在五面体中,四边形为矩形, .（1）证明: 平面；（2）连接 , ,若二面角的大小为120, ,求三棱锥的体积.17. （10分） (2019高三上·衡水月考) 在中，角，，的对边分别为，，，已知 .（1）若，的面积为，求，的值；（2）若，且为钝角三角形，求实数的取值范围.18. （10分） (2017高二上·武清期中) 如图，已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F为CE的中点．（1）求直线AF与平面ACD所成的角；（2）求证：平面BCE⊥平面DCE．19. （5分） (2019高一下·大庆月考) 如图所示，某海滨城市位于海岸处，在城市的南偏西20°方向有一个海面观测站，现测得与处相距31海里的处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市直线航行，30分钟后到达处，此时测得、间的距离为21海里.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）试问这艘游轮再向前航行多少分钟方可到达城市？20. （15分） (2020高二下·黑龙江期末) 已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.（1）求曲线E的轨迹方程；（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且（O为坐标原点），求直线l的斜率；（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.参考答案一、填空题 (共14题；共21分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共6题；共55分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：。