高等数学多元复合函数的微分法与隐函数的微分法.
多元复合函数与隐函数微分法知识分享
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
7.4多元复合函数与隐函数微分法解析
z=f(x,v),v=v(x,y),则z=f[x,v(x,y)]有链式法
z f f v x x v x
z f v y v y
(7.23)
f z 在(7.23)中我们在等式的右边记为 而不用 , x x z 这是为防止和等式左边的 混淆. x
y
2019年1月7日星期一
8
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z z u z v y u y v y
1 1 f'u xe f'v y 2 x 1 ( ) x x y xe f'u 2 f'v 2 x y
y
z x y xe f'1 2 f'2 2 y x y
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z
u v
x y
注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示
的链子来记. 定理中的等式数为自变量的个数； 每一个等 式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条
2019年1月7日星期一 19
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上式等式左端看作以 u,v 为中间变量 ,λ 为自 变量的函数,等式两端对λ求导数,得
f du f dv k k 1 f ( x, y ) u d v d
即
f f k 1 x y k f ( x, y ) u v
由链式法则有 z eu sin v 1 eu cos v 1 x x y e [sin( x y ) cos( x y )]
2019年1月7日星期一 15
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多元函数微分法及其应用-隐函数的微分法
P
则方程组 F ( x , y , u, v ) = 0 , G ( x , y , u, v ) = 0
在点 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内能唯一确定
一对满足条件 u0 = u( x0 , y0 ) , v0 = v ( x0 , y0 ),
F1′ F2′ F1′ F2′ z( + ) xy ( + ) x x y y = F1′ F2′ + y x
= z xy .
例3 设 xu yv = 0， yu + xv = 1， u u v v 求 ， ， 和 . x y x y 解（方法1）直接套公式 （方法2）复合函数求导法 将所给方程的两边对 x 求偏导数，并移项
Fy z = y Fz
注意公式 里的负号
Fx z 注 在公式 = 中， Fz x
Fx : 将 F ( x , y , z )中的 y , z暂视为常数，
对x 求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的 x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
(二) 由方程组确定的隐函数微分法 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 u = u( x , y ) F ( x , y , u, v ) = 0 v = v( x , y ) G ( x , y , u, v ) = 0 由 函数F、G 的偏导数组成的行列式
( z x2 ′ F2 F1′ )
(
z
dz =
′ F1′ F2 + y x
z x
dx +
y2 ′ F1′ F2 + y x
z y
′ F1′ F2 )
高等数学第五节多元复合函数与隐函数微分法ppt课件
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微 分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
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课堂 设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ， 练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x
多元复合函数与隐函数微分法
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
z f u f v x u x v x
f1( x y, xy) y f2( x y, xy), z f u f v y u y v y
f1( x y, xy) x f2( x y, xy).
例2 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
x 0 时, u 0, v 0, 从而 0.
由 7 11 可得
z z u z v ( ) x u x v x x
(7 12)
在 (7 12)中
lim u u , lim v v x0 x x x0 x x
z xz
z
u z
u
x u
z
v z
v
x v
y u y v y
(7 10)
证明 我们只证 (7 10) 中的第一个等式，第二个 等式可类似地证明.
对于任意固定的 y , 给 x 一个改变量 x , 则得到u 和 v 的改变量 u 和 v , u u( x x, y) u( x, y), v v( x x, y) v( x, y), 从而得到 z f (u,v) 的改变量
z z u z v . x u x v x
同理可证
u
x
z
z z u z v .
复合函数微分法与隐函数微分法
第九讲 复合函数微分法在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 下面分几种情况来讨论.一、 多元复合函数微分法1、复合函数的中间变量为多元函数的情形设),,(v u f z =),,(y x u u =),(y x v v =构成复合函数)],,(),,([y x v y x u f z =则,x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ,yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 2、复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数),(v u f z =,)(t u u =,)(t v v =构成复合函数)](),([t v t u f z =.dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= 导数dtdz 称为全导数.3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3 如果函数),(y x u u =在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数, 函数)(y v v =在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数, 则复合函数)](),,([y v y x u f z =在对应点),(y x 的两个偏导数存在, 且有,x u u z x z ∂∂∂∂=∂∂ .dydv v z y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:,),(1u v u f f ∂∂=' ,),(2v v u f f ∂∂='vu v u f f ∂∂∂=''),(212 , 这里下标1表示对第一个变量u 求偏导数，下标2表示对第二个变量v 求偏导数，同理有2211,f f '''' , 等等. 例1设,sin v e z u =而,,y x v xy u +== 求x z ∂∂和.yz ∂∂ 例2设,sin t uv z +=而,cos ,t v e u t == 求导数.dtdz第十讲 隐函数微分法二、 隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程0),(=y x F来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且,0),(00≠y x F y ,0),(00=y x F 则方程0),(=y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数),(x f y = 它满足),(00x f y = 并有.yx F F dx dy -= 定理5 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数, 且,0),,(,0),,(000000≠=z y x F z y x F z则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =, 它满足条件),(000y x f z =,并有.,zy z x F F y z F F x z -=∂∂-=∂∂ 例3 求由方程0=+-y x e e xy 所确定的隐函数y 的导数.,0=x dx dy dx dy 例4求由方程y z z x ln =所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数.,yz x z ∂∂∂∂ 例5求由方程a a xyz z (333=-是常数)所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂和.y z ∂∂ 例6设,04222=-++z z y x 求 .22x z ∂∂。
7.4多元复合函数与隐函数微分法
ve u sin t cos t
t
e cos t e sin t cos t
t t
e t (cos t sin t ) cos t .
例 8 设 z e u sin v ，而 u xy ， v x y ，
z z 求 和 . x y
解
z z u z v x u x v x
f1( x y , xy) y f 2( x y , xy) ,
z f u f v y u y v y
f1( x y , xy) x f 2 ( x y , xy) .
z z 例１０ 设 z f ( x x y ) , 且 f ( u) 可微 , 求 与 . x y 解 在 z f ( x x 2 y 2 ) 中, 令 u x x 2 y 2 ,
则 Fx 2 x, Fy 2 y ,
F (0,1) 0,
Fy (0,1) 2 0,
2 2 x y 1 0 在点(0,1) 的某邻域 依定理知方程 内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的 函数 y f ( x ) ．
z
u v
x
y x
y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3
第五节多元函数微分法
复合函数求导法则特征说明 u z z u z v = + z x u x v x v
x y
项数等于路径条数 因子数等于连线数
公式与结构图两者之间的联系: 公式与结构图两者之间的联系 ①公式中偏导数由 两项组成, 的路径. 两项组成 对应结构图中有两条 x 到达 z 的路径 公式中每项为两个偏导数的乘积, ②公式中每项为两个偏导数的乘积 这两个偏导数形式 与结构图中相连接的两个变量的偏导数相对应. 与结构图中相连接的两个变量的偏导数相对应 基本规律: 分路向加, 连线相乘, 分清变量, 逐层求导. 基本规律 分路向加 连线相乘 分清变量 逐层求导 复合函数求导法则虽然是多种多样, 复合函数求导法则虽然是多种多样 但是把握了 其规律就 可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公 式.
一,复合函数求导法则 设函数 z= f (u, v) , 而 u = (x), v =ψ (x), 则有复合 中间变量为一元函数) 函数 z = f [(x),ψ (x)] (中间变量为一元函数 定理 处均可导, 设函数 u = (x) 与v = ψ(x) 在x 处均可导 二元函数 z = f (x , y)在 x 对应点 , v)处有一阶连续偏 在 对应点(u 处有一阶连续偏 的导数存在, 导数则复合函数 z = f [(x),ψ (x)] 对 x 的导数存在 且 u dz z du z dv x z = + . v dx u dx v dx
z z u z v = + . y u y v y
z u z v z u z v + + dy dx + 所以 dz = u x v x u y v y z u u z v v = dx + dy + dx + dy u x y v x y z z = du + dv. u v
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x1 xz y1 yz e dx( f yf ze dy . z1 z1 2 2提问：设xzyf ( xz，其中f具有连续偏导数，zz则z .yxy例13设xx ( y , z , yy( x , z , zz ( x , y都由方程F ( x , y , z0所确定的有连续偏导数的函数，xyz求证1 .yzx Fyx提示：由F ( x , y , z0, xx ( y , z，y Fx Fz Fy同理可得z ,xz F yx Fz du( f xf z2 z2 z练习：（1）设xyz4 z0，求2 , .xxy 2 2 2（2）求方程x2 y 2 z 21所确定的隐函数zf ( x, y的a 2 b2 c2偏导数.说明：此例中方程确定两个不同的函数zc 1x2 y 2a 2 b2但在其偏导数存在的区域内，所得结果均与上式相同. 12