数学逻辑推理
小学数学中的逻辑推理问题
小学数学中的逻辑推理问题
1. 如果小明比小芳高，小芳比小红高，那么小明比小红高吗？
答案：是。
2. 今天是星期二，后天是星期四，那么昨天是星期几？
答案：星期日。
3. 小红比小明小，在班级里排行第二，那么小明班级中排行第几？
答案：第三。
4. 如果有一列数字：2，4，6，8，10，那么下一个数字是多少？
答案：12。
5. 如果有三个盒子，第一个盒子是装糖的，第二个盒子是空的，第三个盒子装着铅笔，那么第一个盒子装铅笔，第二个盒子装什么？
答案：糖。
6. 如果A比B大，B比C大，那么A比C大吗？
答案：是。
7. 如果有5个球，其中4个重量相同，1个比其他球轻，在最
多称几次的情况下，可以确定哪个球是轻的？
答案：2次。
8. 如果有一个长方形，其中一条边比另一条边多3厘米，另一
条边比第三条边多5厘米，那么第一条边比第三条边多几厘米？
答案：8厘米。
9. 如果一个三角形的角度比另一个三角形的角度都小，则这个三角形的面积比另一个三角形的面积小吗？
答案：不确定。
数学逻辑推理
数学逻辑推理数学逻辑推理是数学中一种重要的思维方式和方法，它通常是通过一系列推理步骤来推导出结论的过程。
数学逻辑推理在解决问题、证明定理以及构建数学模型等方面都有广泛应用。
本文将介绍数学逻辑推理的基本概念和常见的推理方法，并通过实例来说明其在数学问题中的应用。
一、数学逻辑推理的基本概念1. 命题：在逻辑中，命题是能够判定真假的陈述句。
例如，“2+2=4”是一个真命题，“1+1=3”是一个假命题。
2. 逻辑连接词：逻辑连接词用于连接或关系命题，常见的逻辑连接词有“与”、“或”、“非”、“蕴含”等。
例如，“p与q”表示p和q都为真，“p或q”表示p和q中至少有一个为真，“非p”表示p为假，“p蕴含q”表示若p为真，则q也为真。
3. 推理规则：推理规则是根据逻辑规律进行推理的准则。
例如，合取析取律、三段论等都是常用的推理规则。
二、常见的推理方法1. 直接证明法：直接证明法是指通过已知的真命题，利用推理规则逐步推导出待证明的命题为真。
例如，要证明“对于任意正整数n，若n是偶数，则n的平方也是偶数”，我们可以先假设n是任意一个偶数，然后利用数学运算和推理规则逐步推导出n的平方也是偶数。
2. 反证法：反证法是指通过假设待证命题为假，然后推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明待证命题为真。
例如，要证明“根号2是无理数”，我们可以先假设根号2是有理数，然后利用有理数的定义和推理规则推导出与已知事实矛盾的结论。
3. 构造法：构造法是通过构造出具体的数学对象来证明待证命题。
例如，要证明“存在无限多个素数”，可以通过构造出可无限选取的素数来证明。
三、数学逻辑推理的应用实例1. 数列的方法证明：数列是数学中常用的工具，可以通过构造数列，利用递推关系和已知条件，推导出数列的性质或极限等。
例如，若已知数列{an}满足an=an-1+2，其中a0=1，则可以通过递推方式计算出数列的前几项，然后进行归纳推理得到数列的通项公式。
2. 几何证明：几何证明中常用的推理方法有直角三角形的勾股定理证明、等腰三角形的性质证明等。
数学中的逻辑推理
数学中的逻辑推理在数学中，逻辑推理是非常重要的一部分。
它是通过逻辑推理的方式来解决问题，推导出某个结论或者证明某个定理。
逻辑推理常常被应用于数学证明、问题求解和定理推导等方面。
下面将从逻辑推理的基本原理、常见的逻辑推理方法及其应用等方面进行探讨。
一、逻辑推理的基本原理逻辑推理是基于一定的规则和原理进行的，主要包括三大基本原理：前提、推理规则和结论。
前提是逻辑推理的基础，它是问题的前提条件或已知条件。
通过对前提的分析和理解，可以确定问题的范围、限制和要求。
推理规则是根据已知条件和逻辑关系，通过逻辑推理从前提中推导出结论的规则。
常见的推理规则包括假设、归谬、逆反、直推等。
结论是逻辑推理的结果，是根据前提和推理规则得出的新的判断、定理或结论。
结论通常是通过逻辑思维和推导过程得出的，具有一定的正确性和合理性。
二、常见的逻辑推理方法及应用1. 演绎推理方法演绎推理是从一般到个别的推理方法，通过已知的一般规律或原理，推导出特殊情况或个别实例。
它常被用于证明数学定理和解决问题。
例如，通过已知的三角函数关系，可以推导出特殊的三角形的边长和角度关系。
2. 归纳推理方法归纳推理是从个别到一般的推理方法，通过已知的特殊情况或个别实例，归纳出一般规律或原理。
它常被用于总结经验、归纳规律和发现问题的解决方法。
例如，通过观察一系列数据，归纳出一个数列的通项公式。
3. 直接推理方法直接推理是通过已知条件和推理规则，直接推导出结论的方法。
它常被用于证明逻辑定理、判断问题的真假和推断结论的正确性。
例如，通过已知的两个等式，可以直接推导出它们的和等于另一个等式。
4. 反证法反证法是一种常用的逻辑推理方法，通过假设某个结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
反证法常被用于证明数学中的一些定理和命题，例如费马定理。
三、逻辑推理在数学中的应用举例1. 证明与否定等价在数学中，有时需要证明一个命题与其否定是等价的。
这时，可以通过逻辑推理证明它们的等价性。
数学中的数学逻辑推理
数学中的数学逻辑推理数学作为一门严谨的学科，离不开逻辑推理。
数学逻辑推理是指通过一系列的推理步骤，从已知的前提出发，得出新的结论。
这种推理过程既有严密的逻辑性，又有一定的创造性，是数学研究的核心方法之一。
一、命题逻辑推理命题逻辑是数学中最基础的逻辑系统之一。
在命题逻辑中，命题是指能够判断真假的陈述句。
通过对命题进行逻辑运算，可以得到新的命题，从而推导出新的结论。
例如，假设有两个命题P和Q，分别表示“今天下雨”和“明天晴天”。
通过逻辑运算，可以得到以下几种结论：1. 否定：非P表示“今天不下雨”，非Q表示“明天不晴天”。
2. 合取：P且Q表示“今天下雨且明天晴天”。
3. 析取：P或Q表示“今天下雨或明天晴天”。
4. 条件：如果P，则Q表示“如果今天下雨，明天晴天”。
通过这种方式，我们可以根据已知的命题得出新的结论，进一步推进数学的发展。
二、谓词逻辑推理谓词逻辑是命题逻辑的扩展，引入了谓词和量词的概念。
谓词是指带有变量的命题，而量词则表示对变量的范围进行全称或存在的限定。
在谓词逻辑中，我们可以通过量词的运用，对命题进行更精确的描述和推理。
例如，假设有一个谓词P(x)表示“x是一个偶数”。
通过量词的运用，可以得到以下几种结论：1. 全称量词：∀x P(x)表示“对于任意一个x，x都是一个偶数”。
2. 存在量词：∃x P(x)表示“存在一个x，使得x是一个偶数”。
通过这种方式，我们可以更加准确地描述和推理数学中的概念和问题。
三、数学归纳法数学归纳法是一种重要的推理方法，常用于证明数学中的命题和定理。
数学归纳法分为弱归纳法和强归纳法两种形式。
弱归纳法是指通过证明当n=k时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立，从而得出当n为任意正整数时命题成立的结论。
强归纳法则是在弱归纳法的基础上，进一步假设当n=k时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立。
数学归纳法的基本思想是通过递推的方式，从特例出发，逐步推导出一般情况，从而证明命题的普遍性。
数学中的逻辑推理
数学中的逻辑推理逻辑推理是数学中非常重要的一个概念，它涉及到问题的分析、解决以及思考方式的培养。
逻辑推理在解决数学问题中起到至关重要的作用，帮助我们理清思路、建立正确的推理链条。
本文将探讨数学中的逻辑推理，并介绍一些常用的逻辑推理方法。
一、逻辑推理的基本原理逻辑推理是一种通过推导和推理来得出结论的思维过程。
在数学中，逻辑推理可以帮助我们分析问题，发现问题之间的关联，从而得出解决问题的方法和结论。
逻辑推理的基本原理包括：1. 前提与结论：逻辑推理首先需要明确问题的前提和结论。
前提是已知条件，而结论是我们希望达到的目标。
2. 推理方法：逻辑推理有多种方法，例如归纳推理、演绎推理等。
在选择推理方法时，需要根据问题的特点和已知条件进行判断，并选择最合适的方法。
3. 推理链条：逻辑推理的过程需要建立推理链条，将已知条件与结论依次连接起来，从而得出解决问题的路径。
4. 推理的合理性：逻辑推理的过程需要保证推理的合理性，即需要遵循逻辑的规律和要求。
推理的每一步都需要有充分的理由和证据支持，不能出现无根据的推断。
二、归纳推理归纳推理是逻辑推理中常用的一种方法。
它通过观察和总结已有的事实或数据，提炼出普遍规律，从而推断未知的情况。
归纳推理的步骤主要包括：1. 收集数据和事实：通过观察和实证，收集相关的数据和事实，建立已知条件。
2. 分析总结：对已知条件进行归纳和总结，寻找其中的规律和模式。
3. 推断未知：根据已知的规律和模式，推断未知的情况，得出结论。
归纳推理在数学中的应用广泛，例如寻找数列的通项公式、总结概率模型等都离不开归纳推理。
三、演绎推理演绎推理是逻辑推理的另一种方法，它通过已知的前提和逻辑规则，推导出新的结论。
演绎推理的步骤主要包括：1. 确定前提和结论：明确已知的前提条件和需要得出的结论。
2. 运用逻辑规则：根据逻辑规则和已知条件，运用不同的推导方法，逐步推导得出结论。
3. 检查推理过程：对推导过程进行检查，确保每一步的推理都是合理和正确的。
数学中的逻辑推理
数学中的逻辑推理逻辑推理作为数学中重要的一部分，对于数学问题的解决过程起着至关重要的作用。
通过运用逻辑推理，数学家们能够从已知的条件出发，通过一系列严密的推导，得出全新的结论。
本文将探讨数学中的逻辑推理的几个重要方面，包括命题逻辑、谓词逻辑以及证明方法。
一、命题逻辑命题逻辑是逻辑推理中最基本的组成部分。
在命题逻辑中，命题是指可以判断真假的陈述句。
命题可以用符号表示，常用符号有“∧”表示合取（与）、“∨”表示析取（或）、“¬”表示非、以及“→”表示蕴含等。
通过运用这些逻辑符号，我们可以对命题进行逻辑推理。
例如，有两个命题p和q，p表示“今天下雨”，q表示“我带伞”。
如果我们已知p为真且q为真，那么可以通过合取运算符“∧”得出命题“今天下雨且我带伞”为真。
这样的逻辑推理在数学问题的解决中非常常见。
二、谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，通过引入变量和量词，可以对一类命题进行推理。
在谓词逻辑中，常用的量词有全称量词“∀”和存在量词“∃”。
通过运用这些量词，我们可以对命题进行更加精确的描述和推理。
例如，设P(x)表示“x是一个偶数”。
如果我们使用全称量词“∀”，则命题可以表示为“∀x，P(x)”。
这个命题的意思是“对于任意的x，x都是一个偶数”。
通过谓词逻辑的推理，我们可以得到结论“2是一个偶数”。
谓词逻辑的应用使得数学问题的表达更加严密，推理更加准确。
三、证明方法在数学推理中，证明方法是十分重要的。
通过合适的证明方法，我们可以从已知条件出发，逐步推导，最终得到问题的解答。
数学中常用的证明方法有直接证明法、反证法、数学归纳法等。
直接证明法是最基本的证明方法，通过一系列逻辑推理，从已知条件得到结论。
例如，对于一个等式问题，我们可以通过计算和等式变形，直接得到结论。
反证法是通过假设某个命题不成立，进而推导出矛盾的结论，从而可以得出所需证明的命题成立。
反证法常用于证明数学中的不等式和存在性问题。
数学归纳法是证明自然数命题的常用方法。
数学中的逻辑推理
数学中的逻辑推理数学作为一门严谨的学科，其推理过程必须建立在严密的逻辑基础之上。
逻辑推理在数学中起着至关重要的作用，不仅可以帮助我们解决问题，还能培养我们的思维能力和分析能力。
本文将从命题逻辑、谓词逻辑和集合论三个方面探讨数学中的逻辑推理。
一、命题逻辑命题逻辑是数学中最基本的逻辑系统，它研究的是命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，我们可以利用逻辑连接词如“与”、“或”、“非”等，通过推理关系来得出新的命题。
例如，若已知命题P为真，命题Q为真，则通过“与”连接，我们可以得出新的命题P与Q为真。
除了逻辑连接词，命题逻辑还研究了一些重要的推理规则，如分离律、合取范式、析取范式等。
这些推理规则可以帮助我们将复杂的命题进行分解和简化，以便更好地理解和处理数学问题。
二、谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它主要研究的是命题中的主语和谓语之间的逻辑关系。
在谓词逻辑中，我们引入了一些关键词如“对于所有...”、“存在...使得...”等，用来描述主语和谓语之间的量化关系。
谓词逻辑的推理过程同样重要，它允许我们通过全称量化和存在量化的方式对命题进行推理。
举个例子，若已知“对于所有正整数x，x大于0”，我们可以推理出存在一个正整数x大于1。
谓词逻辑在数学证明中有着广泛的应用，它可以帮助我们建立数学定理的推理链条，从而构建起完备的证明体系。
三、集合论集合论是数学中研究集合和其中元素的逻辑关系的一门学科。
在集合论中，我们通过定义集合的成员关系、集合的运算等概念，来描述集合内元素之间的逻辑关系。
集合论中的逻辑推理主要涉及到包含关系、等价关系和运算关系等。
例如，通过定义集合的相等，我们可以推理出两个集合相等的条件。
同时，集合论还研究了集合的包含和交并等运算规则，这些规则对于我们分析集合的性质和问题的解决至关重要。
总结起来，数学中的逻辑推理在命题逻辑、谓词逻辑和集合论等多个领域都有应用。
逻辑推理的过程需要建立在严谨的基础上，通过运用逻辑连接词、推理规则和量化方式，我们可以将复杂的数学问题简化为易于理解和解决的形式。
数学逻辑推理专题
数学逻辑推理专题1、你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。
金条平分成相连的7段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？2、现在小明一家过一座桥，过桥的时候是黑夜，所以必须有灯。
现在小明过桥要1秒，小明的弟弟要3秒，小明的爸爸要6秒，小明的妈妈要8秒，小明的爷爷要12秒。
每次此桥最多可过两人，而过桥的速度依过桥最慢者而定，而且灯在点燃后30秒就会熄灭。
问小明一家如何过桥？3、在一次期末考试中，婷婷.亮亮.佳佳.小美分别获得了前四名，成绩公布前做了一次自我估计：婷婷说：“我不可能得第四名。
” 亮亮说：“我能得到第二名。
” 佳佳说：“我比婷婷高一个名次." 小美说：“我比佳佳高两个名名次。
” 成绩公布后，她们之中只有一个人估计错了。
请问：她们各自得了几名？4、在大西洋的“说谎岛”上，住着X，Y两个部落。
X部落总是说真话，Y部落总是说假话。
有一天，一个旅游者来到这里迷路了。
这时，恰巧遇见一个土著人A。
旅游者问：“你是哪个部落的人？”A回答说：“我是X部落的人。
”旅游者相信了A的回答，就请他做向导。
他们在路途中，看到远处的另一位土著人B，旅游者请A去问B是属于哪一个部落的？A回来说：“他说他是X部落的人。
”旅游者糊涂了。
他问同行的逻辑博士：A是X部落的人，还是Y部落的人呢？逻辑博士说：A是X部落的人。
为什么？5、今天是我13岁的生日。
在我的生日宴会上，包括我共有12个小孩相聚在一起。
每四个小孩同属一个家庭，共来自A，B和C这三个不同的家庭，当然也包括我所在的家庭。
有意思的是，这12个小孩的年龄都不相同，最大的13岁，换句话说，在1至13这十三个数字中，除了某个数字外，其余的数字都表示某个孩子的年龄。
我把每个家庭的孩子的年龄加起来，得到以下的结果：家庭A：年龄总数41，包括一个12岁的孩子。
家庭B：年龄总数m，包括一个5岁的孩子。
家庭C：年龄总数21，包括一个4岁的孩子。
数学逻辑推理
数学逻辑推理数学逻辑推理是数学中最为基础和重要的思维方式之一。
它以严密的推理和逻辑演绎为基础，通过分析问题的条件和关系，来解决各种数学难题。
本文将介绍数学逻辑推理的基本概念、方法和应用。
一、数学逻辑推理的基本概念数学逻辑推理是利用符号和演绎法进行推理的一种数学思维方式。
它涉及到命题、命题连接词、命题合成形式以及推理规则等基本概念。
1.1 命题命题是陈述性的句子或公式，它要么是真（true），要么是假（false）。
例如：“2+2=4”是一个真命题，“1+1=3”是一个假命题。
1.2 命题连接词命题连接词是用来组合两个或多个命题的词语，常见的命题连接词有“且”、“或”、“非”等。
例如：“p 且q”表示p命题和q命题同时为真；“p 或q”表示p命题和q命题中至少有一个为真。
1.3 命题合成形式根据命题连接词的组合方式，可以得到不同的命题合成形式，包括合取、析取、否定、蕴涵和等价等形式。
例如：“p 且q”的合取形式表示p和q同时为真；“非p”表示p的否定形式，即p为假；“p 蕴涵q”表示当p为真时，q也为真。
1.4 推理规则推理规则是数学逻辑推理的基本原则和方法。
其中包括假言推理、消解、假设、拒取等。
推理规则可以根据具体的推理问题来灵活运用，以达到解决问题的目的。
二、数学逻辑推理的方法数学逻辑推理具有严密性和形式化的特点，因此，它需要按照一定的方法进行推理。
以下介绍几种常用的数学逻辑推理方法。
2.1 直接证明法直接证明法是数学逻辑推理中最常用的方法之一。
它通过逐步推导和应用推理规则，以证明目标命题的真实性。
例如，要证明“若p，则q”的命题，可以通过逐步推导来证明。
2.2 反证法反证法是一种常见的证明方法，它通过假设目标命题的否定形式，推导出矛盾结果，从而证明目标命题的真实性。
例如，要证明“p 蕴涵q”的命题，可以先假设“p 且非q”为真，然后推导出矛盾结果。
2.3 数学归纳法数学归纳法是一种常用的数学逻辑推理方法，特别适用于证明关于整数的命题。
数学逻辑推理
数学逻辑推理数学逻辑推理是数学领域中一项重要的技能，它涉及到对问题进行分析和推理，并基于逻辑规则推导出正确的结论。
数学逻辑推理有助于培养思维能力、解决问题和发现数学之美。
本文将介绍数学逻辑推理的基本概念、常用方法以及其在实际生活中的应用。
1. 数学逻辑推理的基本概念数学逻辑推理是指根据已知事实和逻辑规则进行思维分析和推导，以得出结论的过程。
它基于逻辑学的原理，强调思维的严密性和逻辑的准确性。
数学逻辑推理的基本概念包括命题、命题连接词和推理规则。
命题是能够判断真假的陈述语句，例如“1 + 1 = 2”。
命题连接词包括与、或、非等，用于连接不同的命题。
推理规则是根据逻辑规律进行推导的规则，常见的推理规则有假言推理、析取推理和拒取推理等。
2. 常用的数学逻辑推理方法2.1 假言推理假言推理是通过条件语句进行推导的方法。
它的基本形式是“如果A，则B”，当A为真时，可以得出结论B也为真。
例如：假设A为“若一个数是偶数，则它可以被2整除”；假设B为“24是一个偶数”；根据假言推理，可以得出结论“24可以被2整除”。
2.2 析取推理析取推理是基于命题连接词“或”的推理方法。
当一个复合命题中包含多个命题，并且用“或”连接时，若其中至少有一个命题为真，则整个复合命题为真。
例如，假设A为“这本书是红色的”；假设B为“这本书是蓝色的”；可以得出结论“这本书是红色的或者这本书是蓝色的”。
2.3 拒取推理拒取推理是通过否定一个命题得出另一个命题的真值的推理方法。
例如，假设A为“这只动物是狗”；可以通过拒取推理得出结论“这只动物不是狗”。
3. 数学逻辑推理的应用数学逻辑推理在数学领域中具有广泛的应用，它是解决复杂问题和证明数学定理的基础。
同时，数学逻辑推理也能应用于日常生活中的问题解决和决策制定。
在科学研究和工程领域，数学逻辑推理用于建立数学模型、分析数据和预测趋势。
在金融和投资领域，数学逻辑推理用于分析市场变动和制定投资策略。
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• A、B、C、D、E、F、G七个人在争论今天是星 期几。 • A：后天是星期三。 • B：不对，今天是星期三。 • C：你们都错了，明天是星期三。 • D：胡说！今天既不是星期一、也不是星期二、 更不是星期三。 • E：我确信昨天是星期四。 • F：不对！你弄颠倒了，明天是星期四。 • G：不管怎样，昨天不是星期六。 • 他们之中只有一个人讲对，是哪一个？今天到 底是星期几？
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• 她们在做什么？ 住在某个旅馆的同一房间的四个人A、B、C、 D正在听一组流行音乐，她们当中有一个人在 修指甲，一个人在写信，一个人躺在床上，另 一个人在看书。 1.A不在修指甲，也不在看书； 2.B不躺在床上，也不在修指甲； 3.如果A不躺在床上，那么D不在修指甲； 4.C既不在看书，也不在修指甲； 5.D不在看书，也不躺在床上。 她们各自在做什么呢？
我们所在的这个世界是个竞争的世界，所以希 望大家抓紧良机，树立并发挥竞争精神。在这 方面，查理（C）得到了充分的发展。一天早上， 查理（C）非常懊恼地告诉我，在一场与阿尔夫 （A）、巴特（B）、达吉（D）和欧尼（E）的 竞赛中，他没能获得第一名。 他还告诉我，D比E低二个名次，而E不是第二 名；A既不是第一名，也不是最后一名。后来， 我从B那里听说，他比C低一个名次。 他们比赛结果的名次（没有并列的）是如何 排列的？
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• 特尔斐城的少女 • A、B、C和D四个人是古希腊少女。她们正在接受训练 以便当个预言家。（实际上，后来她们之中只有一个人 成了预言家，并在特尔斐城谋得一个职位。其余三个人， 一个当了职业舞蹈家、一个当了宫廷女侍、第三个当了 演奏家。） • 一天，她们四个人在练习讲预言。 • A预言：“B无论如何也成不了职业舞蹈家”。 • B预言：“C将成为特尔斐城的预言家”。 • C预言：“D不会成为演奏家”。 • D预言她自己将嫁给一个叫阿特的男人。 • 可是，事实上她们四个人中，只有一个人的预言是正确 的，而正是这个人当了特尔斐城的预言家。 • 她们四个人中谁当了什么？ • D和阿特结婚了吗？
• 这实际是一道逻辑推理题。据上述方法，请思考下面一 道问题： 有六个不同国籍的人，他们的名字分别为A，B，C，D， E和F；他们的国籍分别是美国、德国、英国、法国、俄 罗斯和意大利（名字顺序与国籍顺序不一定一致） 现已知： (1）A和美国人是医生； (2）E和俄罗斯人是教师； (3）C和德国人是技师； (4）B和F曾经当过兵，而德国人从没当过兵； (5）法国人比A年龄大，意法国人下周要 到瑞士去度假。 请判断A、B、C、D、E、F分别是哪国人？
• 方法有点不一样了 • 选举预测 • 完美岛上有四个政党——白食党、延期付款党、绝 对平等党和更大光荣党。A、B、C三个人在推测这 四个政党中哪个党能在即将来临的大选中获胜。 • A认为，不是白食党获胜，就是延期付款党获胜。 • B确信，获胜的决不会是白食党。 • C表示，无论是延期付款党还是更大光荣党，都没 有获胜的可能。 • 他们当中只有一个人的推测是对的。 • 哪个政党获胜？