2020年高考数学第二轮复习 逻辑与推理教学案 精品

2020年高考第二轮专题复习（教学案）：逻辑与推理

考纲指要：

掌握常用的逻辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式，合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理科）等内容。

考点扫描：

1．常用逻辑用语：（1）命题及其关系；（2）简单的逻辑联结词；（3）全称量词与存在量词

2．推理与证明：（1）合情推理与演绎推理；（2）直接证明与间接证明。

考题先知：

例1。已知p |1－

3

1-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2

≤0(m >0),若?p 是?q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围

分析：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决

解由题意知

命题若?p 是?q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p 是q 的充分不必要条件

p :|1－

31-x |≤2?－2≤31-x －1≤2?－1≤31

-x ≤3?－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2

≤0?［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 * ∵p 是q 的充分不必要条件，

∴不等式|1－3

1-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2

≤0(m >0)解集的子集

又∵m >0

∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m

∴?

??≥≥????≥+-≤-91

10121m m m m ，∴m ≥9，

∴实数m 的取值范围是［9，+∞)

点评：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难

例2．已知函数()(),02

32

32≠++-=a cx x a x a x g （I ）当1=a 时，若函数()x g

在区间()1,1-上是增函数，求实数c 的取值范围；

（II ）当2

1

≥a 时，

（1）求证：对任意的[]1,0∈x ，()1/

≤x g 的充要条件是4

3≤c ；

（2）若关于x 的实系数方程()0/

=x g 有两个实根βα,，求证：,1≤α

且1≤β的

充要条件是.4

1

2a a c -≤≤-

解：（1）当1=a 时，cx x x x g ++-=2

32

131)(，c x x x g ++-='2)( )(x g Θ在（—1，1）上为单调递增函数，0)(≥'∴x g 在

（—1，1）上恒成立02

≥++-∴c x x 在（—1，1）上恒成立2≥∴c

（2）设)()(x f x g ='，则

复习智略：

例3．如图，F 是定直线l 外的一个定点，C 是l 上的动点，

有下列结论：若以C 为圆心，CF 为半径的圆与l 交于A 、B 两

点，过A 、B 分别作l 的垂线与圆C 过F 的切线交于点P 和点

Q ，则P 、Q 必在以F 为焦点，l 为准线的同一条抛物线上. （Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程； （Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题： “若过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于P 、Q 两点， 则以PQ 为直径的圆一定与抛物线的准线l 相切”请

问：此命题是否正确？试证明你的判断；

（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并证明其真假. 解：（Ⅰ）过F 作l 的垂线交l 于K ，以KF 的中点为原点，KF 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系如图1，并设|KF|=p ，则可得该该抛物线的

方程为 )0(22

>=p px y .

（Ⅱ）该命题为真命题，证明如下：

如图2，设PQ 中点为M ，P 、Q 、M 在抛物线准线l 上的射影分别为A 、B 、D ，

∵PQ 是抛物线过焦点F 的弦，∴ |PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB 的中位线， ∴

2

|

|)||||(21)||||(21||PQ QF PF QB PA MD =

+=+=

. ∵M 是以PQ 为直径的圆的圆心，∴圆M 与l 相切. （注：也可利用方程及坐标证明）.

（Ⅲ）选择椭圆类比（Ⅱ）所写出的命题为： “过椭圆一焦点F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，则以PQ 为直径的圆一定与椭圆相应的准线l 相离”. 此命题为真命题，证明如下：

证明：设PQ 中点为M ，椭圆的离心率为e ，

则0

∵

e PA PF =||||，∴e PF PA ||||=； 同理得 e

QF QB |

|||=. ∵|MD|是梯形APQB 的中位线， ∴2

|

|2||)||||(212||||||PQ e PQ e QF e PF QB PA MD >=+=+=

.

∴圆M 与准线l 相离.

选择双曲线类比（Ⅱ）所写出的命题为：

“过双曲线一焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点，则以PQ 为直径的圆一定与双曲线相应的准线l 相交”. 此命题为真命题，证明如下：

证明：设PQ 中点为M ，双曲线的离心率为e ，则e >1，P 、Q 、M 在相应准线l 上的 射影分别为A 、B 、D ，

∵

e PA PF =||||，∴e PF PA ||||=； 同理得 e

QF QB |

|||=. ∵|MD|是梯形APQB 的中位线， ∴2

|

|2||)||||(212||||||PQ e PQ e QF e PF QB PA MD <

=+=+=

. ∴圆M 与准线l 相交.

检测评估：

1函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( )

A ab =0

B a +b =0

C a =b

D a 2+b 2

=0

2 “a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2

ax 的最小正周期为“π”的( )

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既非充分条件也不是必要条件

3. 现代社会对破译密码的难度要求越来越高．有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的z c b a ,,,,Λ的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数(见下表)：

现给出一个变换公式：

??????

?≤∈+≤∈+=整除能被整除不能被2,26,(132

)2,26,(21**

'x x N x x x x N x x x 将明文转换成密文，如17132

88=+→，即h 变成q ； 32

1

55=+→

，即e 变成c ．按上述规定，若将明文译成的密文是shxc ，那么原来的明文是

A ． lhho

B ．love

C ．ohhl

D ．eovl

4．命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p 是（ ） A ．有些三角形不是等腰三角形 B ．所有三角形是等腰三角形 C ．所有三角形不是等腰三角形 D ．所有三角形是等腰三角形 5、给出如下两个命题：命题A ：函数(1)y a x =-为增函数。 命题B ：不等式2

(1)40()x a x a R +++≤∈的解集为?。

若命题“A 或B ”为真命题，而命题“A 且B ”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）