立体几何中的截面(解析版)

专题13 立体几何中的截面

【基本知识】

1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

2、正六面体的基本斜截面：

3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

【基本技能】

技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；

技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；

技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；

技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。

例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能

．．．

是（）

分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。

例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面EFGH的面积不改变；

③棱A1D1始终与水面EFGH平行；

④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；

其中正确的命题序号是______________

A C

B

D

分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为

BC BF BE V ??=

2

1

水是定值，又BC 是定值，所以BE ·BF 是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ）

A ．

21 B ．87 C ．12

11 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为

8

7

12121211=???-

=V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211

112121311=????-=V ，

故选C 。

例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是P 在底面上的射影，6, PO Q =是 AC 上的一点，过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，求该截面面积的最大值.

C 1 A

B

C

D A 1

D 1 B 1

E G

F 图（1）

C 1

A B C

D A 1

D 1 B 1

E

G

F

图（2）

解：如图，连接, AC BD ，设截面与正四棱锥P ABCD -的底面相交于EL ,AC 与EL 相交于Q 点，由//BD 截面EFGHL 得//LE BD , //AP 截面EFGHL ，得//AP QG ，那么，EL 必定分别与, AB AD 相交于

, E L ，否则，截面将是三角形，则//AP EF ，//AP LH ，在正四棱锥P ABCD -中，BD AP ⊥，由//, //, LE BD AP QG GQE ∠是异面直线BD 与PA 所成角，则QG EL ⊥，所以，GFEQ 和GHLQ 是两

个全等的直角梯形.

设：(

)03, AE x x AP =<<== 由//AP EF

得

393EF x -=，

故)3EF x =-，

而AQ =，由//AP QG

得9QG

=，

于是16x QG ?

=

-??

，从而：

)()2

21992139292644EFGHL x S x x x x ?=?-+-=-+=--+?? 所以，当2x =时，截面EFGHL 的面积取得最大值9.

基本方法介绍

①公理法：用平面基本性质中的公理来作平面； ②侧面展开法：将立体图形展开为平面图形进行研究；

例5 能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面能否为正五边形呢？

解：如图所示，我们可以用一个平面截一个正方体1111ABCD A B C D -，使得截面为一个凸五边形.

点I 是1B B 延长线上一点，使得11

2

IB BB =

，E 为11A D 的中点，F 为1AA 上的点，使得

113AF A F =.则截面1C EFGH 为过直线EF 与1C I （这里1//EF C I ）的平面与正方体1111ABCD A B C D -相截所得的凸五边形

截面.

用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形.事实上，若截面可以为一个正五边形，则此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面.

我们将正方体的每两个相对的面作为一个抽屉，则上述包含正五边形的边的五个面中，必有两个面为相对的平面，它们是平行的，利用平行平面的性质，可知此五边形中有两条边是平行的.但是正五边形的五条边是彼此不平行的，矛盾.

例6 已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形（如图所示），证明：此六边形的周

长≥

证明：如图，我们将正方形的各个面依次展开，从正方形''

PQQ P 出发，依次为

'''''''''''',,,,,.PP Q Q Q QRR Q R S P R S SR S SPP PSRQ

从上述展开图可知截面六边形的周长大于等于'

AA

，而'AA =

.

一、单选题

1．【江西省吉安市2019-2020学年高二上学期期末数学】

在正方体1111ABCD A B C D -中，F 为AD 的中点，E 为棱1D D 上的动点(不包括端点)，过点,,B E F 的平面截正方体所得的截面的形状不可能是（ ） A ．四边形 B ．等腰梯形

C ．五边形

D ．六边形

【答案】D

【解析】不妨设正方体的棱长为1，当1

02

DE <≤，截面为四边形BMEF ； 如图

特别的，当1

2

DE =

时，截面为等腰梯形1BFEC ；如图

1

12

DE <<截面为五边形BFENM ，不可能为六边形.如图

故选：D

2．【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】如图圆锥PO，轴截面PAB是边长为2的等边三角形，过底面圆心O作平行于母线PA的平面，与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E的距离为( )

A．1 B．1

2

C．

1

3

D．

1

4

【答案】D

【解析】

过底面圆心O作平行于母线PA的平面，与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，PA 平面PAB, 平面PAB与圆锥的侧面交于OE, 所以OE||PA.

因为OA=OB，所以OE=1=OC,

因为OP ⊥底面ABC,所以OP ⊥OC,

因为OC ⊥OE,OP ,OE ?平面PAB,OP ∩OE=0, 所以OC ⊥平面PAB,所以OC ⊥OB.

在平面CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为2

2(0)y px p =>，

1(1,1),12,2

C p p ∴=∴=

， 所以该抛物线的焦点到其顶点E 的距离为1.4

故选：D

3．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则该截面的面积是（ ）

A B C D

【答案】A

【解析】由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥， 其截面是等腰三角形ABC ，如下图：

由于正方体的棱长为2，所以AC BC AB ===AB ，所以

1

2

=ABC S ?

故选：A ．

4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（ ）

A ．在平面11BDD

B 内存在直线与平面EFG 平行 B ．在平面11BDD B 内存在直线与平面EFG 垂直

C ．平面1//AB C 平面EFG

D ．直线1AB 与EF 所成角为45? 【答案】D

【解析】由线面平行判定定理可得，当O 为BD 的中点时，1B O ∥平面EFG ， 由线面垂直判定定理可得，1BD ⊥平面EFG ，选项A ，B 都对.

因为1EG AB ∥，1FG B C ∥，所以平面EFG ∥平面1AB C ，选项C 正确， 易得：EF

AC ,1AB C ?为等边三角形，故直线1AB 与AC 所成角为60?,即直线1AB 与EF 所成角为60?，

故D 不正确， 故选：D.

5．【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】

某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为

4π，则该球的半径是（ ）

A ．2

B ．4

C ．

D ．

【答案】B

【解析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即截面圆的周长可得42r ππ=，得2r ，

故由题意知(2

2

2

R r =+，即(2

2

2

216R

=+=，所以4R =，

故选：B ．

6．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成45?角，则该椭圆的离心率为（ ）

A ．

1

2

B ．

2

C ．

2

D ．

13

【答案】B

【解析】设圆柱的底面半径为r ,椭圆的长轴为2a ,短轴为2b ,

则22b r =,22cos 45222r b a a ?===,即2b a =,故离心率2c e a ====.故选:B. 7．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（ ）

A ．12

B ．10

C ．8

D ．6

【答案】D 【解析】

如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF. 由题得PD||VB,DE||AC,

因为,PD DE ?平面DEFP ,VB,AC 不在平面DEFP 内， 所以VB||平面DEFP ,AC||平面DEFP , 所以截面DEFP 就是所作的平面.

由于1

1||,||,,22

PD VB EF VB PD VB EF VB ===, 所以四边形DEFP 是平行四边形，

因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D

8．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】

已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ） A ．8

9

π B ．

1118

π

C ．

512

π D ．

49

π 【答案】A

【解析】由题,设平面α为过E 的球O 的截面,则当OE ⊥平面α时,截面积最小, 设截面半径为r ,球的半径为R ,则222r R d =-,

因为正四面体棱长为a ,设过点A 垂直于平面BCD 的直线交平面BCD 于点M ,则3

DM a =

,令AM h =,OM x =,则x h R =-,

在Rt AMD 中,222

AM DM AD +=,即2

223h a a ??+= ? ???

,则h =,

在Rt OMD 中,222DM OM R +=,即2

22x R ?+=????,则2

22

13a R R ?+-=????

,

解得R =

,则x ==, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,

因为点E 在线段BD 上,3BD BE =,设BC 中点为N ,则2DM MN =, 所以211333

EM BN BC a =

==,

在Rt OED △中,222OE OM EM =+,即2

2

2

211112372

d a a a ????=+= ? ? ?????,

所以2

2

22

1124729r a a a ??=-= ? ???

,因为2a BC ==,

所以2

89r =,所以截面面积为2

89

S r ππ==, 故选：A

9．【2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】

在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（ ） A ．72π B ．86π

C ．112π

D ．128π

【答案】C

【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ， 记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =， 则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =， 连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+.

在ABC 中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ， 则1132O E AB =

=，1

24

DE AC ==， 所以

1O D =.在1Rt OO D 中，OD 由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为r ，

则()

22222

251312r R OD x x =-=+-+=，

所以最小截面圆的面积为12π，

当截面过球心时，截面面积最大为2R π， 所以21216R π-π=π，228R =， 球的表面积为2112R 4π=π. 故选:C.

10．【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】 正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点，

PA =，2AB =，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得

截面的面积范围为（ ）

A ．13,45ππ??????

B ．12,23ππ??????

C ．[],2ππ

D ．3,2ππ??????

【答案】D

【解析】因为正三棱锥P ABC -，

PB PC PA ===2AC BC AB ===，

所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥， 因此正三棱锥P ABC -可看作正方体的一角，如图，

记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心，所以点O 也是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，

则R =

=

，因为球的最大截面圆为过球心的圆， 所以过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最大为2

max 3

2

S R ππ==

；又Q 为BC 中点，

由正方体结构特征可得12OQ PA =

=

由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为1r =

=，所以

2min S r ππ==.

因此，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ??????

.

故选：D.

11．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三梭锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】其空间结构体如下图所示:

易知截面是一个非等边的等腰三角形,排除A．D；

等腰三角形的底边是正三棱锥的一条,这条棱不可能与内切球有交点,所以排除B；

截面所得等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线,且经过内切球在两个面上的切点,所以正确答案是C．

故选:C

12．【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】

如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于4，E，F分别是棱AD、BC的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）

B．4 C．D．6

A．

【答案】B

【解析】将正四面体补成正方体如图，

可得EF ⊥平面CHBG ，且正方形边长为

由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，且4KL KN +=， 又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥， ∴KN KL ⊥， ∴MNKL

S

KN KL =?2

42KN KL +??≤= ???

，

当且仅当2KL KN ==时取等号， 故选：B ．

13．【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】 仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )

A ．

12

B C D 【答案】D

【解析】画出图形的轴截面如图所示，则CD 为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴；依题意4AB =，

2CG =，1AE BF ==，则1

22

AO AB =

= 1

sin 2

AE AOE AO ∴∠=

=30AOE ∴∠=?60GCO ∴∠=? 在Rt CDG ?中有1

cos 2

CG GCO CD ∠=

= 4CD ∴=即椭圆中，24a =，22b =

2a ∴=，1b =

222c a b =-c ∴=2

c e a =

=

故选：D

14．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，边AB 的中点为M ，过M 且垂直1BD 的平面被正方体所截的截面面积为（ ）

A B C ．D ．【答案】A

【解析】如图，连结111,,,AC CB AB BC ，

易知11CB BC ⊥，111CB D C ⊥，又1111BC D C C ?=，则1CB ⊥平面11BC D ，故11CB BD ⊥，同理可证明

CA ⊥平面1BDD ，则1CA BD ⊥，

又1CA

CB C =，故1BD ⊥平面1ACB .

取BC 的中点E ，1BB 的中点F ，易知平面//MEF 平面1ACB ， 所以1BD ⊥平面MEF ，即MEF 为所求截面.

易知MEF 为正三角形，边长

ME ==

故1

222

MEF

S

=

=

. 故选：A.

15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，设过P ，Q ，

R 的截面与面11ADD A ，以及面11ABB A 的交线分别为l ，m ，则l ，m 所成的角为（ ）

A ．90?

B ．30

C ．45?

D ．60?

【答案】D

【解析】因为，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，取11C D ，1DD ，

1BB 的中点分别为G ，F ，E ，连接FG ， FQ ，QP ，PE ，ER ，RG ，根据正方体的特征，易知，

若连接PG ，EF ，RQ ，则这三条线必相交于正方体的中心，又////GR EF QP ，所以P ，Q ，R ，G ，F ，

E 六点必共面，即为过P ，Q ，R 的截面；所以EP 即为直线m ，FQ 即为直线l ；

连接1AB ，1AD ，11B D ，因为1//EP AB ，1//FQ AD ，

所以11B AD ∠即为异面直线EP 与FQ 所成的角，

又因为正方体的各面对角线都相等，所以11AB D 为等边三角形， 因此1160B AD ∠=?.故选：D.

16．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱B 1B 、B 1C 中点，点G 是棱CC 1的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为（ ）

A ．矩形

B ．三角形

C ．正方形

D ．等腰梯形

【答案】D

【解析】取BC 的中点H ，如图连接AH 、GH 、1D G 、1AD ，由题意得：//GH EF ，1//AH A F ，GH 不在平面1A EF 内，EF ?平面1A EF 内，∴||GH 平面1A EF .

AH 不在平面1A EF 内，1A F ?平面1A EF 内，∴||AH 平面1A EF .

GH

AH H =，,GH AH ?平面1AHGD ，

∴平面1//AHGD 平面1A EF ，