力法的基本原理2
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结构力学：第七章《力法》
为此，求出基本结构的
和NP值 N1
0 22 1
-1/2
对称
2
列表计算(见书137页)后得
EA11=(3+ ) a EA△1P=－Pa
2P 2
NP 0
3 P0
1
+P/2
P 4
对称返29回2
代入典型方程，解得
3
22
X1=1
4
=0.172P
0 22 1
对称
N1
-1/2
2
各杆内力按式
X1 1 M1图
M 2图
M3图 P Pab L
作基本结构各 和MP图
1 X2 1 由于 3=0,故
13= 31= 23= 32= △3P=0
X3 1 则典型方程第三式为
MP图
代代入入典典型型方3方3X程程3(=解消0得去公因子)得
33≠0(因X3的解唯一)
Pab2
L2 M图
MAC= a
4P 11
+
a(
3P 88
)
Pa 2
内力的计算便是静定问题。
返26回
2 、力法的计算步骤
（1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系， 以多余未知力代替)。 （3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力 图，据此计算典型方程中的系数和自由项。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。
结论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而得 到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知 量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的 位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡 条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。
结构力学教程——第10章 力法
系数和自由项 ➢ 梁、刚架：
ii
M i 2 ds
EI
Ai yi EI
ij
M i M j ds EI
Aj yi EI
iP
M i M P ds EI
➢ 桁架：
2
ii
Ni l EA
ij
Ni N jl EA
iP
Ni N Pl EA
知识点
10.3 超静定刚架和排架
1. 刚架
20kN/m
11
M12 EI
ds
FN21 EA
ds
y2
cos2
EI ds EA ds
1P
M1 M P EI
ds
M0y ds
EI
（4）求多余未知力，即水平推力FH
M0y
X1
FH
1P 11
y2 EI
EI ds
cos2
ds EA
ds
（5）内力计算
M M 0 FH y
FQ FQ0cos FHsin FN FQ0sin FHcos
1P 11X1 0
P
2P 0
P
0
a
11
2 2
1
1
1
P
a
N1
NP
(3)求系数
11
2
Ni l 2( EA
2)2 EA
2a 4 12 a EA
4a (1 EA
2)
1P
Ni N jl 1 Pa 2 EA EA
(
2 )( EA
2P)
2a 2Pa (1 EA
2)
(4)解方程
X1
1P
11
P 2
当结构框格数目为 f , 则 n=3f 。
结构力学第六章 力法
34
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1X1 i2 X 2 in X n iP 0(i 1、2、、n)
符号意义同前。 求解内力(作内力图)的公式：
M M1X1 M2X2 Mn Xn M P
FQ FQ1X1 FQ2 X2 FQn Xn FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FNn X n FNP 作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之 以多余力X，而得到静定结构。
规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束； 3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去 掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。
10
例： a)
X1
X2
37
2、列 力法方程
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（B 0） （C 0）
讨论方程和系数的物理意义。
q
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B C
38
位移方程(力法方程)
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
d)
原结构
X2
X1
X1
X2
n=2
13
e)
原结构
X1 X1 n=1
f)
原结构
n=3
X1
X3
X2
特别注意：不要把原结
构拆成几何可变体系。此
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1X1 i2 X 2 in X n iP 0(i 1、2、、n)
符号意义同前。 求解内力(作内力图)的公式：
M M1X1 M2X2 Mn Xn M P
FQ FQ1X1 FQ2 X2 FQn Xn FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FNn X n FNP 作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之 以多余力X，而得到静定结构。
规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束； 3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去 掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。
10
例： a)
X1
X2
37
2、列 力法方程
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（B 0） （C 0）
讨论方程和系数的物理意义。
q
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B C
38
位移方程(力法方程)
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
d)
原结构
X2
X1
X1
X2
n=2
13
e)
原结构
X1 X1 n=1
f)
原结构
n=3
X1
X3
X2
特别注意：不要把原结
构拆成几何可变体系。此
结构力学- 力法
0
X1 4X2
0
解方程得：
X1
1 15
ql 2
(
)
X2
1 60
ql2 (
)
3. 作内力图 1) 根据下式求各截面M值，然后画M图。
M M1X1 M2X2 MP
23
ql2 15
A
C
B
ql2 60
11ql 2 120
D M图
2) 根据M图求各杆剪力并画FQ图。
AB杆： MB 0
FQAB
26
2. 方程求解
q
B
C
ql 2 8
A
MP图
1P
1 E1I1
2 3
l
1 ql 2 8
1 2
ql3 ql3 24E1I1 24E2I2k
2P 0
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
M 2图
1
27
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
1 M2图
11
1 E1I1
1 2
1 l
2 3
1
1 E2 I 2
1 2
1
l
2 3
1
l l l E1I1 E2I2 l k 1 3E1I1 3E2I2 3 E1I1E2I2 3E2I 2 k
( E1I1 k) E2 I2
12
21
1 E2 I2
△iP—荷载产生的沿Xi方向的位移
力法
需要指出，对于 同一结构，可用各 种不同方式去掉多 余约束而得到不同 的静定结构。但是， 无论哪种方式，所 去掉的多余约束的 个数必然是相等的。
由于去掉多余约束的方式的多样性，所以，在 力法计算中，同一结构的基本结构可有各种不同的 形式。例如图a所示结构，可以将某一截面改成铰结 而得到图b 所示的基本结构，也可以去掉两铰支座 中任一根水平链杆，得到图c 所示的基本结构。但 应注意，基本结构必须是几何不变的，因此，某些 约束是绝对不能去掉的。例如对于上述结构中任一 根竖向支座链杆就不能去掉，否则将成为瞬变体系 （图d）
例1 用力法计算图a所示 刚架，并作出最后弯矩图。
解 (1) 选取基本体系 此刚架为一次超静定结构， 选取基本体系图b所示。
(2) 建立力法典型方程
1
X1 11 X12 01 0 12X 121X 2 X 1 21 X X X 0 2 0 (3) 求系数和自由项 22 12 222 2
常见的超静定结构有：超静定梁（图a），超静 定刚架（b），超静定桁架（图c），超静定拱（图 d），超静定组合结构（图e），铰接排架（图f）等。
第二节 力法的基本概念
下面以图a所示超静定梁为例，来说明力法的基本概念。 一、力法的基本结构和基本未知量 图a所示超静定梁，具有一个多余约束，为一次超静定 结构。 若将支座B作为多余约束去掉，代之以多余未知力 X1，则得到图b所示的静定结构。b基本体系、c基本结 构。如果设法求出多余未知力X1，那么原结构的计算问 题就可转化为静定结构的计算问题。因此，多余未知力 是最基本的未知力，称为力法的基本未知量。
11
(5) 求各杆的最后轴力 由公式 FN F N1 X1 FN 求得各杆 轴力如图e所示。例如，求BC杆 的最后轴力
用力法解超静定结构
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1 X1 n2 X 2 nn X n np 0
（三）力法典型方程中系数和自由项的计算
1、主系数δii — 表示基本结构由于 Xi 1的单独作用，在Xi 的作用点并沿Xi的方向产生的位移； 图A
ii
M
2 i
dx
EI
2、副系数δij —iiijijip表的示作基MMM用EM本EEIiii2E点MMiIIMd结Ix并jjpd构dx沿dxx由Xi于的X方j 向 1产的生单的独位作移用；，图在B Xi
例2：试用力法计算图示超静定刚架，并绘内力图。
解： 1.选择基本体系
2.建立力法方程
d11X1+D1P=0
3.计算系数和自由项，绘 M1和MP图
11
1 EI
1 2
l
l
2 3
l
2
2l 3 3EI
1P
1 EI
1
2
l ql 2
2 3
l2
2 3
l
ql 2 8
l
2
17ql 4
24EI
4.计算X1 5.绘内力图
=1
结构称为力法基本结构
基本结构
力法基本方程 — 利用基本体系的变形状态与原结构
一致的条件所建立的确定多余未知
力的方程
BACK
11X1 1P 0
11
M1M1 dx 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M1M p dx 1 (1 l 1 ql 2 3 l) ql 4
ql3
24EI l
1 ql2 8
3EI
5、绘内力图 M M1X1 M p V V1 X1 Vp
力法和位移法的基本原理在静定结构计算中的运用
力法和位移法的基本原理在静定结构计算中的运用古语云“温故而知新”。
反过来说，我们能否所学新知识新原理用于已学过的旧知识，从而赋予旧知识以新貌，达到了既巩固了新知识新原理又加深了对旧知识的理解，找出其内在联系的目的呢?就本文来说，是想讨论一下继静定结构计算后的力法和位移法的基本思想，在静定结构中的运用。
为此让我们先回忆一下力法和位移法的基本思想。
力法是计算超静定结构最古老而又最基本的一种方法。
采用力法解决超静定结构问题时，我们不是孤立地研究超静定问题，而是把超静定问题与静定问题联系起来，从中找到由静定问题过渡到超静定的途径。
其基本思想是将超静定结构中的多余联系去掉，并代之以相应的多余未知力X，从而得到一个代替原结构的力法基本结构。
然后根据所去多余联系处的位移谐调条件列方程或方程组（即力法典型方程）。
求解此方程或方程组，得到多余未知力X的解，从而将超静定结构的计算转化为静定结构的计算，达到解决问题的目的。
以图示一次超静定梁为例：位移法的基本思想是以结构刚结点角位移和结点的线位移为基本未知量Z,以在刚结点处加附加刚臂，在有线位移的结点处加附加链杆（相当于增加联系）为手段，从而得到由三种基本单跨超静定梁组合成的基本结构，再利用附加刚臂或附加链杆处反力矩或反力等于零的条件列平衡方程或方程组，然后求解此方程或方程组，得到基本未知量Z的解。
最后利用叠加法作出最后弯矩图。
达到计算超静定结构的目的。
同样，以图示只有一个刚结点且无侧移刚架为例并求得这两种方法的基本思想能否在静定结构的计算得到应用？我们设想，若将静定结构的某一个或某几个联系去掉，并代之以相应的约束力，以X记之。
（这是力法的解题思想）；然后在结构的其它适当地方加上同样数目的联系，相当于将去掉的联系移至该结构其它地方（这相当于位移法中添加附加约束），显然所增加约束处的约束力等于零，根据叠加原理此处约束力应等于约束力X和荷载分别单独作用于结构上时，在所增加联系处引起的约束力之代数和。
结构力学第五章力法
12kN/m
EI
2
2 M1 基本体系
24
2EI
2EI
4m
MP
6 216
6
d11 =
D1 P =
1 6 6 2 6 1 1 2 2 2 2 224 2 = 2 EI 2 3 EI 2 EI 2 3 3EI
M
1 6 216 3 6 2 EI 3 4 1 2 24 3 2 984 1 = 4 EI EI 2 EI 3
(A)
由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项； 4）解方程，求多余未知力； 5）叠加最后弯矩图。 M = M i X i M P
q=23kN/m
q=23kN/m
6m
=
撤除约束时需要注意的几个问题： （1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。 （3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4 5 1 2 外部一次，内部六次 撤除支杆1后体系成为瞬变 不能作为多余约束的是杆 1、2、 5 共七次超静定 1 3
力法基本体系的合理选择
1 1 2 1 1 1 21 aa qa2 21= 2a = d a = qa3 d12P = d 21 = D1d 11力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应 == = ,22 D 2 P = 0 EI 3 3 624 EI EI EI2 28 32 3EI EI 尽量使较多的副系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应 含较多的基本部分，使Mi,MP尽可能分布局部。 qa 2 用力法解图示连续梁， 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 15 各跨EI=常数,跨度为a. 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 2a X1 qa 2 X2 d 11 = = d 22 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 3EI 60 a d 12 = d 21 = X1=1 M1 6 EI qa3 D1P = , D2P = 0 1 24 EI X2=1 M 2
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杆件的受拉纤维一侧。再作剪力图，最后作轴力图。
l l
l
l
l/ 2
B
C
C
X1=1
M1
B
X2 =1
M2
M
B
C
M MP
A l/ 2 l/ 2
A l
l/ 2
A
l/2
由刚结点C 的平衡可知M 图正 确。
2M/ 5 C
B
3M/5
M
A M/ 5
l/2
M C
3 M /5
2 M /5
8
工业与§民9用-建2筑专力业系列法教材的典型方程
得两次超静定的力法基本方程
11X1 12 X 2 Δ1p 0 21X1 22 X 2 Δ2p 0
（b）
Δ12 12 X 2
（c）
4
工业与§民9用-建2筑专力业系列法教材的典型方程
湖北省工业建筑学校
（3）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单位力 与荷载单独作 用下的弯矩图。
工业与民用建筑专业系列教材
课题 力法的基本原理 授课时间 周一3、4节
湖北省工业建筑学校
课 型 新授 课时数 2课时
教学目的
通过本节课的学习，使同学们掌握力法的基本原理 和力法方程
教学重点 重点：力法的基本原理 及难点 难点：力法的基本原理
教学方法 小结 作业
课堂讲授为主 1、力法的基本原理 2、力法方程 见课件
11X1 12 X 2 1n X n Δ1p 0 21X1 22 X 2 1n X n Δ2p 0 （7-1a）
n1 X1 n2 X 2 nn X n Δnp 0
2 M/5 C
B
C FSCA
C
B
3M/5
6M /5l
l
3M/ 5l
l
A FSAC
M/ 5
M
A M/5
l/2
FS
A
l/ 2
9
工业与§民9用-建2筑专力业系列法教材的典型方程
湖北省工业建筑学校
作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的剪力便可求出轴力 。
C
B
6M /5l
6M/5 l
C
FNCB
3M/5l
由力法典型方程解出n 个基本未知数X1，X2，… ，Xn后就己将超静定 问题转化成静定问题了。
通常先用叠加原理计算弯矩
M M1X1 M2X2 Mi Xn Mp
由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。
12
工业与§民9用-建2筑专力业系列法教材的典型方程
22
M
2 2
dx
1 1ll 2l
l3
EI EI 2
3 3EI
12
M1M 2 dx 1 l l l l l3
EI
EI 2
2 4EI
21 12
Δ1p
M1M P dx
1
ml l
ml2
EI
EI
2 2EI
Δ2p
湖北省工业建筑学校
作剪力图的原则是, 截取每一杆为隔离体，由平衡条件便可求出剪力。
杆AC: 杆CB:
2M/5
2M M
FSCA FSAC
5 l
5
3M 5l
3 M
3 M / 5 FS CB
F FSBC SCB
FSBC
5 l
6M 5l
C
B
2
2
工业与§民9用-建2筑专力业系列法教材的典型方程
湖北省工业建筑学校
C' C
B'
△ 11 C'
B
C
X1
△ 21
B'
△12
B X2
△22
M C
C'
B
△1P
B'
△2P
l l l
A
A
A
l/ 2
l/2
l/ 2
（2）位移协调条件：基本结构在原有荷载M 和赘余力X1、X2共同作用 下，在去掉赘余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。
M 2M P dx
1
ml l
ml2
EI
EI
2 2EI
6
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（4）求出基本未知力。
将计算出来的系数与 2
24EI X1 4EI X 2 2EI 0
l3
4 EI
教学过程 见本节课件
1
工业与§民9用-建2筑专力业系列法教材的典型方程
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一、多次超静定的计算
超静定刚架如图所示, 荷载是作用在刚性结点C上的集中力矩M 。
M
B
C
EI=常数
B C
M C
B X2
X1
l l
l
A
l/2
原结构
A
l/ 2
基本结构
（1）力法基本未知量X1 与X2
A
l/ 2
基本体系
C
B
3M/ 5l
3M/ 5l
l
6M/5l l
FS
A
l/ 2
F N CA
FN
A l/ 2
取刚结点C 为隔离体，由投影平衡条件解得
FNCA
6M （拉）， 5l
FNCB
3M 5l
（压）
10
工业与§民9用-建2筑专力业系列法教材的典型方程
湖北省工业建筑学校
二、力法典型方程
n 次超静定定结构，力法典型方程为
柔度系数ij—— 表示当单位未知力Xj=1作用下, 引起基本体系中Xi 的作用点沿Xi方向的位移。
思考：柔度系数由什么的特点？
答：
ij，
。
ji
ii 0
11
工业与§民9用-建2筑专力业系列法教材的典型方程
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自由项 iP——荷载作用下引起基本体系中Xi 的作用点沿Xi方向的 位移。
l
l
l
l/ 2
B
C
X1=1
M1
A l/ 2 l/ 2
B C
X2 =1
M2
A l
l/ 2
M
B
C
M MP
A
l/2
5
工业与§民9用-建2筑专力业系列法教材的典型方程
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11
M
2 1
dx
1 [1 l l (2 l )l l l ]
7l 3
EI EI 2 2 2 3 2 2 2 24EI
X
1
l3 3EI
X2
Ml 2 2EI
0
解方程得
X 1 ，
6M 5l
()
X2
3M 5l
()
求得的X1、X2为正，表明与原假定的方向一致。
7
工业与§民9用-建2筑专力业系列法教材的典型方程
湖北省工业建筑学校
(5) 作内力图。
先作弯矩图（
M M 1 X1 M 2 X）2 ，把M弯P 矩图画在
} 基本体系在X1方向的位移为零，Δ1=0
基本体系在X2方向的位移为零, Δ2=0
（a）
3
工业与§民9用-建2筑专力业系列法教材的典型方程
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Δ1 Δ11 Δ12 Δ1p 0 Δ2 Δ21 Δ22 Δ2p 0
将 Δ11 ，11X1 ， Δ21 21X1 Δ22 22 X 2 代入（b）式，