2019-2020学年山东省临沂市高三(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
4 个说法正确的是（ ） A．在（0，π）上存在 x1，x2，满足 f（x1）﹣f（x2）＝2 B．f（x）在（0，π）有且仅有 1 个最大值点
C．f（x）在ㄷ ， 㐲单调递增
D．ω的取值范围是 ， ᦙ 㐲
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
14．若 tanα＝2，则 tᡰㄷ 㤱 㐲 㐲
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{2，3a}，B＝{a，b}，A∩B＝{ }，则 A∪B＝（ ）
A． 瓠 ， ，
B． 瓠 ，
C． ，
D． ， ，
【解答】解：∵ t 㐲 ，
∴ ∈ ， ∈ t，
A．77.2 寸
B．72.4 寸
C．67.3 寸
D．62.8 寸
7．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1+a3＝3，a2+a4＝6，则 S8＝（ ）
A．45
B．81
C．117
D．153
8．函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中 ＞ ， ＜ ）的图象如图所示，为了得到 g（x）＝
节气 冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 （大 （小 （立 （霜 （寒 （秋 （白 （处 （立 （大 （小 雪） 雪） 冬） 降） 露） 分） 露） 暑） 秋） 暑） 暑）
晷影 130.0 …… …… …… …… …… …… ？ …… …… …… …… 14.8 长度
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（x）㐲 ‶ 㤱cosx，
f′（x）㐲 x﹣sinx， ∴f′（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 B，D； 令 f″（x）㐲 瓠cosx＝0 可得 x㐲 㤱2kπ，
∴当 x㐲 时，f′（x）取得极小值 f′（ ）㐲 瓠 ＜0，排除 C， 故选：A． 10．已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）＝f（x），y＝f（x+3）为偶函数，若 f（x） 在（0，3）内单调递减．则下面结论正确的是（ ）
A．45
B．81
C．117
D．153
【解答】解：设等比数列{an}的公比为 q，∵a1+a3＝3，a2+a4＝6，
∴q㐲 㐲2，a1（1+q2）＝3，解得 a1㐲 ，
ㄷ Ǥ瓠 㐲 则 S8㐲 瓠 㐲153． 故选：D．
8．函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中 ＞ ， ＜ ）的图象如图所示，为了得到 g（x）＝
A． 瓠 ， t
B．ㄷ 瓠 ， t
C． 瓠 ， 瓠 㐲
D． ， ， D． 瓠 ， 瓠 t
洠t ㄷ 瓠 ‶㐲，‶＜
3．设函数 f（x）㐲 ‶，‶
，则 f（﹣3）+f（log23）＝（ ）
A．9
B．11
C．13
D．15
4．已知 a，b，c 满足 a＞b＞c，且 ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
4．已知 a，b，c 满足 a＞b＞c，且 ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A．ab＞ac
B．（a﹣b）c＜0
C．a2c＜b2c
D．ac（a﹣c）＜0
【解答】解：由 a＞b＞c，且 ac＜0，知 a＞0，c＜0，
取 a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 则 a2c＞b2c，此时 C 不成立．
故选：C．
2019-2020 学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A＝{2，3a}，B＝{a，b}，A∩B＝{ }，则 A∪B＝（ ）
A． 瓠 ， ，
B． 瓠 ，
C． ，
2．函数 㐲 洠㐍ㄷ ‶ 㤱 㐲 㤱 瓠 ‶ 的定义域为（ ）
《易经》中所记录的清明的晷影长应为（ ）
节气 冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 （大 （小 （立 （霜 （寒 （秋 （白 （处 （立 （大 （小 雪） 雪） 冬） 降） 露） 分） 露） 暑） 秋） 暑） 暑）
晷影 130.0 …… …… …… …… …… …… ？ …… …… …… …… 14.8 长度
ㄷ‶ 㐲㤱 ㄷ‶ 㐲，则称函数 f（x）具有性质 P，那么下列函数中，具有性质 P 的函数为（ ）
① ㄷ‶㐲 㐲 ‶ ，‶ ；②f（x）＝|log2x|；③f（x）＝x3+x；④f（x）＝2|x|． ，‶ 㐲
A．①
B．②
C．③
D．④
13．设函数 ㄷ‶㐲 㐲 ᡰ 㐍ㄷ ‶ 瓠 㐲ㄷ ＞ 㐲，已知 f（x）在[0，π]有且仅有 3 个零点，对于下列
22．某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为 80 万元，同时 将受到环保部门的处罚，第一个月罚 4 万元，以后每月增加 2 万元．如果从今年一月起 投资 500 万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面 可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前 4 个月中的累计生产 净收入 g（n）是生产时间 n 个月的二次函数 g（n）＝n2+kn（k 是常数），且前 3 个月的 累计生产净收入可达 309 万元，从第 5 个月开始，每个月的生产净收入都与第 4 个月相 同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励 120 万元． （1）求前 6 个月的累计生产净收入 g（6）的值； （2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入．
5．已知向量 ， ，满足 㐲 ， 㐲 ，且| 瓠 |＝2，则向量 与 的夹角的余弦值为 （）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵ 㐲 ， 㐲 ， 瓠 㐲 ，
∴瓠 㐲 㤱 瓠
㐲㤱瓠
㐲，
∴ 㐲，
∴ tᡰ＜ ， ＞ 㐲
㐲 㐲．
故选：B． 6．二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法，是我国劳动人民长期经验的积累成 果和智慧的结晶，被誉为“中国的第五大发明”．由于二十四节气对古时候农事的进行起着 非常重要的指导作用，所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣：春雨惊春清谷天，夏满芒 夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中， 冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影是按照等差数列的规律计算出来的，在 下表中，冬至的晷影最长为 130.0 寸，夏至的晷影最短为 14.8 寸，那么《易经》中所记录的 清明的晷影长应为（ ）
20．已知函数 ㄷ‶㐲 㐲 洠㐍‶ 㤱 ‶ ㄷ ∈ ，
㐲．
（1）若曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线与 y 轴垂直，求 a 的值；
（2）若在区间（0，e]上至少存在一点 x0，使得 f（x0）＜0 成立，求 a 的取值范围．
21．如图，在平面四边形 ABCD 中，∠ABC㐲 ，∠BAC＝∠DAC，CD＝2AB＝4． （1）若 AC㐲 ，求△ABC 的面积； （2）若∠ADC㐲 ，求 AC．
A．77.2 寸
B．72.4 寸
C．67.3 寸
【解答】解：设 a1＝130.0，a13＝14.8，公差 d㐲 Ǥ瓠
D．62.8 寸 㐲瓠9.6，
∴a8＝a1+7d＝130.0﹣7×9.6＝62.8，
故清明的晷影长为 62.8 寸．
故选：D．
7．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1+a3＝3，a2+a4＝6，则 S8＝（ ）
．
15．若函数 （f x）＝x3﹣ax2+3x+1 在区间ㄷ ， 㐲上单调递减，则实数 a 的取值范围为
．
16．△ABC 中，D 为 AC 上的一点，满足 㐲 ．若 P 为 BD 上的一点，满足 t 㐲 t 㤱
㐍 ㄷ ＞ ，㐍＞ 㐲，则 mn 的最大值为
；
㤱
的最小值为 㐍
．
17．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 依次成等比数列，且
∴ 㐲，
∴ 㐲瓠 ， 㐲 ，
∴ 㐲 ， ，t 㐲 瓠 ， ，
∴ t㐲 瓠 ， ， ．
故选：A． 2．函数 㐲 洠㐍ㄷ ‶ 㤱 㐲 㤱 瓠 ‶ 的定义域为（ ）
A． 瓠 ， t
B．ㄷ 瓠 ， t
C． 瓠 ， 瓠 㐲
【解答】解：要使函数有意义，则
得 ‶＞ 瓠
，
瓠‶
‶㤱 ＞ ， 瓠‶
得瓠 ＜x≤2，
D． 瓠 ， 瓠 t
‶
23．已知 ㄷ‶㐲 㐲 ‶ ， ㄷ‶㐲 㐲 ㄷ‶ 瓠 洠㐍‶㐲． （1）当 x＞0 时，证明 f（x）＞g（x）； （2）已知点 P（x，x（f x）），点 Q（sinx，﹣cosx），若 O 为坐标原点，设函数 ㄷ‶㐲 㐲 t ， 当 ‶ ∈ 瓠 ， t时，试判断 h（x）的零点个数．
2019-2020 学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷
Asinωx 的图象，只需将 f（x）图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 【解答】解：根据函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中 ＞ ， ＜ ）的图象，可得 A＝1，
㐲 瓠 ，∴ω＝3．
再根据五点法作图可得 3 㤱φ＝π，求得φ㐲 ，∴函数 f（x）＝sin（3x㤱 ）． 为了得到 g（x）＝sin3x 的图象，只需将 f（x）图象向右平移 个单位， 故选：C． 9．函数 ㄷ‶㐲 㐲 ‶ 瓠 ᡰ 㐍ㄷ‶ 瓠 㐲，f'（x）是 f（x）的导函数，则 f'（x）的图象大致是（ ）
高中数学 2023-2024学年山东省临沂市高一(上)期中数学试卷
2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{2}1．（5分）设集合U ={0，1，2，3，4，5}，A ={1，2，3}，B ={x ∈Z |x 2-5x +4≥0}，则A ∩（∁U B ）=（ ）A ．32B ．22C ．3D ．22．（5分）已知复数z 的实部和虚部相等，且z （2+i ）=3-bi （b ∈R ），则|z |=（ ）√√A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切3．（5分）已知圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：x 2+y 2+6x -8y +16=0，则圆C 1和圆C 2的位置关系是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．244．（5分）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（ ）A ．15B ．20C ．25D ．15或255．（5分）在等差数列{a n }中，已知a 4=5，a 3是a 2和a 6的等比中项，则数列{a n }的前5项的和为（ ）A ．12B ．2C ．22D ．16．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x +2）=f （x ）对x ∈R 恒成立，当x ∈[0，1]时，f （x ）=2x ，则f (−92)=（ ）√√7．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n 表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数据：3≈1.732，sin 15°≈0.2588，sin 75°≈0.1305）（ ）√二、填空题：本大题共4小题，每小题5分A ．2.598，3，3.1048B ．2.598，3，3.1056C ．2.578，3，3.1069D ．2.588，3，3.1108A ．223B ．203C ．163D ．68．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．有最大值3，最小值-1B ．有最大值2，最小值-2C ．有最大值3，最小值0D ．有最大值2，最小值09．（5分）关于函数f （x ）=2cos 2x2+3sinx （x ∈[0，π]）下列结论正确的是（ ）√A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π10．（5分）点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB =BC =6，∠ABC =90°，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）√A ．22B ．23C ．22或−22D ．23或−2311．（5分）过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AF |=2|BF |，则直线AB 的斜率为（ ）√√√√√√A ．0B ．2C ．4D ．612．（5分）若函数f (x )=3+2x −12x +1+sin 2x 在区间[-k ,k ]（k >0）上的值域为[m ,n ]，则m +n 等于（ ）13．（5分）已知矩形ABCD ，AB =4，AD =1，点E 为DC 的中点，则AE •BE = ．→→14．（5分）为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（5分）学校艺术节对A ，B ，C ，D 四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C 作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．16．（5分）我们把满足：x n +1=x n −f (x n )f ′(x n )的数列{x n }叫做牛顿数列．已知函数f （x ）=x 2-1，数列{x n }为牛顿数列，设a n =ln x n −1x n +1，已知a 1=2，则a 3= ．17．（12分）如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AC =3DC ．（Ⅰ）若∠DAC =30°，求角B 的大小；（Ⅱ）若BD =2DC ，且AD =22，求DC 的长．√√18．（12分）某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．（ I ）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第1，2，3组的员工人数分别是多少？（ II ）为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言，设3人中年龄在[35，40）的人数为ξ，求ξ的数学期望；（ III ）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）喜欢阅读国学类不喜欢阅读国学类合计男14418女81422合计221840根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：K 2=n (ad −bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +dP （K 2≥k 0）0.050.0250.0100.0050.001k 0 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．（12分）如图1，菱形ABCD 的边长为12，∠BAD =60°，AC 与BD 交于O 点．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B -ACD ，点M 是棱BC 的中点，DM =62．（Ⅰ）求证：平面ODM ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角M -AD -C 的余弦值．√请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲]20．（12分）已知点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右顶点，点P （0，-2），直线BP 交E 于点Q ，PQ =32QB 且△A BP 是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．→→21．（12分）已知函数f （x ）=mx lnx ，曲线y =f （x ）在点（e 2，f （e 2））处的切线与直线2x +y =0垂直（其中e 为自然对数的底数）．（1）求f （x ）的解析式及单调递减区间；（2）若存在x 0∈[e ,+∞），使函数g （x ）=aelnx +12x 2−a +e 2•lnx •f （x ）≤a 成立，求实数a 的取值范围．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：V W X x =2cosθy =2sinθ（θ为参数），点P 在直线l ：x +y -4=0上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足|OP |2=|OR |•|OQ |，求Q 点轨迹的极坐标方程．23．（1）解不等式：|2x -1|-|x |<1；（2）设f （x ）=x 2-x +1，实数a 满足|x -a |<1，求证：|f （x ）-f （a ）|<2（|a +1|）。
2020-2021学年山东省临沂市河东区九年级(上)期中数学试卷 解析版
2020-2021学年山东省临沂市河东区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．2．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝3．一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝2+2，x2＝2﹣2D．x1＝2，x2＝﹣24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（）A．1cm B．2cm C．cm D．2cm5．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定6．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57°B．52°C．38°D．26°7．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬物发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（）A．20%B．30%C．40%D．50%8．从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（1，3）C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点10．知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD11．将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为（）A．y＝（x+2）2﹣2B．y＝（x﹣4）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣1D．y＝（x+1）2+5 12．如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（）A．B．C．4D．513．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）A．a≥﹣2B．a＜3C．﹣2≤a＜3D．﹣2≤a≤3 14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c ﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题5小题，每小题3分，共15分）15．点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是．16．用一个圆心角为120°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径是．17．如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转40°到△AED的位置，恰好使得DC∥AB，则∠CAB的大小为．18．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）19．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝．三、解答题（本大题共7小题，共63分）20．（8分）①x2﹣4x﹣3＝0；②（x+3）2＝﹣2（x+3）．21．（6分）A，B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．（1）从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是；（2）从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率．22．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为；（3）在（2）中的旋转过程中，求出线段OA扫过的图形的面积．23．（9分）如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．求证：（1）BE＝CE；（2）EF为⊙O的切线．24．（11分）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：每千克售价x（元）…253035…日销售量y（千克）…11010090…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．（11分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．2020-2021学年山东省临沂市河东区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．【解答】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D、不是中心对称的图形，不合题意．故选：C．2．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝【分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣右移，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．3．一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝2+2，x2＝2﹣2D．x1＝2，x2＝﹣2【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0，移项得：x2﹣4x＝8，配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，开方得：x﹣2＝±2，解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2．故选：B．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（）A．1cm B．2cm C．cm D．2cm【分析】由直角三角形的性质得到AB＝2AC＝2，然后根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质得到AB′＝BB′．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，∴AC＝AB，则AB＝2AC＝2cm．又由旋转的性质知，AC′＝AC＝AB，B′C′⊥AB，∴B′C′是△ABB′的中垂线，∴AB′＝BB′．根据旋转的性质知AB＝AB′＝BB′＝2cm．故选：B．5．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【解答】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57°B．52°C．38°D．26°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝38°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，∴∠BDC＝∠BAC＝52°．故选：B．7．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬物发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（）A．20%B．30%C．40%D．50%【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年全年新增5G用户2（1+x）万户，2021年全年新增5G用户2（1+x）2万户，根据计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年全年新增5G用户2（1+x）万户，2021年全年新增5G用户2（1+x）2万户，依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．故选：C．8．从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出恰好抽到马鸣和杨豪的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有12种等可能情况数，其中恰好抽到马鸣和杨豪的有2种，则恰好抽到马鸣和杨豪的概率是＝；故选：C．9．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（1，3）C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y 随x的增大而增大，令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+，x2＝1﹣，∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，∴抛物线与x轴有两个交点．故选：C．10．知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD【分析】利用作法得到MC＝CD＝DN，OM＝ON＝OC＝OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝＝，则可对A选项进行判断；当OM＝MN时，△MON为等边三角形，则可对B选项进行判断；作半径OE⊥CD，如图，利用垂径定理得到＝，＝，所以OE⊥MN，则可对C选项进行判断；利用两点之间线段最短可对D选项进行判断．【解答】解：由作法得MC＝CD＝DN，OM＝ON＝OC＝OD，∴＝＝，∴∠COM＝∠COD＝∠DON，所以A选项的结论正确；当OM＝MN，而OM＝ON，∴此时△MON为等边三角形，∴∠MON＝60°，∴∠AOB＝∠MON＝20°，所以B选项的结论正确；作半径OE⊥CD，如图，则＝，∴＝，∴OE⊥MN，∴MN∥CD，所以C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，∴3CD＞MN，所以D选项错误．故选：D．11．将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为（）A．y＝（x+2）2﹣2B．y＝（x﹣4）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣1D．y＝（x+1）2+5【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的顶点坐标是（1，2），∴将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为：y＝（x﹣1+2）2+2+3＝（x+1）2+5．故选：D．12．如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（）A．B．C．4D．5【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，由正方形和圆的性质求得OE＝OF＝AB，结合正三角形的外接圆的性质得到OE＝OF＝2，由此得到关于AB的方程AB＝2，易得AB＝4．【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴AC是直径，AC＝AB，∴OE＝OF＝AB．∵△EFG是等边三角形，点O是正三角形EFG的外接圆圆心，∴OE＝OF＝×2×＝2，∴AB＝2，∴AB＝4．即⊙O的内接正方形ABCD的边长为4．故选：C．13．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）A．a≥﹣2B．a＜3C．﹣2≤a＜3D．﹣2≤a≤3【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，解得a≥﹣2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，∴△＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0解得：a≥﹣2；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，∴a≤3，∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．故选：D．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c ﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；②抛物线的对称轴为x＝1，∴（﹣1，y）关于直线x＝1的对称点为（3，y），（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c）∴x＝2，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；③抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由对称轴可知：＝1，∴2a+b＝0，故④错误；⑤由图象可知：y＝3时，此时ax2+bx+c＝3只有一解x＝1，∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相同的根，故⑤正确；故选：C．二、填空题（本题5小题，每小题3分，共15分）15．点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是（﹣2，﹣1）．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：∵点A（2，1）与点B关于原点对称，∴点B的坐标是（﹣2，﹣1），故答案为：（﹣2，﹣1）．16．用一个圆心角为120°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径是3．【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝3，即这个圆锥的底面圆半径是3．故答案为3．17．如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转40°到△AED的位置，恰好使得DC∥AB，则∠CAB的大小为70°．【分析】根据旋转的性质得到AC＝AD，∠CAD＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC＝70°，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转40°到△AED的位置，∴AC＝AD，∠CAD＝40°，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∵DC∥AB，∴∠CAB＝∠ACD＝70°，故答案为：70°．18．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1．（结果保留π）【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．19．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝﹣1．【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1＝A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．【解答】解：∵y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y＝﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）∵C2由C1旋转得到，∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m＝﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共7小题，共63分）20．（8分）①x2﹣4x﹣3＝0；②（x+3）2＝﹣2（x+3）．【分析】①利用配方法求解即可；②利用因式分解法求解即可．【解答】解：①∵x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝4﹣3，即（x﹣2）2＝1，则x﹣2＝±1，∴x1＝3，x2＝1；②∵（x+3）2+2（x+3）＝0，∴（x+3）（x+5）＝0，则x+3＝0或x+5＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣5．21．（6分）A，B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．（1）从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是；（2）从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率．【分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的情况，再由概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率为；故答案为：；（2）画树状图得：共有9种等可能的结果，抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的有3种情况，∴两次抽取的卡片上数字之和大于7的概率为＝．22．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为（1，0）；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为（﹣2，3）；（3）在（2）中的旋转过程中，求出线段OA扫过的图形的面积．【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、O1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可；（3）先利用勾股定理计算出OA，然后根据扇形的面积公式计算．【解答】解：（1）如图，△A1O1B1为所作，点B1的坐标为（1，0）；（2）如图，△A2OB2为所作，点A2的坐标为（﹣2，3）；故答案为（1，0）；（﹣2，3）；（3）如图，OA＝＝，而∠AOA2＝90°，所以线段OA扫过的图形的面积＝＝π．23．（9分）如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．求证：（1）BE＝CE；（2）EF为⊙O的切线．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠EAM＝∠EBC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAM，得到∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，推出直线EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得EH⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，∴∠EAM＝∠EBC，∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM，∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE；（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，∵OB＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC，∴EH⊥BC，∴EH⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线．24．（11分）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：每千克售价x（元）…253035…日销售量y（千克）…11010090…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“日销售利润＝每千克利润×日销售量”可得函数解析式，根据获得1000的日销售利润列方程解出即可；（3）将函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．【解答】解：（1）设y＝kx+b，将（25，110）、（30，100）代入，得：，解得：，∴y＝﹣2x+160；（2）由题意得：（x﹣20）（﹣2x+160）＝1000，即﹣2x2+200x﹣3200＝1000，解得：x＝30或70，又∵每千克售价不低于成本，且不高于40元，即20≤x≤40，答：该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．（3）设超市日销售利润为w元，w＝（x﹣20）（﹣2x+160），＝﹣2x2+200x﹣3200，＝﹣2（x﹣50）2+1800，∵﹣2＜0，∴当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，∴当x＝40时，w取得最大值为：w＝﹣2（40﹣50）2+1800＝1600，答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x＝时函数有最小值﹣，进而求得它们的差；（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解方程求得x1＝﹣1，x2＝4﹣m，根据题意得到4﹣m＞3，解得m＜1．【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴，解得，∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝时函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，∵a＜3＜b，∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．26．（11分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝DC+EC；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．【分析】问题：证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；探索：连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可．【解答】解：问题：BC＝DC+EC，理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，故答案为：BC＝DC+EC；探索：BD2+CD2＝2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又∵AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2．。
2022-2023学年山东省临沂市高二(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省临沂市高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．从A 地到B 地要经过C 地，已知从A 地到C 地有三条路，从C 地到B 地有四条路，则从A 地到B 地不同的走法种数是（ ） A ．7B ．9C ．12D ．162．已知随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），若P （ξ＜2）＝P （ξ＞8）＝0.15，则P （2≤ξ＜5）＝（ ） A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.73．4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为（ ） A ．13B ．12C ．16D ．344．若f （x ）＝2xf '（2）+x 2，则f '（1）＝（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．2D ．45．函数f （x ）＝x sin x 的导函数f ′（x ）在区间[﹣π，π]上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（x ﹣2+y ）6的展开式中，x 2y 2的系数为（ ） A ．360B ．180C ．90D ．﹣1807．随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种．为了配合社区对新冠疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与该地区志愿服务．已知6名志愿者将会被分为2组派往该地区的2个不同的社区，且女志愿者不单独成组，若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（ ） A ．32B ．40C ．48D ．568．已知函数f （x ）＝alnx +12x 2，若对任意正数x 1，x 2（x 1≠x 2），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞1恒成立，则实数a的取值范围（ ） A ．（0，14]B ．（0，14）C ．[14，+∞）D ．（14，+∞）二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知随机变量的分布列为P （X ＝k ）＝0.2，k ＝1，2，3，4，5．若Y ＝2X ﹣3，下列说法正确的是（ ） A ．随机变量X 的均值为3 B ．随机变量Y 的均值为3C ．随机变量X 的方差为2D ．随机变量Y 的方差为910．若（x √x ）n 的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）A ．n ＝8B ．各项二项式系数和为128C ．二项式系数最大项有2项D ．第4项与第5项系数相等且最大11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有1个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取1球，恰好有2次白球的概率为80243；③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回地取球3次，每次任取1球，则至少有1次取到红球的概率为2627．则其中正确命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④12．已知函数f(x)=12x +cosx ，以下说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）在x =π6处取得极大值 B ．函数f （x ）在x =5π6处取得极大值 C ．函数f （x ）在(0，π2)上单调递减D ．函数f （x ）的递减区间为[π6+2kπ，5π6+2kπ]，(k ∈Z) 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情．某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A 市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为 ．14．已知（ax +1x ）（2x +1）5（a ≠0），若其展开式中各项的系数和为81，则a ＝ ．15．已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），且对任意x ∈R ，f '（x ）﹣f （x ）＜0，若f （2）＝e 2，f （t ）＜e t ，则t 的取值范围是 ．16．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a 1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上a 1乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a 1除以2后再加上6；这样就可以得到一个新的实数a 2，对实数a 2仍按上述方法进行一次操作，又可以得到一个新的实数a 3，当a 3＜a 1时，甲获胜，否则乙获胜，若乙获胜的概率为34，则a 1的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知在(√x 3−3√x3)n 的展开式中，第4项为常数项． （1）求n 的值； （2）求含x 2项的系数18．（12分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2﹣x 在x ＝﹣1处取得极大值． （1）求实数a 的值，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积．19．（12分）我们认为灯泡寿命的总体密度曲线是正态分布曲线f （x ）=1√2πσ−(x−μ)22σ2，其中μ为总体平均数，σ为总体标准差，某品牌灯泡的总体寿命平均数μ＝2600小时．（1）随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的概率；（2）该品牌灯泡寿命超过2800小时的概率为25．我们通过设计模拟试验的方法解决“随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率”问题．利用计算器可以产生0到9十个随机数，我们用1，2，3，4表示寿命超过2800小时，用5，6，7，8，9，0表示寿命没有超过2800小时．因为是三个灯泡，所以每三个随机数一组．例如，产生20组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 就相当于做了20次试验．估计三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率．20．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax +a ，a ∈R ． （1）讨论函数f （x ）的单调性； （2）讨论函数f （x ）的零点个数．21．（12分）甲、乙去某公司应聘面试该公司的面试方案为：应聘者从7道备选脚取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知7道备选题中应聘者甲有4道题能正甲有4道题能正确完成，3道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是47，且每题正确完成与否互不影响．（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；（2）请从均值和方差的角度分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？22．（12分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣1，g （x ）＝a （x +lnx ），且f （x ）≥g （x ）恒成立（a ＞0）． （1）求实数a 的值：（2）证明：x 3e x ＞（x 2+3）lnx +2sin x ．2022-2023学年山东省临沂市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．从A 地到B 地要经过C 地，已知从A 地到C 地有三条路，从C 地到B 地有四条路，则从A 地到B 地不同的走法种数是（ ） A ．7B ．9C ．12D ．16解：根据题意，从A 地到B 地要经过C 地，已知从A 地到C 地有三条路，则从A 到C 有3种不同的走法，从C 地到B 地有四条路，则从C 到B 有4种不同的走法， 则从A 地到B 地不同的走法种数有3×4＝12种； 故选：C ．2．已知随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），若P （ξ＜2）＝P （ξ＞8）＝0.15，则P （2≤ξ＜5）＝（ ） A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7解：根据题意，正态分布N （μ，σ2）， 若P （ξ＜2）＝P （ξ＞8）＝0.15，则μ＝5，即这组数据对应的正态曲线的对称轴x ＝5，则P （ξ＜5）＝0.5， 又由P （ξ＜2）＝0.15，得P （2≤ξ＜5）＝0.5﹣0.15＝0.35． 故选：B ．3．4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为（ ） A ．13B ．12C ．16D ．34解：4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n =C 42=6，取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”包含的基本事件个数m =C 22=1，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为P =m n =16． 故选：C ．4．若f （x ）＝2xf '（2）+x 2，则f '（1）＝（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．2D ．4解：∵f ′（x ）＝2f ′（2）+2x ，∴f ′（2）＝2f ′（2）+4，解得f ′（2）＝﹣4， ∴f ′（x ）＝﹣8+2x ，∴f ′（1）＝﹣8+2＝﹣6． 故选：B ．5．函数f （x ）＝x sin x 的导函数f ′（x ）在区间[﹣π，π]上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：函数的导数f ′（x ）＝sin x +x cos x ，则f ′（﹣x ）＝﹣sin x ﹣x cos x ＝﹣（sin x +x cos x ）＝﹣f ′（x ）， 则f ′（x ）为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，D ， 故选：C ．6．（x ﹣2+y ）6的展开式中，x 2y 2的系数为（ ） A ．360B ．180C ．90D ．﹣180解：∵（x ﹣2+y ）6＝[x +（y ﹣2）]6，的通项公式为 T r +1=C 6r •x 6﹣r •(y ﹣2)r ，∴要得到含x 2y 2的项，则r ＝4，故含x 2y 2的项的系数为C 64C 42(−2)2=360，故选：A ．7．随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种．为了配合社区对新冠疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与该地区志愿服务．已知6名志愿者将会被分为2组派往该地区的2个不同的社区，且女志愿者不单独成组，若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（ ） A ．32B ．40C ．48D ．56解：根据题意，分2步进行分析：①将6名志愿者将会被分为2组，要求女生不能单独成组，且每组最多4人； 若分为4、2的两组，有C 62﹣1＝14种分组方法， 若分为3、3的两组，有12C 63＝10种分组方法，则有14+10＝24种分组方法；②将分好的2组分配到两个社区进行志愿服务，有2种情况，则有24×2＝48种分配方案； 故选：C ．8．已知函数f （x ）＝alnx +12x 2，若对任意正数x 1，x 2（x 1≠x 2），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞1恒成立，则实数a的取值范围（ ） A ．（0，14]B ．（0，14）C ．[14，+∞）D ．（14，+∞）解：因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞1恒成立，设x 1＞x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2，即f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2恒成立，问题等价于函数F （x ）＝f （x ）﹣x ，即F （x ）＝alnx +12x 2−x 在（0，+∞）上为增函数， 所以F ′（x ）=ax+x ﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立，即a ≥x ﹣x 2在（0，+∞）上恒成立， 所以a ≥（x ﹣x 2）max =14，即实数a 的取值范围是[14，+∞）， 故选：C ．二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知随机变量的分布列为P （X ＝k ）＝0.2，k ＝1，2，3，4，5．若Y ＝2X ﹣3，下列说法正确的是（ ） A ．随机变量X 的均值为3 B ．随机变量Y 的均值为3C ．随机变量X 的方差为2D ．随机变量Y 的方差为9解：由已知P （X ＝k ）＝0.2，可知：P （X ＝1）＝0.2，P （X ＝2）＝0.2，P （X ＝3）＝0.2，P （X ＝4）＝0.2，P （X ＝5）＝0.2，故均值E （X ）＝1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2＝3，故A 正确； E （Y ）＝E （2X ﹣3）＝2E （X ）﹣3＝2×3﹣3＝3，故B 正确；D （X ）＝（1﹣3）2×0.2+（2﹣3）2×0.2+（3﹣3）2×0.2+（4﹣3）2×0.2+（5﹣3）2×0.2＝2， 故C 正确；D （Y ）＝D （2X ﹣3）＝4D （X ）＝8，故D 错误． 故选：ABC ．10．若（x 1√x ）n 的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）A ．n ＝8B ．各项二项式系数和为128C ．二项式系数最大项有2项D ．第4项与第5项系数相等且最大解：由展开式共有8项，故n ＝7，故展开式中间两项第4项和第5项的二项式系数最大， 所有项的二项式系数和为27＝128，由展开式的第4项的系数为﹣C 73，第5项的系数为C 74，故不相等；故选：BC ．11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有1个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取1球，恰好有2次白球的概率为80243；③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回地取球3次，每次任取1球，则至少有1次取到红球的概率为2627．则其中正确命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④解：①从中任取3球，恰有1个白球的概率是C 42⋅C 21C 63=1220=35，∴①正确，②6次试验中取到白球的次数X 服从二项分布，即X ～B （6，13），则P （X ＝2）=C 62•(13)2(23)4=80243，∴②正确，③在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为35，∴③错误，④3次试验中取到红球的次数Y 服从二项分布，即Y ～B （3，23），则P （Y ≥1）＝1﹣P （Y ＝0）＝1−(1−23)3=2627，∴④正确． 故选：ABD ．12．已知函数f(x)=12x +cosx ，以下说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）在x =π6处取得极大值 B ．函数f （x ）在x =5π6处取得极大值 C ．函数f （x ）在(0，π2)上单调递减 D ．函数f （x ）的递减区间为[π6+2kπ，5π6+2kπ]，(k ∈Z) 解：已知f(x)=12x +cosx ，函数定义域为R ， 可得f ′（x ）=12−sin x ，对于选项A ：当0＜x ＜π6时，0＜sin x ＜12，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当π6＜x ＜π2时，12＜sin x ＜1，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以函数f （x ）在x =π6处取得极大值，故选项A 正确； 对于选项B ：当π2＜x ＜5π6时，12＜sin x ＜1，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当5π6＜x ＜π时，0＜sin x ＜12，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；所以函数f （x ）在x =5π6处取得极小值，故选项B 错误； 对于选项C ：令f '（x ）≤0，解得sinx ≥12，所以π6+2kπ≤x ≤5π6+2kπ，k ∈Z ，则函数f （x ）的递减区间为[π6+2kπ，5π6+2kπ]，(k ∈Z)，故选项C 错误； 对于选项D ：由选项C 可得选项D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情．某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A 市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为35．解：设“甲同学被选出”记为事件A ，“乙同学被选出”记为事件B ， 设1表示甲，2表示乙，3，4，5，6，表示剩下的4名同学，从6名同学中选4名，样本空间Ω＝{1234，1235，1236，1245，1246，1256，1345，1346，1356，1456，2345，2346，2356，2456，3456}，共15个样本点；事件A ＝{1234，1235，1236，1245，1246，1256，1345，1346，1356，1456}，共10个样本点； 事件AB ＝{1234，1235，1236，1245，1246，1256}，共6个样本点； 则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率P （B |A ）=n(AB)n(A)=610=35． 14．已知（ax +1x）（2x +1）5（a ≠0），若其展开式中各项的系数和为81，则a ＝ −23． 解：(ax +1x )(2x +1)5中，令x ＝1，得（a +1）•35＝81，解得a =−23． 故答案为：−23．15．已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），且对任意x ∈R ，f '（x ）﹣f （x ）＜0，若f （2）＝e 2，f （t ）＜e t ，则t 的取值范围是 （2，+∞） ． 解：令g （x ）=f(x)e x ，g ′（x ）=f′(x)−f(x)e x， ∵对任意x ∈R ，f '（x ）﹣f （x ）＜0，f （2）＝e 2，∴g ′（x ）＜0，∴函数g （x ）在R 上单调递减， 由g （t ）=f(t)e t ＜1＝g （2）=f(2)e2， ∴t ＞2，即不等式f （t ）＜e t 的解集为（2，+∞）． 故答案为：（2，+∞）16．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a 1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上a 1乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a 1除以2后再加上6；这样就可以得到一个新的实数a 2，对实数a 2仍按上述方法进行一次操作，又可以得到一个新的实数a 3，当a 3＜a 1时，甲获胜，否则乙获胜，若乙获胜的概率为34，则a 1的取值范围是 （﹣∞，6]∪[12，+∞） ．解：由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当a 3＝2（2a 1﹣6）﹣6＝4a 1﹣18，其出现的概率为(12)2=14， 当a 3=12×(2a 1−6)+6=a 1+3，其出现的概率为(12)2=14， 当a 3=2(a 12+6)−6=a 1+6，其出现的概率为(12)2=14， 当a 3=12×(a 12+6)+6=a 14+9，其出现的概率为(12)2=14， ∵甲获胜的概率为34，即a 3＞a 1的概率为34， 则满足{4a 1−18≤a 1a 14+9＞a 1或{4a 1−18＞a 1a 14+9≤a 1整理得a 1≤6或a 1≥12．故答案为：（﹣∞，6]∪[12，+∞）．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知在(√x 3−3√x3)n 的展开式中，第4项为常数项． （1）求n 的值； （2）求含x 2项的系数解：（1）∵二项展开式的通项T r+1=C n r (√x 3)n−r (−3√x3)r=(−3)r C n rxn−2r3，∵第4项为常数项， ∴n−63=0，故n ＝6，（2）由（1）得，T r+1=C n r (√x 3)n−r (−3√x3)r=(−3)r C n rxn−2r3，令6−2r 3=2，可得r ＝0，∴含x 2项的系数为（﹣3）0C 60=1．18．（12分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2﹣x 在x ＝﹣1处取得极大值． （1）求实数a 的值，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积． 解：（1）f ′（x ）＝3x 2+2ax ﹣1，依题意，f ′（﹣1）＝3﹣2a ﹣1＝0，解得a ＝1， 经检验，a ＝1符合题意，令f ′（x ）＝3x 2+2x ﹣1＞0，解得x ＜﹣1或x ＞13，则函数f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），(13，+∞)； （2）由（1）可知，f （x ）＝x 3+x 2﹣x ，f ′（x ）＝3x 2+2x ﹣1， 则f （1）＝1，f ′（1）＝4，由点斜式可得，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ﹣1＝4（x ﹣1），即y ＝4x ﹣3， 令x ＝0，可得y ＝﹣3，令y ＝0，可得x =34， 则所求面积为12×3×34=98．19．（12分）我们认为灯泡寿命的总体密度曲线是正态分布曲线f （x ）=12πσ−(x−μ)22σ2，其中μ为总体平均数，σ为总体标准差，某品牌灯泡的总体寿命平均数μ＝2600小时．（1）随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的概率；（2）该品牌灯泡寿命超过2800小时的概率为25．我们通过设计模拟试验的方法解决“随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率”问题．利用计算器可以产生0到9十个随机数，我们用1，2，3，4表示寿命超过2800小时，用5，6，7，8，9，0表示寿命没有超过2800小时．因为是三个灯泡，所以每三个随机数一组．例如，产生20组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 就相当于做了20次试验．估计三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率．解：（1）由题知平均数μ＝2600，所以每个灯泡寿命超过2600小时的概率都是12，这个随机试验满足古典概型条件：有限性，等可能性．设三个灯泡寿命超过2600小时分别为A ，B ，C ；没有超过2600小时分别为A ，B ，C ， 则样本空间Ω={ABC ，ABC ，ABC ，ABC ，ABC ，ABC ，ABC ，ABC}， 三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的事件M ={ABC ，ABC ，ABC}， 所以P(M)=n(M)n(Ω)=38． （2）20组随机数中满足恰有两灯泡寿命超过2800小时的有191，271，932，812，393共计5组， 所以三个灯泡中恰有两个灯泡寿命超过2800小时的概率估计值P =520=14． 20．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax +a ，a ∈R ． （1）讨论函数f （x ）的单调性； （2）讨论函数f （x ）的零点个数．解：（1）已知f （x ）＝e x ﹣ax +a ，函数定义域为R ， 可得f ′（x ）＝e x ﹣a ，当a ≤0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当a ＞0时，令f ′（x ）＝0， 解得x ＝lna ，当x ＜lna 时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞lna 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 综上，当a ≤0时，f （x ）在R 上单调递增；当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增； （2）不妨令f （x ）＝0，解得e x ＝a （x ﹣1）， 当a ＝0时，e x ＝0无解，所以函数f （x ）无零点； 当a ≠0时，可得1a =x−1e x，不妨设φ(x)=x−1e x ，函数定义域为R ，可得φ′(x)=2−xex ， 当x ＜2时，φ'（x ）＞0，φ（x ）单调递增；当x ＞2时，φ'（x ）＜0，φ（x ）单调递减， 所以φ(x)max =φ(2)=1e 2， 又当x →+∞时，φ（x ）→0，当x →﹣∞时，φ（x ）→﹣∞， 所以当1a ＞1e 2，即0＜a ＜e ²时，f （x ）无零点；当1a=1e 2，即a ＝e ²时，f （x ）有一个零点；当0＜1a ＜1e 2，即a ＞e ²时，f （x ）有两个零点；当1a＜0，即a ＜0时，f （x ）有一个零点，综上，当0≤a ＜e ²时，f （x ）无零点；当a ＜0或a ＝e ²时，f （x ）有一个零点； 当a ＞e ²时，f （x ）有两个零点．21．（12分）甲、乙去某公司应聘面试该公司的面试方案为：应聘者从7道备选脚取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知7道备选题中应聘者甲有4道题能正甲有4道题能正确完成，3道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是47，且每题正确完成与否互不影响．（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；（2）请从均值和方差的角度分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？解：（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量，由题意可得X 的可能取值为：0，1，2，3，P （X ＝0）=C 33C 73=135，P （X ＝1）=C 32C 41C 73=1235，P （X ＝2）=C 31C 42C 73=1835，P （X ＝3）=C 43C 73=435，所以X 的分布列为：由题意可得Y ～B （3，47），所以P （Y ＝0）=(37)3=27343，P （Y ＝1）=C 31×47×(37)2=108343， P （Y ＝2）=C 32×(47)2×37=144343，P （Y ＝3）=(47)3=64343，所以Y 的分布列为：（2）E （X ）=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127， E （Y ）＝3×47=127， D （X ）＝（0−127）2×135+（1−127）2×1235+（2−127）2×1835+（3−127）2×435=2449， D （Y ）＝3×47×37=3649，∵E （X ）＝E （Y ），D （X ）＜D （Y ），∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 22．（12分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣1，g （x ）＝a （x +lnx ），且f （x ）≥g （x ）恒成立（a ＞0）．（1）求实数a 的值：（2）证明：x 3e x ＞（x 2+3）lnx +2sin x ． 解：（1）因为不等式f （x ）≥g （x ）恒成立， 所以xe x ﹣a （lnx +x ）≥1， 令h （x ）＝xe x ﹣a （lnx +x ）， h ′（x ）＝（x +1）（xe x −a x），当a ＜0时，h （x ）单调递增，h （x ）的值域为R ，不符合题意， 当a ＝0时，则h （12）=√e2＜1，也不符合题意，当a ＞0时，令xe x ﹣a ＝0，得a ＝xe x ， 令p （x ）＝xe x ，则p ′（x ）＝（x +1）e x ＞0，所以p （x ）在（0，+∞）上单调递增，且p （0）＝0， 所以a ＝xe x 有唯一实数根，即h ′（x ）＝0有唯一实数根，设为x 0，即a ＝x 0e x 0，所以h （x ）在（0，x 0）上为减函数，在（x 0，+∞）上为增函数， 所以h （x ）min ＝f （x 0）＝x 0e x 0−a （lnx 0+x 0）＝a ﹣alna ， 故只需a ﹣alna ≥1，令t =1a ，上式即转化为lnt ≥t ﹣1， 设h （t ）＝lnt ﹣t +1，则h ′（t ）=1−tt ，所以h （t ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 从而h （x ）max ＝h （1）＝0， 所以lnt ≤t ﹣1，所以lnt ＝t ﹣1，解得t ＝1， 从而有1a =t ＝1，则a ＝1，所以满足条件的实数为a ＝1． （2）证明：借助第（1）问结论，由（1）知，当a ＝1时，f （x ）≥g （x ）对任意x ＞0恒成立， 所以∀x ∈（0，+∞），xe x ≥x +lnx +1（当且仅当x ＝1时等号成立）， 则x 3e x ≥x 3+x 2lnx +x 2（x ＞0），所以要证明x3e x＞（x2+3）lnx+2sin x（x＞0），只需证x3+x2lnx+x2＞（x2+3）lnx+2sin x（x＞0），即证x3+x2＞3lnx+2sin x（x＞0），设G（x）＝lnx﹣x+1，m（x）＝sin x﹣x，则G′(x)=1x−1=1−xx(x＞0)，G（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以∀x∈（0，+∞），G（x）≤G（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0），m'（x）＝cos x﹣1≤0在（0，+∞）恒成立，m（x）在（0，+∞）上单调递减，所以∀x∈（0，+∞），m（x）＜m（0）＝0，即sin x＜x（x＞0），所以要证x3+x2＞3lnx+2sin x（x＞0），只需证x3+x2≥3（x﹣1）+2x（x＞0），即x3+x2﹣5x+3≥0（x＞0），令H（x）＝x3+x2﹣5x+3，则H′（x）＝3x^2+2x﹣5＝（3x+5）（x﹣1），H（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x∈（0，+∞）时，H（x）≥H（1）＝0，即x3+x2﹣5x+3≥0（x＞0）恒成立．。
2023-2024学年山东省临沂市临沂一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省临沂市临沂一中高一（上）期中数学试卷一、选择题1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a +1b ＜b +1a C ．若0＜a ＜b ＜c ，则ba ＜b+c a+cD ．若a ＞0，b ＞0，则b 2a+a 2b≤a +b2．已知a 1，a 2∈（0，1），记M ＝a 1a 2，N ＝a 1+a 2﹣1，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不确定3．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ） A ．甲方案B ．乙方案C ．一样D ．无法确定4．不等式（1﹣x ）（2+x ）＞0的解集为（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ＞1} B ．{x |﹣2＜x ＜1}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}5．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ） A ．若0＜x ＜13，则x （1﹣3x ）的最大值为112B ．函数y =x 2+3x+3x+1(x ＞−1)的最小值为2C ．已知x +y ＝1，x ＞0，y ＞0，则12x+12y的最小值为54D ．若正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，则3x +y 的最小值是36．关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0解集为{x |﹣2＜x ＜3}，不等式cx 2﹣bx +a ＜0解集是（ ） A ．(−∞，−12)∪(13，+∞) B ．(−∞，−13)∪(12，+∞) C ．(−12，13)D ．(−13，12)7．不等式（a ﹣2）x 2+（a ﹣2）x ﹣1＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣2，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）8．已知a ，b ∈（0，+∞），且a 2+3ab +4b 2＝7，则a +2b 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．2√2D ．3√2二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＜b ，1a ＜1b ，则ab ＜0B ．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＞0，则ea−c＞e b−dC ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c−a＞b c−bD ．若a ＞b ＞c ＞0，则a b＞a+c b+c10．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则下列说法错误的是（ ） A ．2√xy 的最大值为2 B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．4xy x+y的最小值为211．已知关于x 的不等式x 2﹣4x ﹣a ﹣1≥0在x ∈[1，4]上有解，则a 的取值可以是（ ） A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣1D ．012．下列说法正确的是（ ）A ．x +1x(x ＞0)的最小值是2B ．2√x 2+2的最小值是√2C ．2√x 2+4的最小值是2D ．2−3x −4x 的最大值是2−4√3二、填空题（本题共4小题，每小题0分，共32分．将答案填在题后的横线上） 13．已知x ，y 为正实数，且x +y ＝2，则1x+1xy的最小值为 ．14．已知f(x)=x 3+1x ，若正数m ，n 满足f （2m ）+f （n ﹣2）＝0，则1m+1n的最小值为 ．15．已知函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1，若对于任意x ∈[m ，m +1]都有f （x ）＜0，则实数m 的取值范围为 ． 16．若存在常数k 和b ，使得函数F （x ）和G （x ）对其公共定义域上的任意实数x 都满足：F （x ）≥kx +b 和G （x ）≤kx +b 恒成立（或F （x ）≤kx +b 和G （x ）≥kx +b 恒成立），则称此直线y ＝kx +b 为F （x ）和G （x ）的“隔离直线”．已知函数f （x ）＝﹣x 2（x ∈R ），g(x)=1x (x ＞0)，若函数f （x ）和g （x ）之间存在隔离直线y ＝﹣3x +b ，则实数b 的取值范围是 ． 四．解答题17．设函数f （x ）＝x 2﹣ax +b ，已知不等式f （x ）＜0的解集是{x |1＜x ＜2}． （1）求不等式bx 2﹣ax +1＞0的解集； （2）对任意x 1，x 2∈R ，比较f(x 1+x 22)与f(x 1)+f(x 2)2的大小．18．（1）已知2＜a ＜6，1＜b ＜3，求a ﹣2b ，ab取值范围；（2）已知1≤a +b ≤5，﹣1≤a ﹣b ≤3，求3a ﹣2b 的取值范围． 19．设函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣2）x +3（a ∈R ），（1）若不等式f （x ）＜0的解集为（1，3），求函数f （x ）的解析式； （2）若b ＝﹣a ﹣3，求不等式f （x ）＞﹣4x +2的解集． （3）若f （1）＝4，b ＞﹣1，a ＞0，求1a +a b+1的最小值．20．已知关于x 的不等式kx 2﹣2kx ﹣k +1＞0的解集为M ． （1）若M ＝R ，求实数k 的取值范围；（2）若存在两个实数a ，b ，且a ＜0，b ＞0，使得M ＝{x |x ＜a 或x ＞b }，求实数k 的取值范围； （3）李华说集合M 中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由．2023-2024学年山东省临沂市临沂一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a +1b ＜b +1a C ．若0＜a ＜b ＜c ，则ba ＜b+c a+cD ．若a ＞0，b ＞0，则b 2a+a 2b≤a +b解：对于A ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2＝0，故A 错误；对于B ，(a +1b )−(b +1a )=a −b +a−bab =(a −b)(1+1ab )， 由于a ＜b ＜0，故a ﹣b ＜0，1+1ab ＞0，所以(a +1b )−(b +1a )＜0，即a +1b ＜b +1a，B 正确； 对于C ，ba −b+c a+c=c(b−a)a(a+c)，由于0＜a ＜b ＜c ，故ba−b+c a+c =c(b−a)a(a+c)＞0，即b a＞b+c a+c，C 错误；对于D ，根据基本不等式，可知b 2a+a +a 2b+b ≥2√b 2a ⋅a +2√a 2b⋅b =2a +2b ，当b 2a=a 且a 2b=b ，即a ＝b 时取得等号，因此b 2a+a 2b≥a +b ，故D 错误．故选：B ．2．已知a 1，a 2∈（0，1），记M ＝a 1a 2，N ＝a 1+a 2﹣1，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不确定解：由M ﹣N ＝a 1a 2﹣a 1﹣a 2+1＝（a 1﹣1）（a 2﹣1）＞0，故M ＞N ， 故选：B ．3．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ） A ．甲方案B ．乙方案C ．一样D ．无法确定解：设两次加油的油价分别为x ，y （x ，y ＞0，且x ≠y ），甲方案每次加油的量为a （a ＞0），乙方案每次加油的钱数为b （b ＞0）， 则甲方案的平均油价为：ax+ay 2a=x+y 2，乙方案的平均油价为：2bbx +by=2xy x+y，因为x+y 2−2xy x+y=(x−y)22(x+y)＞0，所以x+y 2＞2xy x+y，即乙方案更经济．故选：B ．4．不等式（1﹣x ）（2+x ）＞0的解集为（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ＞1} B ．{x |﹣2＜x ＜1}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}解：由（1﹣x ）（2+x ）＞0，得（x ﹣1）（x +2）＜0，解得﹣2＜x ＜1， 所以不等式的解集为{x |﹣2＜x ＜1}． 故选：B ．5．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ） A ．若0＜x ＜13，则x （1﹣3x ）的最大值为112B ．函数y =x 2+3x+3x+1(x ＞−1)的最小值为2C ．已知x +y ＝1，x ＞0，y ＞0，则12x+12y的最小值为54D ．若正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，则3x +y 的最小值是3 解：对于A ：由于0＜x ＜13，所以13•3x （1﹣3x ）≤13•（3x+1−3x 2）2=112，当且仅当x =16时，等号成立，故A 正确；对于B ：由于x ＞﹣1，故x +1＞0，所以y =x 2+3x+3x+1=(x+1)2+(x+1)+1x+1=（x +1）+1x+1+ 1≥2√(x +1)⋅1x+1=2+1＝3，当且仅当x ＝0时，等号成立，故B 错误；对于C ：已知x +y ＝1，x ＞0，y ＞0，所以1＝x +y ≥2√xy ，整理得1xy≥4，12x+12y≥2√12x ⋅12y =√1xy≥2，当且仅当x ＝y =12时，等号成立，故C 错误； 对于D ：正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，整理得y =2x −x ，所以3x +2x −x ＝2x +2x ≥2√2x ⋅2x=4，当且仅当x ＝1时取等号，故D 错误． 故选：A ．6．关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0解集为{x |﹣2＜x ＜3}，不等式cx 2﹣bx +a ＜0解集是（ ） A ．(−∞，−12)∪(13，+∞) B ．(−∞，−13)∪(12，+∞) C ．(−12，13)D ．(−13，12)解：关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜3}， ∴a ＜0，且﹣2，3是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根，∴b a=−(−2+3)=−1，ca=−6，即b ＝﹣a ，c ＝﹣6a ，a ＜0，∴不等式cx 2﹣bx +a ＜0化为﹣6ax 2﹣ax +a ＞0， 化为6x 2﹣x ﹣1＜0，解得−13＜x ＜12． 因此不等式的解集为{x|−13＜x ＜12}． 故选：D ．7．不等式（a ﹣2）x 2+（a ﹣2）x ﹣1＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣2，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）解：当a ＝2时，﹣1＜0恒成立，符合题意， 当a ≠2时，依题意得：{a −2＜0△=(a −2)2+4(a −2)＜0，解得：﹣2＜a ＜2，综上，实数a 的取值范围为（﹣2，2]， 故选：B ．8．已知a ，b ∈（0，+∞），且a 2+3ab +4b 2＝7，则a +2b 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．2√2D ．3√2解：∵7＝（a +2b ）2﹣ab ＝（a +2b ）2−12a •2b ≥（a +2b ）2−12（a+2b 2）2=7(a+2b)28， 则（a +2b ）2≤8，即|a +2b |≤2√2， 又a ，b ∈（0，+∞），所以0＜a +2b ≤2√2 当且仅当a ＝2b =√2时取等号， ∴a +2b 的最大值为2√2． 故选：C ． 二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＜b ，1a ＜1b ，则ab ＜0B ．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＞0，则ea−c＞e b−dC ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c−a＞b c−bD ．若a ＞b ＞c ＞0，则a b＞a+c b+c解：对于A ，若a ＜b ，1a ＜1b，则1a−1b=b−a ab＜0，所以ab ＜0，即A 正确；对于B ，若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＞0，则a ﹣c ＞0，b ﹣d ＞0，b ﹣a ＜0，c ﹣d ＜0， 所以e a−c −e b−d =e(b−d)−e(a−c)(a−c)(b−d)=e(b−a+c−d)(a−c)(b−d)＜0，所以e a−c＜e b−d，即B 错误；对于C ，若c ＞a ＞b ＞0，则c ﹣a ＞0，c ﹣b ＞0，a ﹣b ＞0， 所以a c−a−b c−b=a(c−b)−b(c−a)(c−a)(c−b)=c(a−b)(c−a)(c−b)＞0，即C 正确；对于D ，若a ＞b ＞c ＞0，则a ﹣b ＞0， 所以ab −a+c b+c=a(b+c)−b(a+c)b(b+c)=c(a−b)b(b+c)＞0，即D 正确．故选：ACD ．10．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则下列说法错误的是（ ） A ．2√xy 的最大值为2 B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．4xy x+y的最小值为2解：因为x +y ＝2，x ＞0，y ＞0，所以2√xy ≤x +y ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，A 正确； x 2+y 2≥2×(x+y 2)2=2，即最小值为2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，B 错误； （√x +√y ）2＝x +y +2√xy ≤2+2＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号， 所以√x +√y ≤2，即最大值为2，C 错误；4xy x+y=41x +1y=8(1x +1y)(x+y)=82+y x +x y≤82+2=2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，即最大值为2，D 错误．故选：BCD ．11．已知关于x 的不等式x 2﹣4x ﹣a ﹣1≥0在x ∈[1，4]上有解，则a 的取值可以是（ ） A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣1D ．0解：不等式x 2﹣4x ﹣a ﹣1≥0在x ∈[1，4]上有解，等价于a ≤（x 2﹣4x ﹣1）max ， 设f （x ）＝x 2﹣4x ﹣1，x ∈[1，4]，则f （x ）＝（x ﹣2）2﹣5，而f （1）＝﹣4，f （4）＝﹣1， 故f （x ）在[1，4]上的最大值为﹣1，故a ≤﹣1，所以a 的取值可以是﹣6，﹣5，﹣1． 故选：ABC ．12．下列说法正确的是（ ）A ．x +1x(x ＞0)的最小值是2B ．2√x 2的最小值是√2C ．2√x 2+4的最小值是2D ．2−3x −4x的最大值是2−4√3解：由基本不等式可知，x ＞0时，x +1x ≥2，当且仅当x =1x 即x ＝1时取等号，故A 正确； B ：2√x 2+2=√x 2+2≥√2，当x ＝0时取得等号，故B 正确； C ：2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4，令t =√x 2+4，则t ≥2，因为y =t +1t 在[2，+∞）上单调递增，当t ＝2时，取得最小值52，故C 错误； D ：2−(3x +4x )在x ＜0时，没有最大值，故D 错误． 故选：AB ．二、填空题（本题共4小题，每小题0分，共32分．将答案填在题后的横线上） 13．已知x ，y 为正实数，且x +y ＝2，则1x +1xy 的最小值为 1+√32 ． 解：∵x ，y 为正实数，且x +y ＝2，∴x+y 2=1 ∴1x +1xy=1x+x+y 2xy=12y+32x=12（12y+32x）•（x +y ）＝1+12（x 2y+3y 2x）≥1+√x 2y ⋅3y2x =1+√32， 当且仅当x2y=3y 2x，即y =√3−1，x ＝3−√3时取等号，∴1x +1xy的最小值为1+√32．故答案为：1+√32．14．已知f(x)=x 3+1x，若正数m ，n 满足f （2m ）+f （n ﹣2）＝0，则1m+1n的最小值为32+√2 ．解：因为f(x)=x 3+1x定义域为{x |x ≠0}， 且f(−x)=(−x)3+1−x =−(x 3+1x)=−f(x)，所以f （x ）为奇函数， 因为f （2m ）+f （n ﹣2）＝0，所以2m +n ﹣2＝0，即2m +n ＝2， 因为m ＞0，n ＞0， 所以1m+1n =(1m +1n)(2m +n)⋅12=12(n m+2m n+3)≥32+√2，当且仅当n m=2mn，即m =2−√2，n =2√2−2时取等号．故答案为：32+√2．15．已知函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1，若对于任意x ∈[m ，m +1]都有f （x ）＜0，则实数m 的取值范围为 （−√22，0） ．解：∵二次函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1的图象开口向上，对于任意x ∈[m ，m +1]，都有f （x ）＜0成立，∴{f(m)=2m 2−1＜0f(m +1)=(m +1)2+m(m +1)−1＜0，即 {−√22＜m ＜√22m(2m +3)＜0，解得−√22＜m ＜0，故答案为：（−√22，0）．16．若存在常数k 和b ，使得函数F （x ）和G （x ）对其公共定义域上的任意实数x 都满足：F （x ）≥kx +b 和G （x ）≤kx +b 恒成立（或F （x ）≤kx +b 和G （x ）≥kx +b 恒成立），则称此直线y ＝kx +b 为F （x ）和G （x ）的“隔离直线”．已知函数f （x ）＝﹣x 2（x ∈R ），g(x)=1x(x ＞0)，若函数f （x ）和g （x ）之间存在隔离直线y ＝﹣3x +b ，则实数b 的取值范围是 [94，2√3] ． 解：因为函数f （x ）和g （x ）之间存在隔离直线y ＝﹣3x +b ， 所以当﹣x 2≤﹣3x +b 时，可得﹣x 2+3x ﹣b ≤0 对任意的x ∈R 恒成立， 则b ≥﹣x 2+3x ，即 b ≥﹣（x −32）2+94， 所以b ≥94，当1x ≥−3x +b 时，可得对x ＞0恒成立，即3x 2−bx+1x≥0，令t （x ）＝3x 2﹣bx +1，则有t （x ）＝3x 2﹣bx +1≥0 对x ＞0恒成立，所以{b 6＞0b 2−12≤0，解得−2√3≤b ≤2√3 或b ＞0，即b ∈（0，2√3]，综上所述，实数b 的取值范围是94≤b ≤2√3．故答案为：[94，2√3]．四．解答题17．设函数f （x ）＝x 2﹣ax +b ，已知不等式f （x ）＜0的解集是{x |1＜x ＜2}． （1）求不等式bx 2﹣ax +1＞0的解集；（2）对任意x 1，x 2∈R ，比较f(x 1+x 22)与f(x 1)+f(x 2)2的大小．解：（1）因为不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集是{x |1＜x ＜2}， 所以x ＝1，x ＝2是方程x 2﹣ax +b ＝0的解， 由韦达定理得：a ＝3，b ＝2，故不等式bx 2﹣ax +1＞0为2x 2﹣3x +1＞0， 解得其解集为{x|x ＜12或x ＞1}； （2）由（1）知，f （x ）＝x 2﹣3x +2， 所以f(x 1+x 22)−f(x 1)+f(x 2)2=(x 1+x 22)2−3⋅x 1+x 22+2−x 12−3x 1+2+x 22−3x 2+22=(x 1+x 22)2−x 12+x 222=−(x 1−x 2)24≤0，所以f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2． 18．（1）已知2＜a ＜6，1＜b ＜3，求a ﹣2b ，a b取值范围； （2）已知1≤a +b ≤5，﹣1≤a ﹣b ≤3，求3a ﹣2b 的取值范围．解：（1）因为1＜b ＜3，由不等式的性质可得﹣3＜﹣b ＜﹣1，则﹣6＜﹣2b ＜﹣2， 又2＜a ＜6，故﹣4＜a ﹣2b ＜4． 又13＜1b＜1，2＜a ＜6，故23＜ab＜6．综上a ﹣2b ∈（﹣4，4），a b∈(23，6)；（2）令3a ﹣2b ＝m （a +b ）+n （a ﹣b ），（m ，n ∈R ），即3a ﹣2b ＝（m +n ）a +（m ﹣n ）b ， 则{m +n =3m −n =−2，解得{m =12n =52． 则12≤12(a +b)≤52，−52≤52(a −b)≤152，所以−52+12≤52(a −b)+12(a +b)≤152+52，即﹣2≤3a﹣2b ≤10．综上3a ﹣2b ∈[﹣2，10]．19．设函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣2）x +3（a ∈R ），（1）若不等式f （x ）＜0的解集为（1，3），求函数f （x ）的解析式； （2）若b ＝﹣a ﹣3，求不等式f （x ）＞﹣4x +2的解集． （3）若f （1）＝4，b ＞﹣1，a ＞0，求1a +a b+1的最小值．解：（1）由不等式f （x ）＜0的解集为（1，3）可得：方程ax 2+（b ﹣2）x +3＝0的两根为1，3且a ＞0，由根与系数的关系可得：a＝1，b＝﹣2，所以：f（x）＝x2﹣4x+3；（2）由f（x）＞﹣4x+2得ax2+（b﹣2）x+3＞﹣4x+2，又因为b＝﹣a﹣3，所以不等式f（x）＞﹣4x+2，化为ax2﹣（a+1）x+1＞0，即（x﹣1）（ax﹣1）＞0，当a＝0时，原不等式变形为﹣x+1＞0，解得x＜1；当a＜0时，1a ＜1，解得1a＜x＜1．若a＞0，原不等式⇔(x−1a)(x−1)＞0．此时原不等式的解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故当a＝1时，不等式(x−1a)(x−1)＞0的解为x≠1；当a＞1时，1a ＜1，不等式(x−1a)(x−1)＞0，解得x＜1a或x＞1；当0＜a＜1时，1a ＞1，不等式(x−1a)(x−1)＞0⇔x＜1或x＞1a，综上所述，不等式的解集：当a＜0时，{x|1a＜x＜1}；当a＝0时，{x|x＜1}；当0＜a＜1时，{x|x＞1a或x＜1}；当a＝1时，{x|x≠1}；当a＞1时，{x|x＜1a或x＞1}．（3）由已知得f（1）＝4，a+（b+1）＝4，又b＞﹣1，则1a +ab+1≥14+2√b+14a⋅ab+1=14+1=54．当且仅当2a=b+1=83时等号成立．20．已知关于x的不等式kx2﹣2kx﹣k+1＞0的解集为M．（1）若M＝R，求实数k的取值范围；（2）若存在两个实数a，b，且a＜0，b＞0，使得M＝{x|x＜a或x＞b}，求实数k的取值范围；（3）李华说集合M中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由．解：（1）不等式kx2﹣2kx﹣k+1＞0的解集M＝R，①当k ＝0时，1＞0恒成立，符合题意；②当k ≠0时，则{k ＞0Δ=4k 2−4k(1−k)＜0，解得0＜k ＜12， 综上，实数k 的取值范围为{k |0≤k ＜12}；（2）因为不等式 kx 2﹣2kx ﹣k +1＞0 的解集为M ＝{x |x ＜a 或x ＞b }，且a ＜0，b ＞0，所以关于x 的方程 kx 2﹣2kx ﹣k +1＝0 有一正一负两个实数根a ，b ，可得{ k ＞0Δ=4k 2−4k(1−k)＞01−k k ＜0，解得k ＞1， 综上，实数k 的取值范围为{k |k ＞1}．（3）李华的说法不正确，理由如下：若解集M 中仅有一个整数，则有k ＜0，二次函数 y ＝kx 2﹣2kx ﹣k +1，开口向下，对称轴为 x ＝1， 因为不等式 kx 2﹣2kx ﹣k +1＞0的解集中仅有一个整数，所以这个整数必为1．则{k −2k −k +1＞0−k +1≤0，解得k ∈∅． 即M 中不可能仅有一个整数，李华的说法不正确．。
2023-2024学年山东省临沂市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（ ）A ．{﹣1，4}B ．{1，2，4}C ．{1，4}D ．{﹣1，2，4}2．命题“∃x ∈R ，x +|x |＜0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +|x |＜0 B ．∃x ∈R ，x +|x |≥0 C ．∀x ∈R ，x +|x |≥0D ．∃x ∈R ，x +|x |＞03．函数y =√x−2|x|−3的定义域是（ ） A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ≥2且x ≠3}C ．{x |x ≠3}D ．{x |x ＞2且x ≠3}4．已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在区间[5，20]上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．{40} B ．[40，160] C ．（﹣∞，40]D ．[160，+∞）5．已知f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，则f （3）为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．26．已知函数f(x)=ax 3+bx −cx +2，若f （2023）＝6，则f （﹣2023）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣27．已知函数f （x +1）是偶函数，当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （1），c ＝f （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c8．在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）•x +（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（“•”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ） A ．5B ．6C ．10D ．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A．a∈[0，4）B．a∈（4，+∞）C．a∈（0，4）D．a∈{0}10．设a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b211．设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．1a +1b≥4B．a2+b2≥12C．√ab≤14D．√a+√b≥√212．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则f （x）＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（）A．∀x∈[﹣1，0]，f（x）＝﹣1B．∀x∈R，f（x+1）＝f（x）+1C．f（x+y）≥f（x）+f（y）D．2f2（x）﹣f（x）﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x＞﹣1，则2x+1x+1的最小值为．14．已知函数y=√x2的值域为{0，4}，则它的定义域可以是．（写出其中一个即可）15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+2，则f（﹣1）＝．16．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，8），且满足f（mx2）+8f（4﹣3x）≥0恒成立，则实数m的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A＝{x|3≤x≤a+5}，B＝{x|2＜x＜10}．（1）当a＝2时，求∁R（A∪B），（∁R A）∩B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．18．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；（2）当x∈（1，+∞）时，不等式f（x）≥﹣1恒成立，求a的取值范围．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x +y +3． （1）求x +y 的取值范围； （2）求xy 的取值范围． 20．（12分）已知函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=−13．（1）求a ，b 值；（2）用定义证明：f （x ）在（﹣2，2）上单调递减； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．21．（12分）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x 千件时，需另投入成本C（x ）（万元）．C(x)={12x 2+10x +1100，0＜x ＜100，120x +4500x−90−5400，x ≥100每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？22．（12分）对于区间[a ，b ]，a ＜b ，若函数y ＝f （x ）同时满足：①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ）在x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间． （1）求函数y ＝2x 2的所有“保值”区间；（2）函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（）A．{﹣1，4}B．{1，2，4}C．{1，4}D．{﹣1，2，4}解：由题意知阴影部分表示的集合为（∁U A）∩B，由集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，可得∁U A＝{x|x＜0或x＞2}，则（∁U A）∩B＝{﹣1，4}．故选：A．2．命题“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x+|x|＜0B．∃x∈R，x+|x|≥0C．∀x∈R，x+|x|≥0D．∃x∈R，x+|x|＞0解：“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是：∀x∈R，x+|x|≥0．故选：C．3．函数y=√x−2|x|−3的定义域是（）A．{x|x＞2}B．{x|x≥2且x≠3}C．{x|x≠3}D．{x|x＞2且x≠3}解：函数y=√x−2|x|−3的定义域满足{x−2≥0|x|−3≠0，解得x≥2且x≠3，故它的解集为{x|x≥2且x≠3}．故选：B．4．已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．{40}B．[40，160]C．（﹣∞，40]D．[160，+∞）解：函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在[5，20]上单调递增，对称轴x=k8≤5，解得：k≤40，所以k的取值范围为（﹣∞，40]，故选：C．5．已知f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，则f （3）为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．2解：f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，可得f （3）＝f （4）＝f （5）＝f （6）＝6﹣5＝1．故选：C ．6．已知函数f(x)=ax 3+bx −cx +2，若f （2023）＝6，则f （﹣2023）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣2解：设g(x)=ax 3+bx −c x ，函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， g(−x)=−ax 3−bx +cx =−g(x)，函数为奇函数， f （2023）＝g （2023）+2＝6，故g （2023）＝4，f （﹣2023）＝g （﹣2023）+2＝﹣g （2023）+2＝﹣4+2＝﹣2． 故选：D ．7．已知函数f （x +1）是偶函数，当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （1），c ＝f （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c解：因为函数f （x +1）为偶函数， 所以f （x +1）＝f （1﹣x ）， 所以f （x ）的图象关于x ＝1对称， 所以f(−12)=f(52) 又当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，所以函数f （x ）在[1，+∞）上递增， 因为52＞2＞1，所以f(52)＞f(2)＞f(1)所以b ＜c ＜a ． 故选：B ．8．在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）•x +（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（“•”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ）A．5B．6C．10D．12解：当1≤x≤2时，1⊕x＝x2，2⊕x＝2，故f（x）＝x3+2，函数单调递增，f（x）max＝f（2）＝10；当﹣2≤x＜1时，1⊕x＝1，2⊕x＝2，故f（x）＝x+2，函数单调递增，f（x）max＜f（1）＝3；综上所述：函数f（x）的最大值为10．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A．a∈[0，4）B．a∈（4，+∞）C．a∈（0，4）D．a∈{0}解：ax2﹣ax+1＞0恒成立，当a＝0时，1＞0，成立；当a≠0时，{a＞0Δ=a2−4a＜0，解得0＜a＜4；综上所述：0≤a＜4，命题p成立的一个充分不必要条件是{a|0≤a＜4}的真子集，CD满足．故选：CD．10．设a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2解：对A，由ac2＞bc2，显然c2＞0，两边除以c2可得a＞b．故A正确；对B，当c＝0时显然不成立．故B错误；对C，当a=2，b=−1，1a=12，1b=−1，1a＞1b，故C错误；对D，因为a＞b＞0，同时乘以a有a2＞ab，同时乘以b有ab＞b2，故a2＞ab＞b2．故D正确．故选：AD．11．设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．1a +1b≥4B．a2+b2≥12C ．√ab ≤14D ．√a +√b ≥√2解：对选项A ：1a+1b=(1a+1b)(a +b)=b a+a b+2≥2√b a ⋅ab+2=4，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；对选项B ：a 2+b 2=(a +b)2−2ab ≥1−(a+b)22=12，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；对选项C ：取a =b =12，√ab =12，C 显然错误；对选项D ：取a =14，b =34，D 显然错误． 故选：AB ．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则f （x ）＝[x ]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（ ） A ．∀x ∈[﹣1，0]，f （x ）＝﹣1B ．∀x ∈R ，f （x +1）＝f （x ）+1C ．f （x +y ）≥f （x ）+f （y ）D ．2f 2（x ）﹣f （x ）﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞） 解：对选项A ：f （0）＝0，故错误；对选项B ：x 的整数部分为a ，则x +1的整数部分为a +1，即f （x +1）＝f （x ）+1，故正确； 对选项C ：x 的整数部分为a ，y 的整数部分为b ，则x +y 的整数部分为a +b 或a +b +1，即f （x +y ）≥f （x ）+f （y ），故正确； 对选项D ：2f 2（x ）﹣f （x ）﹣3≥0，则f （x ）≤﹣1或f(x)≥32， 解得x ∈（﹣∞，0）∪[2，+∞），故正确． 故选：BCD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若x ＞﹣1，则2x +1x+1的最小值为 2√2−2 ．解：若x ＞﹣1，则2x +1x+1=2（x +1）+1x+1−2≥2√2(x +1)⋅1x+1−2＝2√2−2， 当且仅当2（x +1）=1x+1，x =√22−1，取等号． 故答案为2√2−2．14．已知函数y =√x 2的值域为{0，4}，则它的定义域可以是 {0，4}（答案不唯一） ．（写出其中一个即可）解：y =√x 2=|x|，取|x |＝0，则x ＝0；取|x |＝4，则x ＝±4； 故定义域可以为：{0，4}或{0，﹣4}或{0，4，﹣4}． 故答案为：{0，4}（答案不唯一）．15．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+2，则f （﹣1）＝ ﹣3 ． 解：根据题意，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+2，则f （1）＝3， f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣3． 故答案为：﹣3．16．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点（2，8），且满足f （mx 2）+8f （4﹣3x ）≥0恒成立，则实数m 的取值范围为 [98，+∞) ．解：由题设f （x ）＝x α，其图象过点（2，8）可得2α＝8＝23，故α＝3，所以f （x ）＝x 3， 所以8f （x ）＝（2x ）3＝f （2x ）， 易知f （x ）为R 上的奇函数且为增函数，而f （mx 2）+8f （4﹣3x ）≥0等价于f （mx 2）≥﹣8f （4﹣3x ）＝f （6x ﹣8）， 所以mx 2≥6x ﹣8，所以mx 2﹣6x +8≥0恒成立，当m ＝0时，﹣6x +8≥0不恒成立，不合题意， 当m ≠0时，{Δ=36−4×m ×8≤0m ＞0，解得m ≥98． 所以实数m 的取值范围为[98，+∞)． 故答案为：[98，+∞)．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知集合A ＝{x |3≤x ≤a +5}，B ＝{x |2＜x ＜10}． （1）当a ＝2时，求∁R （A ∪B ），（∁R A ）∩B ； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，A ＝{x |3≤x ≤7}，所以A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}， ∁R A ＝（﹣∞，3）∪（7，+∞），所以∁R （A ∪B ）＝（﹣∞，2]∪[10，∞），（∁R A ）∩B ＝（2，3）∪（7，10）； （2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ， 当A ＝∅时，3＞a +5，解得a ＜﹣2； 当A ≠∅时，{3≤a +5a +5＜10，解得﹣2≤a ＜5；综上所述：a 的取值范围为{a |a ＜5}．18．（12分）设函数f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +a ，a ∈R ． （1）解关于x 的不等式f （x ）＜0；（2）当x ∈（1，+∞）时，不等式f （x ）≥﹣1恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +a ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0， 当a ＜1时，不等式f （x ）＜0的解集为（a ，1）； 当a ＝1时，不等式f （x ）＜0的解集为∅； 当a ＞1时，不等式f （x ）＜0的解集为（1，a ）． （2）当x ∈（1，+∞）时，不等式f （x ）≥﹣1恒成立， 则x −a ≥−1x−1，即a ≤x +1x−1恒成立． 因为x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3， 当且仅当x −1=1x−1，即x ＝2时，等号成立， 所以a ≤3，即a ∈（﹣∞，3]．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x +y +3． （1）求x +y 的取值范围； （2）求xy 的取值范围．解：（1）因为x ＞0，y ＞0，所以xy =x +y +3≤(x+y2)2，令x +y ＝t ＞0，则t +3≤t 24，整理得（t ﹣6）（t +2）≥0，解得t ≥6，即x +y ≥6，当且仅当x ＝y ＝3时等号成立， 所以x +y 的取值范围为[6，+∞）．（2）因为x ＞0，y ＞0，所以xy =x +y +3≥2√xy +3，令√xy =m ＞0，则m 2≥2m +3，整理得（m ﹣3）（m +1）≥0，解得m ≥3，即xy ≥9， 当且仅当x ＝y ＝3时等号成立，所以xy 的取值范围为[9，+∞）． 20．（12分）已知函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=−13． （1）求a ，b 值；（2）用定义证明：f （x ）在（﹣2，2）上单调递减； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0． 解：（1）因为函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，f(0)=0=−b−4，所以b ＝0； 又f(1)=−13，a12−4=−13，解得a ＝1，所以a ＝1，b ＝0，f(x)=xx 2−4， 又f(−x)=−xx 2−4=−f(x)，故满足f （x ）是奇函数． （2）证明：∀x 1，x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，即﹣2＜x 1＜x 2＜2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12−4−x 2x 22−4=x 1(x 22−4)−x 2(x 12−4)(x 12−4)(x 22−4)=(x 2−x 1)(x 2x 1+4)(x 1−2)(x 1+2)(x 2−2)(x 2+2)， 因为x 2﹣x 1＞0，x 2x 1+4＞0，x 1﹣2＜0，x 1+2＞0，x 2﹣2＜0，x 2+2＞0， 故f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 所以函数y ＝f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递减．（3）函数y ＝f （x ）在（﹣2，2）上单调递减，且为奇函数，由f （t ﹣1）+f （t ）＜0得f （t ﹣1）＜﹣f （t ）＝f （﹣t ），所以{t −1＞−t −2＜t −1＜2−2＜t ＜2，解得12＜t ＜2．所以不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0的解集为(12，2)．21．（12分）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x 千件时，需另投入成本C（x ）（万元）．C(x)={12x 2+10x +1100，0＜x ＜100，120x +4500x−90−5400，x ≥100每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？解：（1）当0＜x ＜100时，L =100x −12x 2−10x −1100−2000=−12x 2+90x −3100；当x ≥100时，L =100x −(120x +4500x−90−5400)−2000=−20x −4500x−90+3400． 所以L ={−12x 2+90x −3100，0＜x ＜100−20x −4500x−90+3400，x ≥100． （2）当0＜x ＜100时，L =−12x 2+90x −3100=−12(x −90)2+950，当x ＝90时，L 取得最大值，且最大值为950，当x ≥100时，L =−20x −4500x−90+3400=−20(x −90+225x−90)+1600≤−20(2√225)+1600=1000， 当且仅当x ＝105时，等号成立．因为1000＞950，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元．22．（12分）对于区间[a ，b ]，a ＜b ，若函数y ＝f （x ）同时满足：①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ）在x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间．（1）求函数y ＝2x 2的所有“保值”区间；（2）函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）函数y ＝2x 2在R 上的值域是[0，+∞），且y ＝2x 2在[a ，b ]的值域是[a ，b ]，所以[a ，b ]∈[0+∞），所以a ≥0，而函数y ＝2x 2在区间[a ，b ]上单调递增，故有{2a 2=a 2b 2=b ，又a ＜b ，所以{a =0b =12， 所以函数y ＝2x 2的“保值”区间为[0，12]．（2）若函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）存在“保值”区间，①若a ＜b ≤1，此时函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）在区间[a ，b ]上单调递减，所以{a 2−2a +m =b b 2−2b +m =a ，消去m 得a 2﹣b 2＝a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣1）＝0． 因为a ＜b ，所以a +b ﹣1＝0，即a ＝﹣b +1．又{b ≤1−b +1＜b ，所以12＜b ≤1． 因为m =−b 2+2b +a =−b 2+b +1=−(b −12)2+54，12＜b ≤1，所以{m |1≤m ＜54}． ②若1≤a ＜b ，此时函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）在区间[a ，b ]上单调递增，所以{a 2−2a +m =a b 2−2b +m =b 消去m 得a 2﹣b 2＝3（a ﹣b ），整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣3）＝0，因为a ＜b ，所以a +b ﹣3＝0，即b ＝﹣a +3，又{a ≥1−a +3＞a，所以1≤a ＜32． 因为m =−a 2+3a =−(a −32)2+94，1≤a ＜32，所以2≤m ＜94综合①、②得，函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）存在“保值”区间， m 的取值范围是[1，54)∪[2，94)．。
2020年山东省临沂中考数学试卷含答案
数学试卷第1页（共18页） 数学试卷第2页（共8页）绝密★启用前2020年山东省临沂市初中学业水平考试数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分。
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列温度比2-℃低的是（ ）A .3-℃B .1-℃C .1℃D .3℃ 2.下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）AB C D3.如图，数轴上点A 对应的数是32，将点A 沿数轴向左移动2个单位至点B ，则点B 对应的数是（ ）A .12-B .2-C .72D .124.根据图中三视图可知该几何体是（ ）A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱5.如图，在ABC △中，AB AC =，°40A ∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A .°40B .°50C .°60D .°70 6.计算()2322a a -÷的结果是（ ）A .32a -B .42a -C .34aD .44a 7.设2a ，则（ ）A .23a ＜＜B .34a ＜＜C .45a ＜＜D .56a ＜＜ 8.一元二次方程2480x x --=的解是（ ）A.12x =-+22x =-- B.12x =+22x =-C.12x =+22x =-D.1x =，2x =-9.从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（ ）A .112B .18C .16D .1210.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步。
2019-2020学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}，则集合(U A =ð ) A ．{0，2}B ．{1-，0}C ．{0，1}D ．{1，2}2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x +…”的否定是( )A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+…B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+<C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x +< D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+…3．设x R ∈，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<5．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：)m 与时间t （单位：)s 之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米6．对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[2，6){2}-C ．(,2)[2-∞-，6)D ．[2，6)7．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )A ．120B ．130C ．150D ．1808．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <>；②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③11()()4a b a b ++…；④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．定义在R 上的奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x --剟的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[2-，1]C ．[1-，3]D ．[0，2]10．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,1)--B ．(11)(3,17)-+C ．(2-，1)(2-⋃，3)D ．(2,6)11．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图象交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，8(x ，8)y ，则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为( )A ．20B ．24C ．36D ．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12．函数1()1f x x =+-的定义域为 ． 13．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x …时，()(1)f x x x =-，则(2)f -= ． 14．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．15．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1x a ∀∈-，1]a +，都有[1y b ∈-，1]b +，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是 ．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知集合{|26}A x x =-剟，{|35}B x x =-剟． （1）求AB ，AB ；（2）若{|121}C x m x m =+-剟，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．17．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x -…的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．18．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+<⎧=⎨-+⎩……，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图象；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围．19．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1a ∀∈-，1]，()0f x …恒成立，求实数x 的取值范围．20．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业)精（品)尖（端)特（色)产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+⎪⎩…．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2020年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2020年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ 注：利润=销售额-成本21．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图象与x 轴两交点间距离为4．（1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1x ∈-，2]． （Ⅰ）若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；（Ⅱ）记()g x 的最小值为()h k ，讨论2(4)h t λ-=的零点个数．2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}，则集合(U A =ð ) A ．{0，2}B ．{1-，0}C ．{0，1}D ．{1，2}【解答】解：因为全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}， 所以：{0U A =ð，2}， 故选：A ．2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x +…”的否定是( )A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+…B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+<C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x +< D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+…【解答】解：命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x+…”的否定是：否定限定量词和结论，故为：(0,)x ∀∈+∞，13x x+<， 故选：C ．3．设x R ∈，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由|3|1x -<，131x ∴-<-<，解得24x <<． 则由“24x <<” ⇒ “2x >”， 由“2x >”推不出“24x <<”，则“|3|1x -<”是“2x >”的充分不必要条件； 故选：A ．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【解答】解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，()f x ∴在(,0)-∞上单调递减，距对称轴越远，函数值越大， (1)(3)()f f f π-<-<，则c a b <<， 故选：D ．5．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：)m 与时间t （单位：)s 之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米【解答】解：2() 4.914.717h t t t =-++， ∴烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为14.71.52( 4.9)t =-=⨯-，此时2(1.5) 4.9 1.514.7 1.51728h =-⨯+⨯+≈， 故选：B ．6．对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[2，6){2}-C ．(,2)[2-∞-，6)D ．[2，6)【解答】解：对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立， ①当240m -=且20m +≠，即2m =时，104>对x R ∈恒成立， 2m ∴=满足题意；②当2m ≠且2m ≠-时，则有2240(2)4(2)0m m m ⎧->⎨=---<⎩，解得26m <<． 综合①②，可得26m <…，故实数m 的取值范围为[2，6)， 故选：D ．7．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )A ．120B ．130C ．150D ．180【解答】解：本题的大意为：《毛诗》、《春秋》和《周易》共94本，3个人读《毛诗》一册，4个人读《春秋一册》，5个人读《周易》一册，问由多少个学生？ 11194()345÷++479460=÷120=（人)故选：A ．8．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <>；②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③11()()4a b a b ++…；④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解答】解：已知a ，b 为正实数，①11a b a b<⇒>⇒>①正确； ②1414414()()14529b b a a b a b a b a a a b+=++=++++=…，所以②不正确； ③1122a a a a +=…，同理12b b +…，11()()4a b a b∴++…，所以③正确；④11111)11111y a a a a a =+=++--=+++…，当且仅当111a a +=+，即0a =时取等号，而0a >，所以1y >，不能取等号，所以 ④不正确． 故选：B ．9．定义在R 上的奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x --剟的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[2-，1]C ．[1-，3]D ．[0，2]【解答】解：由奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，可知()f x 在(,0)-∞是减函数，从而可得，()f x 在R 上单调递减， 由(2)1f -=，可知f （2）1=-， f （2）1(1)1(2)f x f =--=-剟，212x ∴--剟，解可得，13x -剟，即解集为[1-，3] 故选：C ．10．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3,1)--B．(11)(3,17)-+C ．(2-，1)(2-⋃，3)D ．(2,6)【解答】解：设函数22()5(9)2f x x a x a a =-++--，方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内， ∴函数22()5(9)2f x x a x a a =-++--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，∴(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即2222026030a a a a a a ⎧-->⎪--<⎨⎪->⎩，解得：11a -<<-或31x <<+， 故选：B ．11．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图象交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，8(x ，8)y ，则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为( )A ．20B ．24C ．36D ．40【解答】解：函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=的对称中心为(2,3)， 函数315()322x g x x x -==+--也关于(2,3)中心对称， 则若交点为1(x ，1)y 时，1(4x -，16)y -也为交点，若交点为2(x ，2)y 时，2(4x -，26)y -也为交点，⋯，所以128128112288()()()x x x y y y x y x y x y ++⋯++++⋯+=++++⋯++1111222288881[()(46)()(46)()(46)]402x y x y x y x y x y x y =++-+-+++-+-+⋯+++-+-=．故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12．函数1()1f x x =+-的定义域为 [2-，1)(1⋃，)+∞ ． 【解答】解：由题意得： 2010x x +⎧⎨-≠⎩…， 解得：2x -…且1x ≠，故函数的定义域是[2-，1)(1⋃，)+∞， 故答案为：[2-，1)(1⋃，)+∞．13．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x …时，()(1)f x x x =-，则(2)f -= 2 ． 【解答】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，2()f x x x =-， 所以(2)f f -=-（2）(24)2=--=， 故答案为：2．14．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 {|6x x <或1}2x > ． 【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<， 所以方程20ax bx c ++=的解为2和6，且0a <； 由根与系数的关系得， 26260b a c a a ⎧+=-⎪⎪⎪⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩， 解得8b a =-，12c a =，且0a <；所以不等式20cx bx a ++<化为212810x x -+>， 解得16x <或12x >，所以所求不等式的解集为1{|6x x <或1}2x >． 故选：1{|6x x <或1}2x >． 15．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1x a ∀∈-，1]a +，都有[1y b ∈-，1]b +，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是 11[,]22- ．【解答】解：(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，∴212n m =-，[1x m ∴∀∈-，1]m +，都有2211[1,1]22y m m ∈---+，①10m +…，即1m -…时，212y x =-在[1m -，1]m +上单调递增，∴2211[(1),(1)]22y m m ∈---+，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m ---+⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧----⎪⎪⎨⎪-+-+⎪⎩……，解得12m -…，又1m -…，∴这种情况不合题意； ②1010m m +>⎧⎨-<⎩，即11m -<<时，由[1x m ∈-，1]m +可得21[(1),0]2y m ∈--或21[(1),0]2y m ∈-+，∴222111[(1),0][1,1]222m m m --⊆---+且222111[(1),0][1,1]222m m m -+⊆---+，∴2222211(1)12211(1)1221102m m m m m ⎧----⎪⎪⎪-+--⎨⎪⎪-+⎪⎩………，解得1122m-剟， ③10m -…，即1m …时，212y x =-在[1m -，1]m +上单调递减，∴2211[(1),(1)]22y m m ∈-+--，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m -+--⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧-+--⎪⎪⎨⎪---+⎪⎩……，解得12m …，又1m …，∴这种情况不合题意，综上得，m 的取值范围是11[,]22-．故答案为：11[,]22-．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知集合{|26}A x x =-剟，{|35}B x x =-剟． （1）求AB ，AB ；（2）若{|121}C x m x m =+-剟，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得{|25}AB x x =-剟，{|36}AB x x =-剟．（2）①若C =∅，则121m m +>-，2m ∴<； ②若C ≠∅，则12112215m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，解得23m 剟， 综上可得3m …． 17．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x -…的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数． 【解答】解：（1）由题意211x ax --+…， 变形2311011x a x a x x --++=++…， 这等价于(31)(1)0x a x -++…且10x +≠， 解得1x <-或13a x -…，所以103a -=，解得1a =． （2）由（1）得21()1x f x x -=+， 任取1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x <，则210x x ->， 那么212121*********()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 210x x ->，12(1)(1)0x x ++>， 21()()0f x f x ∴->，∴函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．18．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+<⎧=⎨-+⎩……，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图象；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知()F x 定义域为R ，关于原点对称， 又()(||)(||)()F x f x f x F x -=-==， ()F x ∴在R 上是偶函数．函数()F x 的大致图象如下图：观察图象可得：函数()F x 的单调递增区间为：(2,0)-，(2,)+∞，单调递减区间为：(,2)-∞-，(0,2)．（2）当()()H x F x t =-有两个零点时， 即()F x 的图象与直线y t =图象有两个交点， 观察函数图象可得3t >或1t =-．19．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1a ∀∈-，1]，()0f x …恒成立，求实数x 的取值范围． 【解答】解：（1）不等式2(1)0x a x a +--<等价于()(1)0x a x -+<，当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -； 当1a =-时，不等式的解集为∅； 当1a >-时，不等式的解集为(1,)a -． （2）22(1)(1)x a x a a x x x +--=-+++， 设g （a ）2(1)a x x x =-+++，[1a ∈-，1]，要使g （a ）0…在[1a ∈-，1]上恒成立， 只需(1)0(1)0g g -⎧⎨⎩……，即22210,10,x x x ⎧++⎨-⎩……解得1x …或1x -…， 所以x 的取值范围为{|1x x -…或1}x …．20．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业)精（品)尖（端)特（色)产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+⎪⎩…．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2020年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2020年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ 注：利润=销售额-成本【解答】解：（1）由题意2(10)1010104000R a =⨯+=，所以300a =， 当040x <<时，22()900(10300)26010600260W x x x x x x =-+-=-+-；当40x …时，22901945010000919010000()900260x x x x W x x x x-+-+-=--=，所以2210600260,040()919010000,40x x x W x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-⎪⎩…．（2）当040x <<，2()10(30)8740W x x =--+ 当30x =时，()8740max W x =⋯当40x …，29190100001000010000()9190()9190x x W x x x x x x -+-==--+=-++， 因为0x >，所以10000200x x +=…，当且仅当10000x x=时，即100x =时等号成立， 此时()20091908990W x -+=…， 所以()8990max W x =万元， 因为87408990<，所以2020年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元． 21．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图象与x 轴两交点间距离为4．（1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1x ∈-，2]． （Ⅰ）若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；（Ⅱ）记()g x 的最小值为()h k ，讨论2(4)h t λ-=的零点个数． 【解答】解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由题意知对称轴12bx a=-=-①；(0)3f c ==-②； 设()0f x =的两个根为1x ，2x ，则12b x x a+=-，12c x x a=，12||4x x -===；③由①②③解得1a =，2b =，3c =-，2()23f x x x ∴=+-．（2）2()()(2)2I g x x k x =+++，其对称轴22k x +=-．由题意知：212k +--…或222k +-…， 0k ∴…或6k -…．()II ①当0k …时，对称轴212k x +=--…，()g x 在[1-，2]上单调递增，()(1)1h k g k =-=-+， ②当60k -<<时，对称轴2(1,2)2k x +=-∈-，2244()()24k k k h k g +--+=-=， ③当6k -…时，对称轴222k x +=-…，()g x 在[1-，2]单调递减，()h k g =（2）210k =+，∴21,0,44(),604210,6k k k k h k k k k -+⎧⎪--+⎪=-<<⎨⎪+-⎪⎩……， 令244m t =--…，即()(4)h m m λ=-…，画出()h m 简图，)i 当1λ=时，()1h m =，4m =-或0，244t ∴-=-时，解得0t =，240t -=时，解得2t =±，有3个零点．)ii 当1λ<时，()h m λ=有唯一解10m >，2140t m -=>，t =有2个零点． )iii 当12λ<<时，()h m λ=有两个不同的零点2m ，3m ，且2m ，3(4m ∈-，2)(2--⋃，0)，240m +>，340m +>，224t m ∴-=时，解得t =，234t m -=时，解得t =有4个不同的零点．)iv 当2λ=时，()2h m =，224m t =-=-，∴t =2个零点．)v 当2λ>时，()h m λ=无解．综上所得：2λ>时无零点；12λ<<时，有4个零点；1λ=时，有3个零点；2λ=或1λ<时，有2个零点．。
2019-2020学年山东省临沂市罗庄区九年级(上)期中数学试卷解析版
2019-2020 学年山东省临沂市罗庄区九年级（上）期中数学试卷、选择题（本大题共14 小题，每小题3分，共42 分）1．（3 分）“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图2．（3 分）若x＝0 是关于x 的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0（k 为系数）的根，则k 的值为（）A．k＝1 B．k＝﹣1 C．k≠1 D．k＝± 13．（3 分）某县为解决大班额问题，对学校进行扩建，计划用三年时间对全县学校进行扩建和改造，2016 年县政府已投资5 亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2018 年投资7.2 亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A ．20%、﹣220% B．40% C．﹣220% D．20%4．（3 分）下列关于圆的叙述正确的有（）①圆内接四边形的对角互补；②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；④圆内接平行四边形是矩形．A．1 个B．2个C．3 个D．4 个25．（3 分）二次函数y＝2x2﹣8x+1 的最小值是（）A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣96．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△ A′B′C′，则点P 的坐标为（）A ．（0，4）B ．（ 1， 1）C ．（ 1，2）D ．（ 2，1）27．（3 分）抛物线 y ＝ ax 2+bx+c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如下表：小聪观察上表，得出下面结论： ① 抛物线与 x 轴的一个交点为（ 3，0）； ② 函数 y ＝ ax 2+bx+c 的最大值为 6；③ 抛物线的对称轴是 x ＝ ；④ 在对称轴左侧， y 随 x 增大而增大．其中正确有 （）A ．①②B ．①③C ． ①②③D ． ①③④8．（3 分）如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O ，点 O 又是正方形 A 1B 1C 1O 的一个顶点，且这两个正方形的边长都为 2．若正方形 A 1B 1C 1O 绕点 O 转动，则两个正方形重叠部分的面积为A ．16B ． 4C ． 1D ． 229．（3 分）若二次函数 y ＝x 2+bx 的图象的对称轴是经过（ 1，0）且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的 方程 x 2﹣ bx ＝ 3 的解是（）A ．x 1＝﹣ 1， x 2＝﹣ 3B ． x 1＝ 1，x 2＝﹣ 3D ． x 1＝﹣ 1，x 2＝3x﹣2﹣1y40 1 2664C ．x 1＝1，x 2＝ 310．（3 分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（11．（3 分）如图， P 为⊙O 外一点， PA 、PB 分别切 ⊙O 于点 A 、 PB 于点 C 、D ，若 PA ＝6，则△ PCD 的周长为（为（ ）A ． 2 cmB ． 2.5 cmC ． 3 cmD ． 4 cmB ，CD 切⊙O 于点 E ，分别交 PA 、C ．12D ．102y ＝ ax 2+bx+c 恒为正的条件是2B ．a <0，b ﹣4ac > 02b ﹣ 4ac > 02 D ．a <0， b 2﹣4ac <013．（3 分）如图， ⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（ 3， 4），点 P 是 ⊙M 上的任意一点， PA ⊥ PB ，且 PA 、PB 与 x 轴分别交于 A 、B 两点，若点 A 、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为C ．6D ．814．（3 分）如图，正三角形 EFG 内接于 ⊙O ，其边长为 2 ，则⊙O 的内接正方形 ABCD 的边长C ． a > 0， A ．3 B ． 4二、填空题（共1大题，5 小题，每小题3分，共15分）15．（3 分）关于x 的方程kx2﹣（2k+1）x+k+2＝0 有实数根，则k 的取值范围是．16．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，且OC∥BD，AD 分别与BC、OC 相交于点E、F，则下列结论：① AD⊥BD；② ∠AOC＝∠ AEC；③ BC 平分∠ ABD；④ △CEF≌△ BED ．其中一定成立的是（把你认为正确结论的序号都填上）．17．（3 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为（长直角边）长为15 步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是步．18．（3 分）如图，在同一平面内，将△ ABC 绕点A 逆时针旋转40°到△ AED 的位置，恰好使得DC∥ AB，则∠ CAB 的大小为．19．（3 分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O、A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x 轴于A3；⋯如此进行下去，直至得到C7，若点P（13，m）在第7 段抛物线C7上，则m＝．A．B．C．4 D．58 步，股2）分别连接 AB 1，BA 1 后，求四边形 AB 1A 1B 的面积．1）（ y+ ）（ y ﹣ ）＝ 2022）（ x+4） 2＝ 5（x+4 ）3)3x 2﹣12x ＝﹣ 12 21．（ 10分）如图， AB 是⊙O 的直径， AP 是⊙O 的切线，点 A 为切点， BP 与⊙O 交于点 C ，点 D是 AP 的中点，连结 CD ．1）求证： CD 是⊙ O 的切线；22．（ 10 分）工人师傅用一块长为 10dm ，宽为 6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要求长方体底面面积为 12dm 2 时，裁掉的正方形边长多大？将四角各裁掉一个正方形． （厚度不计）20．（ 10 分）用合适的方法解一元二次方2）若 AB ＝2，∠ P ＝30°，求阴影部分的面积．Rt△ABC 的顶点分别是A（﹣3，1）B（0，4）C（0，2）．23．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，1）将△ ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△ A1B1C1；2）分别连接AB1，BA1 后，求四边形AB1A1B 的面积．1）求该二次函数的解析坐标，若不存在请说明理2）当∠ BAC 为多少度时，四边形 OBDC 是正方形？1）求证：四边形 OBDC 是菱形24．（ 11 分）如图 y 轴交于点 B ，其对称轴与 x 轴交于点 DBAC ＝60°， AD 平分∠ BAC 交⊙O 于点 D ，连接 OB 、OC 、BD 、CD点 A （﹣ 2， 0）与点 C （8，0）两点225．（ 13分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y ＝ax +bx ﹣4（a ≠0）的图象与 x 轴交于AB ．请问是否存在点 P ，使得△ BDP 的面积恰好等于△ ADB 的面积？若存在请求出此时点 P 的2）若点 P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中 m >0，n <0），连结 PB ，PD ，BD参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14 小题，每小题3分，共42 分）1．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D 、是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D ．222．解：把x＝0 代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0 中，得2﹣1＝0，解得k＝± 1，k∵k﹣1≠0，∴k≠ 1，∴ k＝﹣1 故选：B．3．解：设每年投资的增长率为x，根据题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每年投资的增长率为20%．故选：D ．4．解：① 圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④圆内接平行四边形是矩形；正确；正确的有2 个，故选：B．5．解：∵二次函数有最小值，∴＝﹣7 ，∴＝﹣7 ，故选：B．6．解：由图知，旋转中心P 的坐标为（1，2），7．解：根据图表，当x＝﹣2，y＝0，根据抛物线的对称形，当x＝3 时，y＝0，即抛物线与x 轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；∴抛物线的对称轴是直线x＝3﹣＝，根据表中数据得到抛物线的开口向下，∴当x＝时，函数有最大值，而不是x＝0，或1 对应的函数值6，并且在直线x＝的左侧，y随x 增大而增大．所以①③④ 正确，②错．故选：D ．8．解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ OAB＝∠ OBF ＝45°，OA＝OBBO⊥AC，即∠ AOE +∠EOB＝90°，又∵四边形A1B1C 1O 为正方形，∴∠ A1OC1＝90°，即∠BOF+∠ EOB＝90°，∴∠ AOE＝∠ BOF，在△ AOE 和△ BOF 中，∴△ AOE≌△ BOF （ASA），S两个正方形重叠部分＝S△ BOE+S△ BOF，又S△AOE＝S△BOF，∴S两个正方形重叠部分＝S△ABO＝＝1．故选：C．29．解：∵二次函数y＝x2+bx 的图象的对称轴是经过点（1，0）且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，则﹣＝1，解得：b＝﹣2，22∴x2﹣bx＝3 即为x2+2x＝3，则（x+3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1．故选：B．10．解：EF 的中点M，作MN⊥AD 于点M，取MN 上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ C＝∠ D＝90°，∴四边形CDMN 是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，2 2 2在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2＝OF 2 即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故选：B．11．解：∵PA、PB 分别切⊙O 于点A、B，CD 切⊙O 于点E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD ＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，即△PCD 的周长为12，故选：C．212．解：∵无论x为何值，y＝ax2+bx+c 恒为正，∴抛物线开口向上，抛物线与x 轴没有公共点，2∴ a> 0，△＝b2﹣4ac< 0．故选：A．13．解：∵ PA⊥PB ，∴∠ APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB 取得最小值，则PO 需取得最小值，连接OM，交⊙M 于点P′，当点P 位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M 作MQ⊥x 轴于点Q，∴ OM ＝5，又∵ MP′＝2，∴ OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6，故选：C．14．解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF 于M，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC，∠ ABC＝90°，∴ AC 是直径，AC＝AB，∴OE＝OF＝AB．∵△ EFG 是等边三角形，点O 是正三角形EFG 的外接圆圆心，× ＝2 ，∴ AB＝2 ，∴ AB＝4 ．即⊙O 的内接正方形ABCD 的边长为4．故选：C．二、填空题（共1大题，5 小题，每小题3分，共15分）15．解：当k＝0 时，原方程为﹣x+2＝0，解得：x＝2，∴k＝0 符合题意；当k≠0 时，有△＝[ ﹣（2k+1）]2﹣4k（k+2）≥ 0，解得：k≤ 且k≠0．综上：k 的取值范围是故答案为：k≤ ．16．解：① 、∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ADB ＝90°，∴AD⊥ BD，②、∵∠ AOC 是⊙O 的圆心角，∠ AEC 是⊙O 的圆内部的角，∴∠ AOC≠∠ AEC ，③、∵ OC∥BD ，∴∠ OCB＝∠ DBC ，∵OC＝OB，∴∠ OCB＝∠ OBC，∴∠ OBC＝∠ DBC ，× ＝2 ，∴BC 平分∠ ABD ，④、∵△ CEF 和△ BED 中，没有相等的边，∴△ CEF 与△ BED 不全等，故答案为：①③17．解：设三角形为△ ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，∴ AB＝＝＝17，设内切圆的半径为r ，则S△ABC＝（AB+BC+CA）?r，∴ AC?BC＝（AB+BC+CA）?r，即×8×15＝×（8+15+17 ）?r ，解得r ＝3，∴内切圆的直径是6 步，故答案为：6．18．解：∵△ ABC 绕点A 逆时针旋转40°到△ AED 的位置，∴ AC＝AD ，∠ CAD ＝40°，∴∠ ACD＝∠ ADC＝70°，∵DC∥ AB，∴∠ CAB＝∠ ACD ＝70°，故答案为：70 °．19．解：∵ y＝﹣x（x﹣2）（0≤ x≤2），2∴配方可得y＝﹣（x﹣1）2+1（0≤ x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1 坐标为（2，0）．∵C2由C1旋转得到，∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6 顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；C7 顶点坐标为（13，1），A7（14，0）；∴ m＝1．故答案为1．三、解答题（共6小题，共63 分）220．解：（1）整理得：y2﹣5＝20，即y2＝25，y＝± 5，所以y1＝5，y2＝﹣5；（2）方程整理为（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，x+4＝0 或x﹣1＝0，所以x1＝﹣4，x2＝1；（3）方程整理为x2﹣4x+4＝0，（x﹣2）2＝0，所以x1＝x2＝2．21．解：（1）连结OC ，AC，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，AP 是切线，∴∠ BAP＝90°，∠ ACP＝90°，∵点D 是AP 的中点，∴DC═ AP＝DA ，∴∠ DAC ＝∠ DCA ，又∵ OA ＝OC，∴∠ OAC＝∠ OCA，∴∠ OCD＝∠ OCA+∠DCA＝∠ OAC+∠DAC＝90°，即OC⊥ CD，∴ CD 是⊙O 的切线；（2）∵在Rt△ ABP 中，∠ P＝30°，∴∠ B＝60°，∴∠ AOC＝120°，∴OA＝1，BP＝2AB＝4，，∴＝．∴＝．22．解：设裁掉的正方形的边长为xdm由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）＝12即x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6（舍去）答：裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm2．24．证明：（1）连接OD ，∴∠ BOC＝120°，∵ AD 平分∠ BAC，∴ × 3×(﹣ ∴∠ BAD ＝∠ CAD ，∴，∴∠ BOD ＝∠ COD ＝ 60°，∵OB ＝ OD ＝OC ，∴△BOD 和△COD 都是等边三角形， ∴OB ＝ BD ＝DC ＝OC ，∴四边形 OBDC 是菱形；2）当∠ BAC 为 45 度时， 四边形 OBDC 是正方形，∴∠ BOC ＝ 90°，∴四边形 OBDC 是正方形．2）存在．∴抛物线的对称轴为直线 x ＝ 3， ∴D （3，0），∵S △PBD ＝S △POD +S △POB ﹣S △BOD ， S △ABD ＝ × 而△BDP 的面积恰好等于△ ADB 的面积，2m + m+4）+ ×4×m ﹣ ×3×4＝ 10， 整理得 3m 2﹣34m+80＝0，解得 m 1＝ ， m2＝8（舍去）， ∴ P 点坐标为（ ，﹣ ）．理由是：∵∠ BAC ＝ 45°，是： 25．解：（ 1）把 A （﹣ 2，0） 和 C （8， 0）代入 2 y ＝ ax +bx﹣ 4 得 ，解得 ∴抛物线的解析式为 y ＝ x 2﹣ x ﹣4； y ＝ x 2﹣ x ﹣4＝ (x ﹣ 3) 2﹣，2当 x ＝0 时，y ＝ x 2﹣ x ﹣4＝﹣ 4， 2 连接 OP ，如图，设 P （ m ， m 2﹣ 则 B （ 0， ﹣ 4 ），m ﹣4) 0<m <8），5×4＝ 10，。
2019-2020学年山东省临沂市八年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年山东省临沂市八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共14小题每小题3分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上. 1．下列交通标志是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7B．7或9C．7D．93．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（）A．两点之间的线段最短B．两点确定一条直线C．三角形具有稳定性D．长方形的四个角都是直角4．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）A．10°B．15°C．25°D．30°5．下列结论正确的是（）A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等C．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等D．两个等边三角形全等6．能使两个直角三角形全等的条件是（）A．两直角边对应相等B．一锐角对应相等C．两锐角对应相等D．斜边相等7．多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（）A．7条B．8条C．9条D．10条8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A＝50°，那么∠1+∠2的大小为（）A．130°B．180°C．230°D．260°9．三角形中，到三边距离相等的点是（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠CDB′等于（）A．40°B．60°C．70°D．80°11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是（）A．15°B．20°C．25°D．30°12．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°13．已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个14．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（）秒时．△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）15．点P（1，2）关于x轴的对称点P1的坐标为．16．如图，AB、CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是．17．若n边形的每一个外角都是72°，则边数n为．18．如图所示，△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点E，若△ABC的周长为10，BC＝4，则△ACE的周长是．19．已知等腰三角形的周长为20，底长为x，则x的取值范围是．20．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于°．21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC＝∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S＝AC•BD．正确的是（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共5小题共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，DB＝DC，求证：△ABD≌△EDC．23．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是高，AE是角平分线，求∠EAD的度数．24．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）求出△ABC的面积；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（3）写出点A1，B1，C1的坐标．25．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．26．已知点O是等腰直角三角形ABC斜边上的中点，AB＝BC，E是AC上一点，连结EB．（1）如图1，若点E在线段AC上，过点A作AM⊥BE，垂足为M，交BO于点F．求证：OE＝OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交OB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．2019-2020学年山东省临沂市费县八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题每小题3分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上. 1．下列交通标志是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故正确；D、不是轴对称图形，故错误．故选：C．2．一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7B．7或9C．7D．9【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于8﹣3＝5，而小于两边之和8+3＝11．又第三边应是奇数，则第三边等于7或9．故选：B．3．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（）A．两点之间的线段最短B．两点确定一条直线C．三角形具有稳定性D．长方形的四个角都是直角【解答】解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：C．4．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）A．10°B．15°C．25°D．30°【解答】解：∵∠B＝45°，∴∠BAC＝45°，∴∠EAF＝135°，∴∠AFD＝135°+30°＝165°，∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝15°故选：B．5．下列结论正确的是（）A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等C．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等D．两个等边三角形全等【解答】解：A、有两个锐角相等的两个直角三角形，边不一定相等，有可能是相似形，故选项错误；B、一条斜边对应相等的两个直角三角形，只有两个元素对应相等，不能判断全等，故选项错误；C、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，确定了顶角及底边，即两个等腰三角形确定了，可判定全等，故选项正确；D、两个等边三角形，三个角对应相等，但边长不一定相等，故选项错误．故选：C．6．能使两个直角三角形全等的条件是（）A．两直角边对应相等B．一锐角对应相等C．两锐角对应相等D．斜边相等【解答】解：根据全等的条件发现只有两直角边对应相等时，利用SAS可得到两个直角三角形全等．故选：A．7．多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（）A．7条B．8条C．9条D．10条【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，∴每个外角是30°，∴多边形边数是360°÷30°＝12，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12﹣3＝9条．故选：C．8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A＝50°，那么∠1+∠2的大小为（）A．130°B．180°C．230°D．260°【解答】解：∵∠1＝∠A+∠ADE，∠2＝∠A+∠AED，∴∠1+∠2＝∠A+∠ADE+∠A+∠AED＝∠A+（∠ADE+∠A+∠AED）＝50°+180°＝230°．故选：C．9．三角形中，到三边距离相等的点是（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点【解答】解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：C．10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠CDB′等于（）A．40°B．60°C．70°D．80°【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠ABC＝90°﹣25°＝65°．∵△B′CD由△BCD翻折而成，∴∠BCD＝∠B′CD＝×90°＝45°，∠CB′D＝∠CBD＝65°，∴∠CDB′＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°，∵AD是BC边上的高，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°．故选：B．12．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°【解答】解：∵CD＝AC，∠A＝50°，∴∠ADC＝∠A＝50°，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B，∴∠B＝∠ADC＝25°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故选：D．13．已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：①若添加的条件为AB＝AC，由∠A＝60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；②若添加条件为∠B＝∠C，又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为等边三角形；③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：已知：∠BAC＝60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE＝CD，求证：△ABC为等边三角形．证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AEC＝90°，在Rt△ADC和Rt△CEA中，，∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），∴∠ACE＝∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，综上，正确的说法有3个．故选：A．14．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（）秒时．△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【解答】解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝2，所以t＝1，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝16﹣2t＝2，解得t＝7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选：C．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）15．点P（1，2）关于x轴的对称点P1的坐标为（1，﹣2）．【解答】解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数∴点P（1，2）关于x轴的对称点P1的坐标为（1，﹣2）．故答案为：（1，﹣2）．16．如图，AB、CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是∠A＝∠C或∠ADO＝∠CBO．【解答】解：添加条件可以是：∠A＝∠C或∠ADC＝∠ABC．∵添加∠A＝∠C根据AAS判定△AOD≌△COB，添加∠ADC＝∠ABC根据ASA判定△AOD≌△COB，故填空答案：∠A＝∠C或∠ADC＝∠ABC．17．若n边形的每一个外角都是72°，则边数n为5．【解答】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴此多边形是正多边形，360°÷72°＝5，所以，它的边数是5．故答案为：5．18．如图所示，△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点E，若△ABC的周长为10，BC＝4，则△ACE的周长是6．【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点E，∴BE＝CE，∵△ABC的周长为10，BC＝4，∴△ACE的周长是：AE+CE+AC＝AE+BE+AC＝AB+AC＝AB+AC+BC﹣BC＝10﹣4＝6．故答案为：6．19．已知等腰三角形的周长为20，底长为x，则x的取值范围是0＜x＜10．【解答】解：根据三角形的三边关系，x＜（20﹣x），解得x＜10，∴x的取值范围是0＜x＜10．故答案为：0＜x＜10．20．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于45°．【解答】解：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝15°，∴∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠ECD＝∠A+∠CDB＝15°+30°＝45°，故答案为45．21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC＝∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S＝AC•BD．正确的是①④（填写所有正确结论的序号）【解答】解：①在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC＝∠ADC，故①结论正确；②∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，∵AB＝AD，∴OB＝OD，AC⊥BD，而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，故②结论不正确；③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；故③结论不正确；④∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S＝S△ABD+S△BCD＝BD•AO+BD•CO＝BD•（AO+CO）＝AC •BD．故④结论正确；所以正确的有：①④；故答案为：①④．三、解答题（本大题共5小题共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，DB＝DC，求证：△ABD≌△EDC．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC，在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（ASA）．23．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是高，AE是角平分线，求∠EAD的度数．【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵AE是角平分线，∴∠BAE＝30°∵AD是高，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10．24．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）求出△ABC的面积；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（3）写出点A1，B1，C1的坐标．【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积：×3×5＝7.5；（2）如图所示：（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．25．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．∴CF＝EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE．在Rt△ADC与Rt△ADE中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．26．已知点O是等腰直角三角形ABC斜边上的中点，AB＝BC，E是AC上一点，连结EB．（1）如图1，若点E在线段AC上，过点A作AM⊥BE，垂足为M，交BO于点F．求证：OE＝OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交OB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．【解答】（1）证明：∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°又点O是AC边上的中点，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，∠ABO＝∠CBO＝45°∴∠BAC＝∠ABO，∴OB＝OA，又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO，∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF；（2）OE＝OF成立；∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°又点O是AC边上的中点，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，∠ABO＝∠CBO＝45°∴∠BAC＝∠ABO，∴OB＝OA，又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF＝90°＝∠B+∠OBE，又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E，∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF。
高三试卷数学-山东省临沂市2023届高三上学期期中考试数学试卷及参考答案
临沂市高三教学质量检测考试数㊀学注意事项：１．答卷前，考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上㊂２．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑㊂如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号㊂回答非选择题时，将答案写在答题卡上㊂写在本试卷上无效㊂３．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回㊂一㊁选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．设集合Ａ＝｛ｘ｜３－ｘ＜２｝，Ｂ＝｛１，２，４，５｝，则Ｂɘ∁ＲＡ＝Ａ．｛１｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．｛１，２｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｃ．｛１，２，４｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｄ．｛４，５｝２．若ｚ＝５ｉｉ－２，则ｚ＝Ａ．２＋ｉＢ．－２＋ｉＣ．１＋２ｉＤ．１－２ｉ３．若扇形的弧长与面积都是６，则这个扇形的圆心角的弧度数是Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５４．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行 阶梯水价 ．计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过１２ｍ３４元／ｍ３超过１２ｍ３但不超过１８ｍ３６元／ｍ３超过１８ｍ３８元／ｍ３若某户居民上月交纳的水费为６６元，则该户居民上月用水量为Ａ．１３ｍ３Ｂ．１４ｍ３Ｃ．１５ｍ３Ｄ．１６ｍ３５．已知ｐ：ｘ２＋ｘ－２＞０，ｑ：ｘ＞ａ，若ｐ是ｑ的必要不充分条件，则Ａ．ａȡ１Ｂ．ａɤ１Ｃ．ａȡ－２Ｄ．ａɤ－２６．已知向量ＯＡң＝（１，７），ＯＢң＝（５，１），ＯＭң＝（２，１），若点Ｐ是直线ＯＭ上的一个动点，则ＰＡң㊃ＰＢң的最小值为Ａ．－４Ｂ．－６Ｃ．－８Ｄ．－１０㊀７．已知ａ＝５４ｌｎ５４，ｂ＝１４，ｃ＝２ｌｎ（ｓｉｎ１８＋ｃｏｓ１８），则Ａ．ｂ＜ｃ＜ａＢ．ａ＜ｃ＜ｂＣ．ｃ＜ａ＜ｂＤ．ｃ＜ｂ＜ａ８．函数ｆ（ｘ）是定义在（０，＋ɕ）上的单调函数，且对定义域内的任意ｘ，均有ｆ（ｆ（ｘ）－ｌｎｘ－ｘ）＝２，则ｆ（ｅ）＝Ａ．ｅ＋１Ｂ．ｅ＋２Ｃ．ｅ２＋１Ｄ．ｅ２＋２二㊁选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．９．欧拉公式ｅｘｉ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ（其中ｉ为虚数单位，ｘɪＲ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则Ａ．ｅπｉ＝１Ｂ．ｅπｉ２为纯虚数Ｃ．ｅｘｉ３＋ｉ＝１２Ｄ．复数ｅ２ｉ对应的点位于第三象限１０．函数ｆ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０，０＜φ＜π）的部分图象如图所示，则Ａ．ω＋φ＝π２Ｂ．ｆ（－２）＝－２２Ｃ．ｆ（ｘ）的图象关于点（２０２２，０）对称Ｄ．ｆ（２ｘ）在［３，４］上单调递增１１．南宋数学家杨辉所著的‘详解九章算法㊃商功“中出现了如图所示的形状，后人称之为 三角垛 ． 三角垛 最上层有１个球，第二层有３个球，第三层有６个球， ，以此类推．设从上到下各层球数构成一个数列｛ａｎ｝，则Ａ．ａ４＝９Ｂ．ａｎ＋１－ａｎ＝ｎ＋１Ｃ．ａ１０＝５５Ｄ．ðｎｉ＝１１ａｉ＝２ｎｎ＋１１２．若ａ＞ｂ＞０，且ａ＋ｂ＝１，则Ａ．ａｌｎｂ＞ｂｌｎａＢ．２ａ＋ａｂȡ２＋２２Ｃ．（ａ２＋１）（ｂ２＋１）＜３２Ｄ．ａ２ａ＋２＋ｂ２ｂ＋１ȡ１４三㊁填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．已知向量ａ在ｂ方向上的投影向量是－２ｅ（ｅ是与ｂ同方向的单位向量），｜ｂ｜＝３，则ａ㊃ｂ＝㊀㊀㊀㊀．１４．已知ｔａｎ（π８－α）＝２３，则ｓｉｎ（π４＋２α）＝㊀㊀㊀㊀．１５．设函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ１２（－ｘ）－１，ｘ＜０ｌｏｇ２ｘ＋１，ｘ＞０{，若ｆ（ａ）＞ｆ（－ａ），则ａ的取值范围是㊀㊀㊀㊀．１６．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，某摩天轮最高点距离地面高度１２８米，转盘直径为１２０米，设置有４８个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要３０分钟．若游客甲坐上摩天轮的座舱，开始旋转ｔ分钟后距离地面的高度为ｈ米，则ｈ关于ｔ的函数解析式为㊀㊀㊀㊀㊀㊀；若游客甲在ｔ１，ｔ２时刻距离地面的高度相等，则ｔ１＋ｔ２的最小值为㊀㊀㊀㊀．四㊁解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１７．（１０分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象过点（０，２），且满足ｆ（－１）＝ｆ（３）．（１）求ｆ（ｘ）的解析式；（２）解关于ｘ的不等式ｆ（ｘ）＜（２ａ－２）ｘ．１８．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ４ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ－ｓｉｎ４ｘ．（１）求ｆ（ｘ）的最小正周期；（２）将ｆ（ｘ）的图象向右平移π４个单位，得到函数ｇ（ｘ）的图象，若ｇ（ｘ）在［０，ｍ］上的最小值为ｇ（０），求ｍ的最大值．１９．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｅｘ＋ｂｓｉｎｘ－２ｘ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，ｆ（０））处的切线为ｙ＝１．（１）求ａ，ｂ；（２）求ｆ（ｘ）的最小值．㊀２０．（１２分）已知正项数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ，且ａｎ＋１ａｎ＝２Ｓｎ．（１）证明：数列｛Ｓｎ２｝为等差数列；（２）记Ｔｎ＝１Ｓ１＋１Ｓ２＋１Ｓ３＋ ＋１Ｓｎ，证明Ｔｎ＜２ｎ．２１．（１２分）әＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ｃｏｓＡ＝７８，ＡＣ＞ＡＢ．（１）若ＡＢң㊃ＢＣң＝１２，求ＢＣ；（２）若ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝１４，求әＡＢＣ的面积．２２．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘｘ和ｇ（ｘ）＝ａｘｅｘ有相同的最大值．（１）求ａ，并说明函数ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）在（１，ｅ）上有且仅有一个零点；（２）证明：存在直线ｙ＝ｂ，其与两条曲线ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝ｇ（ｘ）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．临沂市高三教学质量检测考试数学试题参考答案及评分标准２０２２．１１说明：一㊁本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分．二㊁当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．三㊁解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四㊁只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一㊁选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．Ｄ㊀２．Ｃ㊀３．Ｂ㊀４．Ｃ㊀５．Ａ㊀６．Ｃ㊀７．Ｄ㊀８．Ｂ㊀二㊁选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．９．ＢＣ㊀１０．ＡＢＤ㊀１１．ＢＣＤ㊀１２．ＢＤ㊀三㊁填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．－６㊀１４．５１３㊀１５．（－１２，０）ɣ（１２，＋ɕ）㊀１６．ｈ（ｔ）＝６０ｓｉｎ（π１５ｔ－π２）＋６８，ｔɪ［０，＋ɕ）㊀３０（第一空３分，第二空２分）四㊁解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１７．（１０分）解：（１）ȵｆ（ｘ）的图象过点（０，２），即ｆ（０）＝２，ʑｃ＝２．１分又ｆ（－１）＝ｆ（３），ʑｆ（ｘ）图象的对称轴为ｘ＝－１＋３２＝１，２分 ʑ－ｂ２＝１，ʑｂ＝－２．４分故ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ＋２．５分 （２）不等式ｆ（ｘ）＜（２ａ－２）ｘ，可化为ｘ２－２ａｘ＋２＜０．６分①当Δ＝４ａ２－８ɤ０，即－２ɤａɤ２时，不等式ｘ２－２ａｘ＋２ȡ０恒成立，此时不等式ｘ２－２ａｘ＋２＜０的解集为Ø．７分 ②当Δ＝４ａ２－８＞０，即ａ＜－２或ａ＞２时，㊀方程ｘ２－２ａｘ＋２＝０有两个根为ｘ１＝ａ－ａ２－２，ｘ２＝ａ＋ａ２－２，８分此时不等式ｘ－２ａｘ＋２＜０的解集为｛ｘ｜ａ－ａ２－２＜ｘ＜ａ＋ａ２－２｝．９分综上，当－２ɤａɤ２时，不等式的解集为Ø；当ａ＜－２或ａ＞２时，不等式的解集为｛ｘ｜ａ－ａ２－２＜ｘ＜ａ＋ａ２－２｝．１０分１８．（１２分）解：（１）ｆ（ｘ）＝（ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ）（ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ）＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ２分＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π４）４分ʑ最小正周期Ｔ＝２π２＝π．５分（２）ｇ（ｘ）＝２ｓｉｎ［２（ｘ－π４）＋π４］，７分即ｇ（ｘ）＝２ｓｉｎ（２ｘ－π４），８分ȵ０ɤｘɤｍ，ʑ－π４ɤ２ｘ－π４ɤ２ｍ－π４．９分由ｇ（ｘ）在［０，ｍ］上最小值为ｇ（０），ʑ２ｍ－π４ɤ５π４．ʑｍɤ３π４．１０分ʑ０＜ｍɤ３π４．１１分即ｍ的最大值为３π４．１２分１９．（１２分）解：（１）由已知：ｆᶄ（ｘ）＝ａｅｘ＋ｂｃｏｓｘ－２，１分ȵ曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，ｆ（０））处的切线方程为ｙ＝１，ʑｆ（０）＝１，ｆᶄ（０）＝０，{即ａ＝１，ａ＋ｂ－２＝０，{ʑａ＝１，ｂ＝１．{５分（２）由（１）知，ｆᶄ（ｘ）＝ｅｘ＋ｃｏｓｘ－２，６分当ｘ＜０时，ȵｅｘ＜１，ｃｏｓｘ＜１，ʑｆᶄ（ｘ）ɤ０，ʑｆ（ｘ）单调递减．８分当ｘ＞０时，令ｇ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ），则ｇᶄ（ｘ）＝ｅｘ－ｓｉｎｘ，ȵｅｘ＞１，ｓｉｎｘɤ１ʑｇᶄ（ｘ）＞０，ʑｆᶄ（ｘ）单调递增，ʑｆᶄ（ｘ）＞ｆᶄ（０）＝０．１０分ʑ当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）单调递增．１１分ʑｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（０）＝１．ʑｆ（ｘ）的最小值为１．１２分２０．（１２分）解：（１）证明：ȵａｎ＋１ａｎ＝２Ｓｎ，ʑ当ｎȡ２时，Ｓｎ－Ｓｎ－１＋１Ｓｎ－Ｓｎ－１＝２Ｓｎ，１分ʑ１Ｓｎ－Ｓｎ－１＝Ｓｎ＋Ｓｎ－１），ʑＳｎ２－Ｓｎ－１２＝１．３分当ｎ＝１时，ａ１＋１ａ１＝２ａ１，ʑａ１２＝１，即Ｓ１２＝１，４分 故｛Ｓｎ２｝是首项为１，公差为１的等差数列，５分 （２）证明：由（１）知Ｓｎ２＝ｎ，Ｓｎ＝ｎ；７分 １Ｓｎ＝１ｎ＝２２ｎ＜２ｎ＋ｎ－１＝２（ｎ－ｎ－１），９分 ʑＴｎ＝１Ｓ１＋１Ｓ２＋１Ｓ３＋ ＋１Ｓｎ＜２（１－０＋２－１＋３－２＋ ＋ｎ－ｎ－１）＝２ｎ．１１分 即Ｔｎ＜２ｎ．１２分２１．（１２分）解：（１）ȵＡＢң㊃ＢＣң＝ＡＢң㊃（ＡＣң－ＡＢң）＝ＡＢң㊃ＡＣң－｜ＡＢң｜２１分＝｜ＡＢң｜㊃｜ＡＣң｜㊃ｃｏｓＡ－４２＝４ˑＡＣˑ７８－１６＝７２ＡＣ－１６，２分 由７２ＡＣ－１６＝１２，得ＡＣ＝８．３分 ʑＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２ＡＢ㊃ＡＣｃｏｓＡ＝２４，４分 ʑＢＣ＝２６．５分 （２）法一：ȵｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝１４，ʑπ３＜Ｂ－Ｃ＜π２，２π３＜２（Ｂ－Ｃ）＜π，６分又ｃｏｓ２（Ｂ－Ｃ）＝２ｃｏｓ２（Ｂ－Ｃ）－１＝－７８，又ｃｏｓＡ＝７８，０＜Ａ＜π３，ʑ２（Ｂ－Ｃ）＝π－Ａ，㊀ʑ２（Ｂ－Ｃ）＝Ｂ＋Ｃ，ʑＢ＝３Ｃ，７分ʑＡ＝π－４Ｃ，ʑｃｏｓＡ＝ｃｏｓ（π－４Ｃ）＝７８，ʑｃｏｓ４Ｃ＝－７８，ʑ２ｃｏｓ２２Ｃ－１＝－７８，８分ʑｃｏｓ２Ｃ＝１４，ʑ１－２ｓｉｎ２Ｃ＝１４，ʑｓｉｎＣ＝６４，９分由正弦定理得，ＡＢｓｉｎＣ＝ＢＣｓｉｎＡ，又ｓｉｎＡ＝１－ｃｏｓ２Ａ＝１５８，ＡＢ＝４，ʑＢＣ＝４ˑ１５８ˑ４６＝１０，１０分又ｓｉｎ２Ｃ＝１５４，ｃｏｓＣ＝１０４，ʑｓｉｎＢ＝ｓｉｎ３Ｃ＝ｓｉｎ（Ｃ＋２Ｃ）＝ｓｉｎＣｃｏｓ２Ｃ＋ｃｏｓＣｓｉｎ２Ｃ＝６４ˑ１４＋１０４ˑ１５４＝３６８，１１分ʑＳәＡＢＣ＝１２ＡＢ㊃ＢＣｓｉｎＢ＝１２ˑ４ˑ１０ˑ３６８＝３１５２．１２分法二：在ＡＣ上取点Ｄ，使得øＣＢＤ＝øＣ，ȵｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝１４，ʑｃｏｓøＡＢＤ＝１４，６分ʑｓｉｎøＡＢＤ＝１－ｃｏｓ２øＡＢＤ＝１５４，又ｓｉｎＡ＝１－ｃｏｓ２Ａ＝１５８，７分ʑｃｏｓøＡＤＢ＝ｃｏｓ［π－（øＡ＋øＡＢＤ）］＝－ｃｏｓ（øＡ＋øＡＢＤ）＝ｓｉｎＡ㊃ｓｉｎøＡＢＤ－ｃｏｓＡｃｏｓøＡＢＤ＝１５８ˑ１５４－７８ˑ１４＝１４，８分ʑｃｏｓøＡＤＢ＝ｃｏｓøＡＢＤ，ʑøＡＤＢ＝øＡＢＤ．ʑＡＤ＝ＡＢ＝４．９分 又ＢＤ２＝ＡＢ２＋ＡＤ２－２ＡＢ㊃ＡＤ㊃ｃｏｓＡ＝１６＋１６－２ˑ４ˑ４ˑ７８＝４，ʑＢＤ＝２，１０分 ʑＤＣ＝ＢＤ＝２，ＡＣ＝ＡＤ＋ＤＣ＝６，１１分 ʑＳәＡＢＣ＝１２ＡＢ㊃ＡＣ㊃ｓｉｎＡ＝１２ˑ４ˑ６ˑ１５８＝３１５２．１２分２２．（１２分）解：（１）ｆᶄ（ｘ）＝１－ｌｎｘｘ２，１分 当ｘɪ（０，ｅ）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增；当ｘɪ（ｅ，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，ʑｘ＝ｅ时，ｆ（ｘ）取得最大值．即ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（ｅ）＝１ｅ．２分 ｇᶄ（ｘ）＝ａ（１－ｘ）ｅｘ，当ａ＞０时，ｘɪ（－ɕ，１）时，ｇᶄ（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增；ｘɪ（１，＋ɕ）时，ｇᶄ（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减，ʑｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（１）＝ａｅ．３分 当ａ＝０时，ｇ（ｘ）＝０，不合题意；当ａ＜０时，可知ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（１），不合题意．故ａｅ＝１ｅ，即ａ＝１．４分 ʑｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ｌｎｘｘ－ｘｅｘ．５分 ȵｈᶄ（ｘ）＝１－ｌｎｘｘ２－１－ｘｅｘ，当１＜ｘ＜ｅ时，１－ｌｎｘ＞０，１－ｘ＜０，ʑｈᶄ（ｘ）＞０，ʑｈ（ｘ）在［１，ｅ］上单调递增，又ｈ（１）＝－１ｅ＜０，ｈ（ｅ）＝１ｅ－ｅｅｅ＝１ｅ－１ｅｅ－１＝ｅｅ－１－ｅｅｅ＞０，ʑｈ（ｘ）在（１，ｅ）上有且仅有一个零点．６分（２）由（１）知，ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｇ（ｘ）的图象大致如下图：㊀７分直线ｙ＝ｂ与曲线ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｇ（ｘ）三个交点的横坐标从左至右依次为ｘ１，ｘ２，ｘ３，且０＜ｘ１＜１＜ｘ２＜ｅ＜ｘ３，８分 ʑ０＜ｌｎｘ２＜１＜ｌｎｘ３且ｌｎｘ３ｘ３＝ｌｎｘ２ｘ２＝ｘ１ｅｘ１＝ｂ．９分 由ｘ１ｅｘ１＝ｌｎｘ２ｘ２＝ｌｎｘ２ｅｌｎｘ２即ｇ（ｘ１）＝ｇ（ｌｎｘ２），ｘ１，ｌｎｘ２ɪ（０，１），ʑｘ１＝ｌｎｘ２即ｘ２＝ｅｘ１．① １０分 由ｘ２ｅｘ２＝ｌｎｘ３ｘ３＝ｌｎｘ３ｅｌｎｘ３即ｇ（ｘ２）＝ｇ（ｌｎｘ３），ʑｘ２＝ｌｎｘ３．② １１分 由①，②，ｘ２２＝ｅｘ１ｌｎｘ３，又ｌｎｘ３ｘ３＝ｘ１ｅｘ１即ｅｘ１ｌｎｘ３＝ｘ１ｘ３，ʑｘ２２＝ｘ１ｘ３．１２分。