(完整)高等量子力学习题汇总,推荐文档
高等量子力学习题
高等量子力学习题† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。
7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π-=。
8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。
† 角动量理论1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。
2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
3、 定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。
4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。
5、 设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。
6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：11332222221133111122332233221111212)1(1212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=7、 已知在3ˆs表象中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ1 s ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=002ˆ2i i s ，问在1ˆs 表象中2ˆs 的矩阵表示是怎样的？ 8、 已知∑>>>=113322112211|||m m m j m j m j m j m j Cjm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。
高等量子力学-习题及答案 ch02
第二章量子力学测量问题一、从不同角度，量子测量有不同分类，常见的分类有哪些。
(1)一般测量、投影测量和POVM；(2)直接测量和间接测量；(3)完全测量与不完全测量。
二、理想测量的三个基本要求是什么。
(1)当t=0，即探测体和被测系统相互作用之前，探测体制备在量子态ρp，同时量子客体制备在ρ0态。
(2)使用仪器测量之前，量子客体和探测体在t=0时开始相互作用，在t=τ>0时结束作用。
(3)此方法的第三步是，一个经典仪器及在探测体上的测量可以用冯·诺依曼投影假设的理想测量描述。
三、什么叫标准量子极限，标准量子极限可以逾越吗？其中，叫作标准量子极限。
标准量子极限可以逾越吗?答案是肯定的。
在得到这个极限时用了不确定关系，但是二者是不相同的。
标准量子极限的具体数值依赖于量子态，与如何测量有关，而不确定关系是底线。
那么，在遵守不确定性原理的前提下如何使测量精度超越标准量子极限呢?目前有两种思路：一种是以牺牲共轭量一方为代价，去求得另一方的超精度测量，这即是压缩态的思想；另一种就是量子非破坏性测量(QuantumNon-DemolitionMeasurement，QND测量)。
四、什么是量子Zeno效应，在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统，请简单描述。
量子Zeno效应是纯量子测量效应。
理论和实验都已经表明，频繁的测量能阻止不稳定量子系统的衰变或跃迁。
极端而言，连续进行的量子测量将使不稳定的量子系统稳定地保持在其初态上，这种不稳定初态的存活概率在连续测量下将成为百分之百，这就是量子Zeno 效应。
这种在古代哲学中提到的“飞矢不动”的佯谬，在量子系统中真的可以实现。
在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统。
其一，它可以影响被测量的可观测值的期望值的演化。
这被称为“动力学反作用”，这种影响是可以预测的。
其二，测量设备以随机的方式扰动这个可观测量，增加它们的不确定性，从而造成对期.望值的随机偏离。
高等量子力学练习题及答案解析
练习28.1 证明: ()[]()t G t G -=-++00证明: 根据公式(28.4)()()()00H t t ie t t it t G '--±'±='-θ可知()()00tH ie t it G-+-=θ()()()00H t i e t i t G ---+=-θ则()[]()()000tH i tH i e t ie t i t G θθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-++()()()t G e t i H t i-==---00θ #28.2证明下列二式成立：()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't t VG ''t t G 't t G 't t G 00()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't ''t VG ''t t G 't t G 't t G 00证明：因为：()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i00又因为：()()()()E VG E G E G E G 00±±±±+=即有()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G dE e E VG E G 21't t G dE e E VG E G 21dE e E G 21dE e E VG E G E G 21dE e E G 21't t G '00't t E i00't t E i 0't t E i 0't t E i00't t E i00--+-=π+-=π+π=+π=π=-±∞+∞-±±∞+∞---±±±∞+∞---±±∞+∞---±∞+∞---±±±∞+∞---±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为()()()()()()()E VG E G E G E VG E G E G E G 0000±±±±±±±+=+=同理可证得()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '00--+-=-±+∞∞-±±±⎰综上所述()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G ''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '0'00--+-=---+-=-±∞+∞-±±±±+∞∞-±±±⎰⎰两式成立。
高等量子力学试题库
高等量子力学试题库一、简述题1. (§1.4)试以一维线性谐振子基函数所构成的空间为例，说明一般矢量空间的维数与位形空间维数的区别 2. (§2.4)试述幺正算符的性质 3. (§3.2)试述本征子空间的概念 4. (§3.3)试述厄米算符完备组的概念和建立厄米算符完备组的必要性 5. (§6.2)试述量子力学的基本原理 6. (§11)试述相互作用绘景与薛定谔绘景、海森伯绘景的区别和联系7. (§17.2)设氢原子的定态狄拉克方程为 ψψβαE r e mc P c =-+⋅)ˆ(212 ，为求氢原子哈密顿算符Hˆ 确切的本征矢量，试确定包含Hˆ在内的厄米算符完备组 8. (§19)若系统的哈密顿具有下列对称性（1）空间反演（2）空间平移（3）空间转动（4）SO(4)（5）时间平移，试分别给出这些对称性所带来的守恒量9. (§21.2)对于 Fermi 子，试讨论由时间反演引起的简并。
（提示：参阅曾书335页） 10. (§23)试述角动量耦合与3j ，6j 和9j 符号之间的关系11. (§23.7)对具有两个价电子的原子，设两电子的轨道和自旋角动量分别为21,L L 和21,S S，试在希尔伯特空间中给出两组可能的耦合基矢 12. (§34.4)试给出位置表象中的Hartree-Fock 方程并叙述其物理意义 二、证明题1. (§1.1)利用矢量空间的加法运算法则证明零矢量是唯一的2. (§1.1)利用矢量空间的数乘运算法则证明：若0=a ψ，则0=a 或0=ψ3. (§1.2)对于任意ψ和ϕ，试证：ϕψϕψ+≤+4. (§1.5)试证明：若三个右矢ψ、ϕ和χ满足χϕψ=+，则有χϕψ=+5. (§2.3)证明定理：在复矢量空间中，若算符A 对其定义域中的任意ψ满足0=ψψA ，则必有0=A6. (§2.4)证明定理：算符H 为厄米算符的充要条件是对其定义域中的所有矢量ψ满足=ψψH 实数7. (§2.4)证明：若I U U =+，则对任意ψ和ϕ，U 满足ϕψϕψ=U U ，进而证明，幺正变换不改变矢量的模8. (§2.4)设U 是幺正算符，试证明：在矢量空间中，若{}iν是一组基矢，则{iU ν也是一组基矢9. (§2.5)证明投影算符是厄米算符，并由全空间的投影算符证明基矢的完全性关系 10. (§3.1)证明：复空间中厄米算符的本征值都是实数11. (§3.1)证明：厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量互相正交12. (§3.1)证明：若B A ,两算符相似，则二者有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度 13. (§6.6)设i a 是算符A 属于本征值i a 的本征函数，即满足i i i a a a A =，且定义物理量在状态ψ中的平均值为ψψA A =。
高等量子力学-习题及答案 ch01
第一章量子力学基本概念和一般理论
一、量子态矢量的定义是什么。
描述微观粒子状态的态矢量ψ等符号代表一个复矢量，而y+是y的厄密共轭矢量或称“对偶矢量"。
用狄拉克符号记为|ψ>，表示波函数ψ的右矢；<ψ|表示左矢。
右矢和左矢是互相独立的，但存在如下关系：。
二、请简述线性算符的运算规则和性质。
(6)若由方程能够唯一地解出|ψ>，则可定义算符A的逆算符
，于是A'满足
(7)若，则U称为幺正算符。
(8)，表示算符A的函数。
三、幺正变换的基本性质有哪些。
幺正变换具有许多非常有意义的性质。
(1)幺正变换下两个态矢量的内积不变。
(2)幺正变换下算符方程的形式不变。
(3)幺正变换下力学量算符对应的平均值保持不变。
(4)幺正变换下算符的行列式不变。
(5)幺正变换下算符的本征值谱不变。
(6)幺正变换下算符的迹不变。
(7)利用上述性质(6)可以给出指数算符函数的一一个有用公式。
(8)可以证明，若算符R是厄米算符，即R=R+，则由它所生成的算符
四、时间演化算符U(t，t0)的基本性质有哪些。
1.初始条件
2.幺正性
3.因子化特性
4.时间反演特性
5.薛定谔绘景中的动力学方程
五、矢量空间中的如下运算规则有哪些。
六、什么叫密度矩阵？
如果采用一个具体表象，例如，F表象(分立情形，)，则与量子态|ψ>相应的密度算符可表示成如下矩阵形式，称为密度矩阵。
七、请列举混合态密度算符的性质。
高等量子力学习题1
k ijk j i S i S S ε=],[2322212S SS S ++=>>=+0|)(!1|n b n n ⎰=++-x x x x e e d ****2φφφφπφ高等量子力学第一章习题：1、 两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。
在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符：试证明它们满足如下对易和反对易关系： ij j i S S δ2},{2=+ 并求出两个态矢量 |+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符 的表达式2、 二能级系统的哈密顿算符一般可表达为：H ＝a|1><1| + b|2><2| + c|1><2| + d|2><1|其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。
问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。
3、 已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式<x|n>。
4、 设某系统的哈密顿算符为: H(t)=a 1(t)J ++a 2(t) J 0+a 3(t) J －其中a i (t),i=1 , 2 , 3为任意时间t 的函数，J + , J 0 , J －为SU(1,1)群的生成元，其满足下述对易关系: [J + , J －]=－2 J 0 , [J 0 , J ±]=±J ±试证明该系统的时间演化算符可表示为:U(t,0)=exp[C 1(t)J +]exp[C 2(t)J 0]exp[C 3(t)J －] , 并导出确定C i (t)的方程.。
5、 已知算符b 和b +的对易关系为[b , b +]=1,在 b + b 对角表象的本征态矢量为且基态满足b|0>=0, 引入算符b 的本征态b|z>=z|z>试求归一化态矢量|z>在b + b 对角表象的表示式,由基矢量组|z>构成的表象称作为相干态表象，试求态矢量|n>在相干态表象的波函数6、 题的已知条件与题5相同，并可利用题5的结果，试证明：（i ）相干态表象的基矢量不具有正交性，并说明其原因。
量子力学经典八十题(推荐版本)【含答案】
ψ
nxnynz
(x,
y,
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩0
8 abc ,
sin
nxπx a
sin
nyπ b
y
sin
nzπ c
z
, 0 < x < a,0 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
n = 1, 2,3,""
9. 粒子在一维 δ 势阱
V (x) = −γ δ (x) (γ > 0)
中运动，波函数为ψ (x) ，写出ψ ′(x) 的跃变条件。
8. 写出三维无限深势阱
V (x,
y, z)
=
⎧0 , 0 < x < a , 0 ⎩⎨∞ , 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
1
量子力学复习题答案（安徽大学）
中粒子的能级和波函数。
解：能量本征值和本征波函数为
+ + Enxnynz
=
= 2π 2 2m
⎜⎛ ⎜⎝
n
2 x
a2
n
2 y
b2
n
2 z
⎟⎞
c 2 ⎟⎠
∑ ψ (x) = cnψ n (x) ， n
写出展开式系数 cn 的表达式。
解：
∫ cn = (ψ n (x) ,ψ (x)) =
ψ
* n
(
x)ψ
(
x)
dx
。
29.
一个电子运动的旋量波函数为
(完整)高等量子力学习题汇总,推荐文档
第一章1、简述量子力学基本原理。
答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。
QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert空间内的厄米算符(Aˆ)；2、物理量所能取的值是相应算符A ˆ的本征值；3、一个任意态总可以用算符A ˆ的本征态ia 展开如下：ψψi i i iia C a C==∑；而物理量A 在ψ中出现的几率与2i C 成正比。
原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ˆ和相应的正则动量算符i pˆ有如下对易关系：[]0ˆ,ˆ=j i x x ，[]0ˆ,ˆ=j i p p ，[]ij j i i p x δη=ˆ,ˆ 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给()()t H t ti ψψˆ=∂∂η在海森堡图景中，一个厄米算符()()t A H ˆ的运动规律由海森堡方程给出：()()()[]H A i t A dt d H H ˆ,ˆ1ˆη= 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。
服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。
2、薛定谔图景的概念？答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景.3、 已知.10,01⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求证：答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2) P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 12+y 12-x 22-y 22 P 2=P x 2+P y 2+P z 2=4(x 1x 2+y 1y 2)2+4(x 1y 2-x 2y 1)2+(x 12+y 12-x 22-y 22)2=4(x 12x 22+y 12y 22+x 12y 22+x 22y 12)+(x 14-2x 12x 22-2x 12y 22-2x 22y 12-2y 12y 22-2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 14+2x 12x 22+2x 12y 22+2x 22y 12+2y 12y 22+2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 12+y 12+x 22+y 22)2 =(|C 1|2+|C 2|2)2 5、6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量A ∧和B ∧成立不等式：（1）先证明一个引理----schwarz 不等式：对于两个态矢|α〉和|β〉，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量a,b ，必有：（3）对任意复常数λ，我们有：（4）取||βαλββ〈〉=-〈〉，代入上式可得（2）.现在证明（1）式：取（5）这里用态|〉来强调对任何ket 矢量都适用，于是（2）式给出：（6）因：（7）其中对易子,,A B A B ∧∧∧∧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆∆=∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是一个反厄米算符，它的平方值恒为纯虚数，而反对易子},A B ∧∧⎧∆∆⎨⎩是厄米算符，它的平方值恒为实数，于是：的模的平方等于。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（对于两个态矢和，必有：
|α〉|β〉（此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量（对任意复常数，我们有：
λ（（这里用态来强调对任何ket 矢量都适用，于是（|〉（6）因：
,,A B A B ∧∧∧∧⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥∆∆=∆的模的平方等于。
7、证明：幺正算符的本征态互相正交.
8、试证明：若体系在算子变换Q 下保持不变，则必有[H,Q]=0。
这里H 为哈密顿算符，变换Q 不显含时间，且存在逆变换Q -1。
9、论述态矢,波函数与图景,表象的关系,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.答案:
态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图
景无关。
海森堡图景,态矢依赖时间t 而基矢不含t,而对于海森堡图景而言，
|t S
ϕ〉（（|x 〉不含t ，于是时间依赖性完全转移到中去了。
|H ϕ〉|x,t H 〉10、求证
11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量
定义粒子数算符由此可知和分别是的本征值为（n+1）和（†
|a n ∧〉|a n ∧〉N ∧
相干态为最小不确定态，同时是
的本征态，记为
在表象中解此方程，展开：
由得
又有，所以由归一化条件得：
15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径
且
所以
自旋角动量
→仍为角动量
ˆ
[,]x y z S S S i S = ；[,]0L S =
J L S =+ 证：[,][,]
[,][,]
x y x x y y x y x y
z z z
J J L S L S L L S S i L i S i J =++=+=+= 一般地若两角动量满足 则也是角动量
12[,]0J J = 12J J J =+
进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符设 即n m n nm J J i J δ⨯=
[,]nx my nz nm
J J i J δ= 则对于1
1
ˆ;,,k k n n n n J J J J x y z
μμ
μ===⇒==∑∑
1
111
11
1
[,][,][,]
k
k
k
k
x y nx my nx my n m n m k k
k
n nm nz z
n m n J J J J J J i J i J i J δ============∑∑∑∑∑∑∑。