高二数学下学期期末复习学案(3)--空间角

期末复习（3）——空间角
一、知识与方法整理：
空间角 异面直线所成的角 直线和平面所成的角 二面角
图示
定义
做法
二、例题讲解： 例1、（1）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E,FG,H 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ）
（2）如图,正棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为___ (3) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA= 90，点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成的角的余弦值_________。

（4）在正四面体A-BCD 中，异面直线AB 与CD 所成角的大小是_______.
小结：异面直线所成的角求法：①平移法 ②三垂线 例2、（1）在三棱锥O-ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC,M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是______________（用反三角函数表示）。

（2）直线a 是平面α的斜线，直线b 在平面α内，当a 与b 成60
O
的角，且b 与a 在α内的射影成45O
的角时，a 与α所成的角为( )
(A)60O (B)45O (C) 90O (D) 135O
（3）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ， AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （I ）求证：CM EM ⊥；
（II ）求CM 与平面CDE 所成的角． 小结：斜线与平面所成的角求法：
①定义法 ②利用21cos cos cos θθθ=
例3、（1）四边形ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，且⊥PA 平面ABCD ，PA=AB=a ，则二面角D PC B --的大小为 。

（2）二面角βα--l 是锐角，空间一点P 到βα,和棱的距离分别是22，4和24，则这个二
面角的度数为（ ）
A 、︒30或︒45
B 、︒15或︒75
C 、︒30或︒60
D 、︒15或︒60
（3）如图，已知△ABC 中，∠ABC= 30，PA ⊥平面ABC ，PC ⊥BC,PB 与平面ABC 成︒45角， ①求证：平面PBC ⊥平面PAC ； ②求二面角A —PB —C 的正弦值。

例4、如图，平面PCBM ⊥平面ABC ，90PCB ∠=︒， //PM BC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°， 又1AC =，22BC PM ==，90ACB ∠=︒． （Ⅰ）求证：AC BM ⊥；
（Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；30tan
3
arc （Ⅲ）求多面体PMABC 的体积．
例5、如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC
PA ⊥平面ABCD,32,2,3===AB AD PA ,BC =6. (Ⅰ)求证:;PAC BD 平面⊥
(Ⅱ)求二面角A BD P --的大小. 解法一：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ．BD PA ∴⊥．
又3tan 3AD ABD AB ==，tan 3BC
BAC AB
==． 30ABD ∴=∠，60BAC =∠，
90AEB ∴=∠，即BD AC ⊥．又PA AC A =．
BD ∴⊥平面PAC ．
（Ⅱ）连接PE ．BD ⊥平面PAC ．BD PE ∴⊥， BD AE ⊥．AEP ∴∠为二面角P BD A --的平面角．在Rt AEB △中，
sin 3AE AB ABD ==，tan 3AP
AEP AE
∴==，60AEP ∴=∠，
D C
B
A C
1
B
1
D 1
A
1
A D C B
A
E D P
C
B
Ａ
Ｏ
Ｅ
Ｃ
Ｂ ∴二面角P BD A --的大小为60．
小结：二面角的求法：①直接法：作出平面角；② 间接法：多
射S S =
θ
cos
另外，注意“无棱的二面角问题”。

例6、（2019浙江高考）已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=．若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠≥，则二面角AB αβ--的大小是 ． 四、课后作业：
1、在二面角βα--l 的一个平面α内有一条直线AB ，它与棱的夹角为︒45，AB 与平面β所成的角为︒30，则二面角的大小为 ；
2、线段AB 的两端分别在直二面角α－CD －β的两个面α、β内，且与这两个面都成30°角， 则直线AB 与CD 所成的角等于________.
3、在正三棱锥S —ABC 中，D 为AB 的中点，且SD 与BC 所成的角为 45，则SD 与底面所成的角的正弦值为（ ）
A 、
22 B 、3
1
C 、33
D 、36 4、如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且
1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点．
（1）求O 点到面ABC 的距离；
（2）求异面直线BE 与AC 所成的角； （3）求二面角E AB C --的大小．
解析:.(1) OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离 .2222, 2.BC OD OC CD ==-= 由1126,.)3633ABC V S OH OA OB OC OH ∆=
⋅=⋅⋅==知 (2)取OA 的中点M ，连EM 、BM ，则EM ∥,AC BEM ∠是异面直线BE 与AC 所成的角.求得:
22222221517
,5,.22222
cos ,arccos .
255
EM AC BE OB OE BM OM OB BE ME BM BEM BEM BE ME =
==-==+=+-∠==∴∠=⋅
(3)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .
,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥面又面 则EFC ∠就是所求二面角的平面角.作EG CF ⊥于G ,则16.26
EG OH == 在直角三角形OAB 中,2
,5
OA OB OF AB ⋅=
= 在直角三角形OEF 中,22431,55
EF OE OF =+=+
= 6
303076
6sin ,arcsin .(arccos )31818185
EG EFG EFG EF ∠===∠=或表示为
5、设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．
的是 （A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
（B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线
(C) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC
(D) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC
解：A 显然正确；B 也正确，因为若AD 与BC 共面，则必有AC 与BD 共面与条件矛盾； C 不正确，如图所示：D 正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明。

选C 对于任意的直线l 与平同a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l
(A)平行 （B ）相交 (C)垂直 (D)互为异面直线
1、(2x-1)6展开式中x 2的系数为__________
（A ）15 （B ）60 （C ）120 （D ）240
解: 662422
36(21)(12)(1)(2)60.x x T C x x -=-+⇒=-⋅= 选B
2、9
21x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中常数项是__________（用数字作答）．解:根据二项式展开式通项公式
到展开式中常数项是：9293199r r r r r r T C x x C x ---+==,令930r -=得3r =,故有:3
984C =
3、在(1)n
x +（n ∈N*）的二项展开式中，若只有5
x 的系数最大，则n =（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
解:只有5x 的系数最大,5
x 是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=10. 选C. 4、如果2323n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）
Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3
解：由展开式通项有()
21323r
n r
r
r n
T C
x x -+⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
()2532r r n r n r
n C x --=⋅⋅-⋅由题意得 ()5
2500,1,2,,12
n r n r r n -=⇒=
=-，故当2r =时，正整数n 的最小值为5，
故选C.
A B
D C
5、若(
x 3—
)x
1n 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为
（A ）－540 （B ）－162 （C ）162 （D ）540
解析：若n
x x ⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-13的展开式中各项系数之和为2n
=64，6n =，则展开式的常数项为
3
33
6(C ⋅=－540，选A.。