高等数学学习指导
高等数学学习方法指导(研究函数与极限的基本方法)
12
例6.求函数 f ( x)
(1 x) sin x x ( x 1)
2
的间断点 , 并
判别间断点的类型 . (1 x) sin x 解: f ( x) x ( x 1)( x 1)
所以 f (x) 有间断点 x 1, 0 , 1
(1 x) sin x 1 x = –1 为第一类 lim sin 1, 可去间断点 x 1 x ( x 1)( x 1) 2
初等函数
有限次运算且用 一个式子表示
分段函数 非初等函数 级数表示的函数 …………
4
(4) 常用的等式与不等式
n(n 1) 1、 k 2 k 1 n n(n 1)(2n 1) 2 2、 k 6 k 1
n
x1 x2 xn n 3、 x1 x2 xn n
3. 求极限的基本技巧 , e n , n ! , n n n 时 ln n , n (1) 定式部分应尽早求出; 各种方法注意综合使用. 速度一个比一个快 . (2) 注意利用已知极限的结果 . 例如, 当 0 时 ln n n en n! lim lim n lim lim n 0 n n n e n n ! n n ln x x ex lim lim x lim x 0 19 x x x e x x
tan x sin x 例4. 求 lim . 3 x 0 x
解: 原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim x 1 x2 2 x3
24
x 0
(4) 注意用求极限的特殊方法
如, 利用导数定义 ,微分中值定理 , 泰勒公式等 求极限 . 3. 判断极限不存在的主要方法 (P22, 6) (1) 对分段函数, 在界点处讨论左右极限 ; (2) 利用数列极限与函数极限的关系 ; (3) 利用反证法 , 设极限存在推出矛盾.
高等数学学习指导(西北工业大学高等数学教研室编)PPT模板可修改文字
演讲人
202X-11-11
ONE
01
第一章 一元函数的极限与连续
第一章 一元函数的极限与连续
第二节 极限
02
第一节 函数
01
第三节 函数的连续性
03
第四节 综合问题
04
本章知识脉络
05
按章模拟考试
06
ONE
02
第二章 导数与微分
01
06
03
02
按章模拟考试
感谢聆听
04
05
第二章 导数与微分
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ONE
03
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
第二节 微分中值定理
02
本章知识脉络
05
第一节 利用洛必达法则求极限
ONE
08
第八章 多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数微分法第二节 多元函数微分的应用第三节 综合问题本章知识脉络按章模拟考试
ONE
09
第九章 重积分
第九章 重积分
第二节 三重积分
02
第一节 二重积分
01
第三节 重积分的应用
03
第四节 综合问题
04
本章知识脉络
01
第四节 综合问题
04
第三节 函数性态研究
03
按章模拟考试
06
ONE
04
第四章 不定积分
第四章 不定积分
高数备考从基础到提高的全方位指导
高数备考从基础到提高的全方位指导在数学的世界里，高等数学像是一座宏伟的城堡，巍峨而神秘。
要想顺利登上这座城堡的顶峰，必须从基础开始，逐步攀登，才能最终抵达顶点。
这里将为你提供一份全方位的备考指南，帮助你从基础知识起步，逐步提高，稳健地走向高等数学的高峰。
首先，基础知识是通向高等数学世界的根基。
它们犹如坚实的地基，支撑着整座城堡的结构。
要真正掌握高等数学，必须对数学的基本概念、定理和公式了如指掌。
对于函数、极限、导数和积分等基础概念，需做到不仅会用，更要理解其本质。
例如，函数的定义和性质、极限的计算、导数的几何意义和积分的实际应用，这些都是进入高等数学领域的必备知识。
在掌握了基本概念后，接下来是解决实际问题的阶段。
此时，基础知识将转化为解决问题的工具。
在这个阶段，练习题目和实际应用尤为重要。
通过大量的练习，可以熟悉各种类型的问题和解题方法，提高解决问题的能力。
例如，求解复杂的极限问题或应用积分解决实际问题时，熟练掌握各种技巧和方法就显得尤为重要。
进一步的提升需要深入研究高等数学的理论部分。
这个阶段主要包括对高级定理的理解和应用，比如泰勒级数、傅里叶分析等。
这些理论不仅为解决复杂问题提供了新的视角，还扩展了对数学的理解。
在这个过程中，阅读教材和参考书籍是必不可少的，它们如同引导你穿越数学迷宫的灯塔，帮助你找到前进的道路。
此外，做题的同时，要学会总结和归纳。
每做完一组题目，应该进行反思，总结解题的思路和技巧。
这样能够帮助你更好地理解各种解题方法，并在面对类似的问题时更加从容。
通过总结归纳，可以形成系统化的知识体系，将零散的知识点整合成一个完整的知识框架。
除了个人学习，与他人的交流也是提高的重要途径。
参加学习小组、讨论班或者在线论坛，能够让你接触到不同的观点和解题思路。
这种互动不仅可以帮助你解决自己遇到的问题，还能开阔你的视野，激发新的思考。
通过交流，你可以了解别人是如何解决问题的，这将有助于你更全面地掌握高等数学的知识。
高等数学(上)学习指南
高等数学（上）学习指导一、选择题1、参考答案：B为使函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a ，c 应满足（ ） A ．0a <且0c = B ．0a >且c 是任意实数 C ．0a <且0c ≠ D ．0a <且c 是任意实数2、参考答案：A函数 是奇函数； 偶函数；非奇非偶函数；奇偶性决定于的值 答（ ）f x a xa xa A B C D a ()ln ()()()()()=-+>03、参考答案：A下列函数中为奇函数的是； ；； 答（ ）()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x==+==--22422π4、参考答案：A 答（ ） ． ． ． ． 23)( 23)(65)( 65)(d 1301D C B A x x --=+⎰-5、参考答案：D2tan xdx ⎰=（ ）A ．tan x x C ++B ．tan x xC -+ C ．2ses C +D ．tan x x C -+6、参考答案：D 答（ ） ，，． ，，． ，，． ，，． 为，则 又设，，已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤≤≤=⎩⎨⎧≤≤<≤=⎰211103131)(2111031)(21103131)(211031)()()20( d )()(21110)(333312x x x x D x x x x C x x x x B x x x x A x F x t t f x F x x x x f x7、参考答案：B（ ） 答 要条件的充分条件，也不是必Ⅱ不是Ⅰ 的充要条件Ⅱ是Ⅰ 的必要但非充分条件Ⅱ是Ⅰ 的充分但非必要条件Ⅱ是Ⅰ 关系是Ⅱ与则且的某去心邻域内可导在 设)()()()()()()()()()()()(:)()(lim )()()(lim)(,0)(lim )(lim 0)(,)(),(000D C B A A x g x f A x g x f I x g x f x g x x g x f x x x x x x x x =''===≠'→→→→8、参考答案：B函数cos 2xπ的一个原函数是（ ）A ．2sin 2x ππB ．sin 22x ππC ．2sin 2x ππ-D ．sin 22x ππ-9、参考答案：Bf x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是有界函数； 奇函数；偶函数； 周期函数。
高等数学学习指导及练习(下)基础题答案1(1)
高等数学学习指导及练习（下册）基础题答案第8章 空间解析几何与向量代数8.4 基 础 题8.4.1 第8章 练习1一、选择题1. 点()1,1,1关于xOy 坐标面对称的点是 ( )A. ()1,1,1-B. ()1,1,1-C. ()1,1,1---D. ()1,1,1- 2. 点()2,3,1关于原点的对称点是 ( )A. ()2,3,1--B. ()2,3,1--C. ()2,3,1-D. ()2,3,1--- 3. 点()4,3,5--与xOy 面的距离是 ( )A. 4B. 5C. 3 4. 点()4,3,5--与原点的距离是 ( )A. 4B. 5C. 5. 在z 轴上与点()4,1,7A -和点()3,5,2B -等距离的点是 ( )A. ()0,0,9B. ()0,0,9-C. 140,0,9⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 140,0,9⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在X 轴上投影为 ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 157. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在Y 轴上的分量为 ( ) A. 5j B. 4j - C. j D. 7j8. 已知两向量5a mi j k =+-，3b i j nk =++平行，则常数m ，n 分别为 ( )A. 115,5B. 115,5-C. 115,5-D. 115,5--高等数学（下册）学习指导及练习二．填空题1. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则||a b += .2. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则(32)(2)a b a b -+= .3. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则a b ⨯= .4. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则,a b = .5. 同时垂直于向量22a i j k =++和453b i j k =++的单位向量的为 .6. 已知3OA i j =+，3OB j k =+，，则OAB ∆的面积为 . 7. 已知两点(),(3,0,2)P Q ，则向量PQ 的方向角分别为 .三．计算题1. 已知a 的起点为()2,1,0，||3,a =a 的方向余弦为11cos ,cos 22αβ==，求向量a .解:2221cos 1cos cos 2γαβ=--=,cos 2γ=±,11(,,)222a a =⨯±33(,,22=. 2. 由(1,1,1)A 、(3,0,2)B 、(2,2,1)C -所确定的三角形中,求AC 边上高的长度.解:三角形的面积1122S AB AC AC h =⨯=⨯⨯,h =第8章 空间解析几何与向量代数8.4.2 第8章 练习2一、选择题1. xOz 面上的抛物线25z x =绕X 轴旋转所成的旋转曲面的方程是（ ）. A ．225y z x += B ．225x z y += C ．225y z x -= D ．225x z y -=2. 方程2249x y z =+所表示的曲面是 ( ).A. 椭圆抛物面B. 双曲抛物面C. 抛物面D. 椭球面3. 旋转抛物面22(04)z x y z =+≤≤在yOz 坐标面上的投影是 ( ).A ．2240x y z ⎧+≤⎨=⎩ B ．2(04)0z y z x ⎧≥≤≤⎨=⎩ C ．2240x z y ⎧+≤⎨=⎩ D ．2(04)0z x z y ⎧=≤≤⎨=⎩4. 过点(3,0,5)M -且与平面282x y z -+=平行的平面方程为 ( ).A. 281x y z --=B. 281x y z -+=C. 282x y z --=D. 282x y z -+= 5. 过Z 轴和点(3,1,2)--的平面方程 ( ).A. 30x y +=B. 30x y +=C. 80x y -=D. 82y x += 6. 过(111)(222)---，，，，，和(1,1,2)-三点的平面方程 ( ).A. 320x y z -+=B. 320x y z --=C. 320x y z +-=D. 320x y z ++= 7. 平面2250x y z -++=与xOz 坐标面的夹角余弦是 ( ). A ．13 B ．23 C ．13- D ．23-8. 过点(2,2,1)A -且与平面324x y z -+=垂直的直线方程为 ( ).A. 221312x y z --+==- B. 221312x y z --+==--C. 221312x y z -++==-- D ． 221312x y z -++==二．填空题1. 向量(1,0,1)-与向量()2,0,k 垂直，则k = .高等数学（下册）学习指导及练习2. 向量()1,1,1--与向量()2,2,k -平行，则k = .3. 过点(2,2,1)A -且方向角为2,,343πππ的直线方程为 . 4. 直线300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩和平面10x y z --+=的夹角为 .5. 点(1,2,0)P -在平面210x y z +-+=上的投影为 .6. 点(3,1,2)P --到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为 .三．计算题1. 求过点(1,2,1)-且与两平面21,210x y z x y z +-=+-+=平行的直线方程. 解：所求直线的方向向量为1123121i j ks i j k =-=-+-所求直线方程为: 121311x y z +--==-.2. 求两异面直线9272,431292x y z x y z -++-====--的距离. 解：记A （9，-2，0），B （0，-7，2），与两条异面直线都垂直的向量431151030292i j k n i j k =-=--+-,245Pr 735n AB s d j AB s====.第九章 多元函数微分法及其应用9.4 基 础 题9.4.1 第9章 练习1一、选择题 1．函数z =）。
高等数学的学习方法
高等数学的学习方法高等数学的学习方法一引言学生的学习，是学校教学活动的有机组成部分，是学生在教师指导下的一种自主性活动，“教”和“学”从两个相对的方面共同阐释和说明“人的自身发展”的实现途径，两者是互相包含，互为前提的，只有“教”和“学”的统一互动，才能体现学习的本质，学生的学习和发展最终要由自己独立完成，这是不能由他人替代的。
一、初等数学与高等数学学习方法的现状高中与大学阶段的学习方式有较大的区别，在高中阶段，老师在每次课堂上讲授的内容少，例题多，学生练习及时，基本上在课堂上就可以把概念理解透彻，在课后只需巩固或提高，而且在课后，教师还会有充足的时间为学生辅导，在一定的时期内还会有单元检测或阶段考试等，这就无形中助长了学生被动学习的习惯，学生围着老师转，而大学阶段，数学教学内容多、速度快，在课堂上学生练习的机会少，关键靠学生在课后对知识进行巩固吸收，即使在课余，师生交流的机会也少，各种复习巩固环节也要靠学生自主完成，虽然数学教学改革从未间断，但多数只强调“教”的改革，而忽视“学”的改革，在这种应试教育思想的影响下，学生的学习表现为只重视知识的获得或学习的结果(考试分数)，而轻视能力的培养或学习过程和方法的掌握，考上理想的大学成为学习的出发点，也是学习的最终目标，因此，容易Ⅲ现高分低能现象，上述高中生不良的学习方式和学习倾向必然带入高校，如果高校低年级时不注意学生学习方法的正确指导及学习习惯的正确培养，会直接影响高校教育目标的实现和教育资源的极大浪费。
二、初等数学与高等数学学习方法顺利衔接的措施教学过程是师生双边活动的过程，教师的教和学生相互适应才能取得预期的教学效果，从理论上说，学生要调整自己的学习方法以适应不同风格教师的教学，反之，教师也必须采取不同的教学策略适应学生的个别差异，然而，在教学实践中，教师往往只要求学生对教师的适应，而忽视教师对学生的适应，学生学不好，责任不在教师而在学生，教师很少调整自己的教学以适应学生，现代教学理论强调，要确立学生在教学活动中的主体地位，主张把“教”建立在“学”的基础上，在改进教学方法的同时，通过多种途径对学生的学习方法进行有效的指导和培养，“教会学生学习”已成为当今世界教育的重要口号。
水利工程专业高等数学学习指导
《高等数学（2）》学习指导（一）――空间解析几何与向量代数本章教学要求：1．了解空间直角坐标系，掌握两点间的距离公式。
2．掌握向量概念：模、单位向量、方向余弦，特别是向量的坐标表示。
3．掌握向量的数量积和向量积概念、坐标表示，掌握向量平行和垂直的判别条件。
4．掌握平面的点法式方程和一般方程，会求点到平面的距离。
5．掌握空间直线的标准方程、参数方程和一般方程，会进行方程间的互化。
6．会用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系。
7．知道球面、椭球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面的方程。
例题讲解： 一、填空题1．设a 、b为任意两个向量，则_____________=⨯b a 2．同时垂直于两向量=a {1，1，－2}和=b {－1，0，1}的单位向量是__________0=a3．求过点（－2，7，3）且平行于平面0154=-+-z y x 的平面的方程是________________ 4．设两点A （1，－1，0），B （2，1，－2），则________=AB5．向量a 与b 的点积______________=⋅b a6．过点（0，1，0），法向量为j n=的平面方程是__________________7．当_______=λ时，向量k j i a -+=23与向量k j i b 2++-=λ垂直。
8．已知空间中的两点1M （4，－2，－2），2M （0，1，－2），那么向量21M M 的模__________=9．已知向量a的方向余弦中31cos =α，32cos =β，则_______cos =γ 10．点（－1，－2，1）到平面0522=--+z y x 的距离是_______分析与解答：1．本小题主要是考虑向量积的概念，由向量积定义得：><=⨯b a b a b a,sin 2．本小题包含两个含义：① 如何求与两向量a 及b同时垂直的向量；② 单位向量又如何求？由向量积的定义，b a⨯同时垂直于a 与b ，即b a⨯k j i kj i ++=--=101211＝{1，1，1}b ac ⨯=的单位向量包括与c 同方向与反方向的两个单位向量，而3=c，故本小题的答案为：31±{1，1，1}3．两平面平行则它们的法向量也平行，所求平面的法向量可取已知平面的法向量，即=n{1，－4，5}，由平面的点法式方程得：0)3(5)7(4)2(1=-⋅+-⋅-+⋅z y x即 01554=++-z y x4．将两点的坐标代入空间两点坐标公式：221221221)()()(z z y y x x d -+-+-=，得 3))2(0()11()21(222=--+--+-=AB5．由向量的数量积定义，得：><=⋅b a b a b a ,cos6．由平面的点法式方程，得：01=-y7．两向量a 与b 垂直的充要条件是0=⋅b a ，而52223-=-+-=⋅λλb a，故25=λ 85= 9．由方向余弦的关系式：1cos cos cos222=++γβα，得：32c o s c o s 1c o s22±=--±=βαγ 10．由点到平面的距离公式：222111C B A DCz By Ax d +++++=，得4)2(21512)2(2)1(1222=-++-⨯--⨯+-⨯=d二、单项选择题1．过点（1，1，1）且平行于直线123zy x ==的直线方程是（ ）A.112131-=-=-z y x B. 111zy x == C. 111213-=-=-z y x D. 以上都不对 2．定点（2，－3，－1）关于OYZ 平面的对称点是（ ）A.（－2，－3，－1）B.（2，－3，1）C.（2，3，－1）D. 以上都不对3．向量k j i a23++-=的同方向单位向量是（ ）A. k j i 23++-B. )23(k j i++-±C.)23(141k j i ++- D. )23(141k j i ++-± 4．平面0542=-+-z y x 与直线22231-+=-=-z y x 的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 斜交 D. 直线在平面上 5．在空间直角坐标系下，方程022=-+z y x 表示（ ）A. 圆柱面B. 旋转抛物面C. 球面D. 椭球面6．在下列方程中，表示柱面的是（ ）A. 1222=++z y xB. 122=+y xC. 222y x z +=D. 22y x z +=7．设向量k j i a23-+=，k j i b --=24，那么a 与b 之间的关系是（ ） A. b a ⊥ B. b a // C. ><b a ,小于2π D. ><b a,大于2π8．已知向量k j i a-+=β15与k j i b γ++=3平行，则（ ）A. 5=β，51=γ B. 5-=β，51-=γ C. 5=β，51-=γ D. 5-=β，51=γ9．设两个平面方程分别为035=++-z y x 及073=+--z y x ，则这两个平面（ ）A. 相交但不垂直B. 垂直相交C. 平行D. 重合10．平面012=-+-z y x 与直线281312+=--=-z y x 的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 斜交 D. 直线在平面上分析与解答：1．两条直线平行则它们的方向向量也平行，故所求直线的方向向量可取已知直线的方向向量，即=l {3，2，1}，由直线的标准方程式：Cz z B y y A x x 000-=-=-，得所求直线的方程为：112131-=-=-z y x ，即A 正确。
高等数学学习指导2带后几章答案
第九章 习题答案习题9-11.证明：设四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点且互相平分.由图可知，=+=+=+=， 因此//, 且→→=DC AB ， 所以四边形ABCD 为平行四边形.2. 证明：若点O 与点M 重合，显然成立.若M 与O 不重合，如图，则 BM OM OM +=+=; 即 =OM 2)(21,OB OA OM OB OA BM OB AM OA +=+=+++. 3.23； 4.①2=→a prj u ， ②0=→a prj u ， ③2-=→a prj u . 5.①6， ②23， ③1， ④36.习题9-21. 六；)2,1,1()2,1,1(；-.2. {}5,3,1. 3. 213a m b l =+=+92,cos ,cos m n a a a a αβγ-===的方向余弦cos 23,cos ,cos l b b bαβγ===b 的方向余弦cosa b =当m=2,l=3,n=5时,4.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=→31,2,3c .5.6=k .6.4,1=-=n m .7.31cos ,31cos ,31cos ,3====→γβαa . 8.起点坐标为97cos ,94cos ,94cos ),0,3,2(=-==-γβα. 9.⑴17-； ⑵2-； ⑶{}6,0,2； ⑷{}8,14,5--.习题9-31. 02651615=-++z y x .2.1443=-++zy x . 3. 1059. 4. 6112.5. 032=-+z x .6. 20y -=.7.3π. 8. 042=--z x . 9. 043=+-z y .习题9-41. (1) 方程为41133413x y z +-==-；（2）3132235z y x =-=--. 2.112243-=+=--z y x . 3. 531124-=+=-z y x . 4. 2π. 5. 0. 6.① 1,2==b a ； ② )2,0,4(. 7.316221x y z -+-==-. 8.(1,2,2)习题9-51.球面方程为14)4()3()1(222=++-++z y x . 2.球面方程为222141()(3)(2)24x y z -+-++=.3.在平面解析几何中：422=+y x 表示圆.x y 22=表示抛物线.12+=x y 表示直线.122=-y x 表示双曲线.在空间解析几何中：422=+y x表示母线平行于Z 轴的圆柱面.x y 22=表示母线平行于Z 轴的抛物柱面.12+=x y 表示一次柱面. 122=-y x 双曲柱面.4.（1）是xoy 面上的圆222=+y x 绕x 轴（或y 轴）旋转而成的（2）是xoy 面上的双曲线14322=-y x 绕y 轴旋转而成的 （3）是yoz 面上的抛物z y 232=线绕z 轴旋转而成的 5.（1）116302=+z xy （2）12)2)(5(++=z x y 6.解： 从交线方程⎩⎨⎧=++=-41222z y x z x 中消去x ，得到交线关于yoz 面的投影柱面方程为4)1(222=+++z y z ，于是交线在yoz 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+++04)1(222x z y z从交线方程⎩⎨⎧=++=-41222z y x z x 中消去z ，得到交线关于xoy 面的投影柱面方程为4)1(222=-++x y x ，于是交线在xoy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==-++04)1(222z x y x7.（1）椭球面（2）单叶双曲面（3）椭圆抛物面（4）双曲抛物面8.方程149222-=-+z y x 与平面0=x 的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+0149222x z y x 即是⎪⎩⎪⎨⎧==-01422x y z ，它是yoz 面上的双曲线.方程149222-=-+z y x 与平面1-=z 的交线为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+1149222z z y x 即是⎪⎩⎪⎨⎧-==+104922z y x ，它是点()1,0,0-.方程149222-=-+z y x 与平面0=y 的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+0149222y z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-01922y z x 它是xoz 面上的双曲线 方程149222-=-+z y x 与平面2=z 的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+2149222z z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧==+214922z y x 它是2=z 面上的椭圆复习题九一. 1.)1,3,1(--, )1,3,1(-, )1,3,1(； 2.{}1,3,4, {}8,6,6, 9-, {}3,13,9--；3{}3,3,1--,19；4.133cos ,cos ;,arccos 2434παβγαβγπ===-===-, ； 5.0=a , 0a b ⨯=； 6.{}1,3,2； 7.{}1,2,3-； 8.{}1,2,2-； 9.①交叉二次项xy ，yz ，zx 的系数为0； ②平方项2x ,2y ,2z 的系数相等，且不等于0.10.三个变量.含有其中两个变量的平方和且系数相等.11.只含有两个变量（其母线平行于方程不含的那个变量的同名坐标轴） 12.单叶双曲面(旋转双曲面). 13.双曲抛物面. 14.双叶双曲面. 15.椭圆抛物面. 16.椭球面. 二.1.B ； 2.C ； 3.C ； 4.A. 三.1.（1）326-=m ,（2）32=m ； 2.)3,1,5(--； 3.35； 4.解：所求平面经过x 轴和点P )1,3,4(-，所以, 其法向量既垂直于又垂直于， 而OP ={}1,3,4-，{}0,0,1=，故所求平面的法向量可取为{}{}0,0,11,3,4⨯-=n所求平面方程为0)1(3)3()4(0=-+++-⋅z y x ， 即03=+z y 5.解：所求直线的方向向量可取{}5,2,3-=，所以所求直线的方程为582332-=-+=-z y x 6.球心为)2,2,1(-，半径4=R第十章 习题答案习题10-11.（１）必须,0122≥--y x 定义域为{}1),(22≤+y x y x ；(２){}0,0),(>->+y x y x y x ； （３）{}R y x y x ∈,),((； (４){}x y y x >),( （５）必须11≤≤-xy且0≠x , 当0>x 时，x y x ≤≤-即⎩⎨⎧≤-≥x y x y ；当0<x 时，x y x ≥≥-即⎩⎨⎧-≤≥xy xy .２．（１）61-（２）２ ３.证明：当点Ｐ),(y x 沿x 轴趋于（０，０）时，1lim00==→→xx y y x 当点Ｐ),(y x 沿y 轴趋于（０，０）时，1lim00-=-=→→y y x y x ，因此yx yx y x +-→→00lim 不存在．４.（１）由于在yx xz 22+=中，022=+y x 时无定义，即在点（０，０）是间断点.（２）由于在xy x y z 2222-+=中，022=-x y 时无定义，即在抛物线x y 22=上函数间断.习题10-2１.（１）yx x y z y y x z 2,1-=∂∂+=∂∂； （２）)ln(21,)ln(21xy y y z xy x x z =∂∂=∂∂；（３）()232223222,()yxxyyzy x y xz+-=∂∂+=∂∂；（４）[cos()sin 2()],[cos()sin 2()]z zy xy xy x xy xy x y∂∂=-=-∂∂； （５）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=∂∂=∂∂y x y x e yy z e xx z 1121121,1； （６）x x zy z u x x z y u x xz y x u z yz y z y ln ,ln 1,2-=∂∂=∂∂=∂∂. ２.解：1,2542=∂∂=∂∂===z y x xz x x z ，设所求角为α，则有4,1παα==tg .３.（１）()()222222,2,,)ln(y x xy z y x y x x z y x x y z y x x y x x z +-=∂∂++=∂∂+=∂∂+++=∂∂ ()22y x yy x z +=∂∂∂； （２）),2(2cos 8),2(2sin ),2(2sin 222y x xz y x y z y x x z +=∂∂+=∂∂+=∂∂ )2(2cos 4),2(2cos 2222y x y x zy x y z +=∂∂∂+=∂∂；（３）()(),2,2,,22222222222222y x xyy z y x xy x z y x x y z y x y x z +-=∂∂+=∂∂+=∂∂+-=∂∂()222222yx y x y x z +--=∂∂∂； （４）,)1(,ln ,,ln 2222221---=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂x x x x y x x yz y y x z xy y z y y x z)1ln (1+=∂∂∂-y x y yx zx .习题10-3１.（１）,,2222y x y yz yx x xz +=∂∂+=∂∂dy yx y dx yx x dy yzdx x z dz 2222+++=∂∂+∂∂=；（２）dy e x dx e xy dz e x y z e x y x z x yx y x y x y1,1,22+-==∂∂-=∂∂；（３）22)]ln(1[3,)]ln(1[3xy y y z xy x x z +=∂∂+=∂∂， dy xy ydx xy x dz 22)]ln(1[3)]ln(1[3+++=；（４）()()dy y x x dx y x y dz y x x y z y x y x z 22222222)()(,,-+--=-=∂∂--=∂∂； （５）xdy x dx yx dz x x y z yx x z y y y y ln ,ln ,11+==∂∂=∂∂--； （６）)ln()(,)(,)(xy xy zu xy y z y u xy x z x u z z z =∂∂=∂∂=∂∂， dz xy xy dy xy yzdx xy x z du z z z )ln()()()(++=. ２.解：32,31,12,1221212222=∂∂=∂∂++=∂∂++=∂∂====y x y x yz xz y x y y z y x x x z ， dy dx dz3231)2,1(+=.３.解：ydy x dx xy dz y x yz x y x z 222222,2,2+==∂∂=∂∂. 因此 2,10.02,0.010.16x y dx dy dz==-==-=，而16241604.0)()(2222=-∆+∆+=∆y x y y x x z４.解：设函数yx y x f =),(，则x x y x f yx y x f y y y x ln )),(,),(1='='-.取04.0,08.0,4,100-=∆=∆==y x y x ， 由于0)4,1(,4)4,1(,1)4,1(='='=y x f f f32.1)04.0(008.041)4,1()4,1()4,1(08.196.3=-⨯+⨯+=∆'+∆'+≈y f x f f y x习题10-4１. 22223)(y x y x y x v v z x u u z x z +-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，22223)(y x xy x y v v z y u u z y z +-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. ２. )23(3)23ln(2222y x y x y x y x x v v z x u u z x z -+-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， )23(2)23ln(22232y x y x y x y x y v v z y u u z y z ----=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 3.332sin 22sin 6cos t t t t e t t e dtdz---=. ４.2)(1)1(x x xe x e dx dz ++=. ５.212f ye f x xuxy '+'=∂∂， 212f xe f y y u xy '+'-=∂∂.习题10-51. 解：设163),,(222-++=z y x z y x F ，则z F y F x F z y x 2,2,6='='='，于是6)3,2,1(,4)3,2,1(,6)3,2,1(=--'-=--'-=--'z y x F F F 切平面方程：0)3(6)2(4)1(6=-++-+-z y x ，即016323=+-+z y x ，法线方程：634261-=-+=-+z y x 2. 切平面方程：0624=--+z y x ；法线方程：142142--=-=-z y x . 3. 解：令12),,(222-++=z y x z y x F ，则z F y F x F z y x 2,4,2='='='.故法向量 =n {}z y x 2,4,2,又n 与{}2,1,11-=n平行， 从而t z y x ==-=221412，即 t z ty t x =-==,4,2 又),4,2(),,(t tt z y x -=在曲面上，从而有184222=++t t t ，得118±=t ，故切点为)118,11841,11821(±±切平面方程：0)118(2)11841)(1()11821(1=+±-+⋅z y x 即为02222=-+-z y x 和02222=++-z y x . 4. 证明：在曲面上任取一点),,(0000z y x P ，现求过点0P 的曲面的切平面方程 令a z y x z y x F -++=),,(， 00000000000021),,(,21),,(,21),,(z z y x F y z y x F x z y x F z y x ='='=',切平面方程0)()()(000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y ，此切面在坐标轴上的截距分别为：000,,az ay ax ，其和为：a z y x a =++)(000.习题10-6１. （１）解：令⎩⎨⎧=--='=-='.024),(,024),(y y x f x y x f yx ，解得2,2-==y x ，驻点为)2,2(-,因为 02)2,2(,0)2,2(,02)2,2(<-=-''=-''<-=-''yy xy xxf f f 从而042<-=''''-''yy xx xyf f f ，故得极大值8)2,2(=-f （２）方法同上.极小值0)1,1(=-f（３）方法同上.极小值2)1,21(e f -=- ２.解：设有盖长方体水箱的长.宽.高分别为z y x ,,，则xyz =2，又表面积yz xz xy S 222++=，即xy xy S 442++= 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='.042,04222yx S x y S y x 得驻点)2,2(33. 由题意知，水箱表面积的最小值存在，而函数S 在Ｄ内只有唯一的驻点),2,2(33 因此当332,2==y x 时，S 最小.复习题 十１.（１）充分；（２）充分；（３）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠≤≤-0,11),(y y xy x ； （４）{}0,1,4),(22222≠+<+≥y x y x y x y x ，4ln 3ln 2-；（５）2222)(2,2,1y x yy x y y x +-++ ２.（１）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=∂∂+=∂∂-xy xy xy xy y z xy y x z y y 1)1ln()1(,)1(12 （２）2222,y x xy z y x y x z +=∂∂+-=∂∂ （３）)(2sin ),(2sin y x y z y x x z +=∂∂+=∂∂ （４）2,=∂∂-=∂∂-yz e x z x ３.)(cos 2sin )(cos )sin()cos()cos()sin(22y x x y x y x y x y x y x f y +=++-++-='，0)4,(='ππy f . ４.22121,1f y xf x z f y f y z y x '-'='+'=，dy f yx f x dx f y f y dz )()1(22121'-'+'+'=５.)(2),(2222222z y x f y yuz y x f x x u ++'=∂∂++'=∂∂， 左=='-'=∂∂-∂∂=022f xy f xy yux x u y右， 故)(222z y x f u ++=满足0=∂∂-∂∂yux x u y.６.（１）23242(3(3dz z z dx z dy t dt t x dt y dt t t∂∂∂=+⋅+⋅=-+-∂∂∂；（２）32sin 2222()11cos 6x y t t dz d e e t t dt dt t t--⎡⎤=-=--⎣⎦. ７.（１）y z x z y z z x z x z )(,2+=∂∂+=∂∂； （２）xzy z y z xz y z x z 32,322--=∂∂-=∂∂. ８.令⎩⎨⎧=++-==+-=.062,092y x z y x z yx 得驻点)7,8(--，又02)7,8(>=--xx z ，02)7,8(,1)7,8(>=---=--yy xy z z ，032<-=-AC B ，且Ａ＞０．故在)7,8(--有极小值47)7,8(-=--f第十一章 习题答案习题11-11．()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ23； 2 ．()812≤++≤⎰⎰Dd y x σ； ３．（１）332R π； （２）．π3.习题11-2１．（１）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰==xx yyDdx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f 211),(),(),(（２）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=x xyyxDdx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx dxdy y x f 220222110),(),(),(),((３).⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------+==42444222),(),(),(),(22yyx x yyDdx y x f dy dx y x f dydy y x f dx dxdy y x f２．（１）．⎰⎰⎰⎰=x x yy dx y x f dydy y x f dx 2110),(),(（２）．22242222(,)(,)(,)yxyy xdxf x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰３．（１）．3128；（２）．376；（３）．414a ；(４)．2ln π；（５）．π2-；（６）π241.４．（１）．65；（2）．π3245.复习题 十一一．选择题：１．B ；２．C ；３．D ；４．C.二．填空题：１．π8；２．43；３．)1(-e π；４．⎰⎰100),(ydx y x f dy .三．１.⎰⎰⎰⎰--=-=-yDy dx y x dy dxdy y x 331233)2()2(；２．⎰⎰⎰⎰==+θπθsin 202022932dr r d dxdy y x D； ３．⎰⎰⎰⎰-=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛212402)41(23πθθπrdr d tg d dxdy x y D ；４．⎰⎰-=⋅=-120)21(2e rdr e d v r πθπ.第十二章 习题答案习题１2－１１.（１）121-=n u n ； （２）12+-=n n u n ； （３）()11211n n n a u n +-=--； （４）()n xu nn26422⋅⋅=. ２．（１） 级数发散；（２） 级数收敛； ３．（１）发散；(2) 收敛；(3) 收敛；(4) 发散.习题１2－21. (1) 发散； (2) 发散； (3) 发散； (4) 收敛； (5) 收敛.2. (1) 收敛； (2) 发散； (3) 发散.3. (1) 收敛； (2) 收敛； (3) 发散.4. (1) 收敛； (2) 收敛.5. (1) 收敛； (2) 发散； (3) 收敛； (4) 收敛.6. (1) 绝对收敛； (2) 绝对收敛； (3) 条件收敛； (4) 条件收敛.习题１2－31. (1) 收敛区间为()+∞∞-,；(2) 收敛区间为()3,3-；(3) 原幂级数即属仅在0=x 处收敛.2. (1)2)1(1x -； （2）ln(1)x + (3) 3)1(2x - ； (4) (1)ln(1)x x x --+.习题１2－41. (1)+-++-+-=+n n x x x x x26422)1(111，收敛区间为()1,1-； (2) n n n n na x a a x a x a 11)1(ln )1ln(ln )ln(-∞=-+=++=+∑，收敛区间为()a a ,-； (3) ∑∞==12!)2(n nxn x e，收敛区间为()+∞∞-,；(4) ∑∞=----=1121)3()!12(1)1(3sin n n n x n x ，收敛区间为()+∞∞-,. 2. ∑∞=----=111)3(31)1(1n n nn x x , 收敛区间为(0,6). 3.（1）∑∞=--=-+=11221212)12(1211ln3ln n n n ，222)12(31-+<n n n R . 当前6项时，09858.13ln ≈，00003.06<R .（2）∑∞=︒-==02)90()!2()1(90cos2cos n nn n ππ, 当前2项时, 9994.02cos ≈︒, 0006.02<R .习题１2－51. (1))5cos 513cos 31cos 121(22)(22 +++-=x x x x f ππ)3sin 312sin 21(sin -+-+x x x , )(+∞<<-∞x ,Z k k x ∈-≠,)12(π.(2) )5c o s 513c o s 31(c o s 42)(22 +++-=x x x x f ππ, )(+∞<<-∞x . (3) 221(1)()112c o s n n f x n x nπ∞=-=+-∑,)(+∞<<-∞x(4) ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=∑∞=12sin cos 24)1(4122)(n nnx n nx n sh x f ππ, )(+∞<<-∞x , Z k k x ∈-≠,)12(π.2. 若展为正弦级数,先将函数作奇延拓为)(,)(ππ≤≤-=x x x f .,s i n 2)1()(1x n nx f n ∑+-=)(+∞<<-∞x , Z k k x ∈-≠,)12(π. 若展为余弦级数,先将函数作偶延拓为⎩⎨⎧≤≤<≤--=.0,;0,)(ππx x x x x f)5c o s 513c o s 31(c o s 42)(22 +++-=x x x x f ππ, )(+∞<<-∞x . 3. ∑∞=+-=11sin )1(21)(n n nx nx f , )(+∞<<-∞x ,Z k k x ∈-≠,)12(π. ∑∞=-==--118)2(12)1(21n n f n ππ.复习题 十二1. (1). 0lim ,1=≥∞→+n n n n u u u ； (2). 必要； (3). 收敛； (4) 发散.2. (1) 收敛； (2) 收敛； (3) 收敛； (4) 发散.3. (1) [1,1)-； (2) [)3,3-.4. (1) ∑∞===0ln !)(ln n n n ax xx n a ea ,)(+∞<<-∞x ；(2)()()()[]-+-+=+=+⋅⋅⋅⋅66423144212212221)(1a x a x ax a x a a x a , )(+∞<<-∞x .5. 同习题12-5的第三题.第十三章 习题答案习题 13-11． 计算下列行列式： （1）)6(2342)5(13)7(221)7()6()5(433427632153-⋅⋅-⋅⋅--⋅⋅--⋅⋅+-⋅-⋅-+⋅⋅=--- 73-= （２）adf fe d c b a=0（３）00cos cos cos 0cos cos cos 0=---γβγαβα； （４）a f c h b g fgh abc cfgf b hgh a2222---+=. 2． 解下列线性方程组：（１）⎩⎨⎧=+=+643534y x y x 解为.7943346354,7243344635====y x （２）⎩⎨⎧=++-=-+0340632121I I I I 解为.11341133163,11214113431621-=---==--=I I （３）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+0042032321321321x x x x x x x x x 因为0111412321≠--=D 所以 1x ＝2x ＝3x ＝０.（４）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+-423152302z y x z y x z y x.43,2847,2813.2143112312,47241513102,13234521110,28231523112====-==--==---==---=z y x D D D D z y x 从而因为3．2,5,8λ=时原方程组有非零解。
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高等数学学习指导
高等数学是大学必修课，也是考研的必考科目，所以对于大学生来说非常重要，学好高等数学不仅能提高自己的逻辑分析能力，提高自己的思维严密性，同时对自己以后的研究也有很好的帮助，是进行研究学习的基础理论。
下面是高等数学学习指导，欢迎各位阅读和借鉴。
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逻辑思维
逻辑思维对于学习高等数学是非常重要的，即分析问题的能力，一步一步地分析问题的能力，逐层分析问题的能力。
平时多观察周围的事物，多思考问题，或通过看悬疑电视、电影等，培养自己的推理能力。