【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案18 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
第 2 页 共 9 页
Go the distance
1 变式迁移 3 (2011· 安阳模拟)已知△ABC 中，sin A＋cos A＝ ， 5 (1)求 sin A· cos A； (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求 tan A 的值．
转化与化归思想的应用 1 例 (12 分)已知 α 是三角形的内角，且 sin α＋cos α＝ . 5 (1)求 tan α 的值； 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来，并求其值． cos α－sin2α 1 多角度审题 由 sin α＋cos α＝ 应联想到隐含条件 sin2α＋cos2α＝1，要求 tan α，应当 5 切化弦，所以只要求出 sin α，cos α 即可． 【答题模板】 1 2 ① α＋cos2α＝1， ② 解 (1)联立方程sin α＋cos α＝5， 1 由①得 cos α＝ －sin α，将其代入②，整理得 25sin2α－5sin α－12＝0.[2 分] 5 4 3 α＝－ ，[4 分] ∵α 是三角形的内角，∴sin α＝5 5 4 ∴tan α＝－ .[6 分] 3 sin2α＋cos2α cos2α sin2α＋cos2α tan2α＋1 1 (2) 2 ，[8 分] 2 ＝ 2 2 ＝ 2 2 ＝ cos α－sin α cos α－sin α cos α－sin α 1－tan2α 2 cos α 2 tan α＋1 4 1 ∵tan α＝－ ，∴ 2 [10 分] 2 ＝ 3 cos α－sin α 1－tan2α －42＋1 3 25 ＝ ＝－ .[12 分] 4 7 － 2 1－ 3 【突破思维障碍】 1 由 sin α＋cos α＝ 及 sin2α＋cos2α＝1 联立方程组，利用角 α 的范围，应先求 sin α 再求 5 cos α.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应注意“1”的活用． 【易错点剖析】 在求解 sin α，cos α 的过程中，若消去 cos α 得到关于 sin α 的方程，则求得两解，然后 应根据 α 角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解． 1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围． 2．注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量 少开方运算，慎重确定符号．注意“1”的灵活代换． 3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．
第 5 页 共 9 页
Go the distance
π ∵－ <x<0，∴sin x<0，cos x>0， 2 即 sin x－cos x<0. 则 sin x－cos x ＝－ sin2x－2sin xcos x＋cos2x 24 7 ＝－ 1＋ ＝－ . 25 5 2 2 (1)sin x－cos x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x) 7 1 7 － ＝－ . ＝ × 5 5 25 1 sin x＋cos x＝ 5 (2)由 ， 7 sin x－cos x＝－ 5
(
上述过程体现了化归的思想方法． 自我检测 1 ． (2010· 全 国 Ⅰ )cos ) 3 1 A．－ B．－ 2 2 1 3 C. D. 2 2 1 2． (2009· 陕西)若 3sin α＋cos α＝0， 则 2 的值为 cos α＋sin 2α 10 5 A. B. 3 3 2 C. D．－2 3
sin x＝－5 得 4 cos x＝5
3 3 ，则 tan x＝－ . 4
3 － 4 tan x 15 即 ＝ ＝ . 6 4 8 2sin x＋cos x － ＋ 5 5 3π 变式迁移 1 解 ∵sin(3π＋α)＝2sin 2 ＋α， ∴－sin α＝－2cos α. ∴sin α＝2cos α，即 tan α＝2. 方法一 (直接代入法)： 2cos α－4cos α 1 (1)原式＝ ＝－ . 6 5×2cos α＋2cos α 2 sin α＋2sin αcos α sin2α＋sin2α 8 (2)原式＝ ＝ ＝ . 1 5 sin2α＋cos2α sin2α＋ sin2α 4 方法二 (同除转化法)： tan α－4 2－4 1 (1)原式＝ ＝ ＝－ . 6 5tan α＋2 5×2＋2 2 (2)原式＝sin α＋2sin αcos α sin2α＋2sin αcos α tan2α＋2tan α 8 ＝ ＝ ＝ . 5 sin2α＋cos2α tan2α＋1 k 解题导引 三角诱导公式记忆有一定规律： 2π＋α的本质是：奇变偶不变(对 k 而言，指 k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把 α 看成是锐角)．诱导公式的应 用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成 2kπ＋α，0≤α<2π；(2) 转化为锐角三角函数． π 5 解 (1)∵sin α＋2＝－ 5 ，α∈(0，π)， 5 2 5 ∴cos α＝－ ，sin α＝ . 5 5 例2
( B．－ 2 2 D. 2
)
π 2 2π 5．(2011· 清远月考)已知 cos( －α)＝ ，则 sin(α－ )＝________. 6 3 3
探究点一 利用同角三角函数基本关系式化简、求值 π 1 例 1 已知－ <x<0，sin x＋cos x＝ . 2 5 2 2 (1)求 sin x－cos x 的值； tan x (2)求 的值． 2sin x＋cos x
第 4 页 共 9 页
Go the distance
sinkπ－α· cos[k－1π－α] 10．(12 分)化简： (k∈Z)． sin[k＋1π＋α]· coskπ＋α
11．(14 分)(2011· 秦皇岛模拟)已知 sin θ，cos θ 是关于 x 的方程 x2－ax＋a＝0(a∈R)的 两个根． π π (1)求 cos3( －θ)＋sin3( －θ)的值； 2 2 1 (2)求 tan(π－θ)－ 的值． tan θ
第 3 页 共 9 页
Go the distance
(满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) cos A 12 1．(2011· 荆州模拟)已知△ABC 中， ＝－ ，则 cos A 等于 ( ) sin A 5 12 5 A. B. 13 13 5 12 C．－ D．－ 13 13 5 2 ． 已 知 tan α ＝ － ， 且 α 为 第 二 象 限 角 ， 则 sin α 的 值 等 于 12 ( ) 1 1 A. B．－ 5 15 5 5 C. D．－ 13 13 sinπ－αcos2π－α 31 3． (2011· 许昌月考)已知 f(α)＝ ， 则 f(－ π)的值为 ( ) 3 cos－π－αtan α 1 1 1 1 A. B．－ C．－ D. 2 3 2 3 4．设 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中 a、b、α、β 都是非零实数，若 f(2 002)＝－ 1 ， 则 f(2 003) 等 于 ( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 5．(2010· 全国Ⅰ)记 cos(－80° )＝k，那么 tan 100° 等于 ( ) 2 2 1－k 1－k A. B．－ k k k k C. D．－ 2 1－k 1－k2 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 1 6．(2010· 全国Ⅱ)已知 α 是第二象限的角，tan α＝－ ，则 cos α＝________. 2 2 2 2 2 7．sin 1° ＋sin 2° ＋sin 3° ＋…＋sin 89° ＝________. sin α＋cos α 8 ． (2010· 东北育才学校高三第一次模拟考试 ) 若 tan α ＝ 2 ，则 ＋ cos2α ＝ sin α－cos α ________. 三、解答题(共 38 分) sinπ－αcos2π－αtan－α＋π 9．(12 分)已知 f(α)＝ . －tan－α－πsin－π－α (1)化简 f(α)； 3π 1 (2)若 α 是第三象限角，且 cos(α－ )＝ ，求 f(α)的值． 2 5
300°
等
于
(
)
3 3．(2010· 福建龙岩一中高三第三次月考)α 是第一象限角，tan α＝ ，则 sin α 等于( 4 4 3 A. B. 5 5 4 3 C．－ D．－ 5 5
)
第 1 页 共 9 页
Go the distance
17 17 4． cos(－ π)－sin(－ π)的值是 4 4 A. 2 C．0
答案
自主梳理
sin α (2) ＝tan α 2.(1)sin α cos α tan α (2)－sin α －cos α cos α tan α (3)－sin α cos α －tan α (4)sin α －cos α －tan α (5)cos α sin α (6)cos α －sin α 自我检测 1 1．C [cos 300° ＝cos(360° －60° )＝cos 60° ＝ .] 2 2 2 2．A [∵3sin α＋cos α＝0，sin α＋cos α＝1， 1 ∴sin2α＝ ， 10 1 1 ∴ 2 ＝ 2 cos α＋sin 2α cos α＋2sin α· －3sin α 1 10 ＝ ＝ .] 1－7sin2α 3 3．B 17 17 π π π π π 4． A [cos(－ π)－sin(－ π)＝cos(－4π－ )－sin(－4π－ )＝cos(－ )－sin(－ )＝cos 4 4 4 4 4 4 4 π ＋sin ＝ 2.] 4 2 5．－ 3 2π 2π 解析 sin(α－ )＝－sin( －α) 3 3 π π ＝－sin[( －α)＋ ] 6 2 π 2 ＝－cos( －α)＝－ . 6 3 课堂活动区 例 1 解题导引 学会利用方程思想解三角函数题，对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号 的判断． 1 解 由 sin x＋cos x＝ 得， 5 1 24 1＋2sin xcos x＝ ，则 2sin xcos x＝－ . 25 25 1．(1)sin2α＋cos2α＝1
【步步高】届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案任意角的三角函数
第四章三角函数与三角恒等变换学案17 任意角的三角函数导学目标： 1.了解任意角的概念.2. 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.课前准备区回扣载材夯实基础_______________________________________________【自主梳理】1. 任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置0B所成的图形•旋转开始时的射线OA叫做角的____________ ，射线的端点0叫做角的__________ ，旋转终止位置的射线0B叫做角的__________ ，按_______ 时针方向旋转所形成的角叫做正角，按______ 时针方向旋转所形成的角叫做负角.若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个________ 角.(1) 象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是___________ 角.(2) 象限界角(即终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角表示为________________________ ；终边在y轴上的角表示为________________________________________________ ;终边落在坐标轴上的角可表示为_________________________________ .(3) 终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合_________________________ 或____________________________ ，前者a用角度制表示，后者a用弧度制表示.(4) 弧度制把长度等于_________ 长的弧所对的 ____________ 叫1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做_________ ，它的单位符号是 ________ ，读作_________ ，通常略去不写.(5) 度与弧度的换算关系360 °=______ r ad; 180 °=___ rad; 1°= _________ rad;1rad = ________________ ~ 57.30 °(6) 弧长公式与扇形面积公式1 = ________ ，即弧长等于_______________________________________________________ .S 扇= ________ = _____________ .2•三角函数的定义任意角的三角函数定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么① ___ 叫做a的正弦，记作sin a,即sin a= y；②_______ 叫做a的余弦，记作cos a,即cos a=x;③_________ 叫做a的正切，记作tan a,即tan a=0).x(1) 三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【自我检测】1 a= f” 是“ COS2 a=的 （）6 2A .充分而不必要条件B •必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. （2018 济宁模拟）点 P （tan2009 / cos2009 ）位于 （） A .第一象限B .第二象限 C .第三象限D .第四象限3. （2018 山东青岛高三教案质量检测）已知si n a <0且tano>0,则角a 是（）A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角 （2 n 2冗\ 4. 已知角a 的终边上一点的坐标为 Sin — , cos—，则角a 的最小正值为（）课堂潘动惬究砒考点硏析热点探究点一角的概念【例1】（1）如果角a 是第三象限角，那么一 a, n — a, n+ a 角的终边落在第几象限;.J +y+ 0XJy)+ -4-OX 0+Xsin a cosa（2）三角函数线下图中有向线段MP , OM , AT 分别表示tana___________________ 和A. 5 n IB.47 47⑵写出终边落在直线y= 1 3x上的角的集合；⑶若0= 168 °+ k 360 °（k€ Z），求在［0 °, 360 °）内终边与f角的终边相同的角.变式迁移1若a是第二象限的角，试分别确定 2 a,扌的终边所在位置.探究点二弧长与扇形面积［例2（2018金华模拟）已知一个扇形的圆心角是a，0<a<2n,其所在圆的半径是R.（1）若a= 60 ° R= 10cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；⑵若扇形的周长是一定值C（C>0），当a为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式迁移2 （1）已知扇形的周长为10,面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？探究点三三角函数的定义【例3】已知角a的终边在直线3x+ 4y= 0上，求sin a，cos a，tan a的值.变式迁移3已知角a的终边经过点P（- 4a,3a）（a* 0），求sin a，cos a，tan a的值.1. 角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯.象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础.2. 三角函数都是以角为自变量（用弧度表示），以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法.（满分：75分）一、选择题（每小题5分，共25分）1. （2018宣城模拟）点P从（1,0）出发，沿单位圆X2+ y2= 1逆时针方向运动f n弧长到达Q，则Q的坐标为（）1 J3 爲1A . （-2，2）B .（-T，-2）1 12. 若0<x< n,则使sinx>2和cosx<2同时成立的x的取值范围是（）n n n 5A.3<X<2B.3<X<6nn 5 n 2c.6<x<6 Q3<x<3n3. 已知a为第三象限的角，则扌所在的象限是（）A.第一或第二象限B .第二或第三象限C.第一或第三象限 D .第二或第四象限4. 若1弧度的圆心角所对弦长等于2,则这个圆心角所对的弧长等于（）1 nA. sin7B.72 61 1C. D. 2sin.1 2 sin 25. 已知卜^,扌且sin 0+ cos0= a,其中a € （0,1），则关于tan B的值，以下四个答案中，可能正确的是（）亠1A . —3B. 3 或31 、1C . —3D. —3 或—3题号12345答案二、填空题（每、题4分，共12分）6 .已知点P（sin a—cos a, tan %）在第一象限，且 a € [0,2 n]则a的取值范围是（3n 3 nsin —, cos ■—落在角0的终边上，且值为_________ .&阅读下列命题：①若点P（a,2a）（a^ 0）为角a终边上一点，贝U si n a= 专;5-才的角有且只有一个；V5sin a=—5（0为象限角），则0在第一象限.___ .（将正确命题的序号填在横线上）三、解答题（共38分）9. （12分）已知扇形OAB的圆心角a为120 °半径长为6,（1）求AB的弧长；⑵求弓形OAB的面积.[0,2 n，则0的其中正确命题为1②同时满足sin a= 2，cos a=③设tan a= 2且n<a<3n，贝U④设cos（sin 0） tan（cos 0）>010. （12分）在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围，并由此写出角a的集合:(1)sin a i(2)COS a<— 211. (14分)(2018舟山月考)已知角a 终边经过点 P(x , — .2)(X M 0),且cos o=~^x.求1sin a+ 的值.tan a答案自主梳理1•始边顶点终边逆顺零(1)第几象限-1 k j(2){ a|a= k n, k € Z } *a| a= k 计 §， k € Z 广 a| a=才，k € Z 「(3){ 3 3= a + k 360° , k €的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积 弓厲曲勺•①y ②X ③丫 (2) a 的正弦线a 的余弦线 a 的2 2 X正切线自我检测1. A2.D3.C4.D 课堂活动区【例1】解题导引 ⑴一般地，角a 与—a 终边关于X 轴对称；角a 与n — a 终边关于y 轴对 称；角a 与n+ a 终边关于原点对称.⑵利用终边相同的角的集合S ={ 33= 2k n+ a, k 題}判断一个角3所在的象限时，只 需把这个角写成［0,2%)范围内的一角a 与2 n 的整数倍，然后判断角a 的象限.(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边 相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k 赋值来求得所需角.3 n解(1) n+ 2k n<o <2 + 2ku(k €), 3 n-•—2 — 2k nJ a < — n — 2k ^(k ),n即 2+ 2k n< a <n+ 2k n (k €).①• —a 角终边在第二象限.3 n又由①各边都加上 n,得~2 + 2k n < — a <2 n+ 2k n (k €).•n— a 是第四象限角.同理可知，n+ a 是第一象限角.⑵在(0, n 内终边在直线 y = -3X 上的角是n ， •终边在直线y = 3x 上的角的集合为 J n1Z }{ 3 3= a+ 2k n k € Z } (4)半径圆心角弧度制rad 弧度 (5)2冗命巴0 ° (6)| a| •-弧所对a a= 3+ k n k€ •(3) •••0= 168 °+ k 360 °k€),= 56°+ k -120° (k 題).3••0°< 56°+ k 120°<360°,, 0••k = 0,1,2 时，§q o ° 360° .故在［0 ° 360°内终边与3角的终边相同的角是56° 176°296° 变式迁移1解Ta是第二象限的角，• 360°+ 90° a<k 360°+ 180°(k 題).(1) '.2k 360 °+ 180 °2 a<2k 360 °+ 360 °(k^Z),••2 a的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上.(2) --k 180 °+ 45 °2<k 180 °+ 90 ° (k^Z),当k = 2n (n®)时，an 360 °+ 45 °<^< n 360 °+ 90 °当k = 2n + 1 (n^Z)时，an 360 °+ 225 °<^< n 360 °+ 270 °a「2■是第一或第三象限的角.a•3的终边在第一或第三象限.【例2】解题导引本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一起.确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解.解(1)设扇形的弧长为I，该弧所在弓形的面积为S,如图所示,n 当a= 60°= 3,R= 10cm 时，可知I = aR= fm.,. I I 2 刃而S= S 扇一S ZOAB= ?IR —?R sin§⑵已知2R+ l = C,即卩2R+ aR= C,1 2 1 1S 扇=aR = aR R= 4 aR 2R'；R+2RZ = 1 f C x 2 = C 2 -^― ! = 4迈丿=活当且仅当 C 2.变式迁移2解设扇形半径为 R ,圆心角为 0所对的弧长为值就相应确定了.但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数 值有两组，要分别求解.解•••角a 的终边在直线3x + 4y = 0上，•••在角a 的终边上任取一点 P(4t ,— 3t) (t 丰0), 贝U x = 4t , y =— 3t , r = 'x 2+ y 2= ‘4t 2+ — 3t 2=5|t|,当 t>0 时,r = 5t ,y Sin a= r = 5t =x 4t 4 COS a= r =5t =5， tan = y == — 3； tan a= x = 4t = — 4； 当 t<0 时，r = — 5t ,y —3sin a= r = — 5t = 5,x 4tCOS a= _= =—2 0R= 4,(1)依题意，得」R+ 2R = 10,：2 0— 17 0+ 8 =0.「.0= 8 或 1.厶亠 1••8>2n,舍去，• 0= 2.⑵扇形的周长为 40,即0+ 2R = 40,1 1 7 1 八 * 1 0R+ 2R S = [R =2 0R= 4 0R 2R W 4 =100.2当且仅当0R= 2R ,即R = 10, 0= 2时扇形面积取得最大值， 【例3】解题导引某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，最大值为 100.当终边确定时三角函数aR= 2R ,即a= 2时，等号成立，即当 a 为2弧度时，该扇形有最大面积 l.35,4 5,r—5t伽=y=—=— 3 tan a= x= 4t =—4.3 4 3综上可知，t>0 时，sin a=—;, cos a= , tan a=—二;5 5 4z 3 4 3t<0 时，sin a= 5, COS a=—5, tan a= —4.变式迁移 3 解r =—4a 2+ 3a 2= 5RI.若a>0,则r = 5a , a 角在第二象限,y 3a 3 sin a=_=二=匚， r 5a 5—4a 4~5F = — 5，tan a= xy_ 3a =3 = —4.若 a<0, 则 r = — 5a , a 角在第四象限， sin 心 y3a —5a 35, x COS a= 一 r —4a 4 —5^ = 5, 3 —4a *课后练习区 1. A2.B3.D4.C5.C5 n冗，丁tan a= y3a6.解读由已知得sin a>cos a,tan a >0,n n • '4 + 2k n<<2 + 2k n 或 n+ 5 n 2k n<a <"4 +2k n, k^Z.n n 5 n••0< a< 2 n •••当 k = 0 时，；< a <o 或 n<<丁. 4247 7・4n解读由三角函数的定义,cos ‘y4tan 0= ==— 1.x 3 nsin ~43 n 3 n . 7 n 又-.sin[>0, cos_<0,「.P 在第四象限，• 0= _.&③ 解读①中，当a 在第三象限时， sin a=—今5，故①错.5 7n②中，同时满足 sin a= 2 , COs a=于的角为 a= 2k n+ - (k €Z)，不只有 错•③正确•④0可能在第一象限或第四象限，故④错•综上选③ ” o 2n 9.解⑴-a= 120 = 3 , r = 6, • AB 的弧长为 I =ar 严>< 6 = 4n •: ................................................................... 1 1 (2) '-S 扇形 OAB =尹=4 n X 6=12 n, ............................................2' ，故②(4分) …(7S ZABO =扩 sin^62X 宁=9 3 , ........................................(10xCOS a=r11 / 9•'S 弓形 OAB = S 扇形 OAB — S ^ABO = 分） 10.解（1）作直线y =~2^交单位圆于A 、n 2n的集合为 1 a|2k n+ aW 2k n+ —, k ».1作直线x =— 2交单位圆于C 、D 两点，连结 OC 、OD ，贝y OC 与OD 围成的区域（图中 阴影部分）即为角a 终边的范围•故满足条件的角a 的集合为2 n 4 n* o|2k n+§三 aW 2k n+-3, k 題•- 11.解-.P （x , — ,2） （x 工 0）, •••点P 到原点的距离 r = x 2+ 2.又 亚又 COS a= — X ,6 x V 3 I —「COS a= ------ = tT X.伙工 0 ,「X =± 10 ,V X 2^ 6 ， •丫 = 2"；.'3 ................................................ 当x = 10时，P 点坐标为（.10, — ,2）, 由三角函数的定义， 6有 Sin a=——, （6分）1 • sin a+ =— tan a当 x =— .10时,盘一5, - 5 =-6 .' 5 + ■, 6;（10 分）同样可求得sin a+1 tan a（14 分）（12（6分）（12分）（2则0A 与0B 围成的区域即为角。
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案14 导数在研究函数中的应用
学案14 导数在研究函数中的应用导学目标： 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值．自主梳理1．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是______函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是______函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(3)若在(a ，b )上，f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为______函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为______函数．2．函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程________的根；③检查f ′(x )在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得________；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得________．自我检测1.已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则 ( )A ．f (x )在x ＝1处取得极小值B ．f (x )在x ＝1处取得极大值C ．f (x )是R 上的增函数D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数2．(2009·广东)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 3．(2011·济宁模拟)已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值4．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．(2011·福州模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________.探究点一 函数的单调性例1 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；(3)函数f (x )能否为R 上的单调函数，若能，求出a 的取值范围；若不能，请说明理由．变式迁移1 (2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．探究点二 函数的极值例2 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．变式迁移2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三 求闭区间上函数的最值 例3 (2011·六安模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．分类讨论求函数的单调区间例 (12分)(2009·辽宁)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ，a >1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：若a <5，则对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.多角度审题 (1)先求导，根据参数a 的值进行分类讨论；(2)若x 1>x 2，结论等价于f (x 1)＋x 1>f (x 2)＋x 2，若x 1<x 2，问题等价于f (x 1)＋x 1<f (x 2)＋x 2，故问题等价于y ＝f (x )＋x 是单调增函数．【答题模板】(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x ＝(x －1)(x ＋1－a )x.[2分]①若a －1＝1，即a ＝2时，f ′(x )＝(x －1)2x.故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a －1<1，而a >1，故1<a <2时，则当x ∈(a －1,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，a －1)及x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(a －1,1)上单调递减，在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增．③若a －1>1，即a >2时，同理可得f (x )在(1，a －1)上单调递减， 在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增．[6分](2)证明 考虑函数g (x )＝f (x )＋x ＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ＋x .则g ′(x )＝x －(a －1)＋a －1x ≥2x ·a －1x－(a －1)＝1－(a －1－1)2.由于1<a <5，故g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而当x 1>x 2>0时，有g (x 1)－g (x 2)>0，即f (x 1)－f (x 2)＋x 1－x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.[10分]当0<x 1<x 2时，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>－1.综上，若a <5，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.[12分]当堂检测(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·大连模拟)设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有 ( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )2.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2011·嘉兴模拟)若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <14．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <325．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( ) A ．a >－3 B ．a <－3C ．a >－1D ．a <－16．(2009·辽宁)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.7．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论： ①函数f (x )在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数；②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数； ③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)．则正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)．8．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(共38分)9．(12分)求函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极值．10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导函数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．11．(14分)(2011·汕头模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．。
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末检测：第九章 解析几何
20． (12 分)设直线 l： y＝k(x＋1) (k≠0)与椭圆 x2＋3y2＝a2 (a>0)相交于两个不同的点 A、 B，与 x 轴相交于点 C，记 O 为坐标原点． 3k2 (1)证明：a2> ； 1＋3k2 → → (2)若AC＝2CB，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程．
第 3 页 共 9 页
第 4 页 共 9 页
10．A 11.D
12.C 14. 6 3
13．(x－1)2＋y2＝4
x2 y2 15. ＋ ＝1 5 4 解析 由题意可得切点 A(1,0)． 1 n－ 2 m 切点 B(m，n)满足 m－1＝－ n ，
m ＋n ＝1，
2 2
3 4 解得 B( ， )． 5 5
∴过切点 A，B 的直线方程为 2x＋y－2＝0. 令 y＝0 得 x＝1，即 c＝1； 令 x＝0 得 y＝2，即 b＝2. x2 y2 ∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为 ＋ ＝1. 5 4 16．② 17．解 (1)∵kAB＝－ 2，AB⊥BC，∴kCB＝ ∴lBC：y＝ 2 . 2
21．(12 分)(2011· 福建)已知直线 l：y＝x＋m，m∈R. (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程． (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′，问直线 l′与抛物线 C：x2＝4y 是否相切？说明 理由．
x2 y2 22．(12 分)(2011· 山东)已知动直线 l 与椭圆 C： ＋ ＝1 交于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两不 3 2 6 同点，且△OPQ 的面积 S△OPQ＝ ，其中 O 为坐标原点． 2 2 2 2 (1)证明：x1 ＋x2 和 y ＋ y 均为定值． 2 1 2 (2)设线段 PQ 的中点为 M，求|OM|· |PQ|的最大值． 6 (3)椭圆 C 上是否存在三点 D，E，G，使得 S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝ ？若存在，判断 2 △DEG 的形状；若不存在，请说明理由．
【步步高】2015届高考数学总复习 算法与程序框图学案 理 北师大版
第十二章算法初步、复数学案70算法与程序框图导学目标：1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．自主梳理1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的________和________的步骤．这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．2．程序框图又称________，是一种用________、________及____________来准确、直观地表示算法的图形．通常程序框图由________和________组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；________带方向箭头，按照算法进行的顺序将________连结起来．3．顺序结构是由________________________组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为4．条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．其结构形式为5．循环结构是指__________________________________________________________．反复执行的步骤称为________．循环结构又分为________________和________________．其结构形式为6．算法的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性、普遍性． 自我检测1．(2010·陕西)如图所示是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x nnC ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋1n第1题图 第2题图2．(2010·全国)如果执行如图所示的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( ) A .54B .45C .65D .563．(2011·北京)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ) A ．－3B ．－12C .13D ．2第3题图第4题图4．(2011·山东)执行如图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________.探究点一算法的顺序结构例1已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P(x0，y0)到直线l的距离d，写出其算法并画出程序框图．变式迁移1阅读如图的程序框图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是()A．75、21、32B．21、32、75C．32、21、75 D．75、32、21探究点二 算法的条件结构例2 (2011·杭州模拟)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x>0)0 (x ＝0)2 (x<0)，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．变式迁移2 给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4探究点三 算法的循环结构例3 写出求1×2×3×4×…×100的一个算法并画出程序框图.变式迁移3 (2011·天津和平区模拟)在如图所示的程序框图中，当程序被执行后，输出s的结果是______．1．程序框图主要包括三部分：(1)表示相应操作的框；(2)带箭头的流程线；(3)框内外必要的文字说明，读懂程序框图要从这三个方面研究．流程线反映了流程执行的先后顺序，主要看箭头方向，框内外文字说明表明了操作内容．2．两种循环结构的区别：(1)执行情况不同：当型循环是先判断条件，当条件成立时才执行循环体，若循环条件一开始就不成立，则循环体一次也不执行．而直到型循环是先执行一次循环体，再判断循环条件，循环体至少要执行一次．(2)循环条件不同：当型循环是当条件成立时循环，条件不成立时停止循环，而直到型循环是当条件不成立时循环，直到条件成立时结束循环．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．中山市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填()A．y＝7＋2.6x B．y＝8＋2.6xC．y＝7＋2.6(x－2) D．y＝8＋2.6(x－2)第1题图第2题图2．(2010·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于() A．2 B．3 C．4 D．53．(2010·浙江)某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为()A．k>4? B．k>5? C．k>6? D．k>7?第3题图第4题图4．(2010·辽宁)如果执行如图所示的程序框图，输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于() A．720 B．360 C．240 D．1205．阅读下面的程序框图，则输出的S等于()A．14 B．20 C．30 D．55二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·浙江)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是__________．第6题图第7题图7．执行如图所示的程序框图，输出的T＝________.8．(2010·江苏改编)如图是一个程序框图，则输出的S的值是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·包头模拟)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8a i40 41 43 43 44 46 47 48在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a是这8个数据的平均数)，求输出的S的值．10．(12分)(2011·汕头模拟)已知数列{a n}的各项均为正数，观察程序框图，若k＝5，k＝10时，分别有S＝511和S＝1021.(1)试求数列{a n}的通项；(2)令b n＝2a n，求b1＋b2＋…＋b m的值．11．(14分)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y 2)，…，(x n ，y n )，…，(1)若程序运行中输出一个数组是(9，t)，求t 的值； (2)求程序结束时，共输出(x ，y)的组数； (3)求程序结束时，输出的最后一个数组．学案70 算法与程序框图自主梳理1．明确 有限 2.流程图 程序框 流程线 文字说明 程序框 流程线 流程线 程序框 3.若干个依次执行的步骤 5.从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况 循环体 当型(WHILE 型) 直到型(UNTIL 型)自我检测1．A [由循环结构的程序框图可知需添加的运算为S ＝x 1＋x 2＋…＋x 10的累加求和．] 2．D [第一次运行N ＝5，k ＝1，S ＝0，S ＝0＋11×2，1<5成立，进入第二次运行；k ＝2，S ＝11×2＋12×3，2<5成立，进入第三次运行；k ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4，3<5成立，进入第四次运行；k ＝4，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5，4<5成立，进入第五次运行；k ＝5，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝1－16＝56，5<5不成立，此时退出循环，输出S.]3．D [由框图可知i ＝0，s ＝2→i ＝1，s ＝13→i ＝2，s ＝－12→i ＝3，s ＝－3→i ＝4，s ＝2，循环终止，输出s ，故最终输出的s 值为2.]4．68解析 当输入l ＝2，m ＝3，n ＝5时，不满足l 2＋m 2＋n 2＝0，因此执行：y ＝70l ＋21m ＋15n ＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y ＝y －105，执行后y ＝278－105＝173，再执行一次y＝y－105后y的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68.课堂活动区例1解题导引顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．程序框图中一定包含顺序结构．解算法如下：第一步，输入x0，y0及直线方程的系数A，B，C.第二步，计算Z1＝Ax0＋By0＋C.第三步，计算Z2＝A2＋B2.第四步，计算d＝|Z1|.Z2第五步，输出d.程序框图：变式迁移1A[由程序框图中的各个赋值语句可得x＝21，a＝75，c＝32，b＝21，故a、b、c分别是75、21、32.]例2解题导引求分段函数函数值的程序框图的画法，如果是分两段的函数，则需引入一个判断框；如果是分三段的函数，则需引入两个判断框．解算法如下：第一步，输入x；第二步，如果x>0，则y ＝－2；如果x ＝0，则y ＝0；如果x<0，则y ＝2；第三步，输出函数值y.相应的程序框图如图所示．变式迁移2 C [本问题即求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x>5的值．若x ≤2，由x 2＝x 得，x ＝1或0；若2<x ≤5，由x ＝2x －3得，x ＝3；若x>5，由x ＝1x得，x ＝±1，不符合． 故符合要求的x 值有3个．] 例3 解题导引 数学中的累加、累乘、累差等重复性操作可以用循环结构来实现．循环结构分当型和直到型两种，二者的区别是：前者是，当满足条件时执行循环体，而后者是“直到”条件满足时结束循环．解 第一步，设S 的值为1.第二步，设i 的值为2.第三步，如果i ≤100执行第四步，否则转去执行第七步．第四步，计算S 乘i 并将结果赋给S.第五步，计数i 加1并将结果赋给i.第六步，转去执行第三步．第七步，输出S 的值并结束算法．根据自然语言描述，程序框图如下：变式迁移3 286 解析 数列{a n }：4,7,10，…为等差数列，令a n ＝4＋(n －1)×3＝40，得n ＝13，∴s ＝4＋7＋…＋40＝(4＋40)×132＝286. 课后练习区1．D [根据题意可知x>2时，收费应为起步价7元＋超过2公里的里程收费2.6(x －2)元＋燃油附加费1元＝8＋2.6(x －2)．]2．C [由框图可知i ＝1，s ＝1×21＝2；i ＝2，s ＝2＋2×22＝10；i ＝3，s ＝2＋2×22＋3×23>11，i ＝i ＋1＝3＋1＝4.]3．A [当k ＝1时，k ＝k ＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；当k ＝2时，k ＝k ＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；当k ＝3时，k ＝k ＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26；当k ＝4时，k ＝k ＋1＝5，S ＝2×26＋5＝57.此时S ＝57，循环结束，k ＝5，所以判断框中应为“k>4？”．]4．B [由框图可知：当n ＝6，m ＝4时，第一次循环：p ＝(6－4＋1)×1＝3，k ＝2.第二次循环：p ＝(6－4＋2)×3＝12，k ＝3.第三次循环：p ＝(6－4＋3)×12＝60，k ＝4.第四次循环：p ＝(6－4＋4)×60＝360，此时k ＝m ，终止循环．输出p ＝360.]5．C [第一次循环：S ＝12；第二次循环：S ＝12＋22；第三次循环；S ＝12＋22＋32；第四次循环：S ＝12＋22＋32＋42＝30.]6．5解析 初始值：k ＝2，执行“k ＝k ＋1”得k ＝3，a ＝43＝64，b ＝34＝81，a>b 不成立； k ＝4，a ＝44＝256，b ＝44＝256，a>b 不成立；k ＝5，a ＝45＝1 024，b ＝54＝625，a>b 成立，此时输出k ＝5.7．30解析 按照程序框图依次执行为S ＝5，n ＝2，T ＝2；S ＝10，n ＝4，T ＝2＋4＝6；S ＝15，n ＝6，T ＝6＋6＝12；S ＝20，n ＝8，T ＝12＋8＝20；S ＝25，n ＝10，T ＝20＋10＝30>S ，输出T ＝30.8．63解析 当n ＝1时，S ＝1＋21＝3；当n ＝2时，S ＝3＋22＝7；当n ＝3时，S ＝7＋23＝15；当n ＝4时，S ＝15＋24＝31；当n ＝5时，S ＝31＋25＝63>33.故S ＝63.9．解 该程序框图即求这组数据的方差，∵a ＝44，(2分)∴S ＝18∑8i ＝1 (a i －a )2＝18[(40－44)2＋(41－44)2＋…＋(48－44)2]＝7.(12分)10．解 由题中框图可知S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1， ∵数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则有1a k a k ＋1＝1d (1a k －1a k ＋1)， ∴S ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a k －1a k ＋1) ＝1d (1a 1－1a k ＋1)．(4分) (1)由题意可知，k ＝5时，S ＝511；k ＝10时，S ＝1021. ∴⎩⎨⎧ 1d (1a 1－1a 6)＝511，1d (1a 1－1a 11)＝1021，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去)． 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(8分)(2)由(1)可得b n ＝2a n ＝22n －1，∴b 1＋b 2＋…＋b m＝21＋23＋…＋22m －1＝2(1－4m )1－4＝23(4m －1)． (12分)11．解 (1)循环体运行结果如下： 输出(1，0)n ＝3x ＝3y ＝－2n<2 011 输出(3，－2)n ＝5x ＝9y ＝－4n<2 011 输出(9，－4)n ＝7x ＝27y ＝－6n<2 011∴输出数组(9，t)中的t 值是－4.(4分)(2)计数变量n 的取值为：3,5,7，…，构成等差数列，由3＋(m －1)×2＝2 011.解得m ＝1 005，由于当m＝1 005时，n＝2 011，循环体还要执行一遍，会输出第1 006个数组，然后n＝2 013>2 011，跳出循环体．故共输出1 006个数组．(8分)(3)程序输出的数组(x n，y n)按输出的先后顺序，横坐标x n组成一个等比数列{x n}，首项x1＝1，公比q＝3.纵坐标组成一个等差数列{y n}，首项y1＝0，公差d＝－2.∴x1 006＝31 005，y1 006＝－2×1 005＝－2 010.故程序结束时，输出的最后一个数组是(31 005，－2 010)．(14分)。
学案18 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
学案18 同角三角函数的基本关系式及诱导公式导学目标： 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x.自主梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：______________________________. 2．诱导公式(1)sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝__________，tan(α＋2k π)＝__________，k ∈Z. (2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________. (3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.(5)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________. (6)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝__________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝____________________________________. 3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：上述过程体现了化归的思想方法． 自我检测1．(2018·全国Ⅰ)cos 300°等于 ( )A ．－32B ．－12C.12D.32 2．(2009·陕西)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为 ( )A.103 B.53 C.23D ．－2 3．(2018·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于( )A.45B.35C ．－45D ．－354．cos(－174π)－sin(－174π)的值是 ( )A. 2 B ．－ 2C ．0D.225．(2018·清远月考)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________.探究点一 利用同角三角函数基本关系式化简、求值例1 已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin 2x －cos 2x 的值；(2)求tan x2sin x ＋cos x 的值．变式迁移1 已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值． (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.探究点二 利用诱导公式化简、求值例2 (2018·合肥模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π)． (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α＋π＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－3π4的值．变式迁移2 设f(α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α (1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.探究点三 综合应用 例3 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．变式迁移3 (2018·安阳模拟)已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15，(1)求sin A·cos A；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．转化与化归思想的应用例 (12分)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 多角度审题 由sin α＋cos α＝15应联想到隐含条件sin 2α＋cos 2α＝1，要求tan α，应当切化弦，所以只要求出sin α，cos α即可．【答题模板】解 (1)联立方程⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15， ①2α＋cos 2α＝1， ② 由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.[2分]∵α是三角形的内角，∴⎩⎨⎧sin α＝45α＝－35，[4分]∴tan α＝－43.[6分](2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α，[8分] ∵tan α＝－43，∴1cos α－sin α＝tan 2α＋11－tan α[10分] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.[12分]【突破思维障碍】由sin α＋cos α＝15及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sin α再求cos α.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应注意“1”的活用．【易错点剖析】在求解sin α，cos α的过程中，若消去cos α得到关于sin α的方程，则求得两解，然后应根据α角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解．1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．2．注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号．注意“1”的灵活代换．3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2018·荆州模拟)已知△ABC 中，cos A sin A ＝－125，则cos A 等于 ( ) A.1213B.513C ．－513D ．－12132．已知tan α＝－512，且α为第二象限角，则sin α的值等于 ( ) A.15B ．－115C.513D．－5133．(2018·许昌月考)已知f(α)＝π－απ－α－π－αα，则f(－313π)的值为 ( )A.12B．－13C．－12D.134．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2 002)＝－1，则f(2 003)等于 ( ) A．－1 B．0 C．1 D．25．(2018·全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于 ( )A.1－k2kB．－1－k2k6．(2018·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.8．(2018·东北育才学校高三第一次模拟考试)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos2α＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)已知f(α)＝π－απ－α－α＋π－－α－π－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．10．(12分)化简：π－α－π－α]＋π＋απ＋α(k∈Z)．11．(14分)(2018·秦皇岛模拟)已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．(1)求cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)的值；(2)求tan(π－θ)－1tan θ的值．答案自主梳理1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)sin αcos α＝tan α 2.(1)sin αcos αtan α(2)－sin α－cos αtan α(3)－sin αcos α－tan α(4)sin α－cos α－tan α(5)cos αsin α(6)cos α－sin α自我检测1．C [cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝12 .]2．A [∵3sin α＋cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1，∴sin 2α＝110， ∴1cos 2α＋sin 2α＝1cos 2α＋2sin α－3sinα＝11－7sin 2α＝103.] 3．B4．A [cos(－174π)－sin(－174π)＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sin π4＝ 2.]5．－23解析 sin(α－2π3)＝－sin(2π3－α)＝－sin[(π6－α)＋π2]＝－cos(π6－α)＝－23.课堂活动区例1 解题导引 学会利用方程思想解三角函数题，对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断．解 由sin x ＋cos x ＝15得，1＋2sin xcos x ＝125，则2sin xcos x ＝－2425.∵－π2<x<0，∴sin x<0，cos x>0，即sin x －cos x<0. 则sin x －cos x＝－sin 2x －2sin xcos x ＋cos 2x＝－1＋2425＝－75.(1)sin 2x －cos 2x ＝(sin x ＋cos x)(sin x －cos x) ＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－725. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35cos x ＝45，则tan x ＝－34.即tan x2sin x ＋cos x＝－34－65＋45＝158. 变式迁移1 解 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α.∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. 方法一 (直接代入法)：(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 方法二 (同除转化法)：(1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85. 例2 解题导引 三角诱导公式记忆有一定规律：⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋α的本质是：奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2k π＋α，0≤α<2π；(2)转化为锐角三角函数．解 (1)∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π)， ∴cos α＝－55，sin α＝255. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α＋π＋α＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13.(2)∵cos α＝－55，sin α＝255， ∴sin 2α＝－45，cos 2α＝－35，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－3π4＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210. 变式迁移23解析 ∵f(α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin α＋sin α－cos α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6 ＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.例3 解题导引 先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cos A ．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．诱导公式在三角形中常用结论有：A ＋B ＝π－C ；A 2＋B 2＋C2＝π2. 解 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22. (1)当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B)＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.变式迁移3 解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin Acos A ＝125，∴sin A·cos A＝－1225.(2)由(1)sin A·cos A＝－1225<0，且0<A<π，可知cos A<0，∴A 为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A)2＝1－2sin A·cos A＝4925，又sin A>0，cos A<0，∴sin A －cos A>0，∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝－43.课后练习区1．D [∵A 为△ABC 中的角，cos A sin A ＝－125，∴sin A ＝－512cos A ，A 为钝角，∴cos A<0.代入sin 2A ＋cos 2A ＝1，求得cos A ＝－1213.]2．C [已知tan α＝－512，且α为第二象限角，有cos α＝－11＋tan 2α＝－1213，所以sin α＝513.] 3．C [∵f(α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f(－313π)＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cos π3＝－12.]4．C [∵f(2 002)＝asin(2 002π＋α)＋bcos(2 002π＋β) ＝asin α＋bcos β＝－1，∴f(2 003)＝asin(2 003π＋α)＋bcos(2 003π＋β) ＝asin[2 002π＋(π＋α)]＋bcos[2 002π＋(π＋β)]＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.] 5．B [∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k .]6．－255解析 ∵tan α＝－12，∴sin αcos α＝－12，又∵sin 2α＋cos 2α＝1，α是第二象限的角，∴cos α＝－255. 7.892解析 sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 245°＋…＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋…＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝44＋12＝892.8.165解析 原式＝tan α＋1tan α－1＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝3＋1tan α＋1＝3＋15＝165.9．解 (1)f(α)＝π－απ－α－α＋π－－α－π－π－α＝sin αcos α－tan αtan αsin α＝－cos α.…………………………………………………………(5分)(2)∵α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，……………………………………………………………………………(8分)∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－－152＝－265， ∴f(α)＝－cos α＝265.…………………………………………………………………(12分)10．解 当k 为偶数2n (n ∈Z)时，原式＝π－α－π－α]＋π＋απ＋α＝－α－π－απ＋αα＝－sin απ＋α－sin α·cos α＝－cos αcos α＝－1；……………………………………………………(6分)当k 为奇数2n ＋1 (n ∈Z)时，原式＝＋π－απ－α＋π＋α＋π＋α]＝π－α－απ＋απ＋α＝sin α·cos αsin α－cos α＝－1.∴当k ∈Z 时，原式＝－1.………………………………………………………………(12分) 11．解 由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分) 又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a －1＝0，(6分) 从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.…………………………………………………(8分)(1)cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.………(11分)(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－(sin θcos θ＋cos θsin θ)＝－1sin θcos θ＝－11－2＝1＋ 2.……………………………………………………………………………………………(14分)。
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案32 数列的综合应用
探究点一 等差、等比数列的综合问题 例 1 设{an}是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和．已知 S3＝7，且 a1 ＋3,3a2，a3＋4 构成等差数列． (1)求数列{an}的通项； (2)令 bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
Go the distance
学案 32
数列的综合应用
导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际 问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、 生活中的应用．
自主梳理 1．数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题， 二是数列与其他数学 内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等 差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若 干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由 Sn 求 an 时，要对______________进行分类讨论． 2．数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容， 解答应用问题的核心是建立数 学模型． (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是 求 an 还是求 Sn. (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时， 商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增 值； ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和， 等于商品售价及从购买时到最后一 次付款的利息之和． 自我检测 1 ． ( 原创 题 ) 若 Sn 是等差 数列 {an} 的前 n 项 和， 且 S8 － S3 ＝ 10 ， 则 S11 的 值 为 ( ) A．12 B．18 C．22 D．44 a6 2．(2011· 汕头模拟)在等比数列{an}中，an>an＋1，且 a7· a11＝6，a4＋a14＝5，则 等于 a16 ( ) 2 3 A. B. 3 2 1 5 C．－ D．－ 6 6 3．若{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，把{an}的每一项都减去 2 后，得到一个新 数列{bn}， 设{bn}的前 n 项和为 Sn， 对于任意的 n∈N*， 下列结论正确的是 ( ) 1 n A．bn＋1＝3bn，且 Sn＝ (3 －1) 2 1 B．bn＋1＝3bn－2，且 Sn＝ (3n－1) 2 1 C．bn＋1＝3bn＋4，且 Sn＝ (3n－1)－2n 2
【步步高】2015届高考数学总复习 抛物线学案 理 北师大版
学案53 抛物线导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理 1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的__________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线方程x ＝－p2x ＝p2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右向左向上向下自我检测1．(2010·四川)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．82．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．43．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|5．(2011·佛山模拟)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能探究点一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．变式迁移1 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2)D ．(1，－2)探究点二 求抛物线的标准方程例2 (2011·芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值．分类讨论思想的应用例 (12分)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，过B 点作其准线的垂线，垂足为D ，设O 为坐标原点，问：是否存在实数λ，使AO →＝λOD →？多角度审题 这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A 、B 两点坐标，从而得到D 点坐标，再设出直线AB 的方程，利用方程组和向量条件求出λ.【答题模板】解 假设存在实数λ，使AO →＝λOD →. 抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p 2， (1)当直线AB 的斜率不存在，即AB ⊥x 轴时， 交点A 、B 坐标不妨设为：A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p2，－p . ∵BD ⊥l ，∴D ⎝⎛⎭⎫－p2，－p ， ∴AO →＝⎝⎛⎭⎫－p 2，－p ，OD →＝⎝⎛⎭⎫－p 2，－p ，∴存在λ＝1使AO →＝λOD →.[4分] (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2 (k ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2，x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px 得ky 2－2py －kp 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，∴y 2＝－p 2y 1，[8分]AO →＝(－x 1，－y 1)＝⎝⎛⎭⎫－y 212p ，－y 1，OD →＝⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2＝⎝⎛⎭⎫－p 2，－p 2y 1，假设存在实数λ，使AO →＝λOD →，则⎩⎨⎧－y 212p ＝－p 2λ－y 1＝－p 2y1λ，解得λ＝y 21p 2，∴存在实数λ＝y 21p2，使AO →＝λOD →.综上所述，存在实数λ，使AO →＝λOD →.[12分] 【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A 、D 两点坐标关系，求出AO →和OD →的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB 的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．1．关于抛物线的定义要注意点F 不在定直线l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线． 2．关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于： (1)p 的几何意义：参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数．(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．3．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于( )A.45B.35 C ．－35D ．－452．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥33．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定4．(2011·泉州月考)已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|P A |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，1B ．(－2,22) C.⎝⎛⎭⎫－14，－1D ．(－2，－22)5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2，2)二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·重庆)设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．7．(2011·济宁期末)已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则|AB |＝________.8．(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．(12分)(2011·韶关模拟)已知抛物线C ：x 2＝8y .AB 是抛物线C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .11．(14分)(2011·济南模拟)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．学案53 抛物线自主梳理1．相等 焦点 准线 自我检测 1．C2．B [因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .所以选B.]3．B 4.C 5.B 课堂活动区例1 解题导引 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部． 设抛物线上点P 到准线l ： x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2， ∴点P 坐标为(2,2)． 变式迁移1 A [点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1.]例2 解题导引 (1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p 的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF |转化为点P 到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解 方法一 设抛物线方程为 x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线方程为y ＝p2. ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p22＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26， 准线方程为y ＝2. 方法二 如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫0，－p2， 准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N .则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p2，∴3＋p2＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝(－8)×(－3)，得m ＝±2 6. 变式迁移2 解 (1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6.∴方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y 2＝mx (m >0)或x 2＝ny (n <0)，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .例3 解题导引 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB 为焦点弦，以y 2＝2px (p >0)为例)：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； ②|AB |＝x 1＋x 2＋p .证明 (1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一解，∴k ≠0，由韦达定理，得y 1y 2＝－p 2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为 ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，∴y 1y 2＝－p 2. 综合两种情况，总有y 1y 2＝－p 2.方法二 由抛物线方程可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，可得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫ky ＋p 2， 整理，得y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.(2)直线AC 的方程为y ＝y 1x 1x ， ∴点C 坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，－py 12x 1，y C ＝－py 12x 1＝－p 2y 12px 1.∵点A (x 1，y 1)在抛物线上，∴y 21＝2px 1.又由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴y C ＝y 1y 2·y 1y 21＝y 2，∴BC ∥x 轴． 变式迁移3 证明 (1)∵y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2 (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0. ∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24， 当k 不存在时，直线方程为x ＝p 2，这时x 1x 2＝p 24. 因此，x 1x 2＝p 24恒成立． (2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 又∵x 1x 2＝p 24，代入上式得1|AF |＋1|BF |＝2p＝常数， 所以1|AF |＋1|BF |为定值． 课后练习区1．D [方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4. 令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45. 方法二 由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)，∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)，∴|F A →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝3×0＋4×(－2)5×2＝－45.] 2．C [如图所示，A ，B 两点关于x 轴对称，F 点坐标为(p 2，0)，设A (m ，2pm )(m >0)，则由抛物线定义，|AF |＝|AA 1|，即m ＋p 2＝|AF |. 又|AF |＝|AB |＝22pm ，∴m ＋p 2＝22pm ，整理，得m 2－7pm ＋p 24＝0，① ∴Δ＝(－7p )2－4×p 24＝48p 2>0， ∴方程①有两相异实根，记为m 1，m 2，且m 1＋m 2＝7p >0，m 1·m 2＝p 24>0， ∴m 1>0，m 2>0，∴n ＝2.]3．C4．A [过P 作PK ⊥l (l 为抛物线的准线)于K ，则|PF |＝|PK |，∴|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PK |.∴当P 点的纵坐标与A 点的纵坐标相同时，|P A |＋|PK |最小，此时P 点的纵坐标为1，把y ＝1代入y 2＝－4x ，得x ＝－14，即当P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－14，1时，|P A |＋|PF |最小．] 5．B6.6－1解析 如图所示，若圆C 的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x ＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a <3)，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝(3－a )2，与抛物线方程y 2＝2x 联立得x 2＋(2－2a )x ＋6a －9＝0，由判别式Δ＝(2－2a )2－4(6a －9)＝0，得a ＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－1.7．4 2解析 由题意可设AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立得x 2－4kx －4m ＝0，线段AB 中点坐标为(2,2)，x 1＋x 2＝4k ＝4，得k ＝1.又∵y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝4，∴m ＝0.从而直线AB ：y ＝x ，|AB |＝2|OM |＝4 2.8.324解析 抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 9．解 设直线和抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝2x ＋1，消去y 得，4x 2－(2p －4)x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14，(4分) ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫p －222－4×14＝15，(7分) 则 p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，解得p ＝6(p ＝－2舍去)， 抛物线方程为y 2＝12x .(9分)(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，仿(1)不难求出p ＝2， 此时抛物线方程为y 2＝－4x .(11分)综上可得，所求的抛物线方程为y 2＝－4x 或y 2＝12x .(12分)10．证明 因为直线AB 与x 轴不垂直， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.(4分)抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .(7分) 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2 ＝116x 1·x 2＝－1.(10分) 所以AQ ⊥BQ .(12分)11．解 (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(5分)(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0. 记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.(8分)因为直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2k ，－1.(9分) RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8，(11分) ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号． RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16. (14分)。
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末检测：第十三章 选修系列
解 假设能找到，如图，设 EC 交 BD 于点 F，则 F 为 EC 的中点， 作 EG∥AC 交 BD 于 G. ∵EG∥AC，EF＝FC， ∴△EGF≌△CDF，且 EG＝DC， 1 ∴EG 綊 AD，△BEG∽△BAD， 2 BE EG 1 ∴ ＝ ＝ ，∴E 为 AB 的中点． BA AD 2 ∴当 E 为 AB 的中点时，EC 的中点在 BD 上． 例 2 解题导引 证明线段成比例问题，一般有平行的条件可考虑用平行线分线段成 比例定理或推论，也可以用三角形相似或考虑用线段替换等方法． 证明 作 EG∥AB 交 BC 于 G，如图所示，
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD⊥AB 于点 D，CD＝2，BD＝3，则 AC＝ ________. 4． 如图所示， 在△ABC 中， AD 是∠BAC 的平分线， AB＝5 cm， AC＝4 cm， BC＝7 cm， 则 BD＝________cm.
第 4 题图 第 5 题图 5．(2011· 陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90° ，且 AB＝6，AC＝4，AD＝ 12，则 BE＝________.
AD 2． 如图所示， D 是△ABC 的边 AB 上的一点， 过 D 点作 DE∥BC 交 AC 于 E.已知 ＝ DB S△ADE 2 ，则 ＝__________________________________________. 3 S四边形BCED
EF FG 3．如图，在四边形 ABCD 中，EF∥BC，FG∥AD，则 ＋ ＝________. BC AD
Go the distance
第十三章 选修系列 4 学案 73 几何证明选讲
(一)相似三角形的判定及有关性质
导学目标： 1.了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理； 2.掌握相似三角形 的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理．
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案33 不等式的概念与性质
探究点一 数与式的大小比较 例 1 (1)设 x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小； (2)已知 a，b，c∈{正实数}，且 a2＋b2＝c2，当 n∈N，n>2 时，比较 cn 与 an＋bn 的大 小．
变式迁移 1 已知 a>2，b>2，试比较 a＋b 与 ab 的大小．
Go the distance
第七章 不等式、推理与证明 学案 33 不等式的概念与性质
导学目标： 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2. 理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题．
自主梳理 1．不等关系 不等关系与等量关系一样， 也是自然界中存在的基本数量关系， 它们在现实世界和日常 生活中大量存在．不等关系可分为常量与________间的不等关系(如 3>0)，变量与________ 间的不等关系(如 x>5)，函数与________之间的不等关系(如 x2＋1≥2x)等． 2．不等式 用________(如“<”“>”“≤”“≥”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用 “<” 或 “>” 连接的不等式叫做严格不等式；用“≤”“≥”连接的不等式叫做非严格不等 式．不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条 件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、矛盾不等式 (不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)． 3．两个实数大小的比较 (1)作差法：设 a，b∈R，则 a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，这是比较两个实数大小和运 用比较法的依据． (2)作商法：依据：设 a>0，b>0，则 a>b⇔__________， a a<b⇔ <1. b 4．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔________； (2)传递性：a>b，b>c⇒________； (3)加法性质：a>b⇔________； 推论：a>b，c>d⇒________； (4)乘法性质：a>b，c>0⇒________； 推论：a>b>0，c>d>0⇒________； (5)乘方性质：a>b>0⇒________________________； (6)开方性质：a>b>0⇒________________________； (7)倒数性质：a>b，ab>0⇒________________. 自我检测 1．(2011· 大纲全国)下面四个条件中，使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1 C．a2>b2 D．a3>b3 2．若 a，b 是任意实数，且 a>b，则( ) b A．a2>b2 B. <1 a 1a 1b C．lg(a－b)>0 D. 2 <2 3．(2011· 青岛模拟)设 a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是( ) a b A． ＋ ≥2 b a B．ln(ab＋1)>0 C．a2＋b2＋2≥2a＋2b D．a3＋b3≥2ab2
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案16 定积分及其简单的应用
函数思想的应用 例 (12 分)在区间[0,1]上给定曲线 y＝x2.试在此区间内确定点 t 的值， 使图中的阴影部 分的面积 S1 与 S2 之和最小，并求最小值．
【答题模板】 解 S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y＝x2 与 x 轴、直线 x＝t 所围成的面 2 积，即 S1＝t· t2－ʃt0x2dx＝ t3.[2 分] 3 S2 的面积等于曲线 y＝x2 与 x 轴，x＝t，x＝1 围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别 23 2 1 2 2 为 t2,1－t，即 S2＝ʃ1 t x dx－t (1－t)＝ t －t ＋ .[4 分] 3 3 43 2 1 所以阴影部分面积 S＝S1＋S2＝ t －t ＋ (0≤t≤1)．[6 分] 3 3 1 1 令 S′(t)＝4t2－2t＝4t t－2＝0 时，得 t＝0 或 t＝2.[8 分] 1 1 1 2 t＝0 时，S＝ ；t＝ 时，S＝ ；t＝1 时，S＝ .[10 分] 3 2 4 3 1 1 所以当 t＝ 时，S 最小，且最小值为 .[12 分] 2 4 【突破思维障碍】 本题既不是直接求曲边梯形面积问题， 也不是直接求函数的最小值问题， 而是先利用定 积分求出面积的和， 然后利用导数的知识求面积和的最小值， 难点在于把用导数求函数最小 值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．
答案 自主梳理 1．x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x) 面积 b b 2．(1)kʃb (2)ʃb ʃa f2(x)dx (3)ʃc af(x)dx af1(x)dx± af(x)dx＋ʃc f(x)dx(其中 a<c<b) b b b 3.微积分基本定理 F(x)|a 4.(1)ʃaf(x)dx (2)－ʃaf(x)dx (3)ʃb a[f(x)－g(x)]dx 5.(1)s＝ʃb (2)ʃb av(t)dt aF(x)dx 自我检测 1．A 2.A 3.C 4.D 5．± 3