矩形的性质基础练习题(A类习题)
矩形的性质相关练习题
矩形的性质相关练习题矩形的性质相关练习题矩形是一种常见的几何形状，具有一些独特的性质和特点。
在数学学习中，我们经常会遇到与矩形相关的练习题，通过解答这些问题，我们可以更好地理解和应用矩形的性质。
在本文中，我将为大家分享一些与矩形相关的练习题，并解答这些问题，帮助大家更好地掌握矩形的性质。
第一题：已知一个矩形的长为12 cm，宽为8 cm，求其周长和面积。
解答：矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，所以周长为（12 + 8）× 2 = 40 cm。
矩形的面积等于长乘以宽，所以面积为12 × 8 = 96cm²。
第二题：一个矩形的周长为30 cm，面积为84 cm²，求其长和宽。
解答：设矩形的长为x cm，宽为y cm。
根据题意，2x + 2y = 30，xy = 84。
解这个方程组可以得到x = 12 cm，y = 7 cm。
所以该矩形的长为12 cm，宽为7 cm。
第三题：一个矩形的长是宽的2倍，且周长为30 cm，求其长和宽。
解答：设矩形的宽为x cm，则长为2x cm。
根据题意，2(2x) + 2x = 30，解这个方程可以得到x = 5 cm。
所以该矩形的长为10 cm，宽为5 cm。
第四题：一个矩形的长和宽的比为5:3，且面积为120 cm²，求其长和宽。
解答：设矩形的长为5x cm，宽为3x cm。
根据题意，5x × 3x = 120，解这个方程可以得到x = 4 cm。
所以该矩形的长为20 cm，宽为12 cm。
通过解答以上练习题，我们可以看出，矩形的性质与其周长、面积之间存在一定的关系。
矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，面积等于长乘以宽。
通过利用这些性质，我们可以解决与矩形相关的各种问题。
除了上述练习题，我们还可以进一步探索矩形的其他性质，如对角线的长度、内角和等。
通过不断练习和思考，我们可以更加深入地理解矩形的性质，并能够灵活地运用到实际问题中。
矩形的性质练习题及答案
矩形的性质练习题及答案
练题
1. 矩形是一种特殊的四边形，具有哪些特点？
2. 矩形的四边分别叫什么？
3. 矩形的对角线有什么特点？
4. 如何判断一个四边形是否为矩形？
5. 下列哪个形状不是矩形？
- (A) 正方形
- (B) 长方形
- (C) 梯形
- (D) 菱形
6. 一个矩形的长和宽分别为8cm和6cm，求他的面积和周长。
答案
1. 矩形具有以下特点：
- 四个角都是直角（90°）
- 两对相邻边相等
- 对角线相等
2. 矩形的四边分别叫：
- 上边（或上底）
- 下边（或下底）
- 左边（或左底）
- 右边（或右底）
3. 矩形的对角线有以下特点：
- 对角线长度相等
- 对角线互相垂直（成直角）
4. 判断一个四边形是否为矩形，需满足以下条件：- 四个角都是直角
- 两对相邻边相等
5. 下列哪个形状不是矩形？
- (C) 梯形
6. 长为8cm，宽为6cm的矩形的面积和周长计算如下：
- 面积：8cm × 6cm = 48cm²
- 周长：2 × (8cm + 6cm) = 28cm
注意：矩形的面积单位为平方单位，周长单位为长度单位。
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以上为矩形的性质练习题及答案。
了解矩形的特点和计算方法能够帮助我们更好地理解和应用矩形的性质。
如果还有其他问题，欢迎继续咨询。
矩形的性质与判定练习题
矩形的性质与判定练习题矩形是几何学中常见的形状之一，具有许多独特的性质和特点。
在本文中，我们将通过一些练习题来探讨和判定矩形的性质。
请阅读以下练习题并回答。
练习题一：判断矩形1. 给定四个点A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4)，请判断这四个点能否构成一个矩形。
练习题二：矩形的性质1. 一条直线分割一个矩形，使其成为两个等面积的小矩形。
证明这条直线必定是通过矩形的中心点。
2. 如果一条直线沿着矩形的一条边切割，那么它将会切成两个全等的小矩形。
3. 证明：一个矩形的对角线相等。
练习题三：矩形的判定1. 给定四个点A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4)，请判断这四个点能否构成一个正方形。
2. 如果一条矩形的两条对边相等且平行，则它必定是一个正方形。
练习题四：矩形的角度1. 一个矩形的四个内角的和是多少度？2. 证明：一个矩形的内角都是直角（90度）。
练习题五：矩形的边长关系1. 一个矩形的两条对边的长度分别是a和b，它的对角线的长度是多少？2. 如果一个矩形的一边的长度是a，另一条边的长度是b，那么它的面积是多少？练习题六：矩形的面积1. 已知一个矩形的长为5cm，宽为3cm，求它的面积。
2. 如果一个矩形的面积是24平方单位，且长比宽多2个单位，求矩形的长和宽。
根据上述练习题，我们可以通过判断和计算来了解矩形的性质和特点。
矩形具有对角线相等、相对边平行、内角为直角等特点，这些性质可以帮助我们对矩形进行判定和计算。
答案：练习题一：可以构成一个矩形；练习题二：1. 通过矩形的对角线可以证明；2. 正确；3. 通过矩形的对角线可以证明；练习题三：1. 不能构成一个正方形；2. 正确；练习题四：1. 360度；2. 通过矩形的对角线可以证明；练习题五：1. 对角线的长度可以通过勾股定理计算：√(a^2 + b^2)；2. 面积可以通过长乘宽计算：a * b；练习题六：1. 面积等于长乘宽：5cm * 3cm = 15平方厘米；2. 设矩形的宽为x，则长为x+2，根据面积的计算公式得到：(x+2) * x = 24，解得x=4，所以矩形的长为6，宽为4。
《矩形的性质》测试及答案
《矩形的性质》测试满分100分80分过关限时30分钟一．选择题（共4小题，每题10分，共40分）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O．AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（）A．4B．3C．5D．52．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（）A．14.8B．15C．15.2D．163．如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，若∠AED ＝α+β，下列结论正确的是（）A．α＝βB．α＝γC．α+β+2γ＝90°D．2α+γ＝90°4．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．6B．12C．24D．不能确定二．填空题（共4小题，每题10分，共40分）5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝3，则AC的长是．6．如图，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点EF，则ED的长为．7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠AOB＝60°，AC＝12，则BE的长为．8．在探究“尺规三等分角”这个数学名题中，利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AF，CF、BA的延长线交于点E，若∠E＝∠F AE，∠ACB ＝21°，则∠ECD的度数是．三．解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，求线段AP的长．10．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）判断四边形ACDF的形状；（2）当BC＝2CD时，求证：CF平分∠BCD．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故选：B．2．【分析】由勾股定理求出AC＝10，由题意得出AP+CP＝AC＝10，求出BP的最小值即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝8，∴AC＝＝＝10，∵P是AC上的一个动点，∴AP+CP＝AC＝10，当BP⊥AC时，BP最小，∵BP＝＝＝4.8，∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8；故选：A．3．【分析】由矩形的性质得出∠A＝∠ADC＝90°，则α+β+γ＝90°，由直角三角形的性质得出∠AED+α＝90°，证出2α+β＝90°，推出α+β+γ＝2α+β，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，∴α+β+γ＝90°，∵∠AED+α＝90°，∠AED＝α+β，∴2α+β＝90°，∴α+β+γ＝2α+β，∴α＝γ，故选：B．4．【分析】由矩形ABCD可得：S△AOD＝S矩形ABCD，又由AB＝15，BC＝20，可求得AC的长，则可求得OA 与OD的长，又由S△AOD＝S△APO+S△DPO＝OA•PE+OD•PF，代入数值即可求得结果．【解答】解：连接OP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠ABC＝90°，S△AOD＝S矩形ABCD，∴OA＝OD＝AC，∵AB＝15，BC＝20，∴AC＝＝＝25，S△AOD＝S矩形ABCD＝×15×20＝75，∴OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△APO+S△DPO＝OA•PE+OD•PF＝OA•（PE+PF）＝×（PE+PF）＝75，∴PE+PF＝12．∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12．故选：B．二．填空题（共4小题）5．【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA＝OD，再求出∠AOD＝60°，然后判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出OA，即可得出AC的长．【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OA＝OD，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝3，∴AC＝2OA＝6；故答案为：66．【分析】连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE＝BE＝4﹣x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得x，即可求出BE的长．【解答】解：连接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，设AE＝xcm，则DE＝EB＝（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2＝BE2，即：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝．∴DE＝AD＝AE＝，故答案为：．7．【分析】由矩形的性质得出OA＝OB＝6，证出△ABO是等边三角形，由等边三角形的性质即可得出答案．【解答】解：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AC＝BD＝12，OA＝AC＝6，OB＝BD，∴OA＝OB＝6，∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形，∵AE⊥BD，∴BE＝OB＝3；故答案为：3．8．【分析】由矩形的性质得出∠BCD＝90°，AB∥CD，AD∥BC，证出∠FEA＝∠ECD，∠DAC＝∠ACB＝21°，由三角形的外角性质得出∠ACF＝2∠FEA，设∠ECD＝x，则∠ACF＝2x，∠ACD＝3x，由互余两角关系得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，AB∥CD，AD∥BC，∴∠FEA＝∠ECD，∠DAC＝∠ACB＝21°，∵∠ACF＝∠AFC，∠F AE＝∠FEA，∴∠ACF＝2∠FEA，设∠ECD＝x，则∠ACF＝2x，∴∠ACD＝3x，∴3x+21°＝90°，解得：x＝23°，即∠ECD＝23°，故答案为：23°．三．解答题（共2小题）9．【分析】先根据勾股定理得到AC的长，再根据AQ＝AD，得出CP＝CQ＝2，进而得到BP的长，最后在Rt△ABP中，依据勾股定理即可得到AP的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠B＝90°，…………………………………………………………2分∴AC＝＝＝5，………………………………………………4分又∵AQ＝AD＝3，AD∥CP，∴CQ＝5﹣3＝2，∠CQP＝∠AQD＝∠ADQ＝∠CPQ，…………………………6分∴CP＝CQ＝2，………………………………………………………………………7分∴BP＝3﹣2＝1，……………………………………………………………………8分在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP＝＝＝．……………10分10．【分析】（1）Z证明△F AE≌△CDE（ASA），得出CD＝F A，由CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）由平行四边形的性质和已知条件得出AF＝CD，BF＝BC，得出△BCF是等腰直角三角形，得出∠BCF ＝45°，求出∠DCF＝45°，即可得出CF平分∠BCD．【解答】（1）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：……………………1分∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠F AE＝∠CDE，………………………………………………………………2分∵E是AD的中点，∴AE＝DE，…………………………………………………………………………3分在△F AE和△CDE中，，∴△F AE≌△CDE（ASA），……………………………………………………4分∴CD＝F A，……………………………………………………………………5分又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；………………………………………………6分（2）证明：∵BC＝2CD，AB＝CD，四边形ACDF是平行四边形，∴AF＝CD，BF＝BC，…………………………………………………………7分∴△BCF是等腰直角三角形，………………………………………………8分∴∠BCF＝45°，∴∠DCF＝45°，……………………………………………………………9分∴CF平分∠BCD．…………………………………………………………10分。
北师大版2022年九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定 同步练习题
九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为34．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD.∴∠MAB ＝∠NCD. 在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO. ∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时 矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A，C两点，过A，C两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD 是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ， 即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形． 在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE 的长是10．4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或33．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠EDC. ∵DE 平分∠ADC，∴∠ADE ＝∠EDC. ∴∠AED ＝∠ADE.∴AE＝AD. ∵AE ＝AF ，∴AF ＝AD. ∵AF ＝DH ，∴AD ＝DH. 又∵∠GAD＝∠DHM＝90°， ∴△DAG ≌△DHM(SAS)． ∴∠ADE ＝∠HDM，∠AGD ＝∠M. ∴∠EDC ＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM. ∵AF ∥DH ，∴∠AGD ＝∠GDH. ∴∠CDM ＝∠M.∴CD＝CM ＝CH ＋HM. ∵AB ＝CD ，CH ＝BF ，HM ＝AG ， ∴AB ＝BF ＋AG.1、在最软入的时候，你会想起谁。
矩形练习题(含答案)
矩形性质及判定练习题一、单选题AB=，则AC的长是(D) 1．如图，矩形ABCD中，120BOC∠=，4A．2 B．3C．4 D．82．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于(A)A．110° B．115° C．120°D．125°3．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（C ）A．34B．26C．6.5D．8.54．直角三角形的两条直角边长为3和4,则它斜边上的中线长为（C ）A．5B．2C．2.5D．1.55．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（B）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB∠BC6．下列命题正确的是（A）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE∠BD交AD于点E．已知AB＝2，∠DOE的面积为5，则AE的长为（C）4A．√5B．2 C．1.5 D．√28．矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（B）A．5 B．52C．6 D．629．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是AB的中点，若OM ＝4，AB ＝6，则BD 的长为（ D ）A ．4B ．5C ．8D ．1010．如图，矩形ABCD 和矩形BDEF ，点A 在EF ，边上，设矩形ABCD 和矩形BDEF 的面积分别为1S 、2S ，则1S 与2S 的大小关系为（A ）A ．1S =2SB ．1S >2SC ．1S <2SD ．13S =22S二、填空题11．如图,在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,则BD 的长为____8_____,AD 的长为____3_________.12．如图所示，BD 为矩形ABCD 的一条对角线，延长BC 至点E ，使CE =BD ，连结AE ，若AB =1，∠AEB =15°，则AD 的长度为__3__．13．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 于BD 相交于点O ，过点A作AE∠BD ，垂足为点E ，若∠EAC ＝2∠CAD ，则∠AOB ＝_45°____．14．如图，O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若BC=8，OB=5，则OM 的长为__3___三、解答题15．如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，BC ＝10，AB ＝8，求．（1）FC 的长 （2）EC 的长．．解：（1）根据折叠可得AD ＝AF ，∠四边形ABCD 是矩形，∠AD ＝BC ＝10，∠B ＝90°，∠AF ＝10，在Rt∠ABF 中，由勾股定理得∠BF 22100646AF AB --=， ∠FC ＝4；（2）根据折叠可得ED＝EF，∠四边形ABCD是矩形，∠AB＝CD＝8，∠C＝90°，设ED＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x，在Rt∠EFC中，EF2＝EC2+FC2，x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∠EC＝8﹣5＝3．16．已知:如图，在∠ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，G是CE的中点，DG∠CE 于点G，求证:∠B=2∠BCE证明：如图，连接DE，∠G是CE的中点，DG∠CE∠DG垂直平分CE∠DE=DC∠AD∠BC，CE是边AB上的中线，∠DE是Rt∠ABD斜边上的中线,即DE=BE=12 AB，∠BE=DE=CD，∠∠B=∠BDE，∠DEC=∠DCE，∠∠B=∠BDE=2∠BCE.17．（8分）（聊城）如图，在∠ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE 交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．证明：∠AB=BC，BD平分∠ABC，∠ BD∠AC，AD=CD．∠ 四边形ABED是平行四边形，∠ BE∠AD，BE=AD，∠ BE∠CD，BE=CD，∠ 四边形BECD是平行四边形．∠ BD∠AC，∠ ∠BDC=90°，∠ ∠BECD是矩形．18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠AOB∠∠ODC＝4∠3，求∠ADO的度数.18.(1)∠AO＝OC，BO＝OD，∠四边形ABCD是平行四边形，又∠∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是∠AOD的外角，∠∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.∠∠OAD＝∠ADO.∠AO＝OD.又∠AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，∠AC＝BD.∠四边形ABCD是矩形.(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，在∠ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°∠4x+3x+3x=180°，解得x=18°，∠∠ODC=3×18°=54°，∠四边形ABCD是矩形，∠∠ADC=90°，∠∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°。
矩形的性质和判定典型试题综合训练(含解析)完美打印版
矩形的性质和判定典型试题综合训练（含解析）一．选择题（共15小题）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB3．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC5．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．127．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP 的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1=2S28．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S29．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA 为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．D．510．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°11．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．513．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，当P从A向D运动（P与A，D不重合），则PE+PF的值（）A．增大B．减小C．不变D．先增大再减小14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3 C．D．15．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．5cm2D．cm2二．填空题（共12小题）16．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是．18．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．19．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=．20．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．22．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为cm2．23．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF 的最小值是．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为．25．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是．26．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中一定成立的结论有（将正确结论的序号填在横线上）27．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．三．解答题（共7小题）28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．29．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．30．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．31．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．32．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．33．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC 的长及四边形AOFE的面积．34．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是．矩形的性质和判定典型试题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．3．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：B．5．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据等腰三角形的定义，即可一一判断．【解答】解：如图图1中，∵∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．图3中，同法可证∠1=∠2，∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．图4中，△ABC是等腰直角三角形，故选C．6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．12【分析】由全等三角形的判定得到△OFB≌△OED，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．【解答】解：在矩形ABCD中，OB=OD，∠FBO=∠EDO，∴在△OFB与△OED中，∴△FBO≌△EDO，∴S阴影部分=S△ABO=S矩形=×3×4=3．故选A．7．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP 的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1=2S2【分析】根据矩形的性质，可知△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积，再根据等量关系即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，∴△ABD的面积=△CDB的面积，△MBK的面积=△QKB的面积，△PKD的面积=△NDK的面积，∴△ABD的面积﹣△MBK的面积﹣△PKD的面积=△CDB的面积﹣△QKB的面积=△NDK的面积，∴S1=S2．故选：B．8．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S2【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．【解答】解：矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2，故选B．9．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．D．5【分析】连接DF，在Rt△CDF中，求出CF，再求出CE即可解决问题．【解答】解：连接DF．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=BE=12，DA=BC=DF=13，∠C=90°，∴CF===5，∵EC=BC﹣BE=13﹣12=1，∴EF=CF﹣CE=4．故选B．10．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等求出∠MCP，然后求出∠BCP，再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=BC，MP=MC，∵∠PMC=110°，∴∠MCP=（180°﹣∠PMC）=（180°﹣110°）=35°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠BCP=90°﹣∠MCP=90°﹣35°=55°，∴∠BCP=∠BPC=55°．故选C．11．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【分析】先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．【解答】解：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选A．12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．5【分析】设FC′=x，则FD=9﹣x，根据矩形的性质结合BC=6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设FC′=x，则FD=9﹣x，∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．故选D．13．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，当P从A向D运动（P与A，D不重合），则PE+PF的值（）A．增大B．减小C．不变D．先增大再减小【分析】首先过A作AG⊥BD于G．利用面积法证明PE+PF=AG即可．【解答】解：如图，过A作AG⊥BD于G，则S△AOD=×OD×AG，S△AOP+S△POD=×AO×PF+×DO×PE=×DO×（PE+PF），∵S△AOD=S△AOP+S△POD，四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴PE+PF=AG，∴PE+PF的值是定值，故选C．14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3 C．D．【分析】连接AP，根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP，问题得解．【解答】解：连接AP，∵矩形ABCD中，AB=DC=4，P是CD边上的中点，∴DP=2，∴AP==2，连接AP，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN=AP=．故选D．15．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．5cm2D．cm2【分析】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．【解答】方法一：解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2，∵O为矩形ABCD的对角线的交点，∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，∴平行四边形AOC1B的面积=S，∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=，…，依此类推，平行四边形AO4C5B的面积===（cm2）．故选：B．二．填空题（共12小题）16．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC，使四边形DBCE是矩形．【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是9．【分析】连接EO，延长EO交AB于H．只要证明四边形ADEO是平行四边形，推出OE=AD，再证明OH 是△ADB的中位线，可得OE=AD，延长即可求出EH解决问题．【解答】解：连接EO，延长EO交AB于H．∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴四边形ODEC是菱形，∴OE⊥CD，∵AB∥CD，AD⊥CD，∴EH⊥AB，AD∥OE，∵OA∥DE，∴四边形ADEO是平行四边形，∴AD=OE=6，∵OH∥AD，OB=OD，∴BH=AH，∴OH=AD=3，∴EH=OH+OE=3+6=9，故答案为9．18．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．19．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=5．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为520．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是6．【分析】用矩形的面积减去△ADQ和△BCP的面积求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=4．S阴影=S矩形ABCD﹣S△BPC﹣S△ADQ=AB•CB﹣BC•MB AD•AM=4×3﹣4×BM﹣×4×AM=12﹣2MB﹣2AM=12﹣2（MB+AM）=12﹣2×3=6．故答案为：6．21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于7．【分析】连接EG，FH，根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD 的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB﹣BE=4﹣1=3，CH=CD﹣DH=4﹣1=3，∴AE=CH，在△AEF与△CGH中，，∴△AEF≌△CGH（SAS），∴EF=GH，同理可得，△BGE≌△DFH，∴EG=FH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=×平行四边形EGHF的面积，平行四边形EGHF的面积=4×6﹣×2×3﹣×1×（6﹣2）﹣×2×3﹣×1×（6﹣2），=24﹣3﹣2﹣3﹣2，=14，∴△PEF和△PGH的面积和=×14=7．故答案为：7．22．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为10cm2．【分析】本题主要考查矩形的性质，找出题里面的等量关系求解即可．【解答】解：AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，∴CE=4，CF=3．∴四边形DBFE的面积=8×4﹣8×4÷2﹣4×3÷2=10cm2．23．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF 的最小值是 2.4．【分析】根据已知得出四边形CEPF是矩形，得出EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】解：连接CP，如图所示：∵∠C=90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C=∠PFC=∠PEC=90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，由三角形面积公式得：×4×3=×5×CP，∴CP=2.4，即EF=2.4，故答案为：2.4．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．【分析】分为三种情况：①OP=OD时，②DO=DP时，③OP=PD时，根据点B的坐标，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出答案．【解答】解：∵B的坐标是（10，4），四边形OCBA是矩形，∴OC=AB=4，∵D为OA中点，∴OD=AD=5，∵P在BC上，∴P点的纵坐标是4，以O为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P，如图1所示：此时OP=OD=5，由勾股定理得：CP=3，即P的坐标是（3，4）；由勾股定理得：CP=3，即P的坐标是（3，4）；以D为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P、P′，如图2所示：此时DP=OD=DP′=5，由勾股定理得：DM=DN=3，即P的坐标是（2，4），P′的坐标是（8，4）；③作OD的垂直平分线交BC于P，如图3所示：此时OP=DP，P的坐标是（2.5，4）；故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．25．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是16．【分析】由把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，∠EFB=60°，易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故答案为：16．26．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中一定成立的结论有①③④（将正确结论的序号填在横线上）【分析】①正确．只要证明BO=BC，OF=FO即可解决问题；②错误．可以证明△EOB≌△FCB，由此即可判断；③正确．只要证明△DEF是等边三角形即可．④正确．只要证明S△BCM=S△ACB，S△AOE=S△AOB=S即可；△ABC【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，OA=OC，∴OB=OA=OB，∵∠COB=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠OCB=60°，∴∠DCA=30°，∵FO=FC，BO=BC，∴BF垂直平分OC，故①正确，∴∠FBC=∠OBE=30°，∴∠FOC=∠FCO=30°，∴∠FOB=90°，∵CD∥AB，∴∠FCO=∠EAO，∵∠FOC=∠AOE，OA=OC，∴△FOC≌△EOA，∴OE=OF，∴BF=BE，∵∠BOE=∠BCF=90°，∠EBO=∠CBF，∴△EBO≌△FBC，故②错误，∵DF∥EB，DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴∠EDF=∠FBE=60°，∵∠DFE=180°﹣∠CFO=60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE=EF，故③正确，易知CM=AC，AE=CF=BF=BE，∴S△BCM=S△ACB，S△AOE=S△AOB=S△ABC，∴S△AOE：S△BCM=2：3．故④正确，故答案为①③④27．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF﹣∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，∵∠ACG=∠AGC，∴∠CAG=180°﹣∠ACG﹣∠AGC=180°﹣2×40°=100°，∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，∴∠BAC=∠CAF﹣∠BAF=120°﹣90°=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2，由勾股定理，AB===．故答案为：．三．解答题（共7小题）28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．【分析】（1）根据四边形ABDE是平行四边形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形．（2）根据∠AOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，又∵AB=AC，∴DE=AC．∵AB=AC，D为BC中点，∴∠ADC=90°，又∵D为BC中点，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四边形AECD是平行四边形，又∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∴AO=EO，∵∠AOE=60°∴△AOE为等边三角形，∴AO=AE=2，∴AC=2OA=4．29．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，结合条件可先证得四边形ADEC为平行四边形，结合AC⊥BC，可证得结论；（2）由直角三角形的性质可求得AB的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长，再利用矩形的性质可求得AD的长，结合AC可求得矩形ADEC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵DE∥AC，∴四边形ADEC是平行四边形．又∵AC⊥BC，∴∠ACE=90°．∴四边形ADEC是矩形；（2）解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°．∵M是AB的中点，∴AB=2CM=10．∵AC=8，∴BC==6．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD．又∵四边形ADEC是矩形，∴EC=AD．∴EC=BC=6．∴矩形ADEC的面积=6×8=48．30．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【分析】（1）可用三角形中位线定理求解，易知DG、EF分别是△ABC和△BOC的中位线，那么DG、EF 都平行且相等于BC，即DG与EF平行且相等，由此可证得四边形DEFG是平行四边形．（2）连接OA，则DE∥OA∥GF；若四边形DEFG是矩形，则DG和DE互相垂直；因此OA和BC也互相垂直，由此可判断出O点所处的位置．【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG=BC；同理可证：EF∥BC，且EF=BC；∴DG∥EF，且DG=EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上（且不与点A和垂足重合）理由如下：连接OA；∵把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，∵O点在BC边的高上，∴AO⊥BC，∴AO⊥EF，∵DE∥OA，∴DE⊥EF，∴四边形DEFG是矩形．31．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF；（2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．【解答】（1）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：如图所示：∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO；（2）解：∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴平行四边形AECF是矩形．32．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．【分析】（1）证出∠A=90°即可；（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，又∠BPC=∠AQP，∴∠CPQ=∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A=∠CPQ=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），∴DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x在Rt△APQ中，AQ2+AP2=PQ2 ∴x2+22=（6﹣x）2，解得：x=∴AQ的长是．33．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC 的长及四边形AOFE的面积．【分析】（1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可；（2）分别求出AE、OH、CE、CF的长，再求出三角形AEC和三角形COF的面积，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵CE∥AD且CE=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质），∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AC=4，∠DAC=30°，∴∠ACE=30°，AE=2，CE=2，∵四边形ADCE为矩形，∴OC=OA=2，∵CF=CO，∴CF=2，过O作OH⊥CE于H，∴OH=OC=1，∴S四边形AOFE=S△AEC﹣S△COF=×2×2﹣×2×1=2﹣1．34．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=20．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是20≤m＜28．【分析】（1）利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再利用三角形中位线的性质得出EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，进而求出即可；（2）①利用轴对称图形的性质得出答案即可；②利用两点之间线段最短以及三角形三边关系得出m的取值范围即可．【解答】解：（1）如图2，连接AC，BD，∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴AC=BD==10，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点，∴EH，EF，FG，HG，分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，∴EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，∴m=EF+FG+GH+HE=AC+BD=10+10=20；（2）①如图3所示（虚线可以不画），②由图形可知，四边形的周长即折线HM的长，由两点之间线段最短可知，折线HM≥20，即周长不小于20；又由题可知，四边形周长小于矩形ABCD的周长，即周长小于28，故20≤m＜28．故答案为：20；20≤m＜28．。
矩形的性质相关练习题
矩形的性质相关练习题矩形的性质相关练习题矩形是我们数学学习中最基础的几何图形之一，它具有许多独特的性质和特点。
在这篇文章中，我将为大家提供一些矩形的性质相关练习题，帮助大家更好地理解和掌握这个几何图形。
1. 假设ABCD是一个矩形，其中AB=6cm，BC=8cm。
求矩形的面积和周长。
解析：矩形的面积可以通过长乘宽来计算，因此面积为6cm × 8cm = 48cm²。
矩形的周长可以通过将矩形的边长相加两次来计算，因此周长为2 × (6cm +8cm) = 28cm。
2. 如果一个矩形的面积是60cm²，且宽度为5cm，求矩形的长度和周长。
解析：设矩形的长度为L，则由面积公式可知，L × 5cm = 60cm²，解得L =12cm。
矩形的周长可以通过将矩形的边长相加两次来计算，因此周长为2 × (12cm + 5cm) = 34cm。
3. 假设ABCD是一个矩形，其中AB=3x，BC=4x，且矩形的周长为56cm。
求矩形的面积和x的值。
解析：根据题目中的条件，我们可以得到以下等式：2 × (3x + 4x) = 56cm。
化简得到14x = 56cm，解得x = 4cm。
矩形的面积可以通过长乘宽来计算，因此面积为3x × 4x = 12x² = 12 × (4cm)² = 192cm²。
4. 假设ABCD是一个矩形，其中AB=BC=12cm，且矩形的对角线AC=16cm。
求矩形的面积和BD的长度。
解析：由题目中的条件可知，矩形ABCD是一个正方形，因为它的两条边长相等。
矩形的面积可以通过长乘宽来计算，因此面积为12cm × 12cm = 144cm²。
根据勾股定理，可以得到BD的长度为√(AC² - AB²) = √(16cm² - 12cm²) =√(256cm² - 144cm²) = √112cm² = 4√7cm。
矩形的性质练习题 (2)
矩形的性质与判定第1课时矩形的性质课后作业:方案（A）一、教材题目：P13—P14，T1-T41．一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长．2．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个矩形较短边的长．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．(第3题)数学理解4．证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．二、补充题目：部分题目来源于《典中点》3．如图，不含阴影部分的矩形的个数是( )（第3题）A．15 B．16 C．17 D．194．(2015·南昌)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( )（第4题）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变7．(2015·哈尔滨)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE 为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．9．(2015·益阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是( ) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD(第9题)答案教材1．解：如图，由题可知∠BAC＝45°，AC＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°.又∵∠BAC＝45°，∴∠BCA＝45°.∴AB＝BC.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，∴AC2＝2AB2.∴AB＝22AC＝22×6＝3 2.∴AB＝BC＝CD＝AD＝3 2.即这个矩形的各边长均为3 2.点拨：根据题意可判定△ABC为等腰直角三角形，从而求出AB的长，根据矩形的性质及AB ＝BC可得矩形ABCD的各边长都相等．(第2题)2．解：如图，∠AOB＝60°，∵四边形ABCD 是矩形，∴BO＝AO ＝12AC ＝152.又∵∠AOB＝60°，∴△ABO 是等边三角形．∴AB＝BO ＝152，即这个矩形较短边的长为152. 点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分可知BO ＝AO ＝12AC.又已知∠AOB＝60°，从而可得△ABO 是等边三角形，进而得到这个矩形较短边的长．3．解：四边形ADCE 是菱形．证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE 是平行四边形．∴AE＝CD ，CE ＝AD.又∵∠ACB＝90°，D 为AB 的中点，∴CD＝AD ＝12AB.∴AE＝CD ＝CE ＝AD.∴四边形ADCE 是菱形． 点拨：判定四边形是菱形时，应根据条件选择合适的判定方法．如本题可得到边的关系，应根据四边相等的四边形是菱形进行判定．(第4题)4．解：已知，如图，CD 是△ABC 的中线，且CD ＝12AB.求证：△ABC 是直角三角形． 证明：∵CD 是△ABC 的中线，∴AD＝BD ＝12AB.又∵CD＝12AB ，∴CD＝AD ＝BD.∴∠A＝∠ACD，∠B ＝∠BCD.∴∠ACD ＋∠BCD ＝∠A ＋∠B ，即∠ACB ＝∠A ＋∠B.∴∠ACB ＝180°－∠ACB.∴∠ACB＝90°.∴△ABC 是直角三角形．点拨：要证明一个三角形是直角三角形，一般证明它的一个内角等于90°.典中点3．C4.C7．5.5或0.5 点拨：分两种情况：①如图①，由矩形的性质得出CD ＝AB ＝4，BC ＝AD ＝5，∠ADC ＝∠CDF ＝90°，由菱形的性质得出CF ＝EF ＝BE ＝BC ＝5，由点M 为EF 的中点得MF ＝2.5，由勾股定理求出DF 的长，即可求出AM 的长；②如图②，同①易得出AE ＝3，ME ＝2.5，即可得出AM 的长．(第7题)9.D。
九年级数学矩形练习题(性质)(含答案)
7题E D C B A 8题E D C B A pF E 9题D C B A F E 10题D C B A 矩形练习题1、矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质之外，还具有其自身特有的性质 ○1 ○2 2、 的四边形是矩形。
的平行四边形是矩形。
3、如图，O 为矩形ABCD 中AC 、BD 的交点，AE ⊥BD 于点E 。
○1若OE ∶OB=1∶2，AE= 3 cm ,则∠ABO 的度数为 BD 的长度为○2若AE 分∠DAB 为∠BAE ∶∠DAE=1∶5两部分，则∠OAE 的度数为 4、Rt △ABC 中，斜边AB 上的中线CD=5，∠A=30°，则斜边AB 上的高为5、矩形的一个内角平分线将矩形的一边分成3cm 和4cm 两部分，则该矩形的面积为6、矩形的两条对角线的夹角为60°，且矩形的短边长为4cm,则它的面积为7、如图，矩形ABCD 中，AB=2BC ，E 为CD 上一点，且AE=AB ，则∠EBC 的度数为8、如图，矩形ABCD 中，E 为AB 中点，∠CED=90°，若矩形的周长为36，则AB= S 矩形=9、如图，矩形ABCD 中，AP ⊥BD 于点P ，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，若矩形的周长为18，则四边形AEPF 的周长为10、如图，矩形ABCD 中，E 为AB 中点，DF ⊥CE 于点E ，若AB=6，BC=4，则DF=11、如图，矩形ABCD 的长为4，宽为3，O 为对角线的交点，直线l 经过点O ，将矩形分为两部分，则S 阴影= 。
12、如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，AB=4，BC=3，N 为CD 上一点， NE ⊥OD 于点E ，N F ⊥OC 于点F ，则NE+NF 的值为 。
13、如图，将长AD=10㎝，AB=8㎝的矩形沿AE 对折，D 点落在BC 边上的F 点，则DE= 。
14、如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为原面积的一半，则该平行四边形的一个最小内角的度数为 。
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2017年8月27日数学家庭作业
一、选择题（共7小题；共35分）
1. 如图，中，，，，则等于
A. B. C. D.
1题图 2题图 4题图 6题图
2. 如图，中，，点为斜边的中点，，则的长为
A. B. C. D.
3. 两条对角线相等的平行四边形一定是
A. 矩形
B. 菱形
C. 矩形或正方形
D. 正方形
4. 如图，在矩形中，对角线，交与点，以下说法错误的是
A. B. C. D.
5. 若是四边形对角线的交点且，则四边形是
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 正方形
D. 菱形
6. 如图，平行四边形中，相交于点，相交于点，，若要使平行四边形
为矩形，则的长度为
A. B. C. D.
7. 如图，在中，于点，于点，为的中点，
，，则的周长是
A. B. C. D.
二、填空题（共8小题；共40分）
8. 已知矩形的对角线与相交于点，若，那么 .
8题图 9题图 14题图
9. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点为的中点，则线段的长
为．
10. 一个长方形的周长为，相邻的两边中一边长为，则另一边长为．
11. 直角三角形中，两直角边长分别为和，则斜边中线长是．
12. 在平行四边形中，已知，，若，那么平行四边形的面
积为．
13. 工人师傅在做门框或矩形零件时，常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度，工人师傅根
据的几何道理是．
14. 如图，直角内的一点到这个角的两边的距离之和为，则图中四边形的周长为．
三、解答题（共2小题；共26分）
15. 已知：如图，四边形中，，是的中点．求证：．
16. 如图所示，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，折痕为，已知
，．求的长?。