上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题含答案

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上海市2019-2020学年高二第二学期期末数学检测试题

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x=的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 2．在复平面内，复数221z i i=+-+所对应的点在第几象限（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若不等式2xln x≥－x 2＋ax －3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)4．已知()23()f x x x R =+∈，若|()1|f x a -<的必要条件是|1|(,0)x b a b +<>，则a ，b 之间的关系是（） A ．2a bB ．2a b <C ．2b aD ．2b a >5．设函数()x f x xe =，则（） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点 C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点6．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（）A ．1BC ．2D ．37．已知函数22()1x f x e ax bx =-+-，其中,a b ∈R ，e 为自然对数的底数，若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（）A ．22(3,1)e e -+B ．2(3,)e -+∞C ．2(,22)e -∞+D ．22(26,22)e e -+8．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,59．已知二项式2(*)nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（） A ．14B ．14-C ．240D ．240-10．复数22cos sin 33z i ππ=+在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（） A ．空间中平行于同一直线的两直线平行 B ．空间中平行于同一平面的两直线平行 C ．空间中平行于同一直线的两平面平行 D ．空间中平行于同一平面的两平面平行 12．若()()()()9290129111x a a a x a x a x +=+++++++，若684a =，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．2-D ．3-二、填空题：本题共4小题 13．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'()ln f x xf e x =+，则()f e =__________．14．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件15．已知33210n n A A =，那么n =__________．16．已知函数1y x =的图象的对称中心为()0,0，函数111y x x =++的图象的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数11112y x x x =++++的图象的对称中心为()1,0-.由此推测，函数12202012019x x x y x x x +++=+++++的图象的对称中心为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

上海市七宝中学2019-2020 学年度第二学期高二年级期中考数学试卷

七宝中学2019-2020学年度第二学期高二年级期中考数学试卷（时间：120分钟；满分：150分）2020.5一、填空题（1-6题每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.若直线,a b 均平行于平面α,那么a 与b 位置关系是__________；2.若1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=___3.某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13,则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为____4.在0120的二面角内有一点P ,P 到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P 到该二面角棱的距离为__________5.若12232113C +3C ++3C 385n n n n n n n C ---+⋅⋅⋅+=,则n =__________6.7271除以100的余数是__________7.甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为__________8.设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列四个命题：①若,a b a α⊥⊥,则//b α②若//,a ααβ⊥,则//a β③若,a βαβ⊥⊥,则//a α④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥其中正确的命题序号是__________9.若y =+则y 的取值范围是__________10.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法。

（用数字作答）11.在5月6日返校体检中，学号为(1,2,3,4,5)i i =的五位同学的体重增加量()f i 是集合{}1,1.5,2,2.5kg,3,3.5kg kg kg kg kg 中的元素，并满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则这五同学的体重增加量所有可能的情况有__________种12.设S 为一个非空有限集合，记S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集,A B 满足：A B k =I 并且A B S =U ,则称子集{},A B 为集合的一个“k -覆盖”（其中0k S ≤≤.若S n =,则S 的“k -覆盖”个数为__________二、选择题（每小题5分，共20分）13.在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82,方差为10.2,则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（)A.100 B.85 C.65 D.5514.在正方体1111ABCD A B C D -中与1AD 成060角的面对角线的条数是（)A.4条 B.6条 C.8条 D.10条15.电子钟－－天显示的时间是从00:00到23:59,每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（)A.1240 B.1160 C.11440 D.118016.四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（)三、解答题（12分＋14分＋16分＋16分＋18分，共76分）17.若n 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列。

2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)

2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、填空题1. 已知，则________________________ ．2. 若正方体的体对角线长是4，则正方体的体积是______________________________ ．3. 经过抛物线的焦点，且以为方向向量的直线的方程是____________________________ ．4. 在二项式的展开式中，含的项的系数是______________________________ ．（用数字作答）5. 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为．6. 设<a href=""> 分别是双曲线<ahref=""> 的左、右焦点，若点<ahref=""> 在双曲线上，且，则_________________________________ ．7. 若五个人排成一排，则甲乙两人之间仅有一人的概率是____________________________ ．（结果用数值表示）8. 已知，，若直线与射线（为端点）有交点，则实数的取值范围是______________________________________ ．9. 圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为 cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为 ________ ．10. 在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是______________________________ ．11. 在一个水平放置的底面半径为<a href="/"> cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为<a href="/"> cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升<ahref="/"> cm，则<a href="/">___ ____cm ．12. 如图，中，，在三角形内挖去半圆，圆心在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M ，与AC交于点N，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为____________________ ．13. 已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为．若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为_________________________________ ．14. 半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是_________________________________ ．二、选择题15. 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（）A ．_________B ．_________C ．D ．16. 已知直线平面，直线在平面内，给出下列四个命题：①　；②　；③　；④　，其中真命题的个数是（）A ．①②____________________________B ．①④____________________________C ．②③______________________________D ．②④17. 方程的图象表示曲线C，则以下命题中甲：曲线C为椭圆 , 则1< t<4 ；乙：若曲线C为双曲线 , 则 t > 4 或 t<1 ；丙：曲线C不可能是圆； ________________________丁：曲线C表示椭圆,且长轴在 x 轴上 , 则．正确的有（）A ． 1个____________________________B ． 2个____________________________C ． 3个____________________________D ． 4个18. 将正整数n表示成k个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n分成k个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为P （ n,k ），则P（ 10,3 ）的值为（）A ． 12______________________________B ． 10_________________________________C ． 8______________________________D ． 6三、解答题19. （本题满分 1 2分）如图，直线平面，为正方形，，求直线与所成角的大小．20. （本题满分 1 4分）本题共有2个小题，第 1 小题满分6分，第 2 小题满分8分．在二项式的展开式中：（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项．21. （本题满分 1 4分）本题共有2个小题，第 1 小题满分6分，第2小题满分8分．已知圆．（1）求过点的圆C的切线的方程；（2）如图，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足求的轨迹．22. （本题满分 1 6分）本题共有3个小题，第 1 小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点．（1）如果的中点为，，求证：平面；（2）如果 , ，求此圆锥的体积；（ 3 ）如果二面角大小为，求的大小．23. （本题满分 1 8分）本题共有3个小题，第 1 小题满分5分，第 2 小题满分8分，第3小题满分5分．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（3）如图：直线与两个“相似椭圆”　和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题含答案参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）。

如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）。

若（x ，y ），…，（x ，y ）为样本点，=+为回归直线，则 =，==∑∑=-=-----ni ini i ix xy y x x121)())((=∑∑=-=----ni i ni iixn x yx n yx 1221，=－。

K=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-，其中n=a+b+c+d 为样本容量一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 函数f （x ）=3x －x 的单调增区间是A. （0，+）B. （－，－1）C. （－1，1）D. （1，+）2. （x+1）的展开式中x 的系数为A. 4B. 6C. 10D. 203. 在复平面内，复数6+5i ，－2+3i 对应的点分别为A ，B 。

若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是A. 4+8iB. 8+2iC. 4+iD. 2+4i4. 用数字0，1，2，3组成无重复数字的四位数，这样的四位数的个数为A. 24B. 18C. 16D. 125. =A. 1B. e －1C. eD. e+16. 高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表：则随机变量K 的观测值为班组与成绩统计表优秀不优秀总计甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计1971 90A. 0.600B. 0.828C. 2.712D. 6.0047. 设随机变量~N （0，1），若P （≥1）=p ，则P （－1<<0）=A. 1－pB. pC. +pD. －P8. 某游戏规则如下：随机地往半径为l的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为A. B. C. D.9. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项。

上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期4月月考数学试题(解析版)

七宝中学2019学年第二学期高二4月考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样. 【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样故答案为分层抽样．点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题． 2.若事件E 与F 相互独立，且1()()4P E P F ==，则()P E F I 的值为_______（用最简分数表示）. 【答案】116【解析】【分析】直接利用公式()=()()P E F P E P F I 计算即可.【详解】因为事件E 与F 相互独立，所以111()=()()4416P E F P E P F =⨯=I . 故答案为：116【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3.12x⎛+ ⎝的二项式展开式中的常数项为________（用数值作答）.【答案】495 【解析】【分析】由二项式定理可得12x⎛+ ⎝展开式的通项为3122112rr r T C x -+=，再令31202r -=得8r =，再代入通项计算即可.【详解】由已知，12x ⎛+ ⎝展开式的通项为31212211212r r r r r r T C x C x --+==，令31202r -=，得8r =，所以常数项为812495C =.故答案为：495【点睛】本题考查求二项展开式中的特定项，考查学生的运算能力，是一道容易题.4.计算：103237n nn n C C -+++=________（用数值作答）【答案】46 【解析】【分析】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解不等式组可得3n =，再代入原式计算即可.【详解】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解得7732n ≤≤，又n N ∈，所以3n =，所以10379237910361046nnn n C C C C -+++=+=+=. 故答案为：46【点睛】本题考查组合数公式的计算，要注意题目中隐含的条件，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.5.从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________. 【答案】133【解析】【分析】先算出6个样本数据的平均数，然后再利用方差公式计算即可. 【详解】6个样本的平均数456107466x +++++==，所以方差22222221[(46)(56)(66)(106)(76)(46)]6s =-+-+-+-+-+-261363==. 故答案为：133【点睛】本题主要考查方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.6.从正方体的6个面中取3个，其中有2个面不相邻的概率为________（用最简分数表示）. 【答案】35【解析】【分析】利用间接法，先找到所取3个面都相邻的种数，并求出其概率，利用对立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】从正方体的6个面中取3个共有36C 种不同结果，从8个顶点出发，3个面都相邻共有8种不同结果，而其中有2个面不相邻的对立面是3个面都相邻，故2个面不相邻的概率为3681231205C -==. 故答案为：35【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，正面情况较多可以考虑其对立事件，是一道容易题.7.直线1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）与曲线2sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=-⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）的公共点的坐标为________. 【答案】()1,0 【解析】【分析】直接利用参数方程与普通方程互化的方法分别得到直线与曲线的普通方程，解方程组即可.【详解】由15x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t ，得210x y --=①，2sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=-⎩消去参数θ，得21,(11)y x x =--≤≤②，由①②解得10x y =⎧⎨=⎩或32x y =-⎧⎨=-⎩（舍），所以公共点的坐标为()1,0. 故答案为：()1,0【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，涉及到解方程组，考查学生的计算能力，是一道容易题.8.在5(231)x y -+在展开式中，不含y 的所有项的系数和为________（用数值作答）. 【答案】243 【解析】【分析】先将问题转化为5(21)x +各项的系数之和，再通过赋值法即可得到答案.【详解】5(231)x y -+=5(213)x y +-，其展开式的通项为515(21)(3)rrr r T C x y -+=+-，不含y 的项的系数和等于5(21)x +各项的系数之和，令1x =，得53243=. 故答案为：243【点睛】本题考查二项展开式的通项公式，考查学生的数学运算能力，本题可以直接令1,0x y ==得到答案，是一道中档题.9.从集合{}23|1,nM z z i i i i n N ==+++++∈L ________（用最简分数表示）. 【答案】13【解析】【分析】先化简集合M ，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】由已知，123111n ni z i i i i i+-=+++++=-L ，当4,n k k N =∈时，41411()111n n i i iz i i+--⋅===--；当41,n k k N =+∈时，424211()21111n n i i i z i i i i +--⋅====+---；当42,n k k N =+∈时，434311()1111n n i i i iz i i i i +--⋅+====---；当43,n k k N =+∈时，444111()011n n i i z i i++--===--；所以{}0,1,,1M i i =+，故从M 中任取2个元素相加有246C =种不同结果，{1,1}i +，{,1}i i +共2种不同结果，根据古典概型的概率计算公式可得所求的概率为2163=. 故答案为：13【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，涉及到复数的运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10.已知袋中有()*82,n n n N+≥∈个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球n 个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为n P ，则n P 的最大值为________（用最简分数表示）. 【答案】815【解析】【分析】先求出11828165615n nn C C C n n P +⋅==++，只需求出56n n+的最小值即可，结合对勾函数的性质即可得到答案. 【详解】由已知，11822816161656(8)(7)155615n n n C C n n C n n n n n nP +⋅====++++++，又易知函数56y x x =+在上单调递减，在)+∞上单调递增，因为78<<，所以56n n +的最小值应在7n =或8n =处取得，又5656781578+=+=，所以min 56()15n n +=，118281616856301515n n n C C C n nP +⋅==≤=++. 故答案为：815【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，涉及到利用对勾函数的性质求函数的最值问题，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11.已知关于x 的实系数方程2220x x +=-和2210x mx ++=的四个不同的根在复平面内对应的点共圆．则m 取值的集合是______. 【答案】3112m m m ⎧⎫-<<=-⎨⎬⎩⎭或【解析】【详解】易知方程2220x x -+=的两根为11x i =+，21x i =-.当2440m ∆=-<，即11m -<<时，方程2210x mx ++=有两个共轭的虚根34x x 、，且34x x 、的实部为1m -≠，此时，12x x 、对应的点在以34x x 、对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为()()2340x x x x y --+=，即()2234340x y x x x x x +-++=.将342x x m +=-，341x x =及12x x 、对应点的坐标()1,1±代入方程，得32m =-. 故m 的取值范围是3112m m m 或⎧⎫-<<=-⎨⎬⎩⎭.12.假设一个随机数发生器一次只能从1，2，3，…，9这九个数学中等可能地选一个数，则该随机数发生器完成了(1)n n >次选择后，选出的n 个数的乘积能被10整除的概率为________（用含n 的代数式示）.【答案】85419n n nn+-- 【解析】【分析】由题意n 个数中，至少有一次选择了5，至少有一次选择了偶数2、4、6、8之一，设事件A 表示没有一次选择了5，事件B 表示没有一次选择了偶数，则所求概率是1()P A B -U ，再利用加法公式()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂计算即可.【详解】为使选出的n 个数的乘积能被10整除，其中至少有一次选择了5，并且至少有一次选择了偶数2、4、6、8之一，设事件A 表示没有一次选择了5，事件B 表示没有一次选择了偶数，则所求概率是1()P A B -U ，从而1()1()()()P A B P A P B P A B -=--+U I8541()()()999n n n =--+=85419n n nn+--. 故答案为：85419n n nn+-- 【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及概率的加法公式，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13.若虚数1z ，2z 满足12=z z ，则“1z 与2z 互为共轭复数”是“12z z R ⋅∈”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用定义法判断即可.【详解】当1z 与2z 互为共轭复数，则12z z =，所以1221||z z z R =⋅∈，令121,1z z ==-，满足12z z R ⋅∈，但1z 与2z 不互为共轭复数，所以1z 与2z 互为共轭复数是12z z R ⋅∈的充分非必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到共轭复数的相关知识，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.14.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 140D. 120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用．15.某个比赛安排4名志愿者完成6项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式有多少种（） A. 7200种 B. 4800种 C. 2640种 D. 1560种【答案】D 【解析】【分析】分两类，第一类，4人完成的工作数是3，1，1，1，第二类，4人完成的工作数是2，2，1，1，再将工作分组，进行分配即可. 【详解】由题意，分两类：第一类，当4人完成的工作数是3，1，1，1时，首先将6项工作分成4组，一组3项，另外三组各1项，共有3111632133C C C C A 种不同方式，再分配给4个人共311146321433480C C C C A A = 种不同方式；第二类，当4人完成的工作数是2，2，1，1时，首先将6项工作分成4组，两组2项，另外两组各1项，共有221164212222C C C C A A 种不同方式，再分配给4个人共221146421422221080C C C C A A A = 种不同方式；综上，共有1560种不同安排方式. 故选：D【点睛】本题考查排列与组合的综合应用问题，涉及到部分均匀分组问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.16.空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线l 与这三条直线所成角皆为θ，则tan θ=（）A.B.C. 1D. 直线l 不存在【答案】B 【解析】【分析】在正方体中，设,,AB a AD b AE c ===，直线l 为AC ，由已知，BAC EAC CAD θ∠=∠=∠=，可得a b c ==，从而tan tan BC BAC AB aθ=∠==，代入a b c ==即可得到答案. 【详解】由题意，可将问题放入长方体中研究，设,,AB a AD b AE c ===，直线l 为AC ，由已知，BAC EAC CAD θ∠=∠=∠=，易得AB ⊥平面BCF ,所以222cos AB BAC AC a b c∠==++，同理可得 222cos AE EAC AC a b c ∠==++，222cos AD CAD AC a b c∠==++，所以222a b c =++222a b c ++222a b c =++，即a b c ==，所以22tan tan 2BC c b BAC AB aθ+=∠===.故选：B【点睛】本题考查求空间中直线所成的角，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.从A ，B ，C 等8人中选出5人排成一排. （1）A 必须在内，有多少种排法？（2）A ，B ，C 三人不全内，有多少种排法？（3）A ，B ，C 都在内，且A ，B 必须相邻，C 与A ，B 都不相邻，都多少种排法？（4）A 不允许站排头和排尾，B 不允许站在中间（第三位），有多少种排法？【答案】（1）4200种；（2）5520；（3）240；（4）4440 【解析】【分析】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可；（2）采用间接法；（3）先从余下5人中选2人有25C 种不同结果，由于A ，B 必须相邻，C 与A ，B 都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决；（4）分所选的5人无A 、B ，有A 、无B ，无A 、有B ，有A 、B 四种情况讨论即可.【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有47C 种不同结果，再将这4人与A 进行全排列有55A 种不同的排法，故由乘法原理可知共有45754200C A =种不同排法；（2）从8人中任选5人排列共有58A 种不同排法，A ，B ，C 三人全在内有2555C A 种不同排法，由间接法可得A ，B ，C 三人不全在内共有58A -25555520C A =种不同排法；（3）因A ，B ，C 都在内，所以只需从余下5人中选2人有25C 种不同结果，A ，B 必须相邻，有22A 种不同排法，由于C 与A ，B 都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有22A 种不同排法，再将A 、B 这个整体与C 插入到选出的2人所产生的3各空位中有23A 种不同排法，由乘法原理可得共有22225223240C A A A =种不同排法；（4）分四类：第一类：所选的5人无A 、B ，共有56720A =种排法；第二类：所选的5人有A 、无B ，共有4146341080C C A =种排法；第三类：所选的5人无A 、有B ，共有4146441440C C A =种排法；第四类：所选5人有A 、B ，若A 排中间时，有3464C A 种排法，若A 不排中间时，有31136233C C C A 种排法，共有3411364233()1200C A C C A +=种排法；综上，共有4440种不同排法.【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，求排列与组合的应用题的主要方法有：1.优先法，2.捆绑法，3.插空法，4.间接法，5.先整体后局部，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.18.某工厂生产A ，B ，C 三种纪念品，每种纪念品均有普通型和精品型两种，某一天产量如下表（单位：个）：现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取100个，其中有A 种纪念品40个.（1）若再用分层抽样的方法在所有B 种纪念品中抽取一个容量为13的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率（用最简分数表示）；（2）从C 种精品型纪念品中抽取6个，其某种指标的数据分别如下：4，7，x ，y ，8，5.把这6个数据看作一个总体，其均值为7、方差为6，求x y -的值. 【答案】（1）1126；（2）【解析】【分析】（1）先由抽样比算出n ，进一步得到13个样本中精品型的个数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可；（2）利用平均数、方差可得18x y +=，22176x y +=，进一步得到2148xy =，代入x y -.【详解】（1）由已知，10040(800200)800200150500350n =+⨯+++++，解得500n =，B 种纪念品中抽取一个容量为13的样本中，精品型有131503150500⨯=+个，从13个纪念品中任取2个有213C 中不同结果，无精品型有210C 种不同结果，所以至少有1个精品型纪念品的概率为210213151126C C -=-=1126. （2）由题意，1(4785)76x y +++++=，所以18x y +=，又2222221[(47)(77)(7)(7)(87)(57)]66x y -+-+-+-+-+-=，所以22(7)(7)22x y -+-=，即2214()9822176x y x y +=+-+=，所以2222()()148xy x y x y =+-+=，故x y -=.【点睛】本题考查统计与概率的简单应用，涉及到分层抽样、平均数、方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.19.如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【答案】（Ⅰ）能（Ⅱ）20AB =米且5AD =米【解析】【分析】（1）以点A坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=34x+b ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，即可求出截面面积最大. 【详解】解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB ＝18米，AD ＝6米，所以半圆的圆心为H (9,6)，半径r ＝9. 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ，即3x ＋4y －4b ＝02227+24-4b 3+4＝9，解得b ＝24或b ＝32(舍)．故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋24, 令x ＝30，得EG ＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求．（2）设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.方法一设太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋b，即3x＋4y－4b＝0，r，解得b＝h＋2r或b＝h－r2(舍)．故太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋h＋2r，令x＝30，得EG＝2r＋h－452，由EG≤52，得h≤25－2r.所以S＝2rh＋12πr2＝2rh＋32×r2≤2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．方法二欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y－52＝－34(x－30)，即3x＋4y－100＝0.由直线l1与半圆H相切，得r＝3r+4h-1005.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，即r＝－3r+4h-1005，从而h＝25－2r.又S＝2rh＋12πr2＝2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．【点睛】本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．20.已知数列{}n a 的首项为1.记()12*12()knn n k n n n f n a C a C a C a C n N=++⋅⋅⋅+⋅⋅+∈+⋅.（1）若{}n a 为常数列，求(3)f 的值：（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式：（3）是否存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2n f n n -=-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式：若不存在，请说明理由.【答案】（1）(3)7f =（2）31()2n f n -=（3）存在等差数列{}n a 满足题意，21n a n =-【解析】【分析】(1)根据常数列代入其值得解；(2)根据等比数列和用赋值法解决二项式展开式的相关问题求解；(3)对于开放性的问题先假设存在等差数列，再推出是否有恒成立的结论存在，从而得结论. 【详解】解：（1）∵{}n a 为常数列，∴()1n a n N +=∈.∴123333(3)7f C C C =++=（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，()12n n a n N -+=∈.∴1231()242n nn n n n f n C C C C -=+++L∴1223312()12222n nn n n n f n C C C C +=++++L(12)3n n +=故31()2n f n -=. （3）假设存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2nf n n -=-对一切*n N ∈都成立，设公差为d ，则()12*12()k nn n k n n n f n a C a C a C a C n N=+++++∈L L1111()n n k n n n n k n n f n a C a C a C a C --=+++++L L相加得()()121112()2k n n n n n n n f n a a a C C C C --=++++++L L∴()11()222nn n a a f n a -+=+-()11(1)[2(2)]21n n d n d -=+-++--. ∴1()1(2)[2(2)]2(1)2n n f n d n d n --=-++-=-恒成立，即1(2)(2)(2)20n d d n --+--=n ∈+N 恒成立，∴2d =故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n ∈+N 都成立，它的通项公式为21n a n =- 【点睛】本题关键在于观察所求式子的特征运用二项式展开式中的赋值法的思想，属于难度题.21.已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅u u u v u u u v的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：||2||AB OM = 【答案】（1）2212y x -=；（2）1229PP PP ⋅=u u u r u u u r ；（3）详见解析. 【解析】【分析】（1）222b MF b a==，根据1230MF F ∠=o可得21||2MF b =，利用双曲线的定义可得22b =从而得到双曲线的方程.（2）设点()00,P x y ，利用渐近线的斜率可以得到12,PP PP u u u v u u u v 夹角的余弦为13，利用点在双曲线上又可得12PP PP ⨯u u u v u u u v 为定值23，故可得12·PP PP u u u vu u u v 的值. （3）设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为:002x x y y +=，证明2AB OM =等价于证明OA OB ⊥，也就是证明 12120x x y y +=，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明12120x x y y +=.【详解】(1)设2,F M 的坐标分别为,0)y因为点M 在双曲线C 上,所以22021+1y b b-=,即20y b =±,所以22||MF b =，在21Rt MF F ∆中, 1230MF F ∠=o,22||MF b =,所以21||2MF b =，由双曲线的定义可知: 212||||2MF MF b -==，故双曲线C 的方程为: 2212y x -=.(2)由条件可知:两条渐近线分别为10l y -=；20l y +=. 设双曲线C 上的点00(,)Q x y , 设1l 的倾斜角为θ，则tan θ=0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos θ=，故21cos 22cos 13θθ=-=-，所以12,PP PP u u u v u u u v的夹角为2πθ-，且()1cos 23πθ-=. 点Q到两条渐近线的距离分别为1||PP =，2||PP =.因为00(,)Q x y 在双曲线22:12y C x -=上,所以220022x y -= ，所以12PP PP ⋅=u u u r u u ur ()2200212cos 2339x y πθ--=⋅=. (3)由题意,即证: OA OB ⊥,设1122(,),(,)A x y B x y , 切线l 的方程为: 002x x y y +=.00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:(222000(2)4y x x x x -+20(24)0y -+=，所以01222004(2)x x x y x +=--，20122200(24)(2)y x x y x +=--. 又01021200(2)(2)x x x x y y y y --=⋅012201[42()x x x y =-+220012220082]2x x x x y x -+=-，所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 220022220000(24)82(2)2y x y x y x +-=-+--2200220042()02x y y x -+==-. 00y =时,易知上述结论也成立.所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r.综上, OA OB ⊥,所以||2||AB OM =u u u r u u u u r.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线()222210.0x y a b a b -=>> 交于,A B ，则22b AB a=（通径）.（2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.。

2019—2020学年度高二数学下学期期末考试测试卷(含答案解析)

所以抛物线为
。
设点
，因为
，
所以过点 P 的切线 EF 的方程为
，
。设边缘线所在的抛
令，得
；令得
所以
的面积为
，
即
，
而
=
由
得，
，
； [来源:学,科,网 Z,X,X,K]
所以在
上是增函数，在
上是减函数，
所以 S 在
上有最大值
。
三、解答题
17．（1）
（2）1
18．（1）a＝﹣3，b＝﹣9，c＝2；（2）f（x）最小值＝﹣25，f（x）最大值＝2.
恒成立，求实数 a 的取值范围．
21．已知函数
（a＞0）．
（1）讨论函数 f（x）的单调性；
（2）证明：对任意 x∈[1，＋∞），有 f (x) 2x a2 ．
22．已知函数
.
（1）若函数在
上是增函数，求正数的取值范围；
（2）当时，设函数的图象与 x 轴的交点为，，曲线
分别为，，求证： + <0
16．国务院批准从 2009 年起，将每年 8 月 8 日设置为“全民健身日”，为
响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所．如图，有一个长
方形地块
，边为，为．地块的一角是草坪（图中阴
影部分），其边缘线是以直线为对称轴，以为顶点的抛物线的一部
分．现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带，，分别在
在，两点处的切线斜率
[来源
参考答案
一、选择题 1．C 2．C 3．D 6．B 7．D 8．D 9．D 11. 【详解】
4． C 10．A

2019-2020年高二下学期期末考试数学理含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学理含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合，则A. B. C. D.2．已知是虚数单位，则等于A．B．C．D．3．公差不为零的等差数列第项构成等比数列，则这三项的公比为A．1 B．2 C．3 D．44．从中任取个不同的数，设表示事件“表示事件“取到的个数均为偶数”，则A．B．C．D．5.在中,已知,且,则A.B.C. D.6．执行如右图所示的程序框图，输出的值为A．B．C．D．7. 如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为锐角的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为A．B．C．D．8．函数的图象是A．B．C．D．9. 已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为A．B．C．D．10．已知球的直径，是球球面上的三点，是正三角形，且，则三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）俯视图11. 过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.12．已知函数的两个极值点分别为且，记分别以为横、纵坐标的点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数的取值范围为A．B．C．D．试卷Ⅱ（共90 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13．某市有A、B、C三所学校共有高二理科学生1500人，且A、B、C三所学校的高二理科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二理科学生中抽取容量为120的样本进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_____人.14．过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为.15. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为．16．观察下列算式：，若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17. （本题满分12分）已知中，角所对的边分别是，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面积的最大值．18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ,B ,C ,D ,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（Ⅱ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分）在三棱柱中，侧面为矩形，为中点，与交于点，丄面．(Ⅰ )证明：(Ⅱ)若求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率且经过点，抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合．（Ⅰ）过的直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线，求直线的交点的轨迹方程；（Ⅱ）从圆上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别为，试问的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

2019-2020年高二下学期期末考试数学含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1. 已知集合6,2,0,4,2,1B A ，则B A _________。

2. 如果复数mi i 11是实数，则实数m _________。

3. 已知2053cos x x ，则x 2sin 的值为_________。

4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m,作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5y x 上的概率为_________。

5. 已知函数0,log 0,22xx x x x f ，则2f f 的值为_________。

6. 执行下边的程序框图，若4p ，则输出的S _________。

7. 直线b x y平分圆082822y x y x 的周长，则b __________。

8. 等比数列n a 的各项均为正数，31a ，前三项的和为21，则654a a a __________。

9. 已知实数y x,满足2211y x y x xy ，若y x z 3在y x,处取得最小值，则此时y x,__________。

10. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b b a ab 2，则满足x ⊙02x 的实数x 的取值范围是__________。

11. 在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，D 为斜边BC 的中点，则AD AB 的值为__________。

12. 已知函数2,0,6sin 2x x x f ，则该函数的值域为__________。

13. 把数列n 21的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k 行有12k 个数，第k 行的第s 个数（从左数起）记为s k,，则20121可记为__________。

14. 如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动，设顶点y x P ,的纵坐标与横坐标的函数关系式是x f y ，x f y 在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积记为S ，则S=__________。

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二、选择题
13．已知直线 n Ü 平面，则 m//n 是 m// 的（）
A．充要条件
B．充分非必要条件件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
14．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E ， F ， G 分别为棱 CD ， CC1 ， A1B1 ，的中点，用过点 E ， F ，
4．在北纬 45°圈上有 A 、 B 两点，若该纬度圈上 A 、 B 两点间的劣弧长为 2 R （ R 为地球的半径）， 4
则 A 、 B 两点间的球面距离是__________．
x 2y 2 0
5．设
x
、
y
满足约束条件
x
y
1
0
，则 z 2x y 的最大值是__________．
2x y 4 0
1
①
A1A A1D1 A1B1
2
3(A1 A ) 2
；②
AD1
与
A1B
夹角为120∘ ； ③A1CC1D0
④正方体的体积是
AB BC CC1 ，则正确的命题是__________．
11．如图，半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面，垂足为 B ，△BCD 是平面内边长为 R 的正三角
七宝中学高二下期末数学试卷
一、填空题
1．已知集合 A (x, y) | x2 y2 1 ， B x, y | y x ，则 A B 中元素的个数是__________．
2．若平面外的直线 a 与平面所成角为，则的取值范围是__________．
3．已知 AM (0,1, 2) ， CN (1, 0, 2) ，则直线 AM 和 CN 所成角的余弦值是__________．
6．不等式 mx2 mx 2 0 对任意 x R 恒成立的充要条件是 m __________．
7．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图 1，圆柱表面上的点 M 在正（主）视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在侧（左）视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径
A4P x A4 A1 y A4 A2 z A4 A3 且 x y z 1 ，记 | A4Q || A4P |min ，则当1 i ， j 10 且 i j 时，数量
积 A4Q Ai Aj 的不同取值的个数是（）
A．3 三、解答题
B．5
C．9
D．21
17．设函数 f x lg(x2 2x 3) 的定义域为集合 A ，函数 g(x) a 1 x 在[-3，-1]上存在零点时的 a
正方体的棱上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体：①有 12 个顶点；②有 14 个面；③表面积为 3；
④体积为 5 ，正确的有（） 6
2
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①②③④
16．如图，已知正四面体 A1 A2 A3 A4 ，点 A5 ， A6 ， A7 ， A8 ， A9 ， A10 分别是所在棱中点，点 P 满足
的长度为__________．
8．有一多边形 ABCD 水平放置的斜二测直观图 ABCD 是直角梯形（如图所示），其中 ABC 45 ， BC CD ， AD DC 1，则原四边形 ABCD 的面积为__________．
9．正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD 1 ， E 为 BB1 中点，若点 P 满足 AP PD ，且 BP// 平面 AED1 ，则 __________． 10．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，给出下面四个命题：
|x|
的取值集合 B ．（1）求 A B ；（2）若集合 C {x | x 2 p 0} ，若 x C 是 x A 充分条件，求实数 p 的取值范围．
18．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中的棱长为 2， O1 是 A1C1 中点，
（1）求证： AO1 // 平面 DBC1 ；（2）设 BB1 ，的中点为 M ，过 A 、 C1 、 M 作一截面，并求出截面面积． 19．设一正方形纸片 ABCD 边长为 4 厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中 AH PQ ， O 为正四棱锥底面中心．，
6 将 Rt△SOA 绕 SO 旋转一周得到一个几何体，点 B 为圆锥底面圆周上一点，且 AOB 90 ．
（1）求球 H 的半径；（2）求点 O 到平面 SAB 的距离；（3）设 Р 是圆锥的侧面与球的交线上一点，求 PO 与平面 SAB 所成角正弦值的范围． 21．设集合 A 的元素均为实数，若对任意 a A ，存在 b B ，c C ．使得 b c a 且 b c 1，则称元素最少的 B 和 C 为 A 的“孪生集”；称 A 的“孪生集”的“孪生集”为 A 的“2 级孪生集”；称 A 的“2 级孪生集”的“孪生集”为 A 的“3 级孪生集”，依次类推．．．．．．．
G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）
A．
B．
C．
D．
15．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但
南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的
多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为 24 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个
3
（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；
（2）设等腰三角形 APQ 的底角为 x ，试把正四棱锥的侧面积表示为 x 的函数，并求 S 范围． 20．如图，在 Rt△SOA 中， OSA ，斜边 SA 4 ，半圆 H 的圆心 H 在边 OS 上，且与 SA 相切，现
形，线段 AC ， AD 分别与球面交于点 M 、 N ，则三棱锥 A BMN 的体积是__________．
12．在三棱锥 A BCD 中， AC AD BC BD 10 ， AB 8 ， CD 12 ，点 P 在侧面 ACD 上，
且到直线 AB 的距离为 21 ，则 PB 的取值范围是__________．