高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第2章 函数 2.1.1 第2课时
－xy＝a 设任意(a， b)∈B， 则它在 A 中的原象(x， y)应满足： x－y＝b
①， ②，
由②式得，y＝x－b，将它代入①式，并化简得x2－bx＋a＝0
当且仅当Δ＝(－b)2－4a＝b2－4a≥0时，方程③有实数根，
③，
因此只有当B中元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原象.
第二章 2.1.1
函
数
第2课时 映射与函数
学习目标
1.了解映射、一一映射的概念. 2.了解映射与函数间的关系. 3.会判定一些对应法则是否为映射或一一映射.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一
映射
思考
设A＝{三角形}，B＝R，对应法则是f：每一个三角形对应它的 周长.请问：A中的元素与B中的元素有什么关系？ 答案 A中的任一元素，在B中都有唯一确定的元素与之对应.
思考
一个映射是否一定是一个函数？函数能看成一个映射吗？ 答案 映射不一定是函数，函数一定是映射.
答案
梳理
1.映射下的函数定义 设A，B是两个非空数集 ，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫做 A到B的函数. 2.映射和函数的关系 函数是数集到数集的 映射 ，即映射是函数概念的推广，函数是一种特殊 的映射.
即x＋y＝－2＋3＝1，xy＝－2×3＝－6， 所以(－2,3)在f作用下的象为(1，－6).
解答
(2)若在f作用下的象是(2，－3)，求它的原象.
解
x＋y＝2， x＝－1， x＝3， 由 解得 或 xy＝－3， y＝3 y＝－1.
判定一个对应法则f：A→B是映射的方法
(1)明确集合A，B中的元素的特征.
(2)判断A中的每个元素是否在集合B中有唯一的元素与之对应.若进一步
判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有原象，且原
象唯一.
跟踪训练1
下图中(1)，(2)，(3)，(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素
的对应法则是不是映射？是不是一一映射？是不是函数关系？
Hale Waihona Puke 3x－2y＋1＝x， 1 则 解得 x＝0，y＝2， 4x＋3y－1＝y，
1 所以这样的元素存在即0，2 .
解答
2.若 f ： A中的元素(x， y) 对应到B中的元素是(3x－ 2y＋1,4x＋ 3y－ 1) 改为： 对应到B中的元素是(－xy，x－y)，则B中的元素满足什么条件时在A中有 原象？
(2)A＝N，B＝N＋，f：y＝|x－1|，x∈A，y∈B；
解 不是映射.
解答
(3)A＝{x|0＜x≤1}，B＝{y|y≥1}，f：y＝ 1 ，x∈A，y∈B； x 解 是映射，是一一映射.
(4)A＝R，B＝{y|y∈R，y≥0}，f：y＝|x|，x∈B，y∈B. 解 是映射，不是一一映射.
解答
反思与感悟
解
(1)是映射，是一一映射，是函数.
(2)是映射，是一一映射，不是函数.
(3)不是映射.
(4)是映射，不是一一映射，不是函数.
解答
类型二 象与原象
例2
已知映射f：A→B中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，若f：A中的元素(x，
y)对应到B中的元素是(3x－2y＋1,4x＋3y－1). (1)求A中的元素(3,2)在B中对应的象； 解 ∵f：(x，y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)， 且(3,2)是A中的元素， ∴3x－2y＋1＝3×3－2×2＋1＝6,4x＋3y－1＝4×3＋3×2－1＝17， ∴(3,2)在B中对应的象为(6,17).
[思考辨析 判断正误]
1.映射是特殊的函数.( × )
2.函数是从数集到数集的映射.( √ )
答案
题型探究
类型一 映射的概念
例1 下列对应是否构成映射？若是映射，是否为一一映射？ 1 (1)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：y＝ x，x∈A，y∈B； 3
解 是映射，是一一映射.
元素都有原象；在映射g下，集合C中的元素不一定都有原象，
答案
梳理
一一映射的定义 如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素， 在集合A中都 有且只有一个 原象，这时我们说这两个集合的元素之间存 在 一一对应 关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.
知识点三
映射和函数的关系
答案
梳理
映射的概念 (1)映射的定义 设A，B是两个非空 集合，如果按照某种对应法则f，对A中的 任意一个 元 素x，在B中 有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映 射，记作 f：A→B . 提醒：映射 f ： A→B中，集合 A， B可以是数集，也可以是点集或其他集 合，这两个集合有先后次序.
解答
反思与感悟
求象与原象的方法
(1)若已知A中的元素a(即原象a)，求B中与之对应的元素b(即象b)，这时
只要将元素a代入对应法则f求解即可.
(2)若已知B中的元素b(即象b)，求A中与之对应的元素a(即原象a)，这时
构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个.
跟踪训练2 已知(x，y)在映射f的作用下的象是(x＋y，xy). (1)求(－2,3)在f作用下的象； 解 把(－2,3)代入对应法则，
(2)象、原象的概念 给定一个集合 A到集合 B的映射 f ，若集合 B 中的元素 y与集合 A 中的元素 x 相对应，则称y是x在映射f作用下的 象 ，记作f(x)，x称作y的 原象 .
知识点二
一一映射
思考
映射f：y＝2x是A＝{1,2,3}→B＝{2,4,6}的映射； 映射：y＝2x是A＝{1,2,3}→C＝{1,2,4,6}的映射，问映射f与映射 g有什么不同？ 答案 如1. 在映射f下，集合A中的每个元素都有象，集合B中的每个
解答
(2)求B中的元素(3,2)在A中对应的原象.
x＝12， 17 3x－2y＋1＝3， 解得 1 4x＋3y－1＝2， y＝17，
12 1 中的原象为17，17 .
解
∴(3,2)在 A
解答
引申探究
1.若使A中的元素(x，y)在B中与其自身(x，y)对应，这样的元素存在吗？ 解 若在A中的元素(x，y)在B中能与自身对应，
人教b版高一数学必修一：2.1.1《函数(2)》学案(含答案)
(5)A＝ R， B＝ R，对应法则 f：“求倒数”．
规律方法 判断对应 f： A→B 是否是 A 到 B 的映射，须注意两点：
(1)明确集合 A、 B 中的元素；
(2)判断 A 的每个元素是否在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是 否为一一映射，还需注意 B 中的每个元素在 A 中是否有原象，集合 A 中的不同元素对应的
10．已知 A＝ {1,2,3
，m} ，B＝ {4,7
，n4，n2＋3n} ，其中
m，n∈
*
N
.
若
x∈ A，y∈B，有对
应关系 f ：x→ y＝ px＋q 是从集合 A 到集合 B的一个映射， 且 f (1) ＝ 4，f (2) ＝7，试求 p，q，
m， n 的值．
2． 1.1 函数 (二 ) 答案
(4)A＝ { x|x 是平面 M 内的矩形 } ， B＝{ x|x 是平面 M 内的圆 } ， f：作矩形的外接圆．
知识点二 象与原象
例 2 已知映射 f： A→ B 中， A＝ B＝ {( x， y)|x∈ R， y∈ R } ， f： (x， y)→ (3x－ 2y＋ 1,4x＋ 3y－ 1)．
A到B 的
1 A ． f：x→ 2x
1 C．f ： x→ 4x
1 B ． f： x→3x
1 D ．f ：x→ 6x
3．设集合 A、 B 都是坐标平面上的点集 {( x， y)|x∈ R， y∈ R} ，映射 f：A→ B 使集合 A 中的元素 (x， y)映射成集合 B 中的元素 ( x＋ y， x－ y)，则在 f 下，象 (2,1) 的原象是 ( )
A ． (3,1)
C.
3，－ 2
1 2
数学新学案同步必修一人教B版全国通用版讲义：第2章 函数2.2.1 Word版含答案
§2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象[学习目标] 1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质.2.会用一次函数的图象和性质分析问题、解决问题．知识点一一次函数的概念思考1那么一次函数是如何定义的？定义域和值域又是什么？答案函数y＝kx＋b (k≠0)叫做一次函数，它的定义域为R，值域为R.思考2一次函数的图象是什么？表达式中的k，b的几何意义又是什么？答案一次函数y＝kx＋b (k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y 轴上的截距．一次函数又叫做线性函数．知识点二一次函数的性质思考一次函数图象的斜率、截距对图象有什么影响？答案斜率影响直线的倾斜程度、截距影响直线的位置．梳理一次函数的性质特别提醒：注意k ≠0这一条件，当k ＝0时，函数为y ＝b ，它不再是一次函数，其函数图象是平行x 轴或与x 轴重合的一条直线．1．函数y ＝kx ＋b 叫做一次函数．( × ) 2．一次函数y ＝mx －m 过定点(1,0)．( √ )类型一 一次函数的概念例1 已知函数y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，m 为何值时， (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数； (3)函数值y 随x 的增大而减小；(4)这个函数图象与直线y ＝x ＋1的交点在x 轴上．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3m ＝0，2m －1≠0，∴⎩⎨⎧m ＝13，m ≠12，∴m ＝13.(2)函数为一次函数，则2m －1≠0， 即m ≠12且m ∈R .(3)据题意，得2m －1＜0，∴m ＜12.(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，y ＝x ＋1，得(2m －2)y ＝5m －2，(*) ∵2m －2≠0(否则*式不成立)， ∴y ＝5m －22m －2，令5m －22m －2＝0，得m ＝25.反思与感悟 解此种类型的题目，首先要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质，从概念和性质入手，问题便可迎刃而解． 跟踪训练1 设函数y ＝(m －3)xm 2－6m ＋9＋m －2： (1)m 为何值时，它是一次函数？ (2)在(1)的条件下判断函数的增减性．解 (1)由一次函数的表达式知，⎩⎪⎨⎪⎧m －3≠0，m 2－6m ＋9＝1.解得m ＝2或m ＝4.(2)当m ＝2时，m －3＝2－3＝－1<0， 所以对应的函数是减函数；当m ＝4时，m －3＝1>0，所以对应的函数是增函数． 类型二 求一次函数的解析式及参数范围例2 (1)若直线y ＝3x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜13B.13＜k ＜1 C ．k ＞1D ．k ＞1或k ＜13(2)已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在x ＝1时，y ＝5，且它的图象与x 轴交点的横坐标是6，则这个一次函数的解析式为________． 答案 (1)B (2)y ＝－x ＋6解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －1，y ＝x －k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－k2，y ＝1－3k 2，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2，1－3k 2. 又∵交点在第四象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k2＞0，1－3k 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＜1，k ＞13，∴13＜k ＜1.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧5＝k ＋b ，0＝6k ＋b ，∴k ＝－1，b ＝6.反思与感悟 求一次函数的解析式的一般步骤 (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b ，其中k ≠0.(2)根据题目中所给的条件(或隐含条件)列出实数k 与b 满足的方程组． (3)求出k 与b 的值，代入y ＝kx ＋b 即可．跟踪训练2 已知一次函数的图象经过y ＝x ＋1与y ＝2x －3的交点A ，并且与x 轴交于点B (－1,0)，求这个一次函数的解析式，并画出其图象．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，即A (4,5)．设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 因为函数图象过A (4,5)与B (－1,0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧5＝4k ＋b ，0＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，所以一次函数解析式为y ＝x ＋1，其图象如图．类型三 一次函数中的恒成立问题例3 已知当x ∈[0,1]时，不等式2m －1＜x (m －1)恒成立，求m 的取值范围． 解 ∵当x ∈[0,1]时，不等式2m －1＜x (m －1)恒成立， ∴x (m －1)－(2m －1)＞0恒成立． 令f (x )＝x (m －1)－(2m －1)，则当x ∈[0,1]时，f (x )的图象恒在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－(2m －1)＞0，－m ＞0，∴m ＜0，即m 的取值范围为(－∞，0)． 引申探究若条件改为：存在x ∈[0,1]，使不等式2m －1＞x (m －1)成立，求m 的取值范围．解 若在[0,1]上存在x 使2m －1＞x (m －1)成立，则等价于f (x )＝(m －1)x －2m ＋1在[0,1]上存在x 使函数值为负值，即x ∈[0,1]时，f (x )min ＜0. 当m ＝1时，f (x )＝－1＜0恒成立； 当m ＜1时，m －1＜0，由f (x )min ＝f (1)＝－m ＜0得m ＞0， 故0＜m ＜1.当m ＞1时，m －1＞0，由f (x )min ＝f (0)＝－2m ＋1＜0得m ＞12，故m ＞1.综上所述，m 的取值范围是(0，＋∞)．反思与感悟 (1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)在[m ，n ]上恒为正⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＞0，f (n )＞0.(2)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)在[m ，n ]上恒为负⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＜0，f (n )＜0.跟踪训练3 已知f (x )＝ax ＋2在区间[1,3]上大于零恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－23，＋∞ 解析 ∵f (x )＝ax ＋2在区间[1,3]上大于零恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＞0，f (3)＞0， 解之得a ＞－23.类型四 一次函数的图象及应用例4 画出函数y ＝2x ＋1的图象，利用图象求： (1)方程2x ＋1＝0的根； (2)不等式2x ＋1≥0的解集； (3)当y ≤3时，求x 的取值范围．解 因为函数y ＝2x ＋1的图象与y 轴交于点A (0,1)，与x 轴相交于点B ⎝⎛⎭⎫－12，0，过A ，B 作直线，直线AB 就是函数y ＝2x ＋1的图象．如图所示．(1)直线AB 与x 轴的交点为B ⎝⎛⎭⎫－12，0，所以方程2x ＋1＝0的根为x ＝－12. (2)从图象上可以看到，射线BA 上的点的纵坐标都不小于零，即y ＝2x ＋1≥0.因为射线BA上的点的横坐标满足x ≥－12，所以不等式2x ＋1≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－12. (3)过点(0,3)作平行于x 轴的直线CC ′，交直线AB 于C (1，3)，直线CC ′上点的纵坐标y 均等于3，直线AB 上位于直线CC ′下方的点的纵坐标y 均小于3，射线CB 上点的横坐标满足x ≤1.反思与感悟 直线y ＝kx ＋b 上y ＝y 0(y 0是已知数)点的横坐标就是一元一次方程y 0＝kx ＋b 的根，直线y ＝kx ＋b 上满足y 1≤y ≤y 2(y 1，y 2是已知数)的那条线段所对应的x 的取值范围就是一元一次不等式y 1≤kx ＋b ≤y 2的解集．跟踪训练4 已知y ＋5与3x ＋4成正比例，且当x ＝1时，y ＝2，若y 的取值范围为0≤y ≤5，求x 的取值范围．解 由已知可设y ＋5＝k (3x ＋4)(k ≠0)， 将x ＝1，y ＝2代入得，7＝k (3＋4)，∴k ＝1，即y ＝3x －1， ∵0≤y ≤5，∴0≤3x －1≤5.∴13≤x ≤2.1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2答案 C解析 ∵C 中y ＝1＋2x 为一次函数且一次项系数大于零，∴y ＝1＋2x 在R 上为增函数，故选C.2．一次函数y ＝kx (k ≠0)的图象上有一点坐标为(m ，n )，当m ＞0，n ＜0时，则直线经过( ) A ．第二、四象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第一、四象限答案 A解析 ∵点(m ，n )的坐标中m ＞0，n ＜0， ∴点一定在第四象限， ∴直线过第二、四象限．3．已知一次函数y ＝(m －2)x ＋m 2－3m －2，它的图象在y 轴上的截距为－4，则m 的值为( ) A ．－4 B ．2 C ．1 D ．2或1 答案 C解析 ∵y ＝(m －2)x ＋m 2－3m －2为一次函数， ∴m －2≠0即m ≠2.又截距m 2－3m －2＝－4即m 2－3m ＋2＝0， ∴m ＝1.4．当m ＝________时，函数y ＝(m ＋1)x 2m －1＋4x －5是一次函数．答案 ±1解析 由题意可知m ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＋4≠0，2m －1＝1，∴m ＝－1或m ＝1.5．若函数y ＝(2m －9)xm 2－9m ＋15是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m ＝________. 答案 2解析 ∵m 2－9m ＋15＝1， ∴m ＝2或m ＝7.①当m ＝2时，y ＝－5x ，符合要求； ②当m ＝7时，y ＝5x ，不符合要求． 故m ＝2.1．一次函数图象与性质的理解(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线，但是并非任意一条直线都是一次函数的图象．例如：x ＝1的图象是一条直线，但x ＝1不是一次函数． (2)一次函数图象过定点⎝⎛⎭⎫－bk ，0，(0，b )． (3)一次函数的单调性与其一次项系数k 与0的大小关系． 当k >0时，函数单调递增， 当k <0时，函数单调递减． 2．一次函数与正比例函数(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)中，若b ＝0，则一次函数就变为正比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)．可见正比例函数是特殊的一次函数，一次函数是正比例函数的推广． (2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)与一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象都是直线．但正比例函数的图象一定过原点，一次函数的图象一定过点(0，b ).一、选择题1．已知函数y ＝kx ＋k 2－k 过点(0,2)且是减函数，则k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－1,2 D ．1，－2答案 B解析 将点的坐标代入函数关系式，得k 2－k ＝2，即k 2－k －2＝0，所以k ＝－1或k ＝2，由于一次函数为减函数，即k <0，所以k ＝－1，故选B.2．两条直线y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )答案 A解析 假设B 项中直线y ＝ax ＋b 正确，则a ＞0，b ＞0，所以y ＝bx ＋a 的图象应过第一、二、三象限，而实际图象过第一、二、四象限．∴B 错．同理C ，D 错．故A 正确． 3．当x ∈(0,1)时，不等式－ax ＋a －5＜0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，5] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，5) D ．(－∞，－5]答案 A解析 令f (x )＝－ax ＋a －5＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －5≤0，－5≤0，∴a ≤5. 4．一个水池有水60 m 3，现将水池中的水排出，如果排水管每小时排水量为3 m 3，则水池中剩余水量Q 与排水时间t 之间的函数关系是( ) A ．Q ＝60－3tB ．Q ＝60－3t (0≤t ≤20)C ．Q ＝60－3t (0≤t <20)D ．Q ＝60－3t (0<t ≤20) 答案 B解析 由题意，得0≤3t ≤60，即0≤t ≤20.只有B 选项适合．5．若函数y ＝(2m －3)x ＋3n ＋1的图象经过第一、二、三象限，则m 与n 的取值范围是( ) A ．m >32，n >－13B ．m >3，n >－3C ．m <32，n <－13D ．m >32，n <13答案 A解析 对于一次函数y ＝kx ＋b ，当k >0，b >0时，其图象经过第一、二、三象限，所以m >32，n >－13.6．若一次函数y ＝(3a －8)x ＋a －2的图象与两坐标轴都交于正半轴，则a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B.⎝⎛⎭⎫2，83 C.⎝⎛⎭⎫83，3 D ．(1,3) 答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －8<0，a －2>0，解得2<a <83.二、填空题7．一次函数y ＝(3a －7)x ＋a －2的图象与y 轴的交点在x 轴上方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫2，73 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，3a －7＜0，∴2＜a ＜73.8．若f (x )是一次函数，g (x )＝2x ＋1，f (g (x ))＝5x －3，则f (x )＝________. 答案 52x －112解析 设f (x )＝kx ＋b ，k ≠0， 则f (g (x ))＝k (2x ＋1)＋b ＝2kx ＋k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝5，k ＋b ＝－3，∴⎩⎨⎧k ＝52，b ＝－k －3＝－112，∴f (x )＝52x －112.9．已知函数y ＝2x ＋b 在区间[－1,3]上的最大值是7，则b ＝________. 答案 1解析 ∵函数y ＝2x ＋b 在[－1,3]上单调递增， ∴最大值为2×3＋b ＝7，∴b ＝1.10．直线y ＝－3x ＋1和直线y ＝2x ＋6以及x 轴围成的三角形的面积为________． 答案203解析 如图A ⎝⎛⎭⎫13，0，B (－3,0)，C (－1,4)．在△ABC 中，|AB |＝103，h ＝4， ∴S △ABC ＝12×103×4＝203. 三、解答题11．解答下列各题：(1)求函数y ＝3x －2(－1≤x ≤2)的值域；(2)若函数y ＝(3a ＋2)x ＋b 是减函数，求a 的取值范围；(3)若直线y ＝(m －2)x ＋1－2m 的图象不经过第二象限，求实数m 的取值范围．解 (1)∵y ＝3x －2在[－1,2]上为增函数，∴y ∈[－5,4]，其值域为[－5,4]．(2)∵3a ＋2＜0，∴a ＜－23. (3)①当m －2＝0，即m ＝2时，y ＝－3符合题意；②当m －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，1－2m ≤0，∴m ＞2，∴m 的取值范围为m ≥2.12．对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式px ＋3>3px 恒成立，试求x 的取值范围． 解 不等式px ＋3>3px 可化为：2px －3<0，即2xp －3<0，令f (p )＝2xp －3，当p ＝0时，f (p )＝－3<0，满足题意．函数f (p )的图象是一条线段，要使当0≤p ≤4时，f (p )<0恒成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝－3<0，f (4)＝8x －3<0，即x <38. ∴满足题意的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，38. 13．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝3x ＋5，y ＝x ＋5，y ＝－2x ＋8三个函数中的最大值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求出f (x )的最小值．解 在同一坐标系内作出y ＝3x ＋5，y ＝x ＋5，y ＝－2x ＋8的图象(如图所示)，它们的交点分别为A ，B ，C .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋5，y ＝－2x ＋8，得C ⎝⎛⎭⎫35，345. 过C 点作y 轴的平行线x ＝35，由图可知，在直线x ＝35左边，y ＝－2x ＋8的图象在最上面，即当x ≤35时，f (x )＝－2x ＋8；在直线x ＝35右边，y ＝3x ＋5的图象在最上面，即当x >35时，f (x )＝3x ＋5，因此，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋8，x ≤35，3x ＋5，x >35.观察f (x )的图象可知，f (x )min ＝345. 四、探究与拓展 14．已知函数f (x )＝(a ＋2b )x ＋2a －b (a ≥0)，且当x ∈[0,1]时恒有f (x )≤1，则f (－1)的最大值为________．答案 3解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2a －b ≤1，f (1)＝3a ＋b ≤1，两式相加可得5a ≤2，∴0≤a ≤0.4.∵f (－1)＝a －3b ＝3(2a －b )－5a ，且0≤a≤0.4,2a－b≤1，∴－2≤－5a≤0,3(2a－b)≤3，∴3(2a－b)－5a≤3，当a＝0，b＝－1时，f(－1)取最大值3.15．若函数f(x)＝(k－1)x＋2在区间[－1,2]上恒有f(x)＞0，求实数k的取值范围．解(1)当k＝1时，f(x)＝2＞0恒成立；(2)当k＞1时，函数f(x)＝(k－1)x＋2在区间(－1,2)上为增函数，所以只要f(x)min＞0，即f(－1)＝－(k－1)＋2＞0，解得k＜3，所以实数k的取值范围为(1,3)；(3)当k＜1时，函数f(x)＝(k－1)x＋2在区间(－1,2)上为减函数，所以只要f(x)min＞0，即f(2)＝2k－2＋2＞0，解得k＞0，则实数k的取值范围为(0,1)．综上，实数k的取值范围为(0,3)．。
高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第2章 函数 2.1.1 第1课时
②是函数关系，定义域为R.
③是函数关系，定义域为R.
解答
类型二 已知函数的解析式，求其定义域
例2 求下列函数的定义域. (1)y＝3－12x； 解 函数 y＝3－12x 的定义域为 R.
(2)y＝2 x－ 1－7x； 解 由x1≥－07，x≥0， 得 0≤x≤17， 所以函数 y＝2 x－ 1－7x的定义域为0，17.
解答
(3)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x.
2x＋3≥0， 解 要使函数有意义，需2－x>0，
x≠0，
解得－32≤x＜2，且 x≠0，
所以函数 y＝
2x＋3－
21－x＋1x的定义域为x－32≤x＜2，且x≠0
.解答ຫໍສະໝຸດ 反思与感悟求函数定义域的常用依据 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零. (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合. (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义. (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
第二章 2.1.1 函 数
第1课时 变量与函数的概念
学习目标
1.理解函数的概念. 2.理解函数相等的概念，了解构成函数的三要素. 3.能正确使用函数、区间符号.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 函数的概念
1.函数的定义 设集合A是一个非空 的数集，对A中的任意数x ，按照确定的法则f，都有 唯一确定 的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数， 记作 y＝f(x)，x∈A . 2.函数的定义域与值域 在函数y＝f(x)，x∈A中， x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这 个函数的定义域.如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处 的函数值，记作 y＝f(a)或.所y|x有＝a函数值构成的集合_______{_y_|y_＝__f(_x_)_，x∈A} 叫做这个函数的值域.
人教B版2020年高一必修1第二章2.1 函数 2.1.1 函数 教案
2.1.1 函数教学设计一、教学目标（1）知识与技能目标：(1)会用集合与对应的语言刻画函数；（2）会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单应用.（2）过程与方法目标：通过对实例的探究，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性有进一步的认识，提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力；培养学生分析、解决问题的能力。
（3）情感、态度与价值观目标：通过师生、生生互动的教学活动过程中，让学生体会成功的愉悦，培养学生热爱数学的态度，提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.二、教学重点、难点本节课的教学重点是函数概念的理解，难点是对函数符号的理解。
三、教学方法与教学手段教学方法：采用“学案教学”的教学方法，通过不同实例的探究，让学生积极参与教学活动。
教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高课堂效率。
教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入1.实例引入复习初中的常量、变量与函数的概念。
问题1：在加油站为汽车加油，油价为每升4.16元，启动加油机开关后表示加油量和金额的两个窗口的数字不停地跳动直到加油量为12升时停下。
问金额y元与加油量x升之间的关系式是什么？学生积极思考，回答教师提出的问题。
从多媒体展示的生活问题入手，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。
通过实例：（1）认识生活中充满变量间的依赖关系；（2）激发学生学习兴趣，提高发散思维能力。
概念形成让同学们看课本第32页例1~3，回答下列问题：问题2：（1）你从例题中了解到哪些信息？（2）自变量的取值范围是多少？学生独立思考2~3分钟，然后分组讨论，交流。
讨论、整理出本组同学所想到的各种想法。
教师巡视，关注学生讨论的情况。
实际问题引出概念，激发学生学习兴趣，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。
最新高中数学新课标人教B版必修一2.1.1《函数》教案(1).doc
2.1.1函数教案（1）教学目标：（1）通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
（2）学习用集合语言刻画函数。
（3）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域和解析式。
教学重点：函数的概念.教学过程：1．通过多教材上四个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
2．引出用集合语言刻画函数（见教材第33页）函数的定义，设集合A是一个__________数集，对A中的__________，按照__________，都有__________数y与它对应，则__________叫集合A上的一个函数，记作__________。
函数的定义域是指：____________________。
值域是指______________________________。
3．函数的两要素：对应法则、定义域。
只有当这两要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
4．区间概念axx=≤≤ba[]},|{baxx=≤b<a[)},|{baxx=≤b<,(a}]|{baxx=<b<{ba)(,}|x-∞xb≤=,{b(]}|≤axa=x}),[{+∞|【例题讲解】例1、求函数2314)(2+---=x x x x f 的定义域。
例2、求下列函数的值域。
（1）}4,3,2,1{,12∈+=x x y（2）1+=x y [例3、已知23)1(2+-=+x x x f（1）求f(2)和f(a)的值。
（2）求f(x)和f(x-1)的值。
参考答案：例1．解：由⎩⎨⎧≠≠≤⎩⎨⎧≠+-≥-214023042x x x x x x 且得 ∴定义域为}214|{≠≠≤x x x x 且且例2．解：（1）值域为{3,5,7,9}（2）∵ 0≥x ∴11≥+x ∴值域为),1[∞+ 例3．解：（1）02131)11()2(2=+⨯-=+=f f652)1(3)1()11()(22+-=+---=+-=a a a a a f a f（2）652)1(3)1()11()(22+-=+---=+-=x x x x x f x f 276)1(5)1()1(22+-=+---=-x x x x x f课堂练习：教材第35页练习A、B小结：学习用集合语言刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域和解析式[课后作业：第58页习题1-1B第1题。
数学人教B全国通用版必修一学案：第2章 2.1 2.1.1 函数 Word版含答案
2.1函数2.1.1函数学习目标：1.理解函数的概念，了解函数构成的三要素．(难点)2.会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点)3.能正确使用区间表示数集．(重点)[自主预习·探新知]1．函数的相关概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．(2)函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．(3)函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．思考1：如何准确理解函数的概念？[提示](1)函数记号y＝f(x)的内涵：符号“y＝f(x)”指的是“y是x的函数”，它仅仅是抽象的、简洁的函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，y ＝f(x)是指对于定义域A中的任意x，在对应关系f的作用下，在值域C中有唯一的y与之对应，f(x)不一定是解析式，也可以是函数的其他表示形式，如图表法等．(2)要注意符号“f(a)”与“f(x)”的区别与联系，f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，它是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况(非常数函数)下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．2．区间的概念与表示(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：思考2：如何正确理解区间的概念？[提示](1)区间表示了一个数集的范围，主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等．(2)若[a，b]是一个确定的区间，则隐含条件为a<b.(3)在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示．(4)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．(5)用＋∞，－∞表示区间的端点处不能写成闭区间形式．[基础自测]1．思考辨析(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．()(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.()(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．()[解析](1)×定义域和值域可以是有限集也可以是无限集．(2)×根据函数的定义可知，对于定义域中的一个x值在值域中只有唯一的一个值f(x)和它对应．(3)√f(a)表示当x＝a时的函数值，它是一个常量．[答案](1)×(2)×(3)√2．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为()A．－2B．－1C．0D．不确定B[因为f(x)＝－1表示常数函数，所以f(2)＝－1，故选B.]3．填空：(1)集合{x|1<x≤3}用区间可表示为________；(2)集合{x|x>－2}用区间可表示为________；(3)集合{x|x≤2}用区间可表示为________．[答案](1)(1,3](2)(－2，＋∞)(3)(－∞，2]4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则它的值域为________．{0，－1,3}[把x＝0,1,2,3分别代入y＝x2－2x中所得结果分别为0，－1,0,3，所以值域为{0，－1,3}．][合作探究·攻重难](1)(2)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. A．①②B．①③C．③④D．①④(3)判断下列对应是否为函数：①x→y，y＝2x，x≠0，x∈R，y∈R；②x→y，y2＝x，x∈N，y∈R；③x→y，y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；④x→y，y＝16x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}．[思路探究](1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．(3)利用函数的定义判定．[解](1)根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.(2)①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与y＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.[答案](1)B(2)C(3)①是函数．对x≠0，x∈R的每一个x的值，有唯一的y∈R与之对应．②不是函数．如当x＝4时，y＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数．③不是函数．如当x＝4时，在{y|0≤y≤3}内没有值与x对应．④是函数．当x∈{x|0≤x≤6}时，16x∈{y|0≤y≤1}⊆{y|0≤y≤3}．[规律方法] 1.判断一个对应关系是否为函数的步骤(1)判断A，B是否是非空数集；(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；(3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．2．判断函数是否相同的步骤(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论．[跟踪训练]1．判断下列对应是不是实数集R到R上的一个函数．(1)f：把x对应到3x＋1；(2)h：把x对应到1x2；(3)r：把x对应到x.[解] (1)x ∈R ，对应法则为f ：x →3x ＋1，设x 1∈R ，能确定唯一的函数值y 1＝3x 1＋1，所以对应法则f 是实数集R 到R 上的一个函数．(2)x ∈R ，对应法则为h ：x →1x 2，因为x ＝0时，不能确定唯一的函数值，所以对应法则h 不是实数集R 到R 上的一个函数．(3)x ∈R ，对应法则为r ：x →x ，因为x <0时，x 无意义，所以当x <0时，不能确定唯一的函数值，所以对应法则r 不是实数集R 到R 上的函数．](1)函数y ＝3x 1－2x＋(2x ＋1)0的定义域为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12且x ≠－12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤12且x ≠－12 [思路探究] 根据函数解析式的结构特点，构造使函数解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式(组)求解．[解] 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，2x ＋1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，x ≠－12，即x ＜12且x ≠－12，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12且x ≠－12，故选B.[答案] B(2)求下列函数的值域：①y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；②y ＝x ＋1；③y ＝3x ＋2x －1； ④函数y ＝8x 2(1≤x ≤2)．[解] ①因为y ＝2x ＋1，且x ∈{1,2,3,4,5}，所以y ∈{3,5,7,9,11}．所以函数的值域为{3,5,7,9,11}． ②因为x ≥0，所以x ＋1≥1.所以函数的值域为[1，＋∞)．③y ＝3x ＋2x －1＝3(x －1)＋5x －1＝3＋5x －1≠3.所以函数的值域为{y |y ≠3}．④因为1≤x ≤2，所以1≤x 2≤4，14≤1x 2≤1，故2≤8x 2≤8，所以函数的值域为[2,8]．[规律方法] 1.求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．求函数值域的方法(1)简单的函数可以观察得到．(2)一次分式(或者可以化成一次分式的形式)可以采用常数分离法求解．(3)含根号的式子注意观察式子本身的隐含条件，结合根式的意义求出其取值范围．(4)二次函数常用配方法求其在R 上的值域．[跟踪训练]2．函数y ＝x ＋1x 的定义域为________.[－1,0)∪(0，＋∞)． [要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，x ≠0，解得x ∈[－1,0)∪(0，＋∞)．函数的定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)．]3．函数y ＝－x 2－2x ＋5的值域为________．(－∞，6] [y ＝－x 2－2x ＋5＝－(x ＋1)2＋6因为x ∈R ，所以－(x ＋1)2＋6≤6所以函数的值域为(－∞，6]．][探究问题]1．函数f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)，这里的“[0，＋∞)”是指谁的取值范围？在函数的定义中，是如何定义函数定义域的？函数的定义域对于函数的对应关系f 而言，有什么作用？提示：这里的[0，＋∞)是自变量x 的取值范围．在函数的定义中，定义域是指自变量x 的取值范围．对于函数的对应关系f 而言，当自变量x 在定义域范围内取值时，这种对应才有意义，才可以进行．2．(1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？提示：(1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞)．(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞)．3．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：这里的“[1,2]”是自变量x 的取值范围．因为x ∈[1,2]，所以x ＋1∈[2,3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是[2,3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2,3]．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域；(2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2,3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．[思路探究] (1)由函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x －3≤3即可．(2)由函数y ＝f (2x －3)的定义域，先求函数y ＝f (x )的定义域，再求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．[解] (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的范围与函数y ＝f (x )中x 的范围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.(2)因为x ∈[－2,3]，所以2x －3∈[－7,3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7,3]， 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9,1]．[规律方法] 求复合函数定义域的方法(1)已知f (x )的定义域为D ，求f (g (x ))的定义域：由g (x )∈D ，解不等式得出x 的范围，即得到f (g (x ))的定义域．(2)已知f (g (x ))的定义域为D ，求f (x )的定义域：由x ∈D ，求出g (x )的值域，即得到f (x )的定义域．母题探究：(变条件)已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，求y ＝f (2x －3)＋f (x 2)的定义域．[解] 因为函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，所以x ＋1∈[－1,4]．即f (x )的定义域为[－1,4]．由⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2x －3≤4，－1≤x 2≤4得⎩⎨⎧ 1≤x ≤72，－2≤x ≤2，即1≤x ≤2.所以y ＝f (2x －3)＋f (x 2)的定义域为[1,2]．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x .A ．4B ．3C ．2D ．1B [根据函数的定义，①②③是函数．④中满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ≤1的实数x 不存在．]2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎨⎧ x ，(x >0)－x ，(x <0)D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x >0)，－x (x <0)，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]3．下列函数中，与函数y ＝1x 有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝x 0B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝x x D [由于y ＝1x 的定义域为{x |x >0}，而D 中f (x )＝x x的定义域也为{x |x >0}．] 4．函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________． [4,5)∪(5，＋∞) [∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5， ∴函数f (x )的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)．]5．已知函数f (x )＝x ＋1x ，(1)求f (x )的定义域；(2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．[解](1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋1－1＝－2，f(2)＝2＋12＝52.(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋1.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 2.1.1 函数》0
《函数的定义域》教学设计课题：专题----函数的定义域课时：1课时课型：复习课教学目标：理解函数的定义域的概念，熟练掌握函数定义域的求法。
学情分析：本课是一轮复习的复习课，高一的学习中学生已经初步掌握了函数的定义域的求法，但是由于学生的基础比较差，属于数学学困生，所以尽管是复习课，题目的设置仍然比较基础，为的是循序渐进，激发学生的学习兴趣，而后渐入佳境。
教学流程：教学环节教学内容设计图课前展示学生准备，主持人提问学生简单函数的定义域复习简单函数定义域，为所复习的内容作铺垫阅读感悟一学生复习不同形式函数的定义域的求法自我检测一1、某种杯子每只元，买只，所需钱数为元，用下表表示这个函数，则函数的定义域为______________2则函数的定义域是的函数，是、右图表示xy检测学生对以表格形式和图象形式给出的函数的定义域的求法阅读感悟二1、求函数定义域的主要依据：①整式函数的定义域为R；②分式函数中分母____________；③偶次根式函数被开方式_____________；④函数=0的定义域为_________；⑤指数函数＝aa＞0且a≠1的定义域为__ _________；⑥对数函数＝og a a＞0且a≠1的定义域为________2、通过例题总结求函数定义域的步骤：()().13lg1132的定义域求函数例：++-+=xxxxf⎪⎭⎫⎝⎛-<<-⎩⎨⎧>+>-1,31131131所以函数的定义域为解得当且仅当解：若使函数有意义，xxx复习所学基本初等函数的定义域；求函数定义域步骤：第一步——列：第二步——解：第三步——答：（注意用集合或区间的形式写出）自我检测二求下列函数的定义域：1、()xxxf-+-=732；2、()53-+=xxxf；3、()()33xxxf+-=4、()()12log21+=xxf1、练习不同类型的函数定义域的求法，锻炼学生解题能力与速度及规范步骤；2、组内研讨，核对答案，提高自主解决问题的能力；。
人教b版高一数学必修一：2.1.1《函数(1)》学案(含答案)
二、填空题
6．将集合 { x|x＝1 或 2≤ x≤8} 表示成区间为 ____________ ． 7．若 f(2x)＝ x3，则 f(1)＝ ________. 8．函数 y＝ x2－ 2 的定义域为 { － 1,0,1,2} ，则其值域为 ________．
三、解答题 9．求下列函数的定义域：
－x (3)y＝ 2x2－ 3x－2；
(2) y＝
3；
1－ 1－x
(4) y＝
2x＋ 3－
1＋ 2－x
1 x.
规律方法 求函数定义域的原则： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次根式的被开方数 (式 )
为非负数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (3)零指数幂的底数不等于零等．
变式迁移 1 求下列函数的定义域：
(1)
f
(
x)＝
第二章 函 数
§2.1 函 数 2.1.1 函数 (一 )
自主学习
学习目标 1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念 中的作用． 2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域． 3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．
自学导引
1．函数的有关概念 设集合 A 是一个 ____________ ，对 A 中的 ____________，按照确定的法则 f，都有
(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关． 变式迁移 2 试判断下列函数是否为同一函数：
(1)f(x)＝ x· x＋ 1与 g( x)＝ x x＋ 1 ； (2)f(x)＝ x2－ 2x 与 g(t)＝ t2－ 2t； (3)f(x)＝ 1 与 g(x)＝ x0(x≠ 0)．
知识点三 求函数解析式
高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。
高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第2章 函数 2.1.3
即Δy＝f(x1)－f(x2)<0， 1 ∴f(x)＝x＋ 在区间[1，＋∞)上是增函数． x 命题角度 2 例3 证明抽象函数的单调性 已知函数 f(x)对任意的实数 x，y 都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当 x>0 时，f(x)>1.求证：
函数 f(x)在 R 上是增函数． 证明 方法一 设 x1，x2 是实数集 R 上的任意两个实数，且 x1>x2.令 x＋y＝x1，y＝x2，则 x
2.1.3
学习目标 会用定义证明函数的单调性．
函数的单调性
1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性 .3.
知识点一 思考 答案
函数的单调性
画出函数 f(x)＝x，f(x)＝x2 的图象，并指出 f(x)＝x，f(x)＝x2 的图象的升降情况． 两函数的图象如下：
函数 f(x)＝x 的图象由左到右是上升的；函数 f(x)＝x2 的图象在 y 轴左侧是下降的，在 y 轴右 侧是上升的． 梳理 1.设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 M⊆A，如果取区间 M 中的任意两个值 x1，x2，
1．如果 f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则 f(x)在区间[a，c]上是增函数．( 2．单调区间[a，b]可以写成{x|a≤x≤b}．( × ) √性时，可设 x1<x2，也可设 x1>x2.(
4．证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可．( ×
类型一 例1
求单调区间并判断单调性
如图是定义在区间[－5,5]上的函数 y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每
一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解
y＝f(x)的单调区间有[－ 5，－2]，[－ 2,1]，[1,3]，[3,5]，其中 y＝f(x)在区间 [－5，－