第七章 参数估计
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概率论第七章 第1节
根据样本概率最大原则，m的估计值为3。
最大似然估计法原理
一般地，不仿设总体X是离散型分布X～p(x,θ)，如果 X1,X2,…,Xn是来自这个总体的一个随机样本，x1,x2,…,xn 是这个随机样本的样本值，则这个样本发生的概率为：
记这个概率为θ的函数：
16
最大似然估计法原理
如果在一次抽样中样本值x1,x2,…,xn出现了，我们就认为 它之所以出现是因为它发生的概率最大导致的。因此我们 就选择能使这个概率最大的那个θ作为θ的估计值，这就 是极大似然估计法。 “样本值概率最大原则”
矩估计法理论依据
命题2：设总体X的l=1,2,…,k阶矩存在即E(Xl)=μk,则l阶样 本矩A1,A2,…,Ak的连续函数g(A1,A2,…,Ak)也依概率收敛于总 体矩的连续函数即
根据这两个命题，我们使用如下方法来进行矩估计： (1)用样本矩A1,A2,…,Ak来估计总体矩； (2)用样本矩的连续函数g(A1,A2,…,Ak)来估计总体矩的连续 函数g(μ1,μ2,…,μk)。
砍掉充分小的dxi,记这 个概率为θ的函数：
30
连续型总体中参数 θ的似然函数!
最大似然估计值 最大似然估计量
怎样求最大值点？
基于此通常先取对数，再求最大值点。
化成求 对数似 然函数 的最大 值点!
如果对数似然函数二阶可导，并且概率 密度函数是单峰函数，则驻点就是最大 值点!通过求一阶导数能得驻点：
第七章 参数估计
1、什么是参数估计？ 当总体的分布类型已知，但其中仍有未知参数。比如总体 X服从参数μ,σ2的正态分布，但μ,σ2未知。但是我们 能根据来自总体X的一个简单随机样本X1,X2,…,Xn通过适 当的方法对这些未知参数进行估计，得到它的一个近似值 或近似区间。 2、参数估计有哪些形式？ (1)点估计：矩估计法、极大似然估计法。 (2)区间估计：正态总体下区间估计法。
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
chap7参数估计.ppt
若p的可供选择的估计值有许多，仍应选择发生概率最大的 p
作为p的估计，这就是极大似然估计的思想。
极大似然估计的原理(教材p180-181)
设总体X的概率密度函数族为f(x； ) (或概率分布函数族为
P(X=x)=p(x ； ) )，。
设 (x1，x2， ，xn ) 为任一组样本观察值(一组抽象的数)，则
求的矩估计值和极大似然估计值。
说明：1. 本题中因 P(X= xi )无一般表达式，故不能先求极大
似然估计量，再将样本观察值代入求极大似然估计值。
2. 本题处理思想在解决实际问题时很有用。
极大似然估计的性质：若 为总体X中未知参数的极大似
然估计量，u=u( ) 有单值反函数 = (u)，则u( )是u( ) 的
k
k次着n火k天数 75 90 54 22
6
2
1 =
250
1) 试用矩估计法估计参数； 2) 试用极大似然估计法估计参数； 3) 试求P(X=0)的极大似然估计值。
例2(2002年数学三考研试题填空题)
设总体X的概率密度为 f (x；
)
e
， ( x ) 0，
若x 若x
， .
而 X1，X 2， ，X n 是来自总体X的简单随机样本，则未知
大似然估计值。
求L()的极大值 ：
通过
d
ln
L(
)
0，求出
。
d
说明：1. 因为L()是样本观察值的函数(此时样本观察值不变)，
故求出的 一般也是样本观察值的函数。
2. 由于 d ln L( ) 0 只是lnL()取极值的必要条件，从理论上
d
来说，还应验证lnL( ) lnL()， 对所有样本观察值都
第七章 参数估计
第三节 总体均数估计
估计总体平均数的步骤： 估计总体平均数的步骤： X与S 1、 计算样本 2、 计算 σ X 3、 确定置信水平或显著性水平并查表 4、计算置信区间 5、解释总体平均数的置信区间
一、正态估计法 ， σ２已知 、
1、前题条件： 、前题条件：
总体正态, n不论大小 总体正态, n不论大小
点估计与区间估计的比较
定义: 定义
直接以样本统计量（数轴上的一个点） 点估计 :直接以样本统计量（数轴上的一个点） 作为总体参数的估计值
区间估计：按一定概率要求， 区间估计：按一定概率要求，根据样本统计量估 计总体参数可能落入的范围的一种统计方法。 计总体参数可能落入的范围的一种统计方法。也 就是说整体参数所落的有把握的范围 整体参数所落的有把握的范围。 就是说整体参数所落的有把握的范围。
D=0.95时 时
75.7 ≤ µ ≤ 81.3
5、解释：用样本1估计，总体的平均数落在 、解释：用样本1估计， 73.6-82.4之间的可能性为95%， 之间的可能性为95% 73.6-82.4之间的可能性为95%，超出这一范 围的可能性为5% 5%。 围的可能性为5%。 用样本2估计，总体的平均数落在76.7 80.3之 76.7用样本2估计，总体的平均数落在76.7-80.3之 间的可能性为95% 落在75.7 81.3的可能性为 95%， 75.7间的可能性为95%，落在75.7-81.3的可能性为 99%。 99%
X ± 2.58σ X
置信限：就是总体参数所落区间的上下界限。 置信限：就是总体参数所落区间的上下界限。即
X − 1.96σ X ≤ µ ≤ X + 1.96σ X
置信下限 置信上限
标准误
标准误（中心极限定理 ） 标准误（中心极限定理3）
概率论 第七章 参数估计
L( ) max L( )
称^为
的极大似然估计（MLE）.
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率分布 (或联合密度);
(2) 把样本联合概率分布(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE;
1. 将待估参数表示为总体矩的连续函数 2. 用样本矩替代总体矩，从而得到待估参
数的估计量。
四. 最大似然估计（极大似然法）
在总体分布类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
首先由德国数学家高斯在1821年提出。 英国统计学家费歇1922年重新发现此
方法，并首先研究了此方法的一些性质 .
例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只 野兔从前方窜过 . 一声枪响，野兔应声倒下 .
p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.343 0.3 0.343 0.441 0.189 0.027
应如何估计p?
若：只知0<p<1, 实测记录是 Y=k
(0 ≤ k≤ n), 如何估计p 呢?
注意到
P(Y k) Cnk pk (1 p)nk = f (p)
第七章 参数估计
参数估计是利用从总体抽样得到的信息 估计总体的某些参数或参数的某些函数.
仅估 计一 个或 几个 参数.
估计新生儿的体重
估计废品率
估计降雨量
估计湖中鱼数
…
…
参数估计问题的一般提法:
设总体的分布函数为 F(x, )，其中为未 知参数 (可以是向量).从该总体抽样，得样本
第七章 参数估计
第七章 参数估计
1、正态总体、方差已知或非正态总体，大样本 当总体服从正态分布且方差已知时，或者总体不是正态分布但是大样本时，样本 均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值u，方差为Ϭ2/n。而样本均 值经过标准化以后的随机变量则服从标准正态分布，即 Z=(x-u)/(Ϭ/n0.5)~N(0,1) 根据上式和正态分布的性质可以得出总体均值u在1-α置信水平下的置信区间为： xα+是(-)事Z(α先/2)所(Ϭ确/n定0.5的)。而其一中个，概x率+Z值(α/2，) (Ϭ也/n称0.为5)为风置险信值上，限是，总x体-Z均(α/2值) (Ϭ不/包n0.含5)为在置置信信下区限间，的 概是率估；计1总- 体α称均为值置时信的水估平计，误Z差(α/。2) 是标准正态分布右侧面积为α/2的z值；Z(α/2) (Ϭ/n0.5) 也即是说，总体均值的置信区间由两个部分构成：点估计值和描述估计量精度的 +(-)值，这个+(-)值称为估计误差。
第七章 参数估计
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
其中，区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。
由于统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名 为置信区间。原因是：如果抽取了许多不同的样本，比如说抽取100个样本，根据 每一个样本构造了一个置信区间，这样，由100个样本构造的总体参数的100个置 信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%则没有包含，则95%这个值 称为置信水平。一般，如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总 体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，也称为置信度或置信系数。
自然使用估计效果最好的那种估计量。什么样的估计量才算一个好的估计量呢？ 统计学家给出了评价估计量的一些标准，主要包括以下几个：
概率论与数理统计-参数估计
第七章 参数估计
例：
引言
设总体 X 是服从参数为 的指数分布，其中参数
未 知 ，
0 ．X1 ,,
X
是总体
n
X
的一个样本，
我们的任务是根据样本，来估计 的取值，从
而估计总体的分布．
这 是 一 个 参 数 估 计 问 题．
第七章 参数估计
§1 点估计 §2 估计量的评选标准 §3 区间估计
第七章 参数估计 §1 点估计
2
令
A1
A2
, (
2
1)
.
第七章 参数估计
例6(续）
解此方程组，得
§1 点估计
ˆ
A1 2 A2 A12
,
ˆ
A2
A1 A12
.
ˆ X 2 ,
即
B2
ˆ X .
B2
其中 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 为样本的二阶中心矩．
第七章 参数估计（第二十二讲） 三、 极大似然法
§1 点估计
1
第七章 参数估计
例6(续）
EX 2 x 2 f
x dx x 2
x 1e x dx
0
§1 点估计
2 2 x ( e 2)1 x dx
2 0 2
2 2
1 2
1
2
因此有
EX
,
EX
2
1 .
⑵ 在不引起混淆的情况下，我们统称估计量
与估计值为未知参数 的估计．
第七章 参数估计
二、 矩估计法
§1 点估计
设X为连续型随机变量，其概率密度为
f ( x;1 ,, k ), X为离散型随机变量，其分布列为
07心理统计学-第七章 参数估计
犯错误的概率，常用α（或p）表示。则1-α为置信 度。（显著性水平越高表示的是α值越小，即犯错误的可
能性越低） α为预先设定的临界点，常用的如.05、.01、.001；p 为检验计算所得的实际（犯错误）概率。
第一节 点估计、区间估计与标准误
三、区间估计与标准误
3、区间估计的原理与标准误
转换成比率为
p
n
p, SE p
n
pq n
同理可得公式7-17。自习[例7-12、例7-13]
1、从某地区抽样调查400人，得到每月人均文化消费为 160元。已知该地区文化消费的总体标准差为40元。试 问该地区的每月人均文化消费额。（α=.05，总体呈正态
分布）
2、上题中总体方差未知，已知Sn-1=44元。 3、已知某中学一次数学考试成绩的分布为正态分布，总 体标准差为5。从总体中随机抽取16名学生，计算得平 均数为81、标准差为Sn=6。试问该次考试中全体考生成 绩平均数的95%置信区间。 4、上题中总体方差未知，样本容量改为17人。 5、假定智商服从正态分布。随机抽取10名我班学生测 得智商分别为98、102、105、105、109、111、117、 123、124、126（可计算得M=112，Sn≈9.4），试以95% 的置信区间估计我班全体的智商平均数。 返回
值表，求tα /2（df）。
5、计算置信区间CI。
σ2已知，区间为M-Zα /2 SE <μ< M+Zα /2 SE；
σ2未知，区间为M-tα /2(df)SE <μ< M+tα /2(df)SE。
6、对置信区间进行解释。
二、σ2已知，对μ的区间估计（Z分布，例7-1 & 2） 三、σ2未知，对μ的区间估计（t分布，例7-3 & 4）
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， k ) 定义7.1 设总体X中含有未知参数 (1， 2，
，xk ) ，使 若对每个i( i=1，2，k)，存在连续函数 gi ( x1，x2，
i gi (E( X )，E( X 2 )， ，E( X k ))，i 1 ， 2， ，k， 则称 i gi (1， 2， ， k ) 为 i 的矩估计量，其中
F(x； )来表示X的分布函数，当取不同的值，就会得到不 同的分布函数。我们称所有可能取值的集合为参数空间，记 为。把{F(x； )， }称为X的分布函数族。
若X为连续型随机变量，和分布函数族对应的是密度函数 族{ f (x； )， }。
若X是离散型随机变量，和分布函数族对应的是概率分布 函数族{ 第一节
f ( x；1， 2， ， k )，
由总体原点矩的定义，有
E( X i ) xi f ( x；1， 2， ， k )dx， i 1， 2， ，k.
从理论上来说，由上面k个方程，可以解出
i gi (E( X )，E( X 2 )， ，E( X k ))，i 1 ， 2， ，k.
的估计值。
( x1，x2， ，xn ) 作为未知参数
说明：1. 在统计推断中，当不致混淆时，通常对样本和样本 ，xn )。 观察值的表示法不加区分，均表成 ( x1，x2， 2. 对于两组不同的样本观察值 ，可得到未知参数 的两个 估计值，但 的估计量是同一个。
一、矩估计 矩估计法原理：用样本k阶原点矩(中心矩)作为总体k阶原点 矩(中心矩)的估计量，用样本k+m阶混合矩作为总体k+m阶混 合矩的估计量。 特别，用 X 作为E(X)的估计量，用 B2 作为D(X)的估计 量，用样本协方差(相关系数)作为cov(X，Y)和 rXY 的估计量。
i X / n，i 1， 2， ，k.
2， ， n )为 (1， 2， ， n ) 的矩估计量。 称 ( 1 ，
n
j 1
i j
如何求i gi ( E( X )，E( X 2 )， ，E( X k ))，i 1 ， 2， ，k？ 设总体X的密度函数为
P(X=2)=
p
2
。 根据题意，知 p=3/4 或 p=1/4 。
若 p=1/4，则 P(X=2)=1/16； 若 p=3/4，则 P(X=2)=9/16。 这说明当黑球多时事件 (X=2) 发生的概率大得多， (或者说样本来自总体B(2，3/4)的可能性比来自总体B(2，1/4) 的可能性大得多) 根据“概率越大的事件越可能发生”的实际推断原理，应选 3/4作为p的估计值。
d
d ln L( ) 2. 由于 只是lnL()取极值的必要条件，从理论上 0 d
来说，还应验证lnL( ) lnL()， 对所有样本观察值都 成立。但这种验证通常是非常困难的，故多不进行验证。 3. 若不只一个参数需要估计，也采用同样的方法，只是这时似 然函数是多元函数，要通过令偏导数等于零求出驻点。(具体步 骤见教材p182-183)。
p (k ) P( X xk )， } 。
点估计
点估计(教材p177) 用样本 ( X1，X 2， ，X n ) 构造适当的统
计量 ( X 1，X 2， ，X n ) ，作为未知参数 的估计量。
当取得一组样本观察值
( x1，x2， ，xn ) 后，用相应的
，xn ) ，使 L( ) max L( ) 对几乎所有样 若有 ( x1，x2，
本观察值都成立，则称 ( X 1，X 2， ，X n )为的极大似然估
计量，称 ( x1，x2， ，xn )为的极大似然估计值。
说明：在求极大似然估计量时，先用一组抽象的样本观察值 来求，因而得到的是待估参数的极大似然估计值，再用样本 代换样本观察值，才能得到待估参数的极大似然估计量。若 用一组具体的样本观察值代入，便可得到待估参数的具体极 大似然估计值。 求L()的极大值 ： 通过 d ln L( ) 0，求出 。 说明：1. 因为L()是样本观察值的函数(此时样本观察值不变)，
矩估计的优越性：当总体分布类型未知时仍可对总体各阶矩进 行估计。
矩估计的缺陷：当总体分布类型已知时，未能充分利用总体 分布提供的信息。
二、极大似然估计 引例：罐中有许多白球和黑球，已知两色球的比例为3：1，但 不知哪种颜色的球多。今有放回连抽两球均取出黑球，问：罐 中黑球多还是白球多？
解：设抽出黑球的概率为p，抽得黑球数为X，则X～B(2，p)。
第七章 引言
参数估计
参数估计：当总体的某些参数未知(一般要求分布类型已知)时， 从样本出发构造适当的统计量，作为未知参数的估计量。当取 得一组观察值后，以相应的统计量的观察值作为未知参数的估 计值，并讨论估计值对真值进行估计的可靠性。 参数估计方法是处理实际问题时最常用的方法。 预备概念：当总体X中含有未知参数 (可以是向量)时，可用
L( ) L( x1，x2， ，xn； ) f ( xi； ).
(或 L( )
p( x ； ) ).
i i 1
n
i 1
注意，当X是离散型随机变量，因样本观察值是取定的，故 L()， 仅是的函数，对连续型随机变量，仍将L()， 仅看作的函数。
若p的可供选择的估计值有许多，仍应选择发生概率最大的 p 作为p的估计，这就是极大似然估计的思想。
极大似然估计的原理(教材p180-181) 设总体X的概率密度函数族为f(x； ) (或概率分布函数族为 P(X=x)=p(x ； ) )，。本的密度函数(或概率分布)为 n
，xk ) ，使 若对每个i( i=1，2，k)，存在连续函数 gi ( x1，x2，
i gi (E( X )，E( X 2 )， ，E( X k ))，i 1 ， 2， ，k， 则称 i gi (1， 2， ， k ) 为 i 的矩估计量，其中
F(x； )来表示X的分布函数，当取不同的值，就会得到不 同的分布函数。我们称所有可能取值的集合为参数空间，记 为。把{F(x； )， }称为X的分布函数族。
若X为连续型随机变量，和分布函数族对应的是密度函数 族{ f (x； )， }。
若X是离散型随机变量，和分布函数族对应的是概率分布 函数族{ 第一节
f ( x；1， 2， ， k )，
由总体原点矩的定义，有
E( X i ) xi f ( x；1， 2， ， k )dx， i 1， 2， ，k.
从理论上来说，由上面k个方程，可以解出
i gi (E( X )，E( X 2 )， ，E( X k ))，i 1 ， 2， ，k.
的估计值。
( x1，x2， ，xn ) 作为未知参数
说明：1. 在统计推断中，当不致混淆时，通常对样本和样本 ，xn )。 观察值的表示法不加区分，均表成 ( x1，x2， 2. 对于两组不同的样本观察值 ，可得到未知参数 的两个 估计值，但 的估计量是同一个。
一、矩估计 矩估计法原理：用样本k阶原点矩(中心矩)作为总体k阶原点 矩(中心矩)的估计量，用样本k+m阶混合矩作为总体k+m阶混 合矩的估计量。 特别，用 X 作为E(X)的估计量，用 B2 作为D(X)的估计 量，用样本协方差(相关系数)作为cov(X，Y)和 rXY 的估计量。
i X / n，i 1， 2， ，k.
2， ， n )为 (1， 2， ， n ) 的矩估计量。 称 ( 1 ，
n
j 1
i j
如何求i gi ( E( X )，E( X 2 )， ，E( X k ))，i 1 ， 2， ，k？ 设总体X的密度函数为
P(X=2)=
p
2
。 根据题意，知 p=3/4 或 p=1/4 。
若 p=1/4，则 P(X=2)=1/16； 若 p=3/4，则 P(X=2)=9/16。 这说明当黑球多时事件 (X=2) 发生的概率大得多， (或者说样本来自总体B(2，3/4)的可能性比来自总体B(2，1/4) 的可能性大得多) 根据“概率越大的事件越可能发生”的实际推断原理，应选 3/4作为p的估计值。
d
d ln L( ) 2. 由于 只是lnL()取极值的必要条件，从理论上 0 d
来说，还应验证lnL( ) lnL()， 对所有样本观察值都 成立。但这种验证通常是非常困难的，故多不进行验证。 3. 若不只一个参数需要估计，也采用同样的方法，只是这时似 然函数是多元函数，要通过令偏导数等于零求出驻点。(具体步 骤见教材p182-183)。
p (k ) P( X xk )， } 。
点估计
点估计(教材p177) 用样本 ( X1，X 2， ，X n ) 构造适当的统
计量 ( X 1，X 2， ，X n ) ，作为未知参数 的估计量。
当取得一组样本观察值
( x1，x2， ，xn ) 后，用相应的
，xn ) ，使 L( ) max L( ) 对几乎所有样 若有 ( x1，x2，
本观察值都成立，则称 ( X 1，X 2， ，X n )为的极大似然估
计量，称 ( x1，x2， ，xn )为的极大似然估计值。
说明：在求极大似然估计量时，先用一组抽象的样本观察值 来求，因而得到的是待估参数的极大似然估计值，再用样本 代换样本观察值，才能得到待估参数的极大似然估计量。若 用一组具体的样本观察值代入，便可得到待估参数的具体极 大似然估计值。 求L()的极大值 ： 通过 d ln L( ) 0，求出 。 说明：1. 因为L()是样本观察值的函数(此时样本观察值不变)，
矩估计的优越性：当总体分布类型未知时仍可对总体各阶矩进 行估计。
矩估计的缺陷：当总体分布类型已知时，未能充分利用总体 分布提供的信息。
二、极大似然估计 引例：罐中有许多白球和黑球，已知两色球的比例为3：1，但 不知哪种颜色的球多。今有放回连抽两球均取出黑球，问：罐 中黑球多还是白球多？
解：设抽出黑球的概率为p，抽得黑球数为X，则X～B(2，p)。
第七章 引言
参数估计
参数估计：当总体的某些参数未知(一般要求分布类型已知)时， 从样本出发构造适当的统计量，作为未知参数的估计量。当取 得一组观察值后，以相应的统计量的观察值作为未知参数的估 计值，并讨论估计值对真值进行估计的可靠性。 参数估计方法是处理实际问题时最常用的方法。 预备概念：当总体X中含有未知参数 (可以是向量)时，可用
L( ) L( x1，x2， ，xn； ) f ( xi； ).
(或 L( )
p( x ； ) ).
i i 1
n
i 1
注意，当X是离散型随机变量，因样本观察值是取定的，故 L()， 仅是的函数，对连续型随机变量，仍将L()， 仅看作的函数。
若p的可供选择的估计值有许多，仍应选择发生概率最大的 p 作为p的估计，这就是极大似然估计的思想。
极大似然估计的原理(教材p180-181) 设总体X的概率密度函数族为f(x； ) (或概率分布函数族为 P(X=x)=p(x ； ) )，。本的密度函数(或概率分布)为 n