第七章参数估计(统计学贾俊平)总结
贾俊平《统计学》(第7版)考点归纳和课后习题详解(含考研真题)(第7章 参数估计)【圣才出品】
第7章参数估计7.1 考点归纳【知识框架】【考点提示】（1）置信区间的含义理解（选择题、简答题考点）；（2）估计量的三个评价标准（判断题、填空题、简答题考点）；（3）区间估计的步骤（简答题考点）、总体参数的区间估计选择恰当的统计量（计算题考点）；（4）必要样本容量的影响因素、计算（简答题、计算题考点）。
【核心考点】考点一：参数估计的基本原理1．置信区间（1）置信水平为95%的置信区间的含义：用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值。
（2）置信度愈高（即估计的可靠性愈高），则置信区间相应也愈宽（即估计准确性愈低）。
（3）置信区间的特点：置信区间受样本影响，具有随机性，总体参数的真值是固定的。
一个特定的置信区间“总是包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题。
2．评价估计量的标准（1）无偏性：估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数，即E（θ∧）＝θ。
（2）有效性：估计量的方差尽可能小。
（3）一致性：随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计总体的参数。
【提示】本考点常见考查方式：①直接考查置信水平为95%的置信区间的含义；②置信度、估计可靠性、置信区间的关系及应用；③置信区间的特点；④给出估计量的具体含义，判断体现了什么标准；⑤直接回答估计量的三个评价标准及具体含义（简答题）。
考点二：一个总体参数的区间估计表7-1 一个总体参数的区间估计【总结】一个总体参数的估计及所使用的分布见图7-1：图7-1 一个总体参数的估计及所使用的分布【真题精选】设总体X～N（μ，σ2），σ2已知，样本容量和置信水平固定，对不同的样本观测值，μ的置信区间的长度（）。
[对外经济贸易大学2018研]A．变长B ．变短C ．保持不变D ．不能确定 【答案】C【解析】在正态总体方差已知的条件下，μ的置信区间为/2x z ±ασ所以置信区间长度为/22Z α，当样本容量和置信水平固定时，置信区间长度保持不变。
贾俊平《统计学》复习笔记课后习题详解及典型题详解(参数估计)【圣才出品】
∧
定义：点估计是用样本统计量θ的某个取值直接作为总体参数 θ 的估计值。 局限性：一个点估计值的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点 估计值无法给出估计的可靠性的度量，因此不能完全依赖于一个点估计值，而应围绕点估计 值构造总体参数的一个区间。 （2）区间估计 区间估计的基本思想：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间 通常由样本统计量加减估计误差得到。进行区间估计时，根据样本统计量的抽样分布能够对 样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。 置信区间：在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。
著性水平表示区间估计的不可靠概率。置信度愈大（即估计的可靠性愈大），则置信区间相
应也愈大（即估计准确性愈小）。
3．评价估计量的标准
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（1）无偏性
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指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。
∧
∧
∧
设总体参数为 θ，所选择的估计量为θ，若有 E（θ）＝θ，则称θ为 θ 的无偏估计量。
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置信下限：置信区间的最小值。
置信上限：置信区间的最大值。
置信水平（也称为置信度或置信系数）：将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中
包含总体参数真值的次数所占的比例。
∧
∧
区间估计的数学定义：若用两个统计量θ1（x1，x2，…，xn）和θ2（x1，x2，…，xn）
存在“可能包含”或“可能不包含”的问题。
③在实际问题中，进行估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是与该样本相联系的
(完整版)统计学贾俊平考研知识点总结
统计学重点笔记第一章导论一、比较描述统计和推断统计：数据分析是通过统计方法研究数据，其所用的方法可分为描述统计和推断统计。
（1）描述性统计：研究一组数据的组织、整理和描述的统计学分支，是社会科学实证研究中最常用的方法，也是统计分析中必不可少的一步。
内容包括取得研究所需要的数据、用图表形式对数据进行加工处理和显示，进而通过综合、概括与分析，得出反映所研究现象的一般性特征。
（2）推断统计学：是研究如何利用样本数据对总体的数量特征进行推断的统计学分支。
研究者所关心的是总体的某些特征，但许多总体太大，无法对每个个体进行测量，有时我们得到的数据往往需要破坏性试验，这就需要抽取部分个体即样本进行测量，然后根据样本数据对所研究的总体特征进行推断，这就是推断统计所要解决的问题。
其内容包括抽样分布理论，参数估计，假设检验，方差分析，回归分析，时间序列分析等等。
（3）两者的关系：描述统计是基础，推断统计是主体二、比较分类数据、顺序数据和数值型数据：根据所采用的计量尺度不同，可以将统计数据分为分类数据、顺序数据和数值型数据。
（1）分类数据是只能归于某一类别的非数字型数据。
它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，是用文字来表达的，它是由分类尺度计量形成的。
（2）顺序数量是只能归于某一有序类别的非数字型数据。
也是对事物进行分类的结果，但这些类别是有顺序的，它是由顺序尺度计量形成的。
（3）数值型数据是按数字尺度测量的观察值。
其结果表现为具体的数值，现实中我们所处理的大多数都是数值型数据。
总之，分类数据和顺序数据说明的是事物的本质特征，通常是用文字来表达的，其结果均表现为类别，因而也统称为定型数据或品质数据；数值型数据说明的是现象的数量特征，通常是用数值来表现的，因此可称为定量数据或数量数据。
三、比较总体、样本、参数、统计量和变量：（1）总体是包含所研究的全部个体的集合。
通常是我们所关心的一些个体组成，如由多个企业所构成的集合，多个居民户所构成的集合。
第七章 参数估计
第七章 参数估计
1、正态总体、方差已知或非正态总体，大样本 当总体服从正态分布且方差已知时，或者总体不是正态分布但是大样本时，样本 均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值u，方差为Ϭ2/n。而样本均 值经过标准化以后的随机变量则服从标准正态分布，即 Z=(x-u)/(Ϭ/n0.5)~N(0,1) 根据上式和正态分布的性质可以得出总体均值u在1-α置信水平下的置信区间为： xα+是(-)事Z(α先/2)所(Ϭ确/n定0.5的)。而其一中个，概x率+Z值(α/2，) (Ϭ也/n称0.为5)为风置险信值上，限是，总x体-Z均(α/2值) (Ϭ不/包n0.含5)为在置置信信下区限间，的 概是率估；计1总- 体α称均为值置时信的水估平计，误Z差(α/。2) 是标准正态分布右侧面积为α/2的z值；Z(α/2) (Ϭ/n0.5) 也即是说，总体均值的置信区间由两个部分构成：点估计值和描述估计量精度的 +(-)值，这个+(-)值称为估计误差。
第七章 参数估计
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
其中，区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。
由于统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名 为置信区间。原因是：如果抽取了许多不同的样本，比如说抽取100个样本，根据 每一个样本构造了一个置信区间，这样，由100个样本构造的总体参数的100个置 信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%则没有包含，则95%这个值 称为置信水平。一般，如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总 体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，也称为置信度或置信系数。
自然使用估计效果最好的那种估计量。什么样的估计量才算一个好的估计量呢？ 统计学家给出了评价估计量的一些标准，主要包括以下几个：
贾俊平统计学 第七版 课后思考题
第一章导论1.什么是统计学？统计学是搜集、处理、分析、解释数据并从中得出结论的科学。
2.解释描述统计与推断统计。
描述统计研究的是数据搜集、处理、汇总、图表描述、概括与分析等统计方法。
推断统计研究的是如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
3.统计数据可分为哪几种类型？不同类型的数据各有什么特点？按照计量尺度可分为分类数据、顺序数据和数值型数据；按照数据的搜集方法，可以分为观测数据和试验数据；按照被描述的现象与实践的关系，可以分为截面数据和时间序列数据。
4.解释分类数据、顺序数据和数值型数据的含义。
分类数据是只能归于某一类别的非数字型数据；顺序数据是只能归于某一有序类别的非数字型数据；数值型数据是按照数字尺度测量的观测值，其结果表现为具体的数值。
5.举例说明总体、样本、参数、统计量、变量这几个概念。
总体是包含所研究的全部个体的集合，样本是从总体中抽取的一部分元素的集合，参数是用来描述总体特征的概括性数字度量，统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量，变量是用来说明现象某种特征的概念。
6.变量可分为哪几类？变量可分为分类变量、顺序变量和数值型变量。
分类变量是说明书屋类别的一个名称，其取值为分类数据；顺序变量是说明十五有序类别的一个名称，其取值是顺序数据；数值型变量是说明事物数字特征的一个名称，其取值是数值型数据。
7.举例说明离散型变量和连续型变量。
离散型变量是只能去可数值的变量，它只能取有限个值，而且其取值都以整位数断开，如“产品数量”；连续性变量是可以在一个或多个区间中取任何值的变量，它的取值是连续不断的，不能一一列举，如“温度”等。
第二章数据的搜集1.什么是二手资料？使用二手资料需要注意些什么？与研究内容有关、由别人调查和试验而来、已经存在并会被我们所利用的资料为二手资料。
使用时要评估资料的原始搜集人、搜集目的、搜集途径、搜集时间且使用时要注明数据来源。
2.比较概率抽样和非概率抽样的特点。
举例说明什么情况下适合采用概率抽样，什么情况下适合采用非概率抽样。
统计学（第七版贾俊平）第七章期末复习笔记（详细附例题详解及公式）
统计学（第七版贾俊平）第七章期末复习笔记（详细附例题详解及公式）第七章7.1估计量与估计值估计⽅法：（1）点估计：据估计、最⼤似然法、最⼩⼆乘法（2）区间估计置信⽔平：（1- α），α为总体参数未在区间内的⽐例；常⽤的置信⽔平：99%（α=0.01），95%（α=0.05），90%（α=0.10）评价估计量的标准：⽆偏性 有效性 ⼀致性7.2 ⼀个总体参数的区间估计7.2.1总体均值的区间估计：题型：（1）总体服从正态分布，⽅差已知 （⼤、⼩样本） ；（2）总体服从正态分布，⽅差未知 （⼤样本）；（3）⾮正态分布，⼤样本例⼀：（1）总体服从正态分布，且⽅差已知（⼤、⼩样本）例⼆：（3）⾮正态分布，⼤样本（n>=30）题型：（4）总体服从正态分布 ，但⽅差未知，⼩样本（n<30）例三：（4）总体服从正态分布 ，但⽅差未知，⼩样本（n<30）总结：7.2.2 总体⽐例的区间估计题型：总体服从⼆项分布，可由正态分布来近似（只讨论⼤样本）例四：7.2.3 总体⽅差的区间估计题型：估计⼀个总体的⽅差或标准差（只讨论正态总体）例五：⼩结：7.3 两个总体参数的区间估计7.3.1 两个总体均值之差的区间估计（2）⾮正态分布，但两个总体都是⼤样本；例⼀：（3）例⼀：（1）例⼆： （2）题型：（1）两个匹配的⼤样本；（2）两个匹配的⼩样本例⼀：（2）7.3.2 两个总体⽐例之差的区间估计题型：两个总体服从⼆项分布，样本独⽴例⼀：7.3.3 两个总体⽅差⽐的区间估计题型：求两个总体的⽅差⽐例⼀：7.4 样本量的确定7.4.1 估计总体均值时的样本量的确定例⼀：7.4.2 估计总体⽐例时的样本量的确定例⼀：。
人大版,贾俊平,第五版,统计学 第7章 参数估计
3. 常用的显著性水平值有 99%, 95%, 90%
– 相应的 为0.01，0.05，0.10
区间与置信水平
均值的抽样分布
/2
x
1-
/2
x
X
(1 - ) % 区间包含了
% 的区间未包含
7.1.3 评价估计量的标准 1.无偏性 估计量抽样分布的数学期望等于被估计 E 的总体参数， 。 则称 为 的无偏估计量。
10 14 10 14 , 19.0228 2.7004 .8925, 13.3314 1
7.3 两个总体参数的区间估计
7.3.1 两个总体均值之差的区间估计
总体1
1 1
2 2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算 X1
计算每一对样本
(2) A- B置信度为99%的置信区间为
2500 25 = 1209.7 , 1290.3 3600 25
(4500 3250) 2.58
2）总体方差未知但相等 使用 t 分布统计量
t
x
1
x2 1 2 sp 1 n1 1 n2
t n1 n 2 2
第7章 参数估计
7.1 参数估计的基本原理
7.1.1 估计量与估计值 参数估计就是用样本统计量去估计总体参 数。 用于估计总体参数的统计量称为估计量， 根据样本计算出来的估计量的数值称为估 计值。
被估计的总体参数
总体参数 均值 一个总体 比例 方差 均值之差 两个总体 比例之差 方差比 符号表示
1
x 2 z
s1
2
2
s2
第七章 参数估计总结
第 1 节参数的点估计一．数学概念与定义（1）点估计问题设总体的分布函数的形式已知的，其中是未知参数，借助于总体的一个样本，来估计未知参数的值的问题，称为参数的点估计问题。
点估计的问题就是要构造一个适当的统计量，用样本的一组观察值，得到的观察值，以此来估计未知参数。
我们称统计量为的估计量，它的观察值称为的估计值。
注意：估计量与估计值的区别。
（2）矩估计法（适用于总体未知的情况，但是必须保证总体的k阶原点距存在）设随机变量为总体，其分布函数为，其中为个未知参数（对于连续型的总体，给出概率，对于离散型的总体，给出分布律）。
假设总体的各阶原点矩存在，则是的函数，记作，即，对于来自总体的的一个样本，它的样本阶原点矩为，我们令，即从上述方程组中解出，分别记作……………以此作为参数的估计量，称为矩估计量。
如果测得样本观察值为，代入上述矩估计量，便得到未知参数的矩估计值为…………上述估计未知参数的方法叫做矩估计法。
用样本矩代替总体矩，从而得到未知参数估计的方法，称为矩估计法.考试题型：见p123例1 设总体2~(,)X N μσ，求未知参数2,μσ的矩估计.解 因为，2)(σ=X D ，所以 )(X E =μ，)(2X D =σ。
故2,μσ的矩估计分别为ˆXμ=，22ˆS =σ。
注： 1）总体均值的矩估计是样本均值X ；总体方差()D X 的矩估计是样本方差2S ；2）矩估计法直观、简便；估计总体均值和总体方差时不必知道总体的分布. 3）矩估计法需要总体的原点矩存在.例2 设总体)(~λP X ，未知参数0>λ.求λ的矩估计.解 因为 λ=)(X E ，所以 )(X E =λ.故λ的矩估计为X =λˆ。
注： 2S 也可算是λ的矩估计.例3: 设总体的概率密度为 其中，与为未知参数。
又设为总体的样本，求民的矩估计量。
解: 由于令 即解得与的矩估计量为.例4：p 书124例2(详细步骤)()E X μ=()EX（3）最大似然估计法 最大似然思想在已知试验结果（即是样本）的情况下，用来估计满足这些样本分布的参数，把可能性最大的那个参数θ作为真实的θ参数估计这就是最大似然思想。
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24.77 16
1476.8,1503.2
该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～ 1503.2小时
总体均值区间估计
总体分布 正态分布 小样本 非正态分布 大样本 样本量 大样本
X z 2
s已知
s未知
X z 2
s
n
X t 2
X z 2
s n S n s n
ˆ) P(
无偏 有偏
A
B
ˆ
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量 ˆ ，有更小标准差的估计量更有效 ˆ1 2 ˆ 的抽样分布 ˆ P( )
1
B A
ˆ 的抽样分布 2
ˆ
一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量 的 值越来越接近被估计的总体参数
第七章 参数估计
学习要求
1 掌握参数估计的基本原理 2 理解并掌握一个总体参数的区间估计 3 理解两个总体参数的区间估计
4 掌握估计总体均值时样本容量的确定
第一节 参数估计的基本原理
参数估计 (parameter estimation)
参数估计
用样本统计量去估计总体的参数
用样本均值x 估计总体均值 ；用样本方差s2估计s2
1-
/2
X P -t t 1 s 2 2 n s s P X t X t 1 2 2 n n
-t / 2
t / 2
t
X S n
~ t (n 1)
s2未知总体均值的区间估计
置信下限
置信上限
置信水平
(confidence level)
将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例称为置信水平(置信度)。
表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比例
常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 为0.01，0.05，0.10
25袋食品的重量
112.5
102.6 100.0 116.6 136.8
101.0
107.5 123.5 95.4 102.8
103.0
95.0 102.0 97.8 101.5
102.0
108.8 101.6 108.6 98.4
100.5
115.6 102.2 105.0 93.3
s2已知时总体均值的区间估计
与方差未知的置信区间不一样
总体比例的区间估计
假定条件
总体服从二项分布 可以由正态分布来近似 np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于5
使用正态分布统计量 z p z ~ N (0,1) (1 )
n
总体比例在1-置信水平下的置信区间为
p z 2
实际估计时往往只抽取一个样本，据此构 造的置信区间是大量包含总体参数真值的 区间中的一个，但也可能是少数几个不包 含参数真值的区间中的一个。
置信区间的表述
(confidence interval)
一个特定的置信区间总是“包含”或“绝
对不包含”参数的真值，不存在“以多大
的概率包含总体参数”的问题；
该食品平均重量的置信区间为101.44克~109.28克之间
未知总体方差求总体均值的 置信区间
假定条件
总体服从正态分布,且方差(s２) 未知 小样本
X S n
使用 t 分布统计量
t ~ t (n 1)
总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 S X t 2 n
/2
Z X n ~ N (0,1)
使用正态分布统计量Ｚ构造置信区间
s
总体均值 在1-置信水平下的置信区间
X z 2
s
n
/2
1-
/2
Z
X
s
n
~ N (0,1)
P(-Z /2
-Z / 2 Z / 2 随机变量 X Z /2 ) 1 s n
1.96 2.58
区间估计的图示
x z 2s x
- 2.58sx -1.65 sx
+1.65sx
+2.58sx
x
-1.96 sx
+1.96sx
90%的样本 95% 的样本 99% 的样本
s2已知时总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质 量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
2.
两个独立样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其期望 值为
E( x1 x2 ) 1 2
其标准误差为
s (xx )
2
s 12
n1
2 s2
n2
两个总体均值之差的估计
(s12、s22 已知)
3.
使用正态分布统计量Z
Z ( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
置信水平表示在多次估计得到的区间中有
多少个区间包含参数真值，而不是针对所
抽取的这个样本所构建的区间而言的。
置信区间的表述
(95%的置信区间)
点估计值
我没有抓住参数！
从均值为185的总体中抽出20个样本构造出的20个置信区间
判断点估计的优劣标准
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于 被估计的总体参数.
s2未知总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，s2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根据样本数据计算得： x 1490 ， s 24.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
n 1490 13.2
x t
s
2
1490 2.131
p z
2
p (1 p ) n
65%(1 65%) 65% 1.96 100 65% 9.35% 55.65%, 74.35%
该城市下岗职工中女性比例的置信 区间为55.65%~74.35%
未知总体均值求总体方差的 置信区间
估计一个总体的方差或标准差 假设总体服从正态分布 总体方差 s2 的点估计量为S2,且
置信区间与置信水平
用某种方法构造的所有区间中，有95%的区间 包含总体参数的真值，5%的区间不包含，该
区间称为置信水平为95%的置信区间。
75 % 的区间包 含.
25 %的区间不包 含. 根据样本得到的多个区间
置信区间的表述
(confidence interval)
置信区间是一个随机区间，会因样本的不 同而变化，而且不是所有的区间都包含总 体参数;
根据样本观察值x1，x2，…xn，得到 的 估计值：
( X 1 ,2 ,...,xn )
区间估计
（概念要点）
1.根据一个样本的观察值给出总体参数的估计范 围
2.
例如: 总体均值落在50~70之间，置信水平为 95%
置信区间 样本统计量 (点估计)
n 1S 2
2
s 总体方差在1-置信水平下的置信区间为
~ 2 n 1
n 1S 2 s 2 n 1S 2 2 2
2 1 2
总体方差的区间估计
(图示)
n 1S 2
总体方差 1的置信区间
s
22
2
~ n 1
2
n 1 S 2 2 P( / 2 ) 1 2 s n 1 S 2 n 1 S 2 2 P( s ) 1 2 2 / 2 1 / 2
置信区间
s s P X Z X Z 1 2 2 n n
确定数值
s X Z 2 n
常用置信水平的Za/2值
置信水平 90% a 0.10 a/2 0.05 Za/2 1.645
95% 99%
0.05 0.01
0.025 0.005
p(1-p) n
总体比例的区间估计 （例题分析）
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 例，随机地抽取 了 100 名 下 岗 职 工，其中 65 人为 女性职工。试以 95% 的置信水平 估计该城市下岗 职工中女性比例 的置信区间 解：已知 n=100，p＝65% , 1- = 95%， z/2=1.96
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根 据样本数据计算得：x 105.36 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
n 105.36 3.92
x z
s
2
105.36 1.96
10 25
101.44,109.28
2 2
s2置信度为95%的置信区间为
39.364 12.401 56.83 s 2 180.39 该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区 间为7.54克~13.43克
25 1 93.21 s 2
25 1 93.21
第三节 两个总体参数的 区间估计