ch7第七章参数估计
《CH参数估计》PPT课件
§7.1 参数的点估计概念 §7.2 估计量的评选标准 §7.3 参数的区间估计
1
§7.1 参数的点估计概念
定义 设总体X的分布函数的形式已知，它的一个或多个参数未知，根据 总体X的一个样本X1,X2,…, Xn来估计总体未知参数的真值称为参数的点 估计。
定义 设总体X 的分布函数F(x, )中含有未知参数，X1,X2,…, Xn为总体X
X
2A1
12(A2
3 n
n i 1
(Xi
A12 )
X )2
b A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
6
一般地, 不论总体服从什么分布，若总体的期望与方差 2 均存在, 则它们的矩估计量分别为
ˆ
1 n
n i1
Xi
X
样本均值
ˆ 2
1 n
n i1
(Xi
X )2
§7.3 参数的区间估计
上一节中，我们讨论了参数的点估计，它是由样本算得的一个值去估 计未知参数。但是，即使是无偏估计量也会由于样本的随机性使得估计值 带有偏差，所以点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出近 似值的误差范围，而有时我们又需要对此偏差作出衡量，知道近似值的精 确程度。
本节的区间估计正好弥补了点估计的缺陷，它是通过寻找一个区间， 并利用此区间包含未知参数真值的可信程度来估计未知参数的方法。
i1
X
i
)2
)
2
(
n)
2
2 1 2
(
n)
-2
•
(n) 2 2
4
1
2
•
6
第七章参数估计内容提要
i =1
i =1
d ln L = 0 ，求得似然函数 L 的极大值θˆ ，即为未知参数θ 的极大似然估计.其思 dθ
想是：在已知总体 X 概率分布时，对总体进行 n 次观测，得到一个样本，选取概
率最大的θ 值θˆ 作为未知参数θ 的真值的估计是最合理的.
（4）估计量的优劣标准
1）无偏性.设θˆ = θˆ( X1, X 2 ,Λ , X n ), E(θˆ) 存在，且 E(θˆ) = θ ，则称值θˆ 是 θ 的无偏估计量.否则称为有偏估计量.
计量.
2、参数的区间估计
设总体 X 的分布 F (x;θ ) 中含有未知参数θ ，若存在样本的两个函数
θ ( X1, X 2 ,Λ , X n ) 和θ ( X 1, X 2 ,Λ , X n ) ，使对于给定的α (0 < α < 1) ，有
P{θ < θ < θ} = 1 − α ，则随机区间（θ ,θ ）称为参数θ 的置信度为1 − α 的双侧
~
F (n1 −1, n2
− 1) ， σ 12
σ
2 2
的
置信度为1 − α 的置信区间为：
⎜⎛ ⎜ ⎝
S
2 2
⋅
Fα
2
S12 (n1 − 1, n2
− 1)
,
S
2 2
⋅
F1− α 2
S12 (n1 − 1, n2
−
1)
⎟⎞ ⎟ ⎠
.
5
解：由α = 0.02 ，查表得：
F0.01 (24,7)
=
6.07, F0.99 (24,7)
【例 3】某厂生产的钢丝.其抗拉强度 X ~ N (µ,σ 2 ) ，其中 µ,σ 2 均未知，从中
chap7参数估计.ppt
若p的可供选择的估计值有许多，仍应选择发生概率最大的 p
作为p的估计，这就是极大似然估计的思想。
极大似然估计的原理(教材p180-181)
设总体X的概率密度函数族为f(x； ) (或概率分布函数族为
P(X=x)=p(x ； ) )，。
设 (x1，x2， ，xn ) 为任一组样本观察值(一组抽象的数)，则
求的矩估计值和极大似然估计值。
说明：1. 本题中因 P(X= xi )无一般表达式，故不能先求极大
似然估计量，再将样本观察值代入求极大似然估计值。
2. 本题处理思想在解决实际问题时很有用。
极大似然估计的性质：若 为总体X中未知参数的极大似
然估计量，u=u( ) 有单值反函数 = (u)，则u( )是u( ) 的
k
k次着n火k天数 75 90 54 22
6
2
1 =
250
1) 试用矩估计法估计参数； 2) 试用极大似然估计法估计参数； 3) 试求P(X=0)的极大似然估计值。
例2(2002年数学三考研试题填空题)
设总体X的概率密度为 f (x；
)
e
， ( x ) 0，
若x 若x
， .
而 X1，X 2， ，X n 是来自总体X的简单随机样本，则未知
大似然估计值。
求L()的极大值 ：
通过
d
ln
L(
)
0，求出
。
d
说明：1. 因为L()是样本观察值的函数(此时样本观察值不变)，
故求出的 一般也是样本观察值的函数。
2. 由于 d ln L( ) 0 只是lnL()取极值的必要条件，从理论上
d
来说，还应验证lnL( ) lnL()， 对所有样本观察值都
概率论与数理统计完整课件第七章参数估计PPT课件
n
L(1,2,,k ) L(x1, x2,, xk ;1,2,,k ) f (xi ;1,2,,k ) i 1
将其取对数,然后对1,2 ,,k 求偏导数,得
ln L(1, 2 ,, k ) 0 1
ln L(1, 2 ,, k ) 0 k
该 方 程 组 的 解 ˆi ˆi (x1, x2,, xn),i 1,2,,k ,即 为 i 的 极
§1 参数的点估计
设总体 X 的分布函数 F(x;) 形式已知，其中θ 是待估计的参数，点估计问题就是利用样本 (X1, X 2,, X n ) ，构造一个统计量ˆ ˆ(X1, X2,, Xn) 来估 计θ，我们称ˆ(X1, X2,, Xn )为θ的点估计量，它是 一个随机变量。将样本观测值 (x1, x2 ,, xn ) 代入估计 量 ˆ(X1, X2,, Xn ) ， 就 得 到 它 的 一 个 具 体 数 值 ˆ(x1, x2,, xn ) ，这个数值称为θ的点估计值.
如果样本中白球数为0,则应估计p=1/4,而不估计 p=3/4.因为具有X=0的样本来自p=1/4的总体的 可能性比来自p=3/4的总体的可能性要大.一般当 X=0,1时,应估计p=1/4;而当X=2,3时,应估计 p=3/4.
第10页/共71页
定义:设总体 X 的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1)设离散型总体 X 的概率分布律为 p(x; ) ，则样本 (X1, X2,, Xn ) 的联合分布律
~~ 2n1nLeabharlann ini1n1x(i xix
x
)
2
由微积分知识易验证以上所求为μ与σ2的极大似然 估计.
第21页/共71页
• 例:设总体X具有均匀分布,其概率密度函数为
p(x;)
概率论与数理统计 第七章 参数估计
设X1,…Xn是取自 N (, 2 )的样本，
求参数 2 的置信度为 1的置信区间.
确定分位数 12 / 2 (n 1), 2 / 2 (n 1) 使
二、有效性
设 ˆ1 ˆ1(X1,, X n )和 ˆ2 ˆ2( X1,, Xn)
都是参数 的无偏估计量，若有
D(ˆ1) D(ˆ2 ) 则称 ˆ1 较 ˆ2 有效 .
如果对固定的n, D(ˆ1) min(D(ˆ)) 则称ˆ1是ˆ的有效估计。
例1：设X1,X2, X3是来自某总体X的样本，且 E(X)=μ,讨论μ的以下估计量的无偏性和一致性。
缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 .
极大似然估计
例： 设一箱中装有若干个白色和黑色的球， 已知两种球的数目之比为3:1或1:3，现有放回 地任取3个球，有两个白球，问：白球所占的 比例p是多少？
如果只知道0<p<1,并且实 测记录是X=k (0 ≤ k≤ n),又 应如何估计p呢?
(4) 结论
区间(ˆ1,ˆ2 )就是的一个 置信度为1的置信区间.
方差未知，求期望的区间估计
例2：随机地从一批服从正态分布N(μ, σ2)的零件 16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置信区间 (α=0.05)
例3. 已知某产品的不合格率为p,有简单随机样本 X1 ,X2 ,…, Xn，求p的极大似然估计量。 若抽取100件产品，发现10件次品，试估计p.
Ch7 参数估计(精)
iid
^
试求 ˆ L和
2 ˆ L.
ˆL . 例 设X 1 , , X n ~ U (a , b ), 试求a ˆ L和 b
iid
Stop
极大似然估计有性质： ˆ 1 ,, ˆ m )是(1 ,, m )的极大似然估计 , 若( 而 g(1 ,, m )具有单值反函数 . 则 ˆ 1 , , ˆ m )是g (1 ,, m )的极大似然估计 , g( ˆ 1 , , ˆm). ˆg ˆ (1 ,, m ) g ( 即
(1) 1， 2未知
令 F
2 S1 2 S2 2 1 2 2
~ F (n1 1, n2 1)
n1 n2 1 1 2 2 2 2 其中S1 ( X X ) , S ( Y Y ) i 2 n1 1 i 1 n2 1 i 1 i
可得
2 1
2 2 2 S2 S1 S2 ( , ) F / 2 ( n1 1, n2 1） F1-/2 ( n1 1, n2 1)
ˆ 1 ,, ˆ m ) max L(1 , , m ). L( L L
j
L
Stop
例 设X 1 , , X n ~ P ( ), 0,试求 L 例 设X 1 , , X n ~ N ( , 2 ), , 0,
Stop
2. 单正态总体方差的置信区间
设X 1， ， X n ~ N (， 2 ) ，给定x1， ， xn， 2 求出（或 ）的置信区间。 (1) 未知 2 ( n 1) S 2 2 令 ~ ( n 1) 2 即得 2的置信度为1- 的置信区间为
iid
( n - 1)s ( 2 , /2 ( n 1)
ch7参数估计
问题是:
使用什么样的统计量去估计 µ ？
可以用样本均值;
可以用别的统计量 .
二、寻求估计量的方法 1. 矩估计法 2. 最大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 ……
这里我们主要介绍前面两种方法 .
1. 矩估计法
矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊 最早提出来的 . 由辛钦定理 ,
( ) μ2 = E = X 2 D( X ) + [E( X )]2
(b − a)2 =
+ (a + b)2
12
4
即
a + b =2μ1
b= − a
12( μ2 − μ12 )
解得
a = μ1 − 3( μ2 − μ12 ) b = μ1 + 3( μ2 − μ12 )
于是 a , b 的矩估计量为
而全部信息就由这100个数组成 .
据此,我们应如何估计 µ 和 σ 呢 ?
为估计µ :
我们需要构造出适当的样本的函数 T(X1,X2,…Xn) ， 每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来
作为 µ 的估计值 .
T(X1,X2,…Xn) 称为参数 µ 的点估计量， 把样本值代入T(X1,X2,…Xn) 中，得到 µ 的一个点
基本思想:最大似然原理
若一试验有若干个可能结果， 现做一试验, 若事件A 发生了,而导致A发生的原因很多，在 分析导致结果A的原因时，使结果A发生的概率最 大的原因，推断为导致结果A发生的真实原因。
最大似然估计 就是在一次抽样中,若得到观测值
则选取 使得当
作为 的估计值， 时,样本出现的概率最大。
解：设
x(1)
m= in( x1 ,, xn ), x(n)
统计学(西财版) 第7章参数估计
设总体X的分布的函数的形式为已知(如正态分布、泊松 分布等)，但它的一个或多个参数未知，借助总体X的一 个样本来估计总体未知参数的值的问题，称为参数的 点估计问题。
统计学-ch7 suyl 6
如何寻找样本统计量？
有很多方法都可以用来构造样本统 计量，比如矩估计法、极大似然估计法、 最小二乘估计法、顺序统计量法…… 这里，我们主要介绍矩估计法和极 大似然估计法。
X
i 1
n
k
i
8
矩估计法的基本思想就是：
把样本矩作为相应的总体矩的估计量 样本均值
X
X
i 1
n
i
是一阶样本矩,
n 总体均值E(X)是一阶 总体矩。
将 X 作为E(X)的估计量的做法, 就是把一阶样本矩
作为一阶总体矩的估计量. 推广这种做法,把二阶样本矩作为二阶总体矩的估计量,
把三阶样本矩作为三阶总体矩的估计量,…… .
x / n 1310 1207 ... 1462 =1345.63（小时） u i 80 i 1 2 2
n
ˆ S
2
2
1010 1345.63
...... 1462 1345.63 =15388.85 80
统计学-ch7
则
S 2 124.05 （小时）
X ik / n去估计总体的K阶原点矩，即 分别用样本的k阶原点矩i 1
n
1 n k k 1 , 2 ..., k X i n i 1
统计学-ch7
i 1, 2, k
suyl 10
上式确定了包含个未知参数的个方程式，即有下列方程 组 1 n E( X ) n X i i 1 (6.2)
ch7参数估计
不随意更换样本单位
3、搜集样本数据
按规定的项目、表式、时间和方式进行，不遗漏
4、整理样本数据
审查、输入、分组汇总、计算样本指标（估计量）
5、推断总体指标并计算抽样误差
§7.1.4抽样误差
1.误差：调查结果与实际值之间的差异
抽样调查中的误差
登记性误差(非抽样误差) 误差 系统误差（非抽样误差） 代表性误差随机误差（抽样误差）
有若干个方差可选择时，选方差最大者 对于成数，方差最大即指成数最接近0.5，最 保守的估计是取P＝0.5来计算
例7-1，随机抽取100名学生，测得他们的平均体重为 58公斤，标准差为50公斤，抽样误差为多少？。
解：
n=100
s sx n
S=50
50 5(公斤） 100
例 7-2 ，随机从 60000 桶罐头中抽取 300 桶调查，
总体指标－－用来反映总体数量特征的指标。
总体指标的数值是客观存在的、确定的，但 又是未知的
在抽样估计中也称之为待估计的总体参数。
通常，所要估计的总体指标有总体平均数、 总体成数Ｐ、总体标准差或方差以及总体标 志总量（ＮX）或总体中具有某一属性的单位 总数（ＮＰ）等。
5
成数又称为是非比率,指总体中具有两种属性中的
ˆ X,
n n 1 1 ˆ 2 X i2 X 2 ( X i X ) 2 . n i 1 n i 1
29
【例7－2】设X1,X2，…Xn是来下列自均匀分布的样本， 试求θ 的矩估计量。
1 f ( x, ) 0
0 x 其它
发现有6桶不合格。问合格率的抽样误差为多大？
第7章参数估计
统计学STATISTICS(第二版)不像其他科学，统计从来不打算使自己完美无缺，统计意味着你永远不需要确定无疑。
Gudmund R.Iversen7 - 17 - 2 统计学STATISTICS(第二版) 第 7 章 参数估计 作者：中国人民大学统计学院贾俊平7 - 3 统计学STATISTICS (第二版) 统计应用 一次失败的民意调查在1936年的美国总统选举前，一份名为Literary Digest 杂志进行了一次民意调查。
调查的焦点是谁将成为下一届总统—是挑战者，堪萨斯州州长Alf Landon ，还是现任总统 Franklin Delano Roosevelt为了解选民意向，民意调查专家们根据电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了简单的调查表(电话和汽车在1936年并不像现在那样普及，但是这些名单却比较容易得到)。
尽管发出的调查表大约有一千万张，但收回的比例并不高。
在收回的调查表中， Alf Landon 非常受欢迎。
于是该杂志预测 Landon 将赢得选举。
但事实上是Franklin Roosevelt 赢得了这次选举调查失败的主要原因是抽样框出现了问题。
在经济大萧条时期由于电话和汽车并不普及，只是富裕阶层才会拥有，调查有电话和汽车的人们，并不能够反映全体选民的观点7 - 4统计学STATISTICS(第二版) 第 7 章 参数估计7.1 参数估计的一般问题7.2 一个总体参数的区间估计7.3 两个总体参数的区间估计7.4 样本容量的确定7 - 5 统计学STATISTICS(第二版) 学习目标1.估计量与估计值的概念 2.点估计与区间估计的区别 3.评价估计量优良性的标准 4.一个总体参数的区间估计方法 5.两个总体参数的区间估计方法 6.样本容量的确定方法7 - 6 统计学STATISTICS (第二版) 参数估计在统计方法中的地位 参数估计假设检验统计方法描述统计 推断统计7 - 7统计学STATISTICS(第二版)统计推断的过程样本总体样本统计量如：样本均值、比例、方差7 - 8统计学STATISTICS(第二版) 7.1 参数估计的一般问题7.1.1 估计量与估计值7.1.2 点估计与区间估计7.1.3 评价估计量的标准统计学STATISTICS(第二版)估计量与估计值7 - 97 - 10 统计学STATISTICS(第二版) 1.估计量：用于估计总体参数的随机变量⏹如样本均值，样本比例、样本方差等 ⏹例如: 样本均值就是总体均值μ 的一个估计量2.参数用θ 表示，估计量用 表示3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值⏹如果样本均值 ⎺x =80，则80就是μ的估计值 估计量与估计值 (estimator & estimated value)θˆ统计学STATISTICS(第二版)点估计与区间估计7 - 117 - 12 统计学STATISTICS(第二版)参数估计的方法矩估计法最小二乘法最大似然法顺序统计量法估 计 方 法点 估 计区间估计7 - 13统计学STATISTICS(第二版) 点估计 (point estimate)1.用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值▪例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.无法给出估计值接近总体参数程度的信息 ⏹虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值⏹一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量7 - 14 统计学STATISTICS(第二版) 区间估计 (interval estimate)1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到 2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间 置信下限 置信上限7 - 15 统计学STATISTICS(第二版) 区间估计的图示μ x95% 的样本μ -1.96 σx μ +1.96σx99% 的样本μ - 2.58σx μ +2.58σx 90%的样本μ -1.65 σx μ +1.65σx x σxz x σμα2±=7 - 16统计学STATISTICS(第二版) 1.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平2.表示为 (1 - α)⏹α 为是总体参数未在区间内的比例3.常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%⏹相应的 α 为0.01，0.05，0.10置信水平 (confidence level)7 - 17STATISTICS(第二版) 1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值⏹我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个 ⏹总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的 (confidence interval)7 - 18STATISTICS(第二版)(95%的置信区间)重复构造出μ的20个置信区间μ点估计值7 - 19统计学STATISTICS(第二版) 置信区间与置信水平均值的抽样分布(1 - α) 区间包含了μ α 的区间未包含μμμ=x 1 – α α /2α /2 xσx7 - 20 统计学STATISTICS(第二版)影响区间宽度的因素1. 总体数据的离散程度，用 σ 来测度2.样本容量，3. 置信水平 (1 - α)，影响 z 的大小 n x σσ=统计学STATISTICS(第二版)评价估计量的标准7 - 217 - 22统计学STATISTICS (第二版)无偏性(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数P ( )BA 无偏有偏θθˆθˆ7 - 23统计学STATISTICS (第二版)有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布 的抽样分布 1ˆθ2ˆθP () θθˆθˆ7 - 24统计学STATISTICS (第二版)一致性(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P ( )θθˆθˆ7 - 25统计学STATISTICS (第二版)7.2 一个总体参数的区间估计7.2.1 总体均值的区间估计 7.2.2 总体比例的区间估计 7.2.3 总体方差的区间估计7 - 26统计学STATISTICS (第二版)一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值 比例方差2σx p2sπμ7 - 27统计学STATISTICS (第二版)总体均值的区间估计(结果的四舍五入法则)1.当用原始数据构建置信区间时，置信区间的计算结果应保留的小数点位数要比原始数据中使用的小数点多一位如，原始数据有一位小数，置信区间的结果应保留两位小数2.当不知道原始数据，只使用汇总统计量(n ，x ，s )时，置信区间的计算结果保留的小数点位数应与样本均值使用的小数点位数相同统计学STATISTICS(第二版)总体均值的区间估计(正态总体、 ２已知，或非正态总体、大样本)7 - 287 - 29统计学STATISTICS (第二版)总体均值的区间估计(大样本)1. 假定条件⏹总体服从正态分布,且方差(σ２) 已知⏹如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n ≥ 30)2.使用正态分布统计量 z3.总体均值 μ 在1-α 置信水平下的置信区间为)1,0(~N nx z σμ-=)(22未知或σσααnsz x n z x ±±7 - 30统计学STATISTICS (第二版)总体均值的区间估计(例题分析)【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
假定1，2未知
可编辑ppt
43
可编辑ppt
44
小结
总体 样本 统计量
点估计 矩估计
极大似然估计
抽样分布定理
区间估计
可编辑ppt
45
一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值
不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率
为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是在中
使P(A|) 达到最大的那一个。这就是极大似然思
想
可编辑ppt
9
1.设总体X为离散型随机变量，它的分布律为
现有样本观察值x1,x2,…xn,,其中xk取值于{ak, k=1,2…} 问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,…xn估计?
可编辑ppt
20
注3：由似然方程解不出的似然估计时，可由定
义通过分析直接推求。事实上
满足
可编辑ppt
21
例9：设X1， … ， Xn为取自 U(0,) 总体的 样本，>0未知，求参数 的极大似然估计。
可编辑ppt
22
7.2 估计量的评选标准
7.2.1 一致性
可编辑ppt
23
例1.设
已知0<p<1,求p
(2)令该函数落在由分位点确定的区间里的概 率为给定的置信度1，要求区间按几何对称或概 率对称；
(3)解不等式得随机的置信区间；
(4)由观测值及值查表计算得所求置信区间。
可编辑ppt
35
(1)解: 已知时,的置信度为1的置信区间为
这里
可编辑ppt
36
2、2未知
即得 m的1-a置信区间为
可编辑ppt
例6.设X1， … ， Xn为取自参数为的泊松分 布总体的样本，求的极大似然估计
可编辑ppt
10
2.设总体X为连续型随机变量，概率密度f(x;) 现有样本观察值x1,x2,…xn, 问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,…xn估计?
可编辑ppt
11
3、似然函数与极大似然估计 为该总体的似然函数。
第七章 参数估计
▪ 点估计 ▪ 估计量的评选标准 ▪ 区间估计 ▪ 正态总体参数的区间估计
可编辑ppt
1
7.1 点估计
7.1.1 参数估计的概念
定义 设X1， … ， Xn是总体X的一个样本，其分 布函数为F(x; ), 。其中为未知参数, 为 参数空间, 若统计量g(X1， … ， Xn)可作为的一
可编辑ppt
6
例3:设总体X的概率密度为 X1， … ， Xn为样本，求参数的矩估计。
可编辑ppt
7
例4：设X1， … ， Xn为取自
总体的样本，求参数
的矩估计。
可编辑ppt
8
7.1.3 极大似然估计法
1、极大似然思想
有两个射手，一人的命中率为0.9,另一 人的命中率为0.1,现在他们中的一个向目标射击 了一发，结果命中了，估计是谁射击的？
可编辑ppt
12
定义：若有
使得
则称 为的极大似然估计.记为
可编辑ppt
13
4、求极大似然估计的步骤 (1) 做似然函数
可编辑ppt
14
(2) 做对数似然函数
可编辑ppt
15
(3) 列似然方程 若该方程有解，则其解就是
可编辑ppt
16
注1：若概率函数中含有多个未知参数，则可 解方程组
可编辑ppt
统计量
都是E（X）的无偏估计，并求
a,b使所得统计量最有效
可编辑ppt
30
7.3 区间估计
7.3.1、概念
定义： 设总体X的分布函数F(x；)含有未知
参数，对于给定值（0< <1),若由样本X1, …,
Xn确定的两个统计量
使
则称随机区间
为的置信度为1的置信区间
注：F(x;)也可换成概率密度或分布律。
可编辑ppt
31
7.4 正态总体参数的区间估计
1、2已知
可编辑ppt
32Biblioteka 取/21- /2可编辑ppt
33
的置信度为1的置信区间为
注：的1置性区间不唯一。
(1-) 1-
都是的1置性区间.但=1/2时区间长最短.
可编辑ppt
34
求正态总体参数置信区间的解题步骤：
(1)根据实际问题构造样本的函数，要求仅含 待估参数且分布已知；
关键点： 1.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即
2.约定：若 是未知参数的矩估计，则g()的 矩估计为g( ),
可编辑ppt
4
例1：设X1， … ， Xn为取自总体B(m,p),的样本， 其中m已知，0<p<1未知，求p的矩估计。
可编辑ppt
5
例2：设X1， … ， Xn为取自参数为的指数分布 总体的样本，求的矩估计。
的极大似然估计，并讨论所求估计量的一致性。
可编辑ppt
24
7.2.2、无偏性
可编辑ppt
25
易见
可编辑ppt
26
考察的矩估计和极大似然估计的无偏性
可编辑ppt
27
7.2.3 有效性
可编辑ppt
28
可编辑ppt
29
例3:设
分别为取自总体X的容量为n1,n2的两
个样本的样本均值，求证：对任意实数a>0,b>0,a+b=1
个估计,则称其为的一个估计量，记为
注：F(x;)也可用分布律或密度函数代替.
可编辑ppt
2
若x1， … ， xn是样本的一个观测值。
由于g(x1， … ， xn) 是实数域上的一个 点，现用它来估计， 故称这种估计为点估计。
点估计的经典方法是矩估计法与极大似 然估计法。
可编辑ppt
3
7.1.2 矩估计法（简称“矩法”）
1-
37
(2)解: 未知时,的置信度为1的置信区间为
这里
可编辑ppt
38
7.4.2 单正态总体方差的置信区间 假定m未知，
可编辑ppt
39
s2的置信度为1的置信区间为
可编辑ppt
40
7.4.3 双正态总体均值差的置信区间
可编辑ppt
41
可解得1- 2 的置信区间 其中
可编辑ppt
42
7.4.4 双正态总体方差比的置信区间
17
例7：设X1， … ， Xn为取自
总体的样本，求参数
的极大似然估计
。
可编辑ppt
18
注2：极大似然估计具有下述性质： 若 是未知参数的极大似然估计，g()是的严格 单调函数，则g()的矩极大似然估计为g( ),
可编辑ppt
19
例8：设X1， … ， Xn为取自参数为的指数分布 总体的样本，a>0为一给定实数。 求p=P{X<a}的极大似然估计