5一元一次方程(航行问题)
中考数学复习课件：一元一次方程的实际应用-行程问题之环形跑道、航程问题
解： 设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为
（x + 4）千米/时，依题意，得： 3（x + 4）+ 3x = 60 3x + 12 + 3x = 60 6x = 48 x=8 ∴ x + 4 = 8 + 4 = 12
答：甲的速度为12千米/时，乙的速度为8千米/时。
例4：
某船从A码头顺流而下到达B码头，然后 逆流返回，到达A、B两码头之间的C码头，
一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度
为7.5千米/时，水流速度为2.5千米/时。A、C
两码头之间的航程为10千米，求A、B两码头
之间的航程。
解： 设A、B两码头之间的航程为x千米，依题
意，得：
x x 10 7 7.5 2.5 7.5 2.5
x + 2x = 90 3x = 90 x = 30 答：A、B两码头之间的航程为30千米。
作业1：
甲、乙两人在400米环形跑道上练习长跑， 两人速度分别为200米/分和160米/分。两人同
时从起点同向出发。当两人起跑后第一次并
肩时经过了多少时间？这时他们各跑了多少
圈？
作业2：
一轮船航行于两个码头之间，逆水航行需 10小时，顺水航行需6小时。已知该船在静水
中每小时航行12千米，求水流速度和两码头间
的距离。
行程问题中的数量关系：
路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度
相遇问题中的数量关系：
总路程=A路程+B路程=A速度×A时间+B速度×B时间
追及问题中的数量关系：
A路程=B路程 A速度×A时间=B速度×B时间
一元一次方程应用题------行程问题
基本的数量关系： 路程＝速度×时间要特别注意：（1）路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少）（2）在列方程时候，时间单位和路程单位一定要与速度单位一致1、甲、乙二人相向相遇问题⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程 ⑵二人所用的时间相等或有提前量2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量 ⑵二人所用的时间相等或有提前量3、单人往返⑴ 各段路程和＝总路程 ⑵ 各段时间和＝总时间 ⑶ 匀速行驶时速度不变4、行船问题与飞机飞行问题⑴ 顺水速度＝静水速度＋水流速度 ⑵ 逆水速度＝静水速度－水流速度5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。
6、时钟问题：⑴通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：① 时针的速度是0.5°/分 ② 分针的速度是6°/分 ③ 秒针的速度是6°/秒一、一般行程问题（相遇与追击问题）例题1：某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系 ⑴ 速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程⑵ 速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟方法一：设预定时间为x 小/时，则列出方程是：15（x －0.25）＝9（x ＋0.25）方法二：设从家里到学校有x 千米，则列出方程是：60159601515-=+x x例题2、一列火车匀速行驶，经过一条长300m 的隧道需要20s 的时间。
隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s ，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。
解：方法一：设这列火车的长度是x 米，根据题意，得1020300x x =+ x ＝300 答：这列火车长300米。
初一数学上册：一元一次方程行程问题
初一数学上册：一元一次方程行程问题在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。
此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、流水行船问题；四、过桥问题。
行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。
相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。
01相遇问题两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。
这类问题即为相遇问题。
相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有：两地距离=速度和×相遇时间相遇时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。
则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
相遇问题的核心是“速度和”问题。
利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。
02追及问题两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。
慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。
有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。
解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
基本公式有：追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间速度差×追及时间=追及（或领先）的路程追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。
一元一次方程应用题【行程问题】
学校：______________ 班级：______________ 姓名：_______________ 考号：_______________ ······················密························封·······························线······································一元一次方程应用题【板块一：相遇问题】1、甲、乙两人从相距为 180 千米的 A 、B 两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。
一元一次方程解决问题公式大全
一元一次方程应用题公式1、行程问题基本量之间的关系： 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）环形跑道上的相遇和追及问题：同时同地反向行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同时同地同向行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
（4）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度（5）车上（离）桥问题：①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。
②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。
所走的路程为一个车长 ③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系 一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
2、工程问题一、工程问题中的数量关系：工作时间工作效率工作总量⨯=完成工作总量的时间工作时间工作效率=工作效率工作总量工作时间=各队工作量之和全部工作量之和=各队工作效率之和各队合作工作效率=当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”二、考点归纳考点1 工作总量 = 工作效率×工作时间一件工作，甲单独做x 小时完成，乙单独做y 小时完成，那么甲、乙的工作效率分别为x 1、y 1；甲、乙合作m 天可以完成的工作量为y m x m +或 m y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11考点2 全部工作量之和=各队工作量之和相等关系：全部工作量＝甲独做工作量＋甲、乙合作工作量考点3 甲完成工作量+乙完成工作量=1变式：甲x 天完成的工作量 + 乙y 天完成的工作量 = 13、利润问题利润问题中常用数量：成本价（进价），售价，定价，标价，利润（获利），利润，利润率，盈利; 亏损; 折扣， 原价，现价，【知识点一】折扣问题常用数量：原价， 现价 ，折扣，常用数量关系：现价=原价×折扣 折扣=现价÷原价【知识点二】通过了解利润问题的数量关系解决实际问题（1）售价、进价、利润的关系式：商品利润= 商品售价—商品进价（2）进价、利润、利润率的关系：利润率=（商品利润／商品进价）×100%（3） 标价、折扣数、商品售价关系 :商品售价＝标价×（折扣数／10）（4）商品售价、进价、利润率的关系：商品售价=商品进价×(1+利润率)（5）商品总销售额＝商品销售价×商品销售量（6）商品总的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量4、数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
一元一次方程的应用航行问题
比赛船速的计算
在比赛中，天气、风速和气温 等信息都可以影响船速，通过 计算船速，确定如何最有效地 驾驶船只。
航行路线规划
通过对未来天气和海况的预测， 规划出最优的航行路线，低耗 能、高效率地完成航行。
3 方向问题
如何通过航行方向和地理坐标计算得出船所在的具体位置。
航行问题的解答过程
1
确定目的地的地理坐标
在海图上确定目的地的地理坐标。
2
计算距离和速度
计算两地之间的距离和船行的速度。
3
求解一元一次方程
将得到的数值带入一元一次方程中进行求解，得到航行的时间或航行的位置。
航行问题的应用举例
海上求援
当船只发生故障，需要紧急求 援时，通过航行计算船到海岸 的距离和时间，以及与救援船 之间的距离和位置。
一元一次方程的求解方法
1
合并同类项
将方程中的同类项合并，这样方程会更加简
移项
2
洁。
通过移项的方式将未知数移到方程的一侧，
常见的方法有减去、加上。
3
分离未知数和已知数
经过移项之后，将未知数和已知数分别放在
解出未知数
4
等式的两侧。
根据一元一次方程的定义，解出未知数的具 体数值。
航行问题的实际应用
用地理坐标寻找目的地
工具发展
如今，随着技术的进步，航行的工 具和设备得到了极大的改善，然而 一元一次方程仍然是航行中最重要 的工具之一。
一元一次方程的定义
方程
方程是数学中的一个重要概念， 表示两个量之间的平衡关系。
一元一次
方程的未知数有且仅有一个， 而且在方程中这个未知数的指 数为一，如y = 2x + 1。
应用
一元一次方程行程问题
一元一次方程应用题专题解题思路1、审——读懂题意，找出等量关系。
2、设——巧设未知数。
3、列——根据等量关系列方程。
4、解——解方程，求未知数的值。
5、答——检验，写答案（注意写清单位和答话）。
6、练——勤加练习，熟能生巧。
触类旁通，举一反三。
第一讲行程问题基本关系式（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）基本类型①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距②追及问题：快行距－慢行距＝原距③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系。
常见的还有：相背而行；环形跑道问题。
【专项训练】一、行程（相遇）问题A．基础训练1.小李和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，小李每分走60米，小刚每分走90米，几分钟后两人相遇？2.小明和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，5分钟后两人相遇，小刚每分走80米，小明每分走多少米？3.王强和赵文从相距2280米的两地出发相向而行，王强每分行60米，赵文每分行80米，王强出发3分钟后赵文出发，几分钟后两人相遇？4.两辆车从相距360千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行60千米，1小时后乙车出发，每小时行40千米，乙车出发几小时两车相遇？5.两村相距35千米，甲乙二人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行了多长时间？6.甲乙二人从相距45千米的两地同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后二人相遇，求两人的速度。
7.甲乙二人从相距100千米的两地出发相向而行，甲先出发1小时，他们在乙出发4小时后相遇，已知甲比乙每小时多行2千米，求两人的速度。
航行问题
问题4.一艘轮船航行于两地之间, 顺水要用3小时,逆水要用4小时, 已知船在静水中的速度是50千米 /小时,求水流的速度.
变式练习：一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24千米/时. 顺风飞 行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时. 求飞机在无风时的速度及 两城之间的飞行路程. 17 2 小时 50 分 小时 解: 6
设:飞机在无风时的速度为x千米/时. 则它顺风时的速 度为(x+24)千米/时,逆风时的速度为(x-24)千米/时. 根据顺风和逆风飞行的路程相等列方程得 17 ( x 24) 3( x 24) 6 解得 x=840 答：飞机在无风时的速度是840千米/时.
解：设两城之间距离为x 公里，则顺风速为 公 5.5 x 里/小时，逆风速为 公里/小时
6
等量关系：顺风时飞机本身速度=逆风时飞机本身速度。 x x 24 24 依题意得： 5.5 6 x=3168 答：两城之间的距离为3168公里 注：飞行问题也是行程问题。同水流问题一样，飞行问 题的等量关系有：顺风飞行速度=飞机本身速度+风速 逆风飞行速度=飞机本身速度－风速
应用一元一次方程
———航行问题
航行问题常用的等量关系是：
（1）顺水速度=静水速度+水流速度 （2）逆水速度=静水速度-水流速度 （3）顺速–逆速 = 2水速； 顺速 + 逆速 = 2船速 （4）顺水的路程 = 逆水的路程
航行问题
类型一： 求水流速度
例1、某船顺流航行的速度为20km/h，逆流航行的 速度为16km/h，则水流速度为多少？
例3 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5 小时。已知船在静水的速度为 18千米/小时，水流速度为2千米/小时， 求甲、乙两地之间的距离？
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设:飞机在无风时的速度为x千米/时. 则它顺风时的速 度为(x+24)千米/时,逆风时的速度为(x-24)千米/时.根 据顺风和逆风飞行的路程相等列方程得
17 ( x 24) 3( x 24) 6 x=840 答：飞机在无风时的速度是840千米/时.
问题2.一艘轮船航行于两地之间,顺水要 用3小时,逆水要用4小时,已知船在静水中的
问题3 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙 地逆水开往甲地少1.5小时。已知船在静水的速度为18千 米/小时，水流速度为2千米/小时， 求甲、乙两地之间的 距离？ 解2 （间接设元） 设汽船逆水航行从乙地到甲地需x 小时， 则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x －1.5)千米,
逆水航行的距离是(18 －2)x千米。 等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离。 依题意得： (18+2)(x －1.5)= (18 －2)x
航行问题常用的等量关系是：
（1）顺水速度=静水速度+水流速度 （2）逆水速度=静水速度-水流速度 （3）顺速–逆速 = 2水速； 顺速 + 逆速 = 2船速
：一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24 千米/时. 顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3 小时. 求飞机在无风时的速度及两城之间的飞行路程. 解:
x=7.5 (18 －2) ×7.5=120 答:甲、乙两地距离为120千米。
练习： 一架飞机飞行两城之间，顺风时需要5小时30 分钟，逆风时需要6小时，已知风速为每小时24公 里，求两城之间的距离？
x 解：设两城之间距离为x 公里，则顺风速为 公 5.5 x
里/小时，逆风速为
6
公里/小时
等量关系：顺风时飞机本身速度=逆风时飞机本身速度。 x x 24 24 依题意得： 5.5 6 x=3168 答：两城之间的距离为3168公里 注：飞行问题也是行程问题。同水流问题一样，飞行问 题的等量关系有：顺风飞行速度=飞机本身速度+风速 逆风飞行速度=飞机本身速度－风速
速度是50千米/小时,求水流的速度.
1、顺水速度=静水速度+水流速度 2、逆水速度=静水速度-水流速度 3、顺水速度-逆水速度=2倍水速
问题3 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间 乙地逆水开往甲地少1.5小时。已知船在静水的速度 18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两 之间的距离？
分析：本题是行程问题，但涉及水流速度，必须要 掌握：顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速－水速 解：（直接设元） 设甲、乙两地的距离为x 千米 等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5 依题意得： x x 1.5 18 2 18 2 x=120 答：甲、乙两地的距离为120千米。