第五讲：一元一次方程与实际问题(二)教师版

第五讲：一元一次方程与实际问题（二)
1.设元方法
①直接设元：即问什么设什么。

②间接设元：即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找到符合题意的等量关系。

③辅助设元（设而不求）：有些应用题隐含了一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则很难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析。

2.行程问题
基本量：速度、时间、路程。

路程=速度×时间（vt s =） 3.方案选择问题
在阅读理解题意的基础上，可以借助表格分析题意，取舍题中信息。

要学会从不同的思维角度提出问题、分析问题，恰当地理解与应用数学知识。

一、设元技巧之设而不求。

例1、某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的3
2
，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票的
5
3
；零售票每张16元，共售出零售票的一半。

如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
2
832.19变形答案详见《全效学习》，元，最后算错，六月份每张解：设总票数P x x a =
变式1、①一轮船从甲地到乙地顺流需航行4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_________小时。

小时24
②某商场的电视机按原价九折销售，要使销售总收入不变，那么销量应增加______.（填写比例）9
1
二、行程问题
例2、甲骑自行车从A 地到B 地，乙骑自行车从B 到A 地，两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A 、B 两地
间的路程。

千米，路程为以让学生上台展示方法此题解题方法较多，可
108
变式2：①、慢车车身长125米，车速17米/秒；快车车身长140米，车速22米/秒，快车车头与慢车车尾相距400米。

慢车在前面行驶，快车在后面追,快车完全超过慢车需要多少时间？
秒133
②、某船从A 码头顺流航行到B 码头，然后逆流返行到C 码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/小时，水流的速度为2.5千米/时，若A 与C 的距离比A 与B 的距离短40千米，求
A 与
B 的距离。

千米千米或者有两种情况
4020
3、方案选择问题
例3、某市水果批发部门欲将A 市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时．其它主要参考数据如下：
运输工具 途中平均速度 （千米/时） 运费
（元/千米） 装卸费用 （元） 火车 100 15 2000 汽车
80
20
900
（1）如果选择汽车的总费用比选择火车费用多1100元，你知道本市与A 市之间的路程是多少千米吗？请你列方程解答．
（2）如果A 市与某市之间的距离为S 千米，且知道火车与汽车在路上耽误的时间分别为2小时和3.1小时，你若是A 市水果批发部门的经理，要想将这种水果运往其他地区销售．你将选择哪种运输方式比较合算呢？
划算
千米时，汽车运输比较市距离小于当本市与相同千米时，两者运输方式市距离等于当本市与千米时，火车比较划算市距离大于当本市与解得相同时，有）当火车与汽车总费用（解得千米，列方程得
市的路程为千米，设本市与160160160.160.
900201.38020020001521002002400
10009002080
200200015100200400)1(A A A s s s s s x -x x x x x A =++⎪⎭
⎫
⎝⎛+=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⨯=++⨯
变式3、①为观看中国足球队参加世界杯比赛,8名球迷分别乘坐两辆小汽车一起赶往飞机场，其中一辆小汽车在距机场15千米的地方出了故障，此时，距规定到达机场的时间仅剩42分，但唯一可以使用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘坐5人，这辆汽车分两批送8人去机场，平均速度是60千米每小时。

现拟两个方案，问是否都使8名球迷在规定时间内赶到机场？ 方案一：小汽车送走第一批人后，第2批人在原地等候汽车返回接送。

方案二：小汽车送走第一批人的同时，第2批人以每小时5千米的速度往机场步行，在途中与到机场后返回的汽车相遇上车后前行到达机场（此问必须用一元一次方程来解）
》
详见《全效学习所以能及时赶到。

＜，）（，，解得依题意得：，
）（时间为，小汽车送走第二批人了则这段时间第二批人走遇所花时间为人后返回与第二批人相：设小汽车送走第一批方案名球迷不能及时赶到。

，这＞：解：方案91.424013
6
5211,52116051513615256060
51552842451P x -x x x h x -xkm xh
m in m in ≈+==⨯=+
②“利海”通讯器材市场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不一同型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完．请你帮助商场计算一下如何购买？
（2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号的手机购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出每种型号手机的购买数量．
4
288627782662060000)40(1200600180040215351，丙为，甲为乙为，丙为，甲为乙为，丙为，甲为当乙为，化简得）台台，则丙为（台，乙）解：设甲（所以进货方式有两种。

丙甲合题意，③②乙丙不是整数，不符乙甲）①解：（y x y x y x y -x -y x 2525
+==--++⎩⎨
⎧⎩⎨⎧
1、据力电部门统计，每天8︰00至21︰00是用点高峰期，简称“峰时”，21︰00至次日8︰00是用电低谷期，简称“谷时”。

为了缓解供电需求紧张的矛盾，我市电力部门拟逐步统一换装“峰谷分时”电表，对用电实行“峰谷分时电价”新政策，具体见下表：
时间 换表前 换表后
峰时（8︰00—21︰00） 谷时（21︰00—8︰00） 电价
每度0.52元
每度0.55元
每度0.30元
小明家对换表后最初使用的95度电进行测算，经测算比换表前使用95度电节约了5.9元，问小明家使用“峰时” 电和“谷时” 电分别是多少度？
解：设小明家这个月使用“峰时”电是x 度，则“谷时”电是（95-x ）度， 根据题意得，
0.55x+0.30（95-x ）=0.52×95-5.9， 解之，得x=60， 95-x=95-60=35，
答：小明家这个月使用“峰时”用电60度，谷时用电35度．
2、甲、乙两人从两地同时出发，若想向而行，a 小时相遇；若同向而行，则b 小时甲追及乙，那么甲乙两人速度之比为？
a
b b
a -+
3、小明家搬了新居要购买新冰箱，小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱．其中，甲冰箱的价格为2100元，日耗电量为1度；乙冰箱是节能型新产品，价格为2220元，日耗电量为0.5度，并且两种冰箱的效果是相同的.老板说甲冰箱可以打折，但是乙冰箱不能打折，请你就价格方面计算说明，甲冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算？（每度电0.5元，两种冰箱的使用寿命均为10年，平均每年使用300天）
折7
1、某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别是：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案，
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售进获利最多，你会选择哪种进货方案？
（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案． １． 解：（１）分三种情况讨论：
方案一：甲乙组合：设买甲种电视机x 台，则买乙种电视机（５０－x ）台，由题意得
25
502590000)50(21001500=-==-+x x x x
方案二：乙丙组合：设买乙种电视机y 台，则买丙种电视机（５０－y ）台，由题意得
)
(5.8790000)50(25002100舍去不合题意，y y y ==-+
方案三：甲丙组合：设买甲种电视机z 台，则买丙种电视机（５０－z ）台，由题意得
15
5035
90000
)50(25001500=-==-+z z z z 综上所述可以买甲乙两种电视机各２５台或甲种电视机３５台和丙种电视机１５台．
（２）方案一：)(100002525025150元=⨯+⨯ 方案三：)(9000
1525035150元=⨯+⨯ 为了获得最大利润应该买进甲乙两种型号的电视机各２５台．
（３）设买甲种型号的电视机x 台，甲种型号的电视机y 台，甲种型号的电视机(５０－x －y)台，由题意得
y
x y x y x y x 5
2
35350
41090000
)50(250021001500-==+=--++ 易知y 为５的倍数
因此有以上六种符合条件的方案．
,25,253,27,206,29,159,31,1012,33,515,35,0==================z x y z x y z x y z x y z x y z x y。