第4讲全等三角形的性质及判定

第4讲全等三角形的性质及判定（12.1 、12.2）一、知识要点1、全等三角形的性质1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．4．全等三角形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．5．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．6．全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．7．全等三角形基本图形翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素2、全等三角形的判定（1）全等三角形的判定1——边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．（2）全等三角形的判定2——边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．（3）全等三角形的判定3——角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”．（4）全等三角形的判定4——角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”“AAS”．（5）直角三角形全等的判定——斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或“HL”．3、判定直角三角形全等的方法选择注意：AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。

1 / 62 / 6技巧平台：证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。

根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：4（2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中（3）分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。

有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角 （4）先证明缺少的条件 （5）再证明两个三角形全等（要符合书写步骤：先写在某两个三角形中、然后写条件，再写结论）二、例题讲解例1.（SSS ）如图，已知AB=AD ，CB=CD,那么∠B=∠D 吗？为什么？ 分析：要证明∠B=∠D ，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所 在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接 AC 边即可构造全等三角形。

解：相等。

理由：连接AC ，在△ABC 和△ADC 中，⎪⎩⎪⎨⎧===AC AC CD CB AD AB∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等）点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。

有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。

例2.（SSS ）如图，△ABC 是一个风筝架，AB=AC,AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，证明：AD ⊥BC.分析： 要证AD ⊥BC ，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ADC,而∠求得。

证明： D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 与△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧===AD AD CD BD ACAB∴△ABD ≌△ACD(SSS)，∴∠ADB=∠ADC （全等三角形的对应角相等） ∠ADB+∠ADC=︒180（平角的定义）∴∠ADB=∠ADC=︒90，∴AD ⊥BC （垂直的定义）3 / 6例3.（SAS ）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C. 分析：利用SAS 证明两个三角形全等，∠A 是公共角。

证明：在△ABE 与△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE AA AC AB∴△ABE ≌△ACD(SAS),∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）例4.（SAS ）如图，已知E,F 是线段AB 上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE. 分析：先证明AF=BE ，再用SAS 证明两个三角形全等。

证明： AE=BF(已知)∴AE+EF=BF+FE,即AF=BE在△DAF 与△CBE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BE AF B A BCAD∴△DAF ≌△CBE(SAS),∴DF=CE （全等三角形的对应角相等）点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS 再证出另一边（即AF=BE ）相等即可，进而推出对应边相等。

例5.（ ASA ）如图，已知点E,C 在线段BF 上，BE=CF,AB ∥DE,∠ACB=∠F,求证：AB=DE.分析：要证AB=DE ，结合BE=CF ，即BC=EF ，∠ACB=∠F 逆推，即要找到证△ABC ≌△DEF 的条件。

证明: AB ∥DE,∴∠B=∠DEF. 又 BE=CF ，∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在△ABC 与△DEF 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠F ACB EF BC DEFB∴△ABC ≌△DEF(ASA),∴AB=DE.例6.（AAS ）如图，已知B,C,E 三点在同一条直线上，AC ∥求证：△ABC ≌△CDE.分析：在△ABC 与△CDE 中，条件只有AC=CE,由AC ∥DE ，可知∠B=∠D,于是△ABC ≌△CDE 的条件就有了。

证明： AC ∥DE ，∴∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D. 又 ∠ACD=∠B,∴∠B=∠D.在△ABC 与△CDE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE AC E ACB D B ,4 / 6∴△ABC ≌△CDE(AAS).解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题的解题关键。

例7.（HL ）如图，在Rt △ABC 中，∠A=︒90,点D 为斜边BC 上一点，且BD=BA,过点D 作BC 得垂线，交AC 于点E ，求证：AE=ED.分析：要证AE=ED ，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因此要考虑添 证明：连接BE.ED ⊥BC 于D,∴∠EDB=︒90.在Rt △ABE 与Rt △DBE 中，⎩⎨⎧==BEBE BDBA∴Rt △ABE ≌Rt △DBE(HL),∴AE=ED.解题规律：连接BE 构造两个直角三角形是本题的解题关键。

特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。

三、综合练习一、选择题1．如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组2.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°3.如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B ．AC AD =C ．ACB ADB ∠=∠D ．CAB DAB ∠=∠4.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( ) A.∠B=∠E,BC=EF B.BC=EF ，AC=DF C.∠A=∠D ，∠B=∠E D.∠A=∠D ，BC=EF 5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ， 若AC = 10cm ，则BD+DE=A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．9cm6．如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） ADBC A DPB图（四） EDCBAA ． 30B ．40 C ．50D ．607．如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A ．20°B ．30°C ．35° D．40°8．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB9．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS10.如图, ∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D,若则点D 到AB 的距离为( ) A. 5cm B. 3cmC. 2cmD. 不能确定 11．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP12.如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后， 仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==︒∠∠ 13.观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）A ．22n +B ．44n +C ．44n -D ．4n 二、填空题1.如图，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是（写出一个即可）．2.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB 于E,且AB=5cm,则△DEB 的周长为3.如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件：，使OC OD =（只添一个即可）．4.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形 有个 ．5.O ∠C ＝256.使△ABC ……第1个第2个第3个第1个第2个第3个A CEBABCD A B C DCBB 'A ' OBA P OAB CD E6 / 6 三、解答题1.如图，已知AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE.2.如图，在ABC △中，40ABAC BAC =∠=，°，分别以ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°． （1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．3.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .4.如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．5.如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与于点M ． （1）求证：△ABC ≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，6.如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，求证：（1）ABC ADC △≌△；（2）BO DO =． 7．如图，在ABC △和ABD △ ③12∠=∠（1）写出所有的真命题（写成“⎫⇒⎬⎭．（2）请选择一个真命题加以证明． 你选择的真命题是：⎫⇒⎬⎭．证明：8.已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ．9．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．10.如图，,A B A C A D B =⊥=∠于点，，平分交于点，请你写出图中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．11．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：A21ＡＣＤ ＢDOEDCBAEA B D CFA郜E F EDCBA。