激光原理 典型激光器速率方程
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principles of lasers激光原理第七章 速率方程
2 2 p g P sp P P g P p
2
sp
Below and above the threshold
N2 NP
Rst
167
Rp RPth RP RPth RP
Carrier reservoir Rsp
Below the threshold
N 2 R p sp N P = R p p
gth 1 vg p Nth N 2th 1 vg p
2 1
Ignore the spon. emission
dN P N =vg gN P P dt p 1 N p (t ) N p (0) exp v g g t p
Three-level lasers: fiber lasers like Er (铒1550 nm), Yb (镱1030 nm) , Ho (钬2000 nm) , Tm (铥2000 nm) doped fiber lasers
Four-level laser
Assumptions: The carrier density (population) is uniform inside the gain medium The photon density (electric field) is uniform inside the cavity The light volume is the same as the gain medium volume Only one mode oscillates in the cavity Then, the rate equation is space independent. The lifetimes of level 3 and level 1 is very fast
2
sp
Below and above the threshold
N2 NP
Rst
167
Rp RPth RP RPth RP
Carrier reservoir Rsp
Below the threshold
N 2 R p sp N P = R p p
gth 1 vg p Nth N 2th 1 vg p
2 1
Ignore the spon. emission
dN P N =vg gN P P dt p 1 N p (t ) N p (0) exp v g g t p
Three-level lasers: fiber lasers like Er (铒1550 nm), Yb (镱1030 nm) , Ho (钬2000 nm) , Tm (铥2000 nm) doped fiber lasers
Four-level laser
Assumptions: The carrier density (population) is uniform inside the gain medium The photon density (electric field) is uniform inside the cavity The light volume is the same as the gain medium volume Only one mode oscillates in the cavity Then, the rate equation is space independent. The lifetimes of level 3 and level 1 is very fast
第二章激光器的速率方程理论
dn WDn n dt
均匀加宽
W
c3 8
2
A21 g ( )
c3 1 W A21 2 2 2 (0 ) 2 (V / 2) 2
第 个模的光场与第 个原子作用的受激辐射速率为
2 c3 A21 W sin 2 k z 2 2 2 ( ) 2 2
速地转移到激光上能级E2，其跃迁几率用S32表示。 3. 处在E2能级的粒子，能通过自发辐射、非辐射跃迁和 受激辐射，跃迁到激光下能级E1，其跃迁几率分别用A21， S21和W21表示。
4. 处在E1能级的粒子，能通过受激吸收到达E2，或非辐
射跃迁到E0，其跃迁几率分别用 W12和S10表示。 各能级上的粒子数密度N0，N1，N2，N3如果变化？ 光子数密度n如果变化？
在脉冲开始建立的时间内，光子数和反转粒子数为
n(t ) ni e t
( WDi )
D(t ) Di {1
Wni
[1 e t ]}
2.5 均匀加宽的激光器的多模振荡
纵模
q qc / 2 L
c q q 1 q 2L
谱线线型 激光器阈值 增益饱和 均匀加宽 多模振荡
n 0, dD 0 dt
( a b ) 1 D0 [(a b ) N0 ( a b )]/ 2 2
引入
1 || ( a b ) 2
dD || ( D D0 ) 2WDn dt
dd dt
dd dt
|| (d d0 ) 2Wd n
当激光器在阈值之上不太高时，激光光子数不太大，有
dn (G0 )n Cn 2 dt
激光原理-4.2 典型激光器的速率方程
f2 f1
B21
在辐射场 的作用下的总受激跃迁几率 W21 中，
分配在频率 处单位频带内的受激跃迁几率为：
W21 B21 B21 g% ,0
太原理工大学物理与光电工程学院
4、公式的修正
dn21 dt
sp
n2 A21
d
n2 A21g% , 0
d n2 A21
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
太原理工大学物理与光电工程学院
g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
太原理工大学物理与光电工程学院
物理意义: 由于谱线加宽, 外来光的频率 并不 一定要精确等于原子发光的中心频率 0 才能产生 受激跃迁,而是主要在=0 附近的一个频率范围内 都能产生受激辐射。当ν偏离中心频率ν0时，跃 迁几率急剧下降。
太原理工大学物理与光电工程学院
6、受激辐射、受激吸收几率的其它表达形式
W21
B21 g% ,0
—吸收截面
中心频率处发射截面和吸收截面最大！
太原理工大学物理与光电工程学院
均匀加宽工作物质中心频率发射截面
21 0
A21 2
4
2
2 0
H
非均匀加宽工作物质中心频率发射截面
激光原理(4)-速率方程
+∞ dn21 ( ) sp = ∫ n2 A21 (ν )dν −∞ dt
= n2 ∫
+∞ −∞
A21 g (ν ,ν 0 )dν
= n2 A21
谱线加宽对单位时间内自发辐射跃迁的原子数没有影响 3. n2 数 个原子中单位时间内发生受激辐射跃迁的原子总
+∞ dn21 ( ) st = ∫ n2W21 (ν )dν −∞ dt
2. 线宽
1 = = g (ν 1 ,ν 0 ) g (ν 2 ,ν 0 ) g (ν 0 ,ν 0 ) 2
∆ν = ν 2 − ν 1
线宽：光谱线的宽度
FWHM = Full width at half maximum 半幅线宽
NJUPT
谱线加宽的机理
自然加宽（Natural broadening） 这种谱线加宽是不可避免的 （1） 经典理论 处于激发态的发光粒子，在自发辐射的发光过程中， 辐射功率不断衰减，导致光谱线有一定宽度。 经典电子理论：原子是一个正电中心和 一个负电中心组成的偶极子 γt − 2 i 2πν 0 t 0
③ 全量子理论。本质上是量子电动力学体系，其特点是，将激光场看成是 遵循量子化规律的光子群的集合，将与激光场发生作用的工作物质看成是遵循 量子力学规律的微观粒子的集合，在此基础上进而将两者看成是一个统一的体 系而加以量子理论处理。这种理论体系的主要优点，是它能对涉及到激光与物 质相互作用过程中出现的各种现象与效应，给出严格而又全面的物理描述；其 不足之处，是这种理论的数学处理过程过于繁杂而不便求解。基于全量子理论， 在一定前提下还可派生出一些往往是十分简洁有用的专门理论。如在忽略量子 化激光场的位相特性（或光子数目起伏）的前提下，可简化为速率方程理论， 能非常方便地用它来描述激光的产生、振荡与放大等过程中的粒子数输运和激 光功率方面的动态特性。
= n2 ∫
+∞ −∞
A21 g (ν ,ν 0 )dν
= n2 A21
谱线加宽对单位时间内自发辐射跃迁的原子数没有影响 3. n2 数 个原子中单位时间内发生受激辐射跃迁的原子总
+∞ dn21 ( ) st = ∫ n2W21 (ν )dν −∞ dt
2. 线宽
1 = = g (ν 1 ,ν 0 ) g (ν 2 ,ν 0 ) g (ν 0 ,ν 0 ) 2
∆ν = ν 2 − ν 1
线宽：光谱线的宽度
FWHM = Full width at half maximum 半幅线宽
NJUPT
谱线加宽的机理
自然加宽（Natural broadening） 这种谱线加宽是不可避免的 （1） 经典理论 处于激发态的发光粒子，在自发辐射的发光过程中， 辐射功率不断衰减，导致光谱线有一定宽度。 经典电子理论：原子是一个正电中心和 一个负电中心组成的偶极子 γt − 2 i 2πν 0 t 0
③ 全量子理论。本质上是量子电动力学体系，其特点是，将激光场看成是 遵循量子化规律的光子群的集合，将与激光场发生作用的工作物质看成是遵循 量子力学规律的微观粒子的集合，在此基础上进而将两者看成是一个统一的体 系而加以量子理论处理。这种理论体系的主要优点，是它能对涉及到激光与物 质相互作用过程中出现的各种现象与效应，给出严格而又全面的物理描述；其 不足之处，是这种理论的数学处理过程过于繁杂而不便求解。基于全量子理论， 在一定前提下还可派生出一些往往是十分简洁有用的专门理论。如在忽略量子 化激光场的位相特性（或光子数目起伏）的前提下，可简化为速率方程理论， 能非常方便地用它来描述激光的产生、振荡与放大等过程中的粒子数输运和激 光功率方面的动态特性。
第四章典型激光器 的速率方程
dDn Dn Dn 21 n l ,n 0 )vNl n0W03 dt 2
2
1 A21 S21
dDn Dn ) Dn 21 n l ,n 0 vN n0W03 dt 2 n0W03 2 n0 w03 2 Dn 0 Dn 21 n 1 ,n 0 ) 2 In1 In 1 1 21 n 1 ,n 0 )vN 2 1 1 hn 0 I s n 1 ) dDn0 Dn0 1 I s n1 ) n0W03 In1 Nh n1v n 0 , n 0 , 3 1 dt 2
S10
dn0 n1 S10 n0W03 n3 A30 dt
dNl Nl Nl f2 n2W21 n1W12 (n2 n1 ) 21 n ,n 0 )vN l dt Rl f1 Rl
n0 n1 n2 n3 n
忽略n3W30 , n2A21 ?
• 小信号增益曲线的形状完全取决于谱线线型函数 均匀加宽介质
中心频率处小 信号增益系数
2 ) D n 2 0 0 H n ) g H n 0 ) gH 2 n n 0 ) Dn H 2)2
g n 0 ) Dn 21
0 H 0
v A21 Dn 2 4 2n 0 Dn H
ln 2
g n)
Dn n )
• 增益线宽～ (自发辐射)荧光线宽DnF 氦氖 Nd:YAG 钕玻璃 若丹明 6G GaAlAs (0.85mm) InGaAsP (1.55mm)
荧光线宽（s-1） 1.5×109 1.95×1011 7.5×1012 5×1012~3×1013 1013 1012~1013
1 2 n
N l N l 1 ,N l 2 N l n
激光原理(4)-速率方程
均匀加宽线型函数
∆ν H 2π
2
g H (ν ,ν 0 ) =
∆ν H 2 (ν − ν 0 ) + ( ) 2
1 1 1 ∆ν H = ( + ) = ∆ν N + ∆ν L 2π τ s τ L
一般气体激光器：
NJUPT
非 均 匀 加 宽
气体激光器的非均匀加宽往往只有多普勒加宽
gi (ν ,ν 0 ) = g D (ν ,ν 0 ) ∆ν i = ∆ν D
原子和准单色光辐射场的相互作用 在频率为 ν 的单色辐射场作用下，受激跃迁（吸收与发射）几率：
W21 = B21 g (ν ,ν 0 ) ρ W12 = B12 g (ν ,ν 0 ) ρ
g (ν ,ν 0 )
ρ = N l hν
发自发辐射线型函数 在v处的函数值 N l ——第 l 模式的光子数密度
x( t ) = x e
e
γ ——衰减因子（阻尼系数）
NJUPT
谱线加宽的机理
自然加宽（Natural broadening）
g N (ν ,ν 0 ) =
4 最大值： ν ν= = g (ν 0 ,ν 0 ) 0，
( )2 + 4π 2 (ν − ν 0 )2 2
γ
γ
γ 1 线宽：ν = g N (ν ,ν 0 ) ν 0 ± ， g N (ν ,ν 0 ) = 4π 2
= n2 B21 ∫
+∞ −∞
g (ν ,ν 0 ) ρν dν
NJUPT
原子和准单色光辐射场的相互作用
∆ν ′ ∆ν
在 ∆ν ′ 作不变
g (ν ′,ν )
范围内： 近似看
CH3_4深圳大学激光器原理与技术
c3 c3 A21 ( ) B21 A 21 ~ ( , ) 8h 3 8h 3 g 0
~ ( , ) B21 ( ) B21 g 0
c3 场ρν的作用下的总受激跃迁几率，分配在频率ν 处单位频带内的受激跃迁几率:
W21 ( ) B21 ( ) B21 ~ g ( , 0 )
ρν ρν
g(ν,ν0)
Δν
(4.4.6) (4.4.7) ν
原子和连续谱场相互作用
dn ( 21 )st n2 B21 ~ g ( , 0 ) d n2 B21 0 dt
ρν0是连续谱辐射场在原子中心频率ν0处的单色能量密度。 可见，这和具有连续谱黑体辐射场一致。
2到达高能级e的粒子数时将主要以无辐射跃迁热弛豫的形式极为迅速地转移到激光上能级e其几率设为s32也能以自发辐射几率a31和无辐射跃迁几率s31但对于一般激光工作物质这种消激励过程的几率很小即s3112三能级系统激光工作物质的能级简图
§ 4.3典型激光器速率方程
激光器腔内光子数和工作物质各有关能级上的原子数随时间变化的微分 方程组，称为激光器速率方程组。 激光器速率方程组和参与产生激光过程的能级结构和工作粒子(原子、 分子等)在这些能级间的跃迁特性有关。不同激光工作物质的能级结构 和跃迁特性可能很不相同，而且很复杂。但是，我们还是可以从中归纳 出一些共同的、主要的物理过程，从而针对一些简化的、具有代表性的 模型列出速率方程组，这就是所谓三能级系统和四能级系统。
激光器内ρ与第 l 模内的光子数密度Nl的关系： N l h
8 2 腔内单位体积中频率处于附近的单位频率间隔内的光波模式数: n c3
W12，W21可表示为与Nl有关的形式：
g ( , 0 ) W21 B21 ~ ~ W B g ( , 0 ) 12 12 A 8h 3 21 n h 3 c B21 B12 f1 B21 f 2 N h l 8 2 n 3 c
激光原理与技术 第18讲 速率方程、小信号增益系数
则E1 能级上的粒子数可以忽略；
当粒子从E2能级跃迁到E1 能级后，必须使其迅速的
回到基态，即要求S10较大， S10称为下能级抽空速率；
5
18.1 单模振荡速率方程
四能级 系统速 率方程
dn3
dt
n0W03
n3
S32 A30
dn2
dt
n2
g2 g1
n1 21
, 0
21
此式是一个具有普遍意义的公式；
10
18.2 小信号增益系数
2、小信号反转粒子数n
从前面得到的式子：
dn3
dt
n0W03
n3
S32 A30
G n 21可知G与
dn2
dt
n 21
, 0
cNl n2
A21 S21
n3 S32
n成正比，即n具 有的特性，G就具
dn0
而不涉及具体的激励及跃迁过程，而前面给出的速率方程则忽
略了激光下能级的激励过程。
7
连续激光器的增益和工作特性
增益特性是分析激光器振荡条件、模式竞争、输出功 率和激光放大器净增益系数的基础。 激光器可以运行于连续和脉冲工作方式，连续运行即 稳定运行，也就是各能级的粒子数目以及腔内的辐射 场有稳定分布，而增益饱和是形成稳定振荡的关键。 具有均匀加宽谱线和具有非均匀加宽谱线的工作物质 的增益饱和行为有很大差别，由此构成的激光器的工 作特性也有很大差别。
dt
n1 S10
n0W03
n3 A30
S10 W03 , S32 W03 ,
有，因此G的特性
n0 n1 n2 n3 n
n3 A30可忽略
同n紧密联系起来。
n如何求？
当粒子从E2能级跃迁到E1 能级后，必须使其迅速的
回到基态，即要求S10较大， S10称为下能级抽空速率；
5
18.1 单模振荡速率方程
四能级 系统速 率方程
dn3
dt
n0W03
n3
S32 A30
dn2
dt
n2
g2 g1
n1 21
, 0
21
此式是一个具有普遍意义的公式；
10
18.2 小信号增益系数
2、小信号反转粒子数n
从前面得到的式子：
dn3
dt
n0W03
n3
S32 A30
G n 21可知G与
dn2
dt
n 21
, 0
cNl n2
A21 S21
n3 S32
n成正比，即n具 有的特性，G就具
dn0
而不涉及具体的激励及跃迁过程，而前面给出的速率方程则忽
略了激光下能级的激励过程。
7
连续激光器的增益和工作特性
增益特性是分析激光器振荡条件、模式竞争、输出功 率和激光放大器净增益系数的基础。 激光器可以运行于连续和脉冲工作方式，连续运行即 稳定运行，也就是各能级的粒子数目以及腔内的辐射 场有稳定分布，而增益饱和是形成稳定振荡的关键。 具有均匀加宽谱线和具有非均匀加宽谱线的工作物质 的增益饱和行为有很大差别，由此构成的激光器的工 作特性也有很大差别。
dt
n1 S10
n0W03
n3 A30
S10 W03 , S32 W03 ,
有，因此G的特性
n0 n1 n2 n3 n
n3 A30可忽略
同n紧密联系起来。
n如何求？
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dn2
dt
l
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 )Nl
n2 (S21
A21 )
n3S32
由于每个模式的频率、损耗、g~(l ,0) 值不同，
必须建立m个光子数密度速率方程，其中第l个 模的光子数密度速率方程为
dNl dt
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
Nl
Rl
21
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
R1、R2为单位体积中，在单位时间内激励至E1 、E2能级的粒子数（激励速率）；1、2为E1 、E2能级的寿命； 21为E2能级由于至E1能级 跃迁造成的有限寿命。
6 多模振荡速率方程
如果激光器中有m个振荡模，其中第l个模的频 率则、E2能光级子的数粒密子度数、密光度子速寿率命方分程别为为l、Nl及Rl 。
Nl
Rl
四能级系统速率方程组
dn3 dt
n0W03
n3 (S32
A30 )
dn2 dt
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
n2 (S21 A21) n3S32
dn0 dt
n1S10
n0W03
n3 A30
n0 n1 n2 n3 n
dNl dt
(n2
思路小结:
爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互作用 的关系式
考虑线型函数后必要的修正：几率按频率的 分布函数
原子和准单色光相互作用 单模振荡速率方程组（三能级系统和四能级
系统） 多模振荡速率方程组
end
(n2
f2 f1
n1) 21N
N
R
dn3 dt
n0W03
n3
S32
1
dn2 dt
(n2
f2 f1
n1) 21N n2
A21
2
n3S32
dn0 dt
n1S10
n0W03
n0 n1 n2 n3 n
1
S32 S32 A30
2
A21 A21 S21
1：E3能级向E2能级无辐射跃迁的量子效率 2：E2能级向E1能级跃迁的荧光效率
n为单位体积 工作物质内的 总粒子数，第 l个模式的光 子寿命为Rl， 工作物质长度 l等于腔长L。
dn3 dt
n1W13 n3 (S32
A31 )
dn2 dt
n1W12
n2W21 n2 (S21
A21) n3S32
n1 n2 n3 n
dNl dt
n2W21
n1W12
Nl
Rl
（一）三能级系统--红宝石激光器
徐贲 86835782 赛博北楼407-1 答疑时间：周一18：00-20：00
xuben@
4.3 典型激光器速率方程
表征激光器腔内光子数和工作物质各有关能级 上的原子数随时间变化的微分方程组，称为激 光器速率方程组(rate equations)。
归纳共性，针对一些简化的、具有代表性的模 型列出速率方程组，所谓的三能级和四能级系 统。
f2 f1
n1) 21( l
, 0 ) Nl
Nl
Rl
四能级系统—Nd:YAG激光器
E4
(10-8s) E4
E3
(10-3s) E3
h
E2
E2
E1
E1
四能级系统另外一种粒子数密度Biblioteka 率方程dn2 dtR2
n2
2
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
dn1 dt
R1
n1
1
n2
B21
c3
8h 3
A21
c3
8h 3
A21( ) g~( ,0 )
B21(
)
B21g~(
, 0 )
c3
8h
3
A21(
)
W21( ) B21( ) B21g~( , 0 )
(
dn21 dt
)sp
n2 A21( )d n2 A21
(
dn21 dt
)st
n2W21( )d
n2 B21
g~(
E3 E2
E1
E3 (10-8s)
E3
E2 (10-3s)
E2
h
E1
E1
dn3 dt
n1W13
n3 (S32
A31 )
dn2 dt
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
n2 (S21 A21) n3S32
n1 n2 n3 n
dNl dt
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
7 总量子效率
F 1为2 总量子效率，它的意义：由光泵抽
运到E3能级的粒子，只有一部分通过无辐射 跃迁到达激光上能级E2，另一部分通过其它 途径返回基态。而到达E2能级的粒子，也只 有一部分通过自发辐射跃迁到达E1能级并发 射荧光，其余粒子通过无辐射跃迁而跃迁
到E1能级。
发射荧光的光子数
F 工作物质从光泵吸收的 光子数
,
0
)
d
该积分与辐射场的带宽有关。
A: 原子和连续光辐射场的相互作用，
B: 原子和准单色光辐射场相互作用，
对表达式进行修正
4 发射截面和吸收截面
21(,0)和12(,0)分别称为发射截面和吸
收截面，它们具有面积的量纲
21( , 0 )
A21 2
8
2 0
g~( ,0 )
12 ( , 0 )
1
g~( 0 , 0 )
对洛仑兹线型与高斯线型，等效线宽分别为
2
F
,
1 2
ln
2
F
按照以上简化模型，四能级多模振荡的速率 方程可写为（见下页），式中N为各模式光 子数密度的总和；21为中心频率处的发射截 面；1为E3能级向E2能级无辐射跃迁的量子 效率； 2为E2能级向E1能级跃迁的荧光效率
dN dt
f1
B21 f2
2 考虑线型函数后必要的修正
线型函数可以理解为几率按频率的分布函数
P( ) Pg~( , 0 ) n2h 0 A21g~( , 0 ) n2h 0 A21( )
A21( ) A21g~( , 0 )
A21()表示在总自发跃迁几率A21中，分配在频率处单 位频率内的自发跃迁几率
1）假设各个模式的衍射损耗比腔内工作物质 的损耗及反射镜损耗小很多，因而可以认为 各个模式的损耗是相同的。
2）将线型函数 g~( ,0) 用一矩形谱线 g~( , 0 ) 代 替，并使矩形谱线的高度与谱线轮廓中心点 的高度相等，矩形谱线所包含的面积与原有 谱线包含的面积相等。即
g~( , 0 ) g~( 0, 0 )
f2 f1
A21 2
8
2 0
g~( ,0 )
中心频率处的发射截面与吸
收截面最大。当=0时，均 匀加宽物质和非均匀加宽物
质的发射截面分别为
21
2 A21
4
2
2 0
H
, 21
ln 2 2 A21 4 3 2 02 D
5 单模振荡速率方程组
三能级系统速率方程组：各能级集居数随时间 变化的方程和激光器腔内的光子数密度随时间 变化的规律
激光速率方程理论的出发点是原子的自发辐射、 受激辐射和受激吸收几率的基本关系式。
1 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互 作用的关系式
(
dn21 dt
)sp
A21n2
(
dn21 dt
)st
W21n2 ,W21
B21
(
dn12 dt
)st
W12n1,W12
B12
A21 B21
8 h 3
c3
n h , B12