激光器的速率方程理论
激光原理-4.2 典型激光器的速率方程
f2 f1
B21
在辐射场 的作用下的总受激跃迁几率 W21 中，
分配在频率 处单位频带内的受激跃迁几率为：
W21 B21 B21 g% ,0
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4、公式的修正
dn21 dt
sp
n2 A21
d
n2 A21g% , 0
d n2 A21
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
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g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
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物理意义: 由于谱线加宽, 外来光的频率 并不 一定要精确等于原子发光的中心频率 0 才能产生 受激跃迁,而是主要在=0 附近的一个频率范围内 都能产生受激辐射。当ν偏离中心频率ν0时，跃 迁几率急剧下降。
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6、受激辐射、受激吸收几率的其它表达形式
W21
B21 g% ,0
—吸收截面
中心频率处发射截面和吸收截面最大！
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均匀加宽工作物质中心频率发射截面
21 0
A21 2
4
2
2 0
H
非均匀加宽工作物质中心频率发射截面
激光原理(4)-速率方程
= n2 ∫
+∞ −∞
A21 g (ν ,ν 0 )dν
= n2 A21
谱线加宽对单位时间内自发辐射跃迁的原子数没有影响 3. n2 数 个原子中单位时间内发生受激辐射跃迁的原子总
+∞ dn21 ( ) st = ∫ n2W21 (ν )dν −∞ dt
2. 线宽
1 = = g (ν 1 ,ν 0 ) g (ν 2 ,ν 0 ) g (ν 0 ,ν 0 ) 2
∆ν = ν 2 − ν 1
线宽：光谱线的宽度
FWHM = Full width at half maximum 半幅线宽
NJUPT
谱线加宽的机理
自然加宽（Natural broadening） 这种谱线加宽是不可避免的 （1） 经典理论 处于激发态的发光粒子，在自发辐射的发光过程中， 辐射功率不断衰减，导致光谱线有一定宽度。 经典电子理论：原子是一个正电中心和 一个负电中心组成的偶极子 γt − 2 i 2πν 0 t 0
③ 全量子理论。本质上是量子电动力学体系，其特点是，将激光场看成是 遵循量子化规律的光子群的集合，将与激光场发生作用的工作物质看成是遵循 量子力学规律的微观粒子的集合，在此基础上进而将两者看成是一个统一的体 系而加以量子理论处理。这种理论体系的主要优点，是它能对涉及到激光与物 质相互作用过程中出现的各种现象与效应，给出严格而又全面的物理描述；其 不足之处，是这种理论的数学处理过程过于繁杂而不便求解。基于全量子理论， 在一定前提下还可派生出一些往往是十分简洁有用的专门理论。如在忽略量子 化激光场的位相特性（或光子数目起伏）的前提下，可简化为速率方程理论， 能非常方便地用它来描述激光的产生、振荡与放大等过程中的粒子数输运和激 光功率方面的动态特性。
激光器速率方程
思路小结
• 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互作用 的关系式 • 考虑线型函数后必要的修正：几率按频率的 分布函数 • 原子和准单色光相互作用 • 单模振荡速率方程组（三能级系统和四能级 系统） • 多模振荡速率方程组
R1、R2为单位体积中，在单位时间内激励至E1 、E2能级的粒子数（激励速率）；τ1、τ2为E1 、E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级 跃迁造成的有限寿命。
• In Figure we show the ground state 0 as well as the two laser levels 2 and 1 of a four-level laser system. The density of atoms pumped per unit time into level 2 is taken as R2, and that pumped into 1 is R1. Pumping into 1 is, of course, undesirable since it leads to a reduction of the inversion. In many practical situations it cannot be avoided. The actual decay lifetime of atoms in level 2 at the absence of any radiation field is taken as t2. This decay rate has a contribution tspont which is due to spontaneous (photon emitting)2→1 transition as well as to additional non-radiative relaxation from 2 to 1. The lifetime of atoms in level 1 is t1.
半导体激光器设计理论I._速率方程理论3_突变同型异质结的库莫(Kumer)理论
半导体激光器设计理论I. 速率方程理论 (郭长志, LT1-1C3.doc , 11 Oct. 2007)§1.2-2 突变同型异质结的库莫(Kumer )理论[13, 14, 5]同型异质结积累区的空间电荷分布和电势分布，除了可以求解泊松方程得 出之外，还可以由归一化势能积分得出。
从而可以准解析地得出其两边的内建电 场F 和总电荷Q 。
对于如图1.2-5(a ) 所示的n-N 结其 带阶为：021≥∆=-=∆χχχc E (1.2-2a )()()c g g g v E E E E E ∆-∆=---=∆2112χχ(1.2-2b )这里的 ∆χ ≥ 0是由于定义 χ1 和 χ2 分 别是窄带隙和宽带隙的电子亲和势。
§1.2-2A n-N 同型异质结在无偏压的平衡情况下内建势能为：2112c c c c c d e E F F V q δδ-+∆=-=()()2211c c c c c F E F E E ---+∆= (1.2-2c ')⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=2211ln ln c d B c d B c N N T k N N T k E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∆=1221ln c d c d B c N N N N T k E (1.2-2c )真空能级- + χ2 Φ2χ1 Φ1 ∆E c δc2 E c2 E c1 q e V D q e V D2 F c2F c1 q e V D1 δc1 E FE g1 E g2E v1 ∆E v其中后两式采用了非简并统计近似。
由(1.2-2c ',b )，远离结区的带边之差分别为：()0211221<+∆-=∆-=∆--=-d e c d e c d e c c c c c V q E V q E V q E F F E E (1.2-2d )()()()v d e d e v d e g c c g c g c v v E V q V q E V q E E E E E E E E E ∆++=∆+=∆+-=---=-2121221121 (1.2-2e )电荷密度分布为：()[]p n N q x de +-=+ρ[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-≈-1T k E F d c d e d e B cc e N N N q n N q (1.2-2f ) 电势方程为：()+=-=dxd F dx dF F dx d dx d F εεεϕ,g ) 泊松方程为：()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-=→=-1022T k E F d c de B cc e N N N q x dx xd dx d εερϕε (1.2-2h ) n -和N -半导体接触并达到平衡时,其能带图将如图1.2-5(b )所示。
激光原理-4.2 典型激光器的速率方程
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1、三能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W13
A31
S31
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
S31, A31 S32; S31 A31
E1（激泵光浦下下能能级级）
S21 A21
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F
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思考：分别求洛仑兹线型和高斯线型下简
化线型函数对应的等效谱宽 。
21 , 0
A21 2
8
h
2 0
g% ,0
21 l , 0 Nl 21 Nl 21 N
l
l
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根据简化模型, 四能级多模速率方程
dn3 dt
n0W03
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
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g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
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n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
R1,R2为单位体积中，在单位时间内激励至 E1,E2能级的粒子数；τ1，τ2为E1, E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级的跃迁造成的有限寿命。
激光原理(4)-速率方程
均匀加宽线型函数
∆ν H 2π
2
g H (ν ,ν 0 ) =
∆ν H 2 (ν − ν 0 ) + ( ) 2
1 1 1 ∆ν H = ( + ) = ∆ν N + ∆ν L 2π τ s τ L
一般气体激光器：
NJUPT
非 均 匀 加 宽
气体激光器的非均匀加宽往往只有多普勒加宽
gi (ν ,ν 0 ) = g D (ν ,ν 0 ) ∆ν i = ∆ν D
原子和准单色光辐射场的相互作用 在频率为 ν 的单色辐射场作用下，受激跃迁（吸收与发射）几率：
W21 = B21 g (ν ,ν 0 ) ρ W12 = B12 g (ν ,ν 0 ) ρ
g (ν ,ν 0 )
ρ = N l hν
发自发辐射线型函数 在v处的函数值 N l ——第 l 模式的光子数密度
x( t ) = x e
e
γ ——衰减因子（阻尼系数）
NJUPT
谱线加宽的机理
自然加宽（Natural broadening）
g N (ν ,ν 0 ) =
4 最大值： ν ν= = g (ν 0 ,ν 0 ) 0，
( )2 + 4π 2 (ν − ν 0 )2 2
γ
γ
γ 1 线宽：ν = g N (ν ,ν 0 ) ν 0 ± ， g N (ν ,ν 0 ) = 4π 2
= n2 B21 ∫
+∞ −∞
g (ν ,ν 0 ) ρν dν
NJUPT
原子和准单色光辐射场的相互作用
∆ν ′ ∆ν
在 ∆ν ′ 作不变
g (ν ′,ν )
范围内： 近似看
激光原理与技术 第18讲 速率方程、小信号增益系数
当粒子从E2能级跃迁到E1 能级后，必须使其迅速的
回到基态，即要求S10较大， S10称为下能级抽空速率；
5
18.1 单模振荡速率方程
四能级 系统速 率方程
dn3
dt
n0W03
n3
S32 A30
dn2
dt
n2
g2 g1
n1 21
, 0
21
此式是一个具有普遍意义的公式；
10
18.2 小信号增益系数
2、小信号反转粒子数n
从前面得到的式子：
dn3
dt
n0W03
n3
S32 A30
G n 21可知G与
dn2
dt
n 21
, 0
cNl n2
A21 S21
n3 S32
n成正比，即n具 有的特性，G就具
dn0
而不涉及具体的激励及跃迁过程，而前面给出的速率方程则忽
略了激光下能级的激励过程。
7
连续激光器的增益和工作特性
增益特性是分析激光器振荡条件、模式竞争、输出功 率和激光放大器净增益系数的基础。 激光器可以运行于连续和脉冲工作方式，连续运行即 稳定运行，也就是各能级的粒子数目以及腔内的辐射 场有稳定分布，而增益饱和是形成稳定振荡的关键。 具有均匀加宽谱线和具有非均匀加宽谱线的工作物质 的增益饱和行为有很大差别，由此构成的激光器的工 作特性也有很大差别。
dt
n1 S10
n0W03
n3 A30
S10 W03 , S32 W03 ,
有，因此G的特性
n0 n1 n2 n3 n
n3 A30可忽略
同n紧密联系起来。
n如何求？
激光物理简答题
第一章激光器的基本原理1、问：产生激光的条件是什么？(戴大鹏)答： 1.受激辐射是激光产生的必要条件； 2.要形成激光，工作物质必须具有亚稳态能级，这是产生激光的第二个条件； 3.选择适当的物质，使其在亚稳态能级上的电子比低能级上的电子还多，即形成粒子束反转，这是形成激光的第三个条件；4.激光中开始产生的光子是自发辐射产生的，其频率和方向是杂乱无章的。
要使得频率单纯，方向集中，就必须有一个谐振腔，这是形成激光的第四个条件；5. 只有使光子在腔中振荡一次产生的光子数比损耗掉的光子要多得多，才能有放大作用，这是产生激光的第五个条件。
2、问：什么是粒子数反转？(钟双金)粒子数反转 (population inversion )是激光产生的前提。
两能级间受激辐射几率与两能级粒子数差有关。
在热平衡状态下，粒子数按能态的分布遵循玻耳兹曼分布律，这种情况得不到激光。
为了得到激光，就必须使高能级 E2 上的原子数目大于低能级 E1 上的原子数目，因为 E2 上的原子多，发生受激辐射，使光增强(也叫做光放大) 。
为了达到这个目的，必须设法把处于基态的原子大量激发到亚稳态 E2，处于高能级 E2 的原子数就可以大大超过处于低能级 E1 的原子数。
这样就在能级 E2 和 E1 之间实现了粒子数的反转。
实现粒子数反转的条件：通常实现粒子数反转要依靠两个以上的能级：低能级的粒子通过比高能级还要高一些的泵浦能级抽运到高能级。
一般可以用气体放电的办法来利用具有动能的电子去激发激光材料，称为电激励；也可用脉冲光源来照射光学谐振腔内的介质原子，称为光激励；还有热激励、化学激励等。
各种激发方式被形象化地称为泵浦或抽运。
为了使激光持续输出，必须不断地“泵浦”以补充高能级的粒子向下跃迁的消耗量。
3、什么叫纵模、横模？由谱线宽度和腔长来估算可能振荡的纵模数目答案：光场在腔内的纵向和横向分布分别叫做纵模和横模。
横模数目 n=谱线宽度/c纵模数目 n=谱线宽度/ (c/2*腔长 L)第二章激光器的速率方程理论答案：第三章 密度矩阵1：考虑衰减过程、原子的泵浦或激发过程，写出在初始光场为零时的光学布洛 赫方程并说明各项含义。
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aNa
WDn
dNb dt
b
bNb
WDn
绝热近似
a ? b ?
dNa dNb 0 dt dt dn 0 dt
dNa dt
a
a Na
WDn 0
dNb dt
b
b Nb
WDn 0
D
D0
1 nW (1/ a 1/ b )
dn WDn n
dt
当激光器在阈值之上不太高时，激光光子数不太大，有
1. 在激励源的作用下，基态E0上的粒子被抽运到能级E3 上，其跃迁几率用W0表示。
2. 到达E3能级的粒子将主要以非辐射跃迁的形式极为迅 速地转移到激光上能级E2，其跃迁几率用S32表示。
3. 处在E2能级的粒子，能通过自发辐射、非辐射跃迁和 受激辐射，跃迁到激光下能级E1，其跃迁几率分别用A21， S21和W21表示。
dN1 dt
N2W21
N2 A21
N2S21 N1W12
N1S10
dN0 dt
N1S10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N0W0
dn dt
N2W21
N1W12
作业：求解以下速率方程
dne dt
ne
epnenp
dnp dt
epnenp
npnnnp
dnn dt
ne
npnnnp
ne , np , nn 分别为电子，正离子和负离子的密度
D 临界反转粒子数
D
D0
1 nW (1/ a 1/ b )
D0 a / a b / b
引入
R nW
Rs
(1/ a
1/
b
)1
a
a b
b
a b 2 ab
ab
1 (
2
a
b)
D D0 1 R / Rs
G G0 1 R / Rs
增益饱和
dn WDn n
dt
dN a dt
a
q qc / 2L
q
q1
q
c 2L
激光器阈值 增益饱和 均匀加宽 多模振荡
均匀加宽
dn WDn n
dt
W
c3
8 2
A21g( )
c3
1
W
2 2
A21
2
(0 )2 (V / 2)2
第 个模的光场与第 个原子作用的受激辐射速率为
W
c3
2 2
A21
2
(
2
)2
2
sin2 k z
考虑泵浦过程以及激光作用
D Na Nb W c
dn WDn n
dt
dN a dt
a
aNa
WDn
dNb dt
b
bNb
WDn
定态时
. ..
Na Nb n 0
WDn n 0
a a Na WDn 0 b b Nb WDn 0
得到
WD
定态工作的激光器的增益等于损耗
4. 处在E1能级的粒子，能通过受激吸收到达E2，或非辐 射跃迁到E0，其跃迁几率分别用 W12和S10表示。
各能级上的粒子数密度N0，N1，N2，N3如果变化？ 光子数密度n如果变化？
速率方程：
dN3 dt
N0W0
S32 N3
dN2 dt
N3S32
N2W21 N2 A21 N2S21 N1W12
dt dD 2WDn dt
对于四能级系统的激光器
dn WDn n
dt
dD WDn dt
已知初始条件 t 0
n ni
D Di 在脉冲开始建立的时间内，光子数和反转粒子数为
n(t) niet ( WDi )
D(t)
Di{1
Wni
[1
et
]}
2.5 均匀加宽的激光器的多模振荡
纵模
谱线线型
小信号增益 自饱和参数
dn dt
(G0
)n
Cn2
G0 D0W
C W 2 D0 (1/ a 1/ b )
2.4 调Q激光器的速率方程
Q开关 损耗
光强 增益
t
调Q激光器的速率方程
dn WDn n
dt
略去泵浦项和衰减项
dNa dt
a
a Na
WDn
dNb dt
b
bNb
WDn
dn WDn n
为电子和中性分子的吸附速率系数
ep 电子与正离子的复合系数 np 正离子与负离子的复合系数
6.2 107s1 ep np 2.21013 m3 / s
整体为电中性
初值
ne nn np
ne (0) np (0) 1017 cm3
求 ne (t) ?
1. 激光器的速率方程
激发与衰减的速率方程(还未产生激光)
定态时
dNa dt
a
aNa
dNb dt
b
bNb
..
Na Nb 0
Ea
a
Eb
aNa
Na a / a
b
bNb
Nb b / b
只考虑泵浦过程而激光场为零时的定态反转粒子数，记为
D0 a / a b / b
激光器的速率方程
N0 ( a
b )] /
( a
b)
2
引入
||
1 2
(
a
b
)
dD dt
|| (D
D0 )
2WDn
dd dt
|| (d
d0 ) 2Wd n
dd
dt
|| (d d0 ) 2
W d n
对于四能级系统 E3 W0 E0
S32 W21 A21 S21
S10
E2 W12
E1
对于四能级系统
第 个模的光子数的速率方程是
dn
dt
n
W d n
单模振荡的粒子数方程
dNa dt
a
a Na
WDn
dNb dt
b
bNb
WDn
D Na Nb
N0 Na Nb
dD dt
(a
b )
1 2
N0 ( a
b)
1 2
D( a
b)
2WDn
n 0, dD 0 dt
D0
[(a
b )
1 2