2 典型激光器的速率方程
第二章激光器的速率方程理论
dn WDn n dt
均匀加宽
W
c3 8
2
A21 g ( )
c3 1 W A21 2 2 2 (0 ) 2 (V / 2) 2
第 个模的光场与第 个原子作用的受激辐射速率为
2 c3 A21 W sin 2 k z 2 2 2 ( ) 2 2
速地转移到激光上能级E2，其跃迁几率用S32表示。 3. 处在E2能级的粒子，能通过自发辐射、非辐射跃迁和 受激辐射，跃迁到激光下能级E1，其跃迁几率分别用A21， S21和W21表示。
4. 处在E1能级的粒子，能通过受激吸收到达E2，或非辐
射跃迁到E0，其跃迁几率分别用 W12和S10表示。 各能级上的粒子数密度N0，N1，N2，N3如果变化？ 光子数密度n如果变化？
在脉冲开始建立的时间内，光子数和反转粒子数为
n(t ) ni e t
( WDi )
D(t ) Di {1
Wni
[1 e t ]}
2.5 均匀加宽的激光器的多模振荡
纵模
q qc / 2 L
c q q 1 q 2L
谱线线型 激光器阈值 增益饱和 均匀加宽 多模振荡
n 0, dD 0 dt
( a b ) 1 D0 [(a b ) N0 ( a b )]/ 2 2
引入
1 || ( a b ) 2
dD || ( D D0 ) 2WDn dt
dd dt
dd dt
|| (d d0 ) 2Wd n
当激光器在阈值之上不太高时，激光光子数不太大，有
dn (G0 )n Cn 2 dt
激光原理-4.2 典型激光器的速率方程
f2 f1
B21
在辐射场 的作用下的总受激跃迁几率 W21 中，
分配在频率 处单位频带内的受激跃迁几率为：
W21 B21 B21 g% ,0
太原理工大学物理与光电工程学院
4、公式的修正
dn21 dt
sp
n2 A21
d
n2 A21g% , 0
d n2 A21
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
太原理工大学物理与光电工程学院
g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
太原理工大学物理与光电工程学院
物理意义: 由于谱线加宽, 外来光的频率 并不 一定要精确等于原子发光的中心频率 0 才能产生 受激跃迁,而是主要在=0 附近的一个频率范围内 都能产生受激辐射。当ν偏离中心频率ν0时，跃 迁几率急剧下降。
太原理工大学物理与光电工程学院
6、受激辐射、受激吸收几率的其它表达形式
W21
B21 g% ,0
—吸收截面
中心频率处发射截面和吸收截面最大！
太原理工大学物理与光电工程学院
均匀加宽工作物质中心频率发射截面
21 0
A21 2
4
2
2 0
H
非均匀加宽工作物质中心频率发射截面
激光技术基础-第七讲
E2→E1 荧光量子效率 N--各模式光子数密度总和
n0 + n1 + n2 + n3 = n 总量子效率 ηF = η1η2 = 发射荧光的光子数 工作物质从光泵吸收的光子数
• 速率方程→ 增益系数表达式（影响因素）→ 增益饱和行为 （均匀、非均匀加宽工作物质）
中心频率处的发射截面
根据简化模型, 四能级多模速率方程
dn3 nS = n0W03 − 3 32 η1 dt
n3 (S32 + A30 )
η1 =
S 32 E3→E2 无辐射跃迁 S 32 + A30 量子效率 (泵浦效率) n2 ( A21 + S21 )
dn2 f n A = − n2 − 2 n1 σ 21vN − 2 21 + n3 S 32 dt f1 η2 dn0 A21 = n1S10 − n0W03 η2 = dt A21 + S 21
均匀加宽工作物质的增益系数 §4.5 均匀加宽工作物质的增益系数
一、小信号稳态增益系数 （ 四能级系统为例）
∆n>0
I I+d I
不计损耗
ν 0 )vN − dt f1 τ Rl
∆n
dz
I= Nhνv
dz=vdt
dI = ∆ n σ 21 (ν ,ν 0 )vNh ν dt
E2 R2 E1 R1 E0
τ20
τ21 τ1
R1, R2 为单位时间内抽运到E1,E2能级的粒子数密度
τ1, τ2 为E1, E2能级寿命; τ21为 E2 → E1自发辐射(荧光)寿命
激光原理-4.2 典型激光器的速率方程
太原理工大学物理与光电工程学院
1、三能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W13
A31
S31
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
S31, A31 S32; S31 A31
E1（激泵光浦下下能能级级）
S21 A21
太原理工大学物理与光电工程学院
F
太原理工大学物理与光电工程学院
思考：分别求洛仑兹线型和高斯线型下简
化线型函数对应的等效谱宽 。
21 , 0
A21 2
8
h
2 0
g% ,0
21 l , 0 Nl 21 Nl 21 N
l
l
太原理工大学物理与光电工程学院
根据简化模型, 四能级多模速率方程
dn3 dt
n0W03
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
太原理工大学物理与光电工程学院
g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
太原理工大学物理与光电工程学院
n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
R1,R2为单位体积中，在单位时间内激励至 E1,E2能级的粒子数；τ1，τ2为E1, E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级的跃迁造成的有限寿命。
第四章典型激光器 的速率方程
dDn Dn Dn 21 n l ,n 0 )vNl n0W03 dt 2
2
1 A21 S21
dDn Dn ) Dn 21 n l ,n 0 vN n0W03 dt 2 n0W03 2 n0 w03 2 Dn 0 Dn 21 n 1 ,n 0 ) 2 In1 In 1 1 21 n 1 ,n 0 )vN 2 1 1 hn 0 I s n 1 ) dDn0 Dn0 1 I s n1 ) n0W03 In1 Nh n1v n 0 , n 0 , 3 1 dt 2
S10
dn0 n1 S10 n0W03 n3 A30 dt
dNl Nl Nl f2 n2W21 n1W12 (n2 n1 ) 21 n ,n 0 )vN l dt Rl f1 Rl
n0 n1 n2 n3 n
忽略n3W30 , n2A21 ?
• 小信号增益曲线的形状完全取决于谱线线型函数 均匀加宽介质
中心频率处小 信号增益系数
2 ) D n 2 0 0 H n ) g H n 0 ) gH 2 n n 0 ) Dn H 2)2
g n 0 ) Dn 21
0 H 0
v A21 Dn 2 4 2n 0 Dn H
ln 2
g n)
Dn n )
• 增益线宽～ (自发辐射)荧光线宽DnF 氦氖 Nd:YAG 钕玻璃 若丹明 6G GaAlAs (0.85mm) InGaAsP (1.55mm)
荧光线宽（s-1） 1.5×109 1.95×1011 7.5×1012 5×1012~3×1013 1013 1012~1013
1 2 n
N l N l 1 ,N l 2 N l n
激光原理(4)-速率方程
均匀加宽线型函数
∆ν H 2π
2
g H (ν ,ν 0 ) =
∆ν H 2 (ν − ν 0 ) + ( ) 2
1 1 1 ∆ν H = ( + ) = ∆ν N + ∆ν L 2π τ s τ L
一般气体激光器：
NJUPT
非 均 匀 加 宽
气体激光器的非均匀加宽往往只有多普勒加宽
gi (ν ,ν 0 ) = g D (ν ,ν 0 ) ∆ν i = ∆ν D
原子和准单色光辐射场的相互作用 在频率为 ν 的单色辐射场作用下，受激跃迁（吸收与发射）几率：
W21 = B21 g (ν ,ν 0 ) ρ W12 = B12 g (ν ,ν 0 ) ρ
g (ν ,ν 0 )
ρ = N l hν
发自发辐射线型函数 在v处的函数值 N l ——第 l 模式的光子数密度
x( t ) = x e
e
γ ——衰减因子（阻尼系数）
NJUPT
谱线加宽的机理
自然加宽（Natural broadening）
g N (ν ,ν 0 ) =
4 最大值： ν ν= = g (ν 0 ,ν 0 ) 0，
( )2 + 4π 2 (ν − ν 0 )2 2
γ
γ
γ 1 线宽：ν = g N (ν ,ν 0 ) ν 0 ± ， g N (ν ,ν 0 ) = 4π 2
= n2 B21 ∫
+∞ −∞
g (ν ,ν 0 ) ρν dν
NJUPT
原子和准单色光辐射场的相互作用
∆ν ′ ∆ν
在 ∆ν ′ 作不变
g (ν ′,ν )
范围内： 近似看
激光原理2.2速率方程组与粒子数反转(2014)
激光原理高福斌gaofubin@gaofubin@163com2013.10.201高福斌/342.2 速率方程组与粒子数反转(!可实现粒子数反转的几种量子系统)回顾——实现粒子数反转的两个必要条件:①工作物质粒子有适当的能级结构②有合适的激励能源前瞻——分析方法:速率方程方法以及速率方程的求解步骤速率方程方法: 分析粒子系统能否实现反转的一种方法速率方程:描述各能级粒子数(密度)变化速率高福斌/342的方程组态E 上的粒子抽运到E 、E 能级上的速率；0122.速率方程: 3个能级应有22n 个独立方程(1) E 2能级在单位时间内增1n ρ加的粒子数密度为：dn 图(2-5)简化的四能级图n 2R n A n W n W =−−+R n A n B νn B νd =−−+(2-5a)2221221112()()f f dtρρ()2n ρ1n 2120A A 图(2-5)）简化的四能级图n2n ρ1n 图(2-5)）简化的四能级图n dn二.小信号粒子数反转的物理条件:1. 激光上能级E 2的寿命要长,使该能级上的粒子不能轻易地通过非受激辐射而离开;2. 激光下能级E 1的寿命要短,使该能级上的粒子很121220)(ττR R R n +−=Δ快地衰减;3. 选择合适的激励能源,使它对介质的E 2能级的抽运速率R 2愈大愈好,2n 而对E 1能级的抽运速率R 1愈小愈好.1n ρ即满足条件12ττ>0n 高福斌/3422足12R R>{图(2-5)）简化的四能级图本节研究:反转粒子数密度Δn 的饱和效应（讨论Δn 2n （与各种因素的关系，引出Δn 饱和效应的概念。
）1n ρ。
）图(2-5)）简化的四能级图n 由下式可知：()R R R nττ−+ΔnΔ0nΔ20n0IsI0s nΔ0nΔ:0(1)s I f ν+Δ043n Δ由上式可见: 只要I ≠0, 则Δn <Δn0, 仍有饱和效应.20n 012I I νννΔ−=+⋅在处I ≈I s 时s 2202(/2)(/2)3n n n ννΔ+ΔΔ=Δ=Δ222(/2)2(/2)4ννΔ+Δ频率在此范围内的入射光才会引起显著的饱和作用。
激光原理教学大纲
《激光原理》课程教学大纲课程代码：090631009课程英文名称：PrinciplesofLaser课程总学时：48讲课：48实验：0上机：适用专业：■■■■■■■■■大纲编写（修订）时间：2017.10一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标本课程是光电信息科学与工程专业的必修主干专业基础课程，主要讲授有关激光的基本知识和基本理论，在光电信息科学与工程专业培养计划中，它起到由专业基础理论课向专业课过渡的承上启下的作用。
本课程在教学内容方面除基本知识、基本理论的教学外，还通过课程设计培养学生的理论分析及其实际应用能力。
通过本课程的学习，可以使学生：1.掌握激光的概念及产生原理、光学谐振腔理论、速率方程理论、激光器的特性及其控制和改善的原理。
了解激光技术新的发展和应用；2.具有综合运用数学、物理等学科知识对实际与激光有关的问题进行理论分析的能力；3.获得初步的激光器件设计技能，为后续课程的学习以及相关课程设计、毕业设计等奠定重要的基础。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求1.知识方面的基本要求通过本科程的学习，使学生掌握：激光的概念、特性及产生原理；激光器的构成及工作原理；光学谐振腔与高斯光束知识；光与物质的共振相互作用的速率方程理论；激光的振荡特性、放大特性及其特性的控制和改善知识。
2.能力方面的基本要求通过本科程的学习，培养学生：光学谐振腔分析能力及其初步设计能力；激光器的振荡特性、放大特性的分析能力；激光器特性的控制与改善的初步设计能力。
3.技能方面的基本要求通过本课程的学习，使学生获得：光学谐振腔设计的初步技能；激光器特性的控制与改善的初步的理论设计能力。
（三）实施说明1．教学方法：课堂中要重点突出对基本概念和基本原理的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导学生主动思考，提高学生的自学能力；鼓励学生参与讨论和课堂发言，调动学生学习的积极性；教学中注意理论联系实际，培养学生的工程意识（创新、实践、安全、标准、竞争、法律和管理等意识）和工程能力（思维、自学、研究、操作和创造能力等）。
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st
n2 B21
g
, 0
d n2 B210
dn12 dt
st
n1B12
g
, 0
d n1B12 0
与原来唯象公式一样！
推论：W21 B210 W12 B120
典型事例：原子与黑体辐射场作用。
太原理工大学物理与光电工程学院
(2)、原子与准单色辐射场的相互作用
g ',0 g~g',',00
dn12 dt
st
dn21 dt
st
辐射场的带宽： '
(黑体辐射场)
g~ , g(',0)0
原子
0
原子谱线的宽度：
此时有： '
g
,
0
d
中的被积函数
只在 0 附近很小范围内
（ ）才不为零。
太原理工大学物理与光电工程学院
0
g , 0 d 0
dn21 dt
单模：具有一定谐振频率和准单色光
太原理工大学物理与光电工程学院
1、三能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W13
A31
S31
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
S31, A31 S32; S31 A31
E1（激泵光浦下下能能级级）
S21 A21
太原理工大学物理与光电工程学院
太原理工大学物理与光电工程学院
太原理工大学理学院物理系
§4.2 典型激光器的速率方程
Rate Equation of the Typical Laser
太原理工大学理学院物理系
激光器的理论
一、经典理论 二、半经典理论——激光器的兰姆理论 三、量子理论 四、速率方程理论
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速率方程理论——量子理论的简化形式 1、处理方法：从光子与物质原子的相互作用
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
太原理工大学物理与光电工程学院
g
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g ',0 g ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
太原理工大学物理与光电工程学院
谱线加宽对自发辐射表达式无影响！
dn21 dt
st
n2W21
d n2 B21 g , 0
d
dn12 dt
st
n1W12
d
n1B12
g
, 0
d
※积分与辐射场的带宽有关！
太原理工大学物理与光电工程学院
5、两种情况讨论
目标：找积分
g
,
0
d
(1)、原子与连续谱光辐射场 的相互作用
F
太原理工大学物理与光电工程学院
思考：分别求洛仑兹线型和高斯线型下简
化线型函数对应的等效谱宽 。
21 , 0
A21 2
8
h
2 0
g ,0
21 l , 0 Nl 21 Nl 21 N
l
l
太原理工大学物理与光电工程学院
根据简化模型, 四能级多模速率方程
dn3 dt
n0W03
物理意义: 由于谱线加宽, 外来光的频率 并不 一定要精确等于原子发光的中心频率 0 才能产生 受激跃迁,而是主要在=0 附近的一个频率范围内 都能产生受激辐射。当ν偏离中心频率ν0时，跃 迁几率急剧下降。
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6、受激辐射、受激吸收几率的其它表达形式
W21
B21 g ,0
n1 21 N
N RN-Fra bibliotek各模式光子数密度总和
n0 n1 n2 n3 n
太原理工大学物理与光电工程学院
1
S32 A30 S32
E3向E2的无辐射 跃迁量子效率
2
A21 A21 S21
E2向E1的跃迁的 荧光量子效率
总量子效率
F
12
发荧光的光子数 从光泵吸收的光子数
物理意义：由光泵抽运列 E3 的粒子，只有一部分通 过无辐射跃迁到达激光上能级 E2 ，另一部分通过其 他途径返回基态。而到达E2能级的粒子，也只有一部 分通过自发辐射跃迁到达E1能级并发射荧光，其余粒 子通过无辐射跃迁到 E1 能级。
典型的三能级系统：红宝石、掺铒光纤。
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3、四能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W03
A30
S30
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2 激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
E1 激光下能级
S10
E0 泵浦下能级
S30 , A30 S32; S21 A21; S10极大
n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
R1,R2为单位体积中，在单位时间内激励至 E1,E2能级的粒子数；τ1，τ2为E1, E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级的跃迁造成的有限寿命。
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三 能 级 系 统 和 四 能 级 系 统 比 较
W13 A31
S31
E3 泵浦上能级
n1 21 ,0 Nl
Nl
Rl
n0 n1 n2 n3 n
dn3
dt
n0W03
n3
A30 S32
dn0 dt
n1S10
n0 W03 n3 A30
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特点：非常复杂。在处理一些不涉及各模差别的问 题时，为了使问题简化，可作简化假设。
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出发。忽略光子的相位特性、 光子数的起伏特性。
2、作用：激光的强度特性、烧孔效应、兰姆 凹陷、多模竞争等。
3、优势：简洁明了。
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一、考虑谱线加宽后对唯象公式的修正
1、速率方程组：腔内光子数和工作物质各有关能 级上的原子数随时间变化的微分方程组。
2、爱因斯坦唯象公式的回顾
2、简化假设
(1) 前提: 研究的问题无需考虑模式差别,模式间衍 射损耗(选择性损耗)差别可忽略。
(2)简化情况：各个模式 损耗, 光子寿命相同； 线型函数简化为矩形 。
矩形面积＝原谱线 下曲线所围面积
g ,0
g~ g~ '
g 0,0 g ' ,0
g 0, 0
g
,
0
d
1 1 g 0,0
3、自发辐射、受激辐射和受激吸收概率
P n2h0 A21g ,0 n2h0 A21
1 A21 A21g , 0
表示在总自发跃迁几率 A21 中，分配在频率 处
单位频带内的自发跃迁几率。
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2
B21
B21g , 0
c3
8 3
A21
3
B12 B12 g , 0
g
', 0
'd
'
g
,
0
'
d
'
g
,
0
dn21 dt
st
n2 B21
g
', 0
'd
'
n2 B21g
, 0
dn12 dt
st
n1B12
g
', 0
'd
'
n1B12 g
, 0
W21 B21g , 0
W12
B12 g
, 0
－ 准单色光辐射场总能量密度
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S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21 W12
W03 A30
S30
E1(基态（) 激泵光浦下下能能级级）
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2 激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
E1 激光下能级
S10
E0(基态) 泵浦下能级
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三、多模振荡速率方程组(四能级系统 )
f2 f1
21
,
0
N
l
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dn3
dt
n1W13
n3
A31 S32
形 式
dn2 dt
n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
n2 S21
A21 n3S32
二
n1 n2 n3 n
净受激辐射
dNl dt
n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
Nl
Rl
注意：在光子数方程中忽略了少量自发辐射非相干 光子的贡献！
1、多模振荡速率方程组 设共有m个模振荡，其中第 l 个模的频率、光子数密
度、光子寿命分别为 l、 Nl 、 Rl ，对每个光模
都应建立各自的光子数速率方程，则有：
dn2
dt
l
n2
f2
f1
n1
21
l , 0
Nl n2