哈工大图论习题
哈尔滨工业大学大二计算机专业集合论与图论试卷及答案 (2)
哈尔滨工业大学集合论与图论计算机学院XX 年秋季一、 解答下列问题，要求只给出答案（每题2分，共16分）1.设A B 、为集合，试求一个集合X ，合得A X B ∆=。
（ A B ∆ ）2.设{}1,2,3,4A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。
（42214-=）3.设{}1,2,,10A =，试求A 上反自反二无关系的个数。
（29022n n -=）4.设{}12,,,p A u u u =，()112q p p ≤-。
试求以V 为顶点集具有条边的无向图的个数。
（ ⎝⎛-2/)1(p p q ） 5.设T 是一个有P 个顶点的正则二元树，试求下的叶子数，其中P 是奇数。
（12P +） 6.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？（m n 和为偶数）7.设(),G V E =为无向图，,V P E P ==。
如果G 是边通图，那么G 至少有几个生成树？ （3个）8. 具有p 个顶点q 条边的平面连通图中，p 和q 应满足什么样的关系式？(36q p ≤-)二、以下各题要求只给出答案（每题2分，共14分）１.设{}()()(){},,,,,,,,,X a b c d R a b b c c a ==，试求R 的传递闭包。
（()()()()()()()()(),,,,,,,,,,a a b b c c a b b c c a a c b a c b ，，，，，，，）2.将置换（123456789791652348）分解为循环置换的乘积，然后分解成对换的乘积()()()()()()()()()173298465171329282426=。
3.设0000010110100000010000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12345110000210110310100410110500001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 如果A 4.设{}{}0,1,,,,,,,B E a b c x y z ==。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).．画出具有个、个、个顶点地三次图.．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？．证明：一个连通地(，)图中≥.．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。
．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.．设是一个(，)图，证明：()≥，则中有回路；()若≥，则包含两个边不重地回路.．证明：若图不是连通图，则是连通图.．设是个(，)图，试证：()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )．证明：每一个自补图有或个顶点.．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥..给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有≥．试求中不同地哈密顿回路地个数.．试证：图四中地图不是哈密顿图.．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。
答案08秋季集合论与图论试题A
本试卷满分90分(计算机科学与技术学院07级)10分，每小题各1 分)B ，则A 等于什么？2. 设X 为集合，R 为X 上的偏序关系，计算U R ，等于什么?i 1(R )3. 把置换123456789分解成循环置换的乘积。
436987251((149) (2367) (58))4. 什么是无穷集合？(凡能与自身的一个真子集对等的集称为无穷集合)5 .设T 是一棵树，p 2，贝U p 个顶点的树T 至多有多少个割点？(p -2 )6. 设D 是一个有p 个顶点q 条弧的有向图，若D 是连通的，则q 至 少是多大？ ( p -17. 设V {1,2, , n}，则以V 为顶点集的无向图共有多少个？8.设V {1,2, , n}，则以V 为顶点集的有向图共有多少个？ 2p(p1))哈工大2008年秋季学期注 意 行 为 规 范一、填空(本题满分1.设A,B 是集合，若A B遵 守 考场纪 律(2 P (P 1)/29.每个有3个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2,则该图至少有多少个圈？（ 3 ）10.设T是一个正则二元树，它有n。
个叶子，则T有多少条弧？（2（n0-1 ））二、判断对错（本题满分10分，每小题各1分）1.设A,B是两个集合，则A B且A B不可能同时成立。
（错）2.在集合｛1,2, ,10｝上可以定义210个二元运算。
（错）3 . 设f：X Y , 若是可逆的。
（错）是一个集合，则上的自反和反自反的二元关系个数相同。
（对）5.设为一个有限字母表，上所有字（包括空字）之集记为。
则不是可数集。
（错）6.设G是一个（p,q）图，若q p，则G中必有圈。
（对）7.若G是一个(p,p)连通图，则G至多有p个生成树。
(对)8.设r 2，G是r正则图且顶点连通度为1，贝U (G) r。
(对)9.把平面分成p个区域，每两个区域都相邻，则p最大为5。
(错)10.有向图的每一条弧必在某个强支中。
哈工大威海校区2015春集合图论试题A
姓名: 班级: 学号:遵 守 考 试 纪 律 注意 行 为 规 范哈尔滨工业大学（威海）2014 / 2015学年春季学期集合论与图论 试题卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭卷 答题时间：105（分钟）本卷面成绩占课程成绩 30 %试卷说明：[1] 卷面总分100分，取卷面成绩的70%计入总分，平时成绩30%。
[2] 填空题请在答题卡内答题，其它处无效。
[3] 答卷时禁止拆开试卷钉，背面即为草稿纸。
一、填空题（每小题2分，共20分）(1) 集合的（）表示方法可能产生悖论。
(2) 映射f左可逆的充分必要条件是：（）。
(3) 设R={(a, b),(c, d),(e, f)}是一个二元关系，则R的逆记为R-1，R-1=（）。
(4) n个顶点的完全图的边的个数是( )。
(5) 一个无向图的边数为20，那么所有顶点的度数和为（）。
(6) 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平面图,则: q=( )。
(7) 一个图是树当且仅当G是连通的且p=（）。
(8) G是一个p个顶点q条边的最大平面图,则G的每个面都是( )形。
(9) 若G是偶数个顶点的圈，则G是（）色的。
(10) 当顶点数大于2时，树的连通度是（）。
二、简答题(每小题5分，共20分)1.设集合X=｛a,b,c,d,e｝，E={a,b,c}是X的子集。
写出E的特征函数。
2.R=｛（1，b），（2,c），（3,a），（4,d）｝是集合A=｛1，2，3，4｝到集合B=｛a,b,c,d｝的一个二元关系，画出R的关系矩阵和关系图。
3.举例说明什么是偏序关系？什么是偏序集？4.简述图的连通度、边连通度、最小度之间的关系。
三、证明题（每小题10分，共20分）1. A和B是两个集合，证明：(A∪B)c=A c∩B c2. 证明：3度正则图（每个顶点的度数都是3）的顶点的数目必为偶数。
四、计算题（每小题5分，共20分）1. 集合X={a,b,c,d,e,f,g,h},X的两个子集是A=｛a,b,c,d｝,B={e,f,g,h}求：A⋃B,A⋂B,A c,A\B,A∆B2、一个学校学生总人数为336人，共有数学，物理，化学3门课。
集合论与图论试题与参考答案 哈工大本科
哈尔滨工业大学（威海）继续教育学院年春季学期集合与图论本科试题考试形式：开卷答题时间：90 分钟本卷面成绩站课程成绩100 %（所有答案必须写在答题纸上、标清题号）一、填空题(每空2分，计20分)1. 集合{0}的所有子集是______________。
2. 设A={1,2,3,{1,2},{3}}，B={2,{1},{2,3}}，则B- A=__________。
3. 有偏序集(N,≤)，即自然数集N上的小于等于关系，N的子集A={2,3,6,8}的下确界和上确界分别是______、_______。
4. 设A={1,2,3,4,5,6}，R={<1,5>,<2,3>,<2,6>,<3,2>,<3,6>,<5,1>, <6,2>,<6,3>}∪I A，则[1]=_____________，[2]=_______________。
5. n个顶点的有向完全图边数是______，每个顶点的度数是_____。
6. 设图G1=<V1, E1>和G2=<V2, E2>，若____________，则G2是G1的真子图；若____________，则G2是G1的生成子图。
二、简答题(每题 10 分，计 40 分)1. 设A是一个非空集合，问(1)A上是否存在一个既是等价关系又是偏序关系的关系？若不存在，请说明理由；若存在，请给出一个实例。
(2) A上是否存在一个既是自反的又是反自反的关系？若不存在，请说明理由；若存在，请给出一个实例。
2. 是否存在每个顶点的度数≥3且只有7条边的简单平面连通图？请说明理由。
3. 某公司来了9名新员工，工作时间不能互相交谈，为了尽快互相了解，他们决定利用每天吃午饭时间相互交谈，于是，每天吃午饭时他们围在一张圆桌旁坐下，他们是这样安排的，每一次每人的左右邻均与以前的人不同，问这样的安排法能坚持多久？4. 有向图D如图所示，(1) 给出D的邻接矩阵A；(2) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？(3) D中长度小于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？三、计算题(每题 10 分，计 20 分)1. 设A ＝{a, b, c, d}，R 是A 上的二元关系，且R ＝{<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，求r(R)、s(R)和t(R)。
哈工大图论习题
1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
图论习题答案
习题一1.一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3,则总度数为27,与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，度数总是偶数的性质矛盾。
2. 若存在孤立点，则m不超过K n-i的边数,故m <= (n-1)( n-2)/2,与题设矛盾。
3.记a i为结点v i的正度数，a；为结点v i的负度数，则n na i 2「［(n-1)-a「］2二n(n-1)2i 4 i』n因为Z a；=c2 = n(n—1)/2,所以i =14.用向量(a i,a2,a3)表示三个量杯中水的量，其中a i为第i杯中水的量,i = 1,2,3.以满足a1+a2+a3 = 8 (a1,a2,a3为非负整数)的所有向量作为各结点，如果⑻砂厲)中某杯的水倒满另一杯得到(a' a' a'),则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由(8, 0, 0 )到(4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条：5.可以。
7.同构。
同构的双射如下:V V1V2V3V4V5V6f (V)b a c e d f8.记e1=(V1,V2), e2= ( V1,V4), e3=(V3,V1), e4=(V2,V5), e5=(V6,V3), e6=(V6,V4), e7=(V5,V3), e8=(V3,V4), e9 =(V6,V1),贝y-0 1 0 1 0 01-'1 1 -1 0 0 0 0 0 -110 0 0 0 1 0 _ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 邻接矩阵为： 1 0 0 1 0 0 关联矩阵为：0 0 1 0 _ 1 0 _ 1 1 00 0 0 0 0 0 ,0 _ 1 0 0 0 _ 1 0 -1 00 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 01 0 1 1 0 0一[0 0 0 0 1 1 0 0 1一从而总度数为奇数，仍与图的总n n-2(n-1)二a j a j ,i A i =n n亠2 人•一2' a j a j 。
哈工大图论习题[精彩]
![哈工大图论习题[精彩]](https://img.taocdn.com/s3/m/71c9dc59777f5acfa1c7aa00b52acfc789eb9fa6.png)
第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈工大图论习题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
u和v是G的两个不邻接的顶点，并且degu+degv ≥p。
证明：G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。
24．设G是一个有p个顶点的图。
证明：若p>2δ(G)，则有长至少为2δ(G)的路。
25．证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。
26．证明：若p为奇数，则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。
28．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局。
若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少的路程。
这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的，国外称之为中国邮路问题。
(1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。
(2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。
1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18．在图1.4.5中，一只车从位置A出发，在半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B。
证明：至少有一个格点，没有车走过，或被走过不至一次。
19.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥920．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
u和v是G的两个不邻接的顶点，并且degu+degv ≥p证明：G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。
24．设G是一个有p个顶点的图。
证明：若p>2δ(G)，则有长至少为2δ(G)的路。
25．证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。
26．证明：若p为奇数，则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。
27．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局。
若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少的路程。
这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的，国外称之为中国邮路问题。
(1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。
(2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。
第三章习题1．分别画出具有4、5、6个顶点的所有树(同构的只算一个)。
2．证明：每个非平凡树是偶图。
3．设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个度为1的顶点。
4．令G是一个有p个顶点，k个支的森林，证明：G有p-k条边。
5．设T是一个k+1个顶点的树。
证明：若图G的最小度δ(G)≥k，则G有一个同构于T的子图。
6．一棵树T有n2个度为2的顶点，n3个度为3的顶点，…，n k个度为k的顶点，则T 有多少个度为1的顶点？7.设G是一个连通图。
试证：G的子图G1是G的某个生成树的子图，当且仅当G1没有回路。
8．证明：连通图的任一条边必是它的某个生成树的一条边。
9．设G是一个边带权连通图，G的每条边均在G的某个回路上。
试证：若G的边e的权大于G的任一其他边的权，则e不在G的任一最小生成树中。
10. 设G=(V，E，w)是一个边带权连通图，对任意x∈E，w(x)≥0。
试证：G的一个生成树T是G的最小生成树，当且仅当时G的任一与T的距离为1的生成树T´´满足条件：在T中而不在T´´中的边e的权w(e)不大于在T´´中而不在T中的边e´的权w(e´)。
11.某镇有1000人，每天他们中的每个人把昨天听到的消息告诉他认识的人。
已知任何消息，只要镇上有人知道，都会经这种方式逐渐地为全镇上所有人知道。
试证：可选出90个居民代表使得只要同时向他们传达某一消息，经10天就会为全镇居民知道。
12.P个顶点的图中，最多有多少个割点？13．证明：恰有两个顶点不是割点的连通图是一条路。
14．证明：有一座桥的三次图中至少有10个顶点。
15．设v是图G的一个割点，证明v不是G的补图G c的割点。
16．设v是图G的一个顶点。
证明：v是G的割点当且仅当有邻接v的两个不同的顶点u和w，使得v在u与w间的每一条路上。
17.割点的连通图是否一定不是欧拉图？是否一定不是哈密顿图？有桥的连通图是否一定不欧拉图和哈密顿图。
18.L是连通图G的一个回路，x和y是L上的两条边。
证明：G有个割集S使得x与y 恰好是L与S的公共边。
第四章习题1．设G是一个有p个顶点的图，δ(G)≥((p+k)-1)/2，试证：G是k-连通的。
2．若(p，q)图G是k-边连通的，试证：q≥kp/2。
3．设G是k-边连通的，k>0，E´是G的k条边的集合。
证明：G-E´的支数小于或等于2。
4．构造一个(p，q)图G使得δ(G)=[p/2-1]，λ(G)<δ(G).5．设k>0。
构造一个k-连通图G，以及G的k个顶点之集V´，使得G-V´的支数大于2。
6．G是一个三次正则图，试证：χ(G)=λ(G)。
7．设r≥2，G是r正则图。
证明：λ(G)≥[r/2]。
8．构造一个图G，使得χ(G)=3，λ(G)=4，δ(G)=5。
9．证明：图G是2-边连通的当且仅当任两个不同顶点间至少有两条边不重路。
10．设G=(V，E)是2-边连通图，X和Y是V的子集，|X|≥2，|Y|≥2且X∩Y=Φ。
在G 中加入两个新的顶点s和t，s与X的每个顶点之间联成一条边，t与Y的每个顶点间加一条边，这样得到的图记为G´。
试证：G´是2-连通的。
11. 若G是顶点数p≥11的平面图，试证G c不是平面图。
12 设S＝{x1，x2，x3，…，x n}是平面上n个顶点的集合，n≥3，其中任两顶点的距离至少是1。
证明：S中至多有3n-6对顶点，其距离为1。
13．证明：不存在7条棱的凸多面体。
14. 图G的最短回路的长度称为G的围长；若G中无回路，则定义G的围长为无穷大。
(ⅰ)证明：围长为r的平面连通图G中有q≤r(p-2)/(r-2)，r≥3(ⅱ)利用(ⅰ )证明Petersen图(见图3.6.4)不是平面图。
15.设G是一个没有三角形的平面图。
应用欧拉公式证明G中有一个顶点v使得degv ≤3。
16．设G是一个平面图。
证明：G**同构于G当且仅当G是连通的。
17．证明：若G是自对偶的，则q=2p-2.18.设G是一个没有三角形的图。
应用教学归纲法证明G是4－可着色的(事实上，可以证明G是3－可着色的)。
19.设G是一个有p个顶点的d-正则图，证明：k(G)≥p/(p-d)。
20.试用5-色定理的证明方法来证明4色定理，在哪一点证明会失败呢？21.设G是一个(p，q)图，证明：k(G)≥p2/(p2-2p)。
22.证明：若G的任两个奇数长的回路都有一个公共顶点，则k(G)≤5。
23.证明：每个哈密顿平面图都是4-可着色的。
24.设G是一个立方体哈密顿图，证明：k´(G)=3。