最新哈工大集合论与图论试卷

精品文档 本试卷满分90分（计算机科学与技术学院09级各专业）一、填空(本题满分10分，每空各1分)1．设B A ,为集合，则A B B A =Y )\(成立的充分必要条件是什么？（A B ⊆）2．设}2,1{},,,2,1{==Y n X Λ，则从X 到Y 的满射的个数为多少？（22-n ）3．在集合}11,10,9,8,4,3,2{=A 上定义的整除关系“|”是A 上的偏序关系， 则最大元是什么？ （ 无 ）4．设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称和传递性的二元关系。

（{(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =）5．设∑为一个有限字母表，∑上所有字（包括空字）之集记为*∑，则*∑是 否是可数集？ （ 是 ）6．含5个顶点、3条边的不同构的无向图个数为多少？ （ 4 ）7．若G 是一个),(p p 连通图，则G 至少有多少个生成树? （ 3 )8. 如图所示图G ，回答下列问题：（1）图G 是否是偶图？ （ 不是 ）（2）图G 是否是欧拉图？ （ 不是 ）（3）图G 的色数为多少？ （ 4 ）二、简答下列各题（本题满分40分）1.设D C B A ,,,为任意集合，判断下列等式是否成立？若成立给出证明，若不 成立举出反例。

（6分）（1）)()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯Y Y Y ；（2）()()()()A B C D A C B D ⨯=⨯⨯I I I 。

解：（1）不成立。

例如}{,a c B D A ====φ即可。

（2）成立。

(,)x y ∀∈()()A B C D ⨯I I ，有,x A B y C D ∈∈I I ，即,,,x A x B y C y D ∈∈∈∈。

所以(,),(,)x y A C x y B D ∈⨯∈⨯，因此(,)()()x y A C B D ∈⨯⨯I ，从而()()A B C D ⨯I I ⊆()()A C B D ⨯⨯I 。

反之，(,)x y ∀∈()()A C B D ⨯⨯I ，有,,,x A x B y C y D ∈∈∈∈。

即(,)x y ∈()()A B C D ⨯I I ，从而()()A C B D ⨯⨯I ⊆()()A B C D ⨯I I 。

因此，()()A B C D ⨯I I ＝()()A C B D ⨯⨯I 。

2. 设G 是无向图，判断下列命题是否成立？若成立给出证明，若不成立举出反例。

（6分）（1）若图G 是连通图，则G 的补图C G 也是连通图。

（2）若图G 是不连通图，则G 的补图C G 是连通图。

解：（1）C G 不一定是连通图。

（2）C G 一定连通图。

因为G 不连通，故G 至少有两个分支，一个是1G ，另外一些支构成的子图是2G 。

对于c G 中任意两个顶点u 和v ：（1）若12,u V v V ∈∈，则u 与v 不在G 中邻接。

由补图的定义可知：u 与v 必在c G中邻接；（2）若12,()u v V V ∈或，取2w V ∈2()V 或，则u 与w ，w 与v 在G 都不邻接，故u 与w ，w 与v 在c G 必邻接，于是uwv 就是c G 中的一条路。

综上可知，对c G 中任两个顶点u 和v 之间都有路连接，故c G 是连通的。

3．设集合{,,,,}A a b c d e =，A 上的关系定义如下：（6分）{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),R a a a b a c a d a e b b b c =(,),(,),(,),(,),(,),(,)}b e c c c e d d d e e e 。

则（1）写出R 的关系矩阵； （2）验证(,)A R 是偏序集； （3）画出Hasse 图。

解：（1）R 所对应的关系矩阵为R M 为： 11111011010*******1100001R M ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）由关系矩阵可知： 对角线上的所有元素全为1，故R 是自反的；1ij ji r r +≤，故R 是反对称的； 2R 对应的关系矩阵2R M 为：21111101101001010001100001R R M M ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此R 是传递的。

综上可知：故R 是A 上的偏序关系，从而(,)A R 是偏序集。

（3）(,)A R 对应的Hasse 图如图所示。

4．设A 是有限集合，A A f →:。

则（3分）ceb a d（1）若f 是单射，则f 必是满射吗？反之如何？（2）若A 是无限集合，结论又如何？解：（1）f 是单射，则f 必是满射；反之也成立；（2）若A 是无限集合，结论不成立。

举例：令N ＝{1，2，3，…｝，则（1）设N N s →:，,()1n N S n n ∀∈=+。

显然，Ｓ是单射，但不是满射。

（2）设N N t →:，,(1)1,()1,2n N t t n n n ∀∈==-≥。

显然，T 是满射，但不是单射。

5．（4分）（1）根据你的理解给出关系的传递闭包的定义；（2）设},,,{d c b a A =，A 上的关系{(,),(,),(,)}R a b b c c a =，求关系R 的传递闭包+R 。

解：（1）设R 是集合A 上的二元关系，则A 上包含R 的所有传递关系的交称为关系R 的传递闭包。

（2）)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(b c a c c b a b c a b a c c b b a a R =+6．由6个顶点，12条边构成的平面连通图G 中，每个面由几条边围成？说明理由。

（4分）解：每个面由3条边围成。

在图G 中，6p =，12q =，根据欧拉公式2p q f -+=，得8f =。

因为简单平面连通图的每个面至少由3条边围成，所以假设存在某个面由大于 3条边围成，则有：32f q <，即2424<，矛盾。

故每个面至多由3条面围成，于是G 中每个面由3条边围成的。

7．设(,)G V E =是至少有一个顶点不是孤立点的图。

若,v V ∀∈deg v 为偶数，则G中是否必有圈？说明理由。

（4分）解: G 中必有圈。

令P 是G 中的一条最长的路，12:n P v v v L ，则由1deg 2v ≥知，必有某个顶点u 与i v 邻接。

由于P 是最长路，所以u 必是34,,,n v v v L 中的某个,3i v i ≥。

于是，121i v v v v L 是G 的一个回路。

8．设T 是一个有0n 个叶子的二元树，出度为2的顶点为2n ，则0n 与2n 有何关系？说明理由。

（4分）解：0n 与2n 的关系为：021n n =+由()()i i v V v Vid v od v q ∈∈==∑∑且1q p =-，得22021()1n p n n p ⨯+⨯--=-，得021n n =+。

9．已知有向图D 的邻接矩阵0110010001000010010000010A ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭，则（3分）（1）画出邻接矩阵为A 的有向图D 的图解；（2）写出D 的可达矩阵R ；（3）写出计算两顶点之间长为k 的有向通道条数的计算方法。

解： （1） （2） ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011100111001111111111111； （3）ij k A )(。

三、证明下列各题（本题满分40分，每小题各5分）1．设G 是一个),(q p 图，证明：G 是树⇔G 无圈且1+=q p 。

证：⇒因为G 是树，所以G 是无圈；其次对G 的顶点数p 进行归纳证明p=q+1。

当p 为1或2时，连通图G 中显然有p=q+1。

假设对一切少于p 个顶点的树结论成立；今设G 是有p 个顶点树，从G 中去掉任一条边x ，则G-x 恰有两个支。

由归纳假设，每个支中顶点数与边数之间有关系式：p 1=q 1+1，p 2=q 2+1。

所以，p=p 1+p 2=q 1+q 2+2=(q 1+q 2+1)+1=q+1。

⇐只须证明G 连通即可。

假设G 不连通，则必有k 个支且k ≥2。

由于每个支都是连通的且无回路，故每个支都是树。

于是，对每个支都有k i q p i i ,,2,1,1Λ=+=。

于是，∑∑==+=+==k i k i i i k q k q p p 11。

由假设k ≥2，这与p=q+1相矛盾。

因此，G 是连通的。

即G 是树。

2．设:f X Y →，证明：f 是单射12,(())X F f f F F -⇔∀∈=。

证：（1）⇒1(())x f f F -∀∈，则()()f x f F ∈，于是F 中必存在1x ，使得1()()f x f x =。

因为f 是单射，故必有1x x =。

即x F ∈，所以1(())f f F F -⊆。

反过来， ,()()x F f x f F ∀∈∈，从而有1(())x f f F -∈，所以1(())F f f F -⊆。

因此1(())f f F F -=。

⇐假设f 不是单射，则1212,,x x X x x ∃∈≠，但12()()f x f x y ==。

令1{}F x =， 于是111112(())(({})({}){,}f f F f f x f y x x ---===，故有121{,}{}x x F x ==，矛盾。

即f 一定为单射。

3．设G 是一个)3(≥p p 个顶点的图。

u 和v 是G 的两个不邻接的顶点，并且p v u ≥+deg deg 。

证明：G 是哈密顿图uv G +⇔是哈密顿图。

证明：⇒显然成立。

⇐假设G 不是哈密顿图，则有题意知在G 中必有一条从u 到v 的哈密顿路。

不妨设此路为v v v uv p 132-Λ,令degv 1=k ，degv p =l,则在G 中与u 邻接的顶点为u i1 ，u i2，…，u ik ，其中2=i 1<i 2<…<i k ≤p-1。

这时顶点u ir-1(r=2，3…，k)不能与顶点vp 邻接。

因为此时G 有哈密顿回路uv 2…v ir-1vv p-1…v ir u ，因此v p 至少与u ，v 2，…，v p-1中的k 个顶点不邻接。

于是，l ≤p-1-k ，从而k+1≤p-1,与题设矛盾，故G 是哈密顿图。

4．设R 是A 上的一个二元关系，证明：R 是对称的1-=⇔R R 。

证：⇒(,)x y R ∀∈，由R 的对称性有(,)y x R ∈，即1(,)x y R -∈，从而R ⊆R -1反之，1(,)y x R -∀∈，则(,)x y R ∈。

由R 的对称性有：(,)y x R ∈，从而R -1⊆R 故R ＝R -1⇐x ∀，y ∈X ，若(,)x y R ∈，由R ＝R -1，得1(,)x y R -∈，即(,)y x R ∈，故R 是对称的。