线性系统的基本性质
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线性关系简介在线性代数中，线性关系是一种基本的代数关系。
它描述了两个或多个变量之间的线性依赖关系。
线性关系在数学、物理学、统计学以及工程学中都起着重要的作用。
在本文档中，我们将介绍线性关系的概念、性质以及常见的应用。
概念线性关系是指两个或多个变量之间存在线性依赖关系的关系。
形式上，一个线性关系可以表示为：y = a * x + b其中，y 和 x 是变量，a 和 b 是常数，表示线性关系的斜率和截距。
性质线性关系具有以下性质：1.反比例关系：当 a = 0 时，线性关系退化为反比例关系。
即 y 和 x 之间的关系可以表示为 y = k / x，其中 k 是常数。
2.比例关系：当 b = 0 时，线性关系退化为比例关系。
即 y 和 x 之间的关系可以表示为 y = a * x。
比例关系中，y 和 x 之间的比例常数为 a。
3.平行关系：当 a = 0 且b ≠ 0 时，线性关系退化为平行关系。
即存在两条平行于 x 轴或 y 轴的直线。
4.线性变换：线性关系中，通过变换斜率和截距，可以实现直线的平移、旋转、缩放等操作。
应用线性关系在许多领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用示例：经济学在经济学中，线性关系经常用于描述供求关系、价格与数量的关系以及成本与产量的关系。
物理学在物理学中，线性关系被广泛用于描述质量与体积的关系、力与位移的关系以及速度与时间的关系等。
统计学在统计学中，线性关系被用于拟合数据集，进行回归分析和预测。
线性回归模型就是基于线性关系来拟合数据的常用方法之一。
工程学在工程学中，线性关系被广泛应用于电路分析、信号处理、机械运动学和控制系统等领域。
总结线性关系是一种基本的数学关系，描述了两个或多个变量之间的线性依赖关系。
它具有许多重要的性质，并在多个领域中有广泛的应用。
了解线性关系的概念和性质对于理解数学、物理学、统计学和工程学中的各种问题都非常重要。
希望本文档对你对线性关系有一个简单而清晰的了解。
信号与系统中的线性系统特性分析
信号与系统中的线性系统特性分析一、引言在信号与系统的研究中，线性系统是非常重要的概念。
线性系统具有许多特性，包括线性性质、时域特性和频域特性等。
本文将详细分析线性系统的特性，包括线性性质、时域特性和频域特性。
二、线性性质线性性质是线性系统最基本的特性之一。
线性系统满足两个重要的性质，即线性叠加性和齐次性。
线性叠加性表明线性系统对输入信号的加权和具有相应的输出信号的加权和关系。
齐次性表示线性系统对于输入信号的缩放会导致输出信号的缩放。
三、时域特性时域特性是描述线性系统在时域上的行为。
常见的时域特性包括冲击响应、单位阶跃响应和频率响应等。
冲击响应是指当输入信号为单位冲激函数时，线性系统的输出信号。
单位阶跃响应是指当输入信号为单位阶跃函数时，线性系统的输出信号。
频率响应是指线性系统对不同频率的输入信号的响应。
四、频域特性频域特性是描述线性系统在频域上的行为。
常见的频域特性包括频率响应、幅频特性和相频特性等。
频率响应是指线性系统对不同频率的输入信号的响应。
幅频特性是指频率响应的振幅随频率变化的特性。
相频特性是指频率响应的相位随频率变化的特性。
五、线性系统的稳定性线性系统的稳定性是指系统对于输入信号的响应是否有界。
稳定性是判断线性系统是否能够长时间运行的重要指标。
常见的稳定性分析方法有极点分析法和BIBO稳定性分析法等。
六、应用举例线性系统的特性分析在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在音频处理中，对音频信号的增强、滤波和降噪等处理都需要对线性系统的特性进行分析和设计。
在通信系统中，传输信道可以被看作是线性系统，对通信信号的传输特性进行分析可以优化通信系统的性能。
七、总结本文详细分析了信号与系统中线性系统的特性，包括线性性质、时域特性和频域特性等。
线性系统在信号与系统的研究和实际应用中具有重要作用。
通过对线性系统特性的分析，可以更好地理解和设计信号与系统。
理解线性系统的特性对于工程领域中的信号处理、通信系统设计以及控制系统分析都具有重要的意义。
现代控制理论鲁棒控制资料课件
鲁棒优化算法的应用
01
02
03
鲁棒优化算法是一种在不确定环 境下优化系统性能的方法。
鲁棒优化算法的主要思想是在不 确定环境下寻找最优解，使得系 统的性能达到最优，同时保证系 统在不确定因素影响下仍能保持 稳定。
鲁棒优化算法的主要应用领域包 括航空航天、机器人、能源系统 、化工过程等。
05
现代控制理论鲁棒控制实 验及案例分析
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
• 广泛应用在工业、航空航天、医疗等领域
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
01
02
不足
控制系统的复杂度较高，难以设 计和优化
对某些不确定性和干扰的鲁棒性 仍需改进
03
实际应用中可能存在实现难度和 成本问题
04
未来研究方向与挑战
研究方向
深化理论研究，提高鲁棒控制器 的设计和优化能力
线性鲁棒控制实验
线性鲁棒控制的基本原理
01
介绍线性鲁棒控制的概念、模型和控制问题。
线性鲁棒控制实验设计
02 说明如何设计线性鲁棒控制实验，包括系统模型的建
立、鲁棒控制器的设计和实验步骤。
线性鲁棒控制实验结果分析
03
对实验结果进行分析，包括稳定性、性能和鲁棒性能
等。
非线性鲁棒控制实验
非线性鲁棒控制的基本原理
03
线性系统的分析与设计：极点配置、最优控制和最优
估计等。
非线性控制系统
1
非线性系统的基本性质：非线性、不稳定性和复 杂性。
2
非线性系统的状态空间表示：非线性状态方程和 输出方程。
3
非线性系统的分析与设计：反馈线性化、滑模控 制和自适应控制等。
离散控制系统
线性系统的性质
三、因果系统与非因果系统
因果系统：在激励信号作用之前系统不产生响应。 否则为非因果系统。 见图2。
图2
➢ 阅读与思考
2-5
第2讲 线性系统的性质
一、线性系统与非线性系统
若f1( t ) y1( t )，f2( t ) y2( t ) 则对于任意常数a1和a2，有 a1 f1( t ) + a2 f2( t ) a1 y1( t ) + a2 y2( t ) 则为线性系统。
非线性系统不满足上述齐次性和可加性。
二、时不变系统与时变系统
时不变系统：系统的元件参数不随时间变化； 或系统的方程为常系数的。 否则为时变系统。
时不变性：
若f(t)y(t) 则 f ( t t0 ) y ( t t0 )
见图1。
2-3
图1 时不变特性示意图
线性时不变系统（LTI）： 系统既是线性的，又是时不变的； 或系统的方程为线性常系数微分方程。
2-1
线性系统的特性：
• 微分特性：若f ( t ) y( t )，则 f (t) y(t)
•
积分特性：若f (
t
)
y( t )，则
t
0
f ( )d
t
0 y( )d
• 频率保持性：信号通过线性系统后不会产生新的
频率分量。 尽管各频率分量的
实验二线性系统分析
实验二线性系统分析一、实验目的通过实验，掌握线性系统的特性和分析方法，了解系统的幅频特性和相频特性。
二、实验原理1.线性系统线性系统是指遵循叠加原理和比例原理的系统，可以表示为y(t)=h(t)⊗x(t)，其中h(t)为系统的冲激响应，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号，⊗为线性卷积操作。
2.系统的频域特性系统的频域特性可以通过离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）来进行分析，DFT是将离散时间域信号变换到离散频域的方法。
3.系统的幅频特性系统的幅频特性描述了输出信号的幅度随频率变化的规律，可以通过对系统的单位冲激响应进行DFT来得到。
4.系统的相频特性系统的相频特性描述了输出信号的相位随频率变化的规律，可以通过对系统的单位冲激响应进行DFT来得到。
三、实验步骤1.准备工作：a.将信号发生器的频率设置为100Hz，幅度设置为5V。
b.将示波器的触发模式设置为自动，并调节水平位置使信号波形居中显示。
2.测量系统的幅频特性：a.将信号发生器的输出信号连接到线性系统的输入端口，将示波器的通道1连接到线性系统的输入端口，将示波器的通道2连接到线性系统的输出端口。
b.调节示波器的时间基准使波形显示在适当的范围内。
c.调节信号发生器的频率和示波器的触发模式，观察输入信号和输出信号的波形。
d.在示波器中进行幅度测量，并记录下输入信号和输出信号的幅值。
e.使用DFT算法对输入信号和输出信号进行频谱分析，得到幅频特性曲线。
f.绘制输入信号和输出信号的幅频特性曲线，并进行比较和分析。
3.测量系统的相频特性：a.调节信号发生器的频率和示波器的触发模式，观察输入信号和输出信号的相位差。
b.在示波器中进行相位测量，并记录下输入信号和输出信号的相位。
c.使用DFT算法对输入信号和输出信号进行频谱分析，得到相频特性曲线。
d.绘制输入信号和输出信号的相频特性曲线，并进行比较和分析。
线性系统 复习
5）坐标缩放性质（定标性质）—The scaling property
若: g(x) f (x) h(x)
6） 函数的卷积性质
则: f (ax) h(ax) 1 g(ax) a
f (x) (x) f ( ) (x )d f ( ) ( x)d f (x)
f (x) (x x0 ) f (x x0 )
2j
f0 ) (u
f0 )]
9．圆函数的FT
1 , r a
f
(r)
circ(
r a
)
1/ 2 0 ,
, r
r
a
a
1, r 1 f (r) circ(r) 1/ 2 , r 1
0 , r 1
FT[circ( r )] 2 a2 J1( 2a)
a
2a
FT[circ(r)] 2 J1( 2) 2
(a
2 f0 j2 u)2 (2
f0 )2
5)．平移性：
若： F(u, v) FT[ f (x, y)]
则：
FT[ f (x x0, y y0 )] exp[ j2 (ux0 vy0 )]F (u, v)
❖空域中的平移造成频域中频谱的相移。
❖光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不性。
0
1.2-3.3 FT存在及应用条件(Requirements)
1.2-3.4 广义FT (极限意义下的FT，及δ函数的FT)
lim 1. 极限意义下的FT f (x)
gn ( x)
n
FT f (x) limFT gn(x) limGn(u)
n
n
FT
[sgn(
j
u
x)]
lim
线性和非线性系统的稳定性和控制
线性和非线性系统的稳定性和控制在控制系统中，线性和非线性系统是常见的两种形式。
线性系统具有可加性和比例性质，非线性系统则不满足这些性质。
在这篇文章中，我们将探讨线性和非线性系统的稳定性和控制，以及它们之间的差异。
1. 线性系统的稳定性和控制在线性系统中，当系统的输入和输出之间的关系满足线性方程时，我们可以使用线性的控制方法来调节其行为。
例如，当我们使用一个比例控制器来调节温度时，我们假设系统的响应是线性的。
这意味着，如果我们两倍地增加控制器的输出，系统的响应也会两倍增加。
线性系统的稳定性可以用传输函数的极点和零点来分析。
当传输函数的所有极点实部都小于零时，系统是稳定的。
如果有任何一个极点的实部大于零，系统就是不稳定的。
我们可以使用各种线性控制器来稳定系统，例如比例控制器、积分控制器和微分控制器。
2. 非线性系统的稳定性和控制对于非线性系统，它们的行为是更加复杂的。
它们不具有可加性和比例性质，这意味着我们无法使用线性控制方法来调节系统行为。
例如，在一个非线性电路中，如果我们将输入信号的幅度加倍，输出信号的幅度可能会非常不同。
非线性系统的稳定性也比线性系统更加复杂。
我们不能简单地使用传输函数的极点和零点来分析系统的稳定性。
相反，我们需要使用更高级的数学工具，例如李雅普诺夫稳定性理论。
该理论使用能量函数来分析系统的行为，从而判断系统是否稳定。
我们可以使用各种非线性控制器来调节非线性系统，例如反馈线性化控制和滑动模态控制。
3. 线性系统和非线性系统的不同在稳定性和控制方面，线性系统和非线性系统之间存在显著的差异。
线性系统具有可加性和比例性质，可以方便地使用传输函数来分析稳定性和设计控制器。
然而，非线性系统不具备这些特性，需要使用更高级的数学工具来分析稳定性和设计控制器。
此外，非线性系统可能会表现出一些奇异的行为，例如混沌和周期性振荡。
这些行为是线性系统所不具有的，因为线性系统的行为是可预测的和稳定的。
对于非线性系统，我们需要更加小心地分析其行为，以确保系统的稳定性和符合我们的预期。
天津大学考试大纲
科目数学一英语一政治信号与系统（或通信原理）天津大学全国统考硕士生入学考试业务课程大纲课程编号：814 课程名称：通信原理一、考试的总体要求通信原理属于电子信息技术类专业的一门重要的基础理论课程。
因此要求考生必须较好地掌握通信系统的基本原理，基本性能的分析方法；并应了解通信网的基本概念。
能够运用数学的方法分析通信系统中各种调制、解调原理，掌握有关编码和解码的原理和方法，能够对各系统进行抗噪声性能分析。
能够应用所学知识，对目前通信领域的一些实际问题进行分析研究，并能根据要求设计出性能指标较高的适用的通信系统，掌握对一般通信网的理论分析方法。
了解通信技术的发展动态。
主要考核考生对基本知识和基本技能的掌握程度，了解考生在通信领域中分析问题和解决问题的能力。
二、考试的内容及比例1、通信的基本概念：定义，系统模型，信息的度量、性能分析指标。
(占5%)2、信道特性：恒参和变参信道，随机过程的基本概念、信道中的加性噪声，信道容量公式应用。
(占10%)3、模拟通信系统：调制的概念和调制的分类、幅度调制和角度调制的时域和频域分析，产生和解调方法，带宽和功率的计算，噪声性能分析。
频分复用。
(占15%)4、信源编码：抽样定理；PCM和ΔM的编译码原理，噪声性能分析；PCM和ΔM的改进型；时分复用。
(占15%)5、数字信号的基带传输：常用码型，数字基带信号的功率谱、基带传输特性设计，基带传输带宽计算，奈奎斯特准则，眼图和均衡，部分响应技术。
(占10%)6、数字信号的载波传输：二进制数字调制和解调方法。
多进制数字调制的基本原理，产生和解调方法。
各种数字调制的带宽计算。
二进制和四进制数字调相的波形分析。
最佳接收基本概念、最大输出信噪比准则和匹配滤波器的概念，二进制调制系统最佳接收机性能分析。
(占10%)7、现代数字调制技术；MSK、QAM、π／4-QPSK、OQPSK，扩频通信等的基本原理，调制和解调方法。
码分多址的基本概念。
随机信号分析基础(第5章习题讲解)
一个p阶递归滤波器
p
Y j a1Y j1 a2Y j2 a pY j p X j aiY ji X j
p
RY
(k)
i0 p
ai
RY
(k
i),
i0
ai
RY
(k
i)
2 i
,
i0
k 0
k 0
RY (0)
Y () X ()H()
传输函数的计算 稳定性与物理可实现性
随机信号通过线性系统
•系统输出的均值
mY
E[Y (t)] mX
h( )d
•系统输出的自相关函数
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
若随机输入过程X(t)是平稳的，那么线性时不变系 统的输出过程Y(t)也是宽平稳的随机过程。若输入是 各态经历过程，输出也将是各态经历过程。
白噪声通过线性系统
噪声带宽
随机序列通过线性系统
一个q阶非递归滤波器
q
Y j b0 X j b1 X j1 bq X jq bi X ji i0
输入白序列，输出的自相关函数
RY
(k)
2 X
qk i0
bi bi k
,
0,
k 0,1,, q k q
a
mY
(t )
5.11 解：先求出输入电压的自相关函数
RX ( ) E[ X (t) X (t )] E[(X0 cos(2 t ))( X0 cos(2 (t ) )] 1 1 cos 2
线性系统理论
线性系统理论线性系统理论是一个广泛应用的数学分支，该分支研究线性系统的性质、行为和解决方案。
线性系统可以描述很多现实世界中的问题，包括电子、机械、化学和经济系统等。
在这篇文章中，我们将探讨线性系统理论的基础、应用、稳定性和控制等不同方面。
一、线性系统基础线性系统是一种对于输入响应线性的系统。
当输入为零时，系统的响应为零，称之为零输入响应。
当没有外界干扰时，系统内部存在固有的动态响应，称之为自然响应。
当有外界输入时，系统将对输入做出响应，称之为强制响应。
线性系统具有很多性质，可以让我们更好地理解系统的行为。
其中一个重要的性质是线性可加性，就是说当输入是线性可加的时候，输出也是线性可加的。
换句话说，如果我们有两个输入信号，将它们分别输入到系统中，我们可以在系统的输出中将它们加起来，并得到对应的输出信号。
另外一个重要的性质是时不变性，就是说当输入信号的时间变化时，输出信号的时间变化也会随之发生。
这个性质告诉我们，系统的行为不随着时间的改变而改变。
除此之外，线性系统还有其他很多性质，比如可逆性、稳定性、因果性等等。
二、线性系统的应用线性系统有着广泛的应用，它们可以用来描述很多各种各样的问题，包括但不限于电子电路、航天控制、化学反应、经济系统等等。
下面我们来看看这些应用领域中的具体案例。
1. 电子电路线性系统在电子电路中有着广泛应用。
例如，如果我们想要设计一个低通滤波器，以使高频信号被抑制，我们可以使用线性系统来描述它的行为。
我们可以将电子电路看作一个输入信号到输出信号的转换器。
这个转换器的输出信号可以通过控制电子器件的电流、电压等参数来实现。
这种线性系统可以用来滤掉任何频率的信号，因此在广播和通信中也有广泛的应用。
2. 航天控制航天控制是线性系统理论的一个应用重点。
它包括控制飞行器姿态、轨道以及动力学行为。
在这些问题中，线性可变系统被广泛应用。
这种系统的输出信号是受到飞行器的控制和环境因素的影响。
控制器的任务是计算信号，以引导飞行员和总体系统实现期望的性能和特征。
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线性系统的基本性质和联系
1、齐次性
1.1定义
对于一个系统，当输入为u（t），初始状态为x(t0)时，其响应为y（t）；则当输入为
a*u（t），初始状态为a*x(t0)时，其响应为a*y（t）。
即：
若u（t），x(t0)→ y（t），
则a*u（t），a*x(t0)→ a*y（t）。
则称系统具有齐次性，其中a为任意常数。
1.2仿真
1.2.1搭建电路图
在PSIM软件上搭建一个RLC电路，直流电源电压为输入u（t），电感的初始电流I（0）和电容两端的初始电压Uc（0）为初始状态，而电容两端的电压Uc（t）为输出。
各个元件的参数如下：
电阻R=12Ω，电感L=1H，电容C=10mF。
1.2.2仿真结果
（1）当输入u（t）=5V，初始状态I（0）=0.2A、Uc（0）=1V时，其输出波形如下：
（2）当输入u（t）=15V，初始状态I（0）=0.6A、Uc（0）=3V时，其输出波形如下：
（3）将两者图形放在一起，可看出由于其输入跟初始状态放大三倍，其输出也放大了三倍，即可验证系统满足齐次性。
2、叠加性
2.1定义
对于一个系统，当输入为u1（t），初始状态为x1(t0)时，其响应为y1（t）；当输入为
u2（t），初始状态为x2(t0)时，其响应为y2（t）；则当输入为u1（t）+u2（t），初始状态为x1(t0)+ x2(t0)时，其响应为y1（t）+ y2（t）。
即：
若u1（t），x1(t0)→ y1（t），
u2（t），x2(t0)→ y2（t），
则u1（t）+ u2（t），x1(t0)+ x2(t0)→y1（t）+ y2（t）。
则称系统具有叠加性。
2.2仿真
2.2.1搭建电路图
继续采用上面所述的RLC电路，参数不变。
2.2.2仿真结果
（1）当输入u（t）=5V，初始状态I（0）=0.2A、Uc（0）=1V时，其输出波形如下：
（2）当输入u（t）=3V，初始状态I（0）=0.5A、Uc（0）=0.5V时，其输出波形如下：
（3）当输入u（t）=8V，初始状态I（0）=0.7A、Uc（0）=1.5V时，其输出波形如下：
（4）将三者图形放在一起，可看出由于第三个输入跟初始状态放为前两个的叠加，其输出也为第一个输出跟第二个输出的叠加，即可验证系统满足叠加性。
3、系统齐次性与叠加性的联系
（1）齐次性跟叠加性可以组合系统的线性，即：
若a1*u1（t），a1*x1(t0)→ a1*y1（t），
a2*u2（t），a2*x2(t0)→ a2*y2（t），
则a1*u1（t）+ a2*u2（t），a1*x1(t0)+ a2*x2(t0)→a1*y1（t）+ a2*y2（t）。
例如，当输入u1（t）=5V，初始状态I1（0）=0.2A、Uc1（0）=1V，输入u2（t）=3V，初始状态I2（0）=0.5A、Uc2（0）=0.5V，输入u3（t）=22V，初始状态I3（0）=2.4A、Uc3（0）=4V，a1=2，a2=4时，其输出波形如下：
（2）当系统前面的系数a1、a2为实数时，只要系统满足叠加性，就一定满足齐次性。
理由：将系统放大a倍，若a为整数，可以看成a个系统的叠加，显然成立；若a为为其他有理数，可看成为整数部分与小数部分的叠加，不难得知满足齐次性。
4、零状态响应
4.1定义
不考虑起始状态系统储能的作用，即初始状态x(t0)为0，只由系统输入信号产生的响应，即：
u（t），x(t0)=0→ Yzs（t）
4.2仿真
4.2.1搭建电路图
继续采用上面所述的RLC电路，参数不变。
4.2.2仿真结果
当输入u（t）=3V，初始状态I（0）=0、Uc（0）=0时，其输出波形如下：
可以看到，系统从零点开始出发，而且最终状态跟输入一致，都为3V。
5、零输入响应
5.1定义
在没有外加激励时，仅有t = 0时刻的非零初始状态引起的响应。
取决于初始状态和电路特性，这种响应随时间按指数规律衰减。
，即：
U(t)=0，x(t0)→ Yzi(t)
5.2仿真
5.2.1搭建电路图
继续采用上面所述的RLC电路，参数不变。
5.2.2仿真结果
当输入u（t）=0，初始状态I（0）=0.5A 、Uc（0）=0.5V时，其输出波形如下：
可以看出，系统从初始状态的电压值0.5V出发，最后趋于0.
6、零状态响应与零输入响应的联系
（1）零状态响应加上零输入响应为系统的全响应，即：
Yzi(t)+ Yzs(t)= Y(t)
例如，当输入u（t）=0，初始状态I（0）=0.5A 、Uc（0）=0.5V时，输出记为VP1；输入u（t）=3V，初始状态I（0）=0、Uc（0）=0，输出记为VP2；当输入u（t）=3V，初始状态I（0）=0.5A、Uc（0）=0.5V时，输出记为VP3。
其波形如下图所示：
由图中，可得知VP3=VP1+VP2，即系统的全响应为系统的零输入响应和零状态响应之和。
（2）零输入响应为系统齐次解的一部分，而零状态响应为系统的特解加上齐次解的一部分。
在零输入状态下，微分方程等式的右边为零，所以求出来的是系统的齐次解。
而在零状态情况下，因为有外加激励，所以包含系统的特解，另外，系统还受到初始条件的制约，所以还包含有齐次解。
例如，在上述系统中，当输入u（t）=5V，初始状态I（0）=0.2A、Uc（0）=1V时，用Matlab 分别求出其零状态响应和零输入响应。
先求零输入响应方程：
>> y=dsolve('D2y+12*Dy+100*y=0','y(0)=1,Dy(0)=20','x')
得到结果Yzi(x)=cos(8*x)/exp(6*x) + (13*sin(8*x))/(4*exp(6*x))
再求零状态响应方程：
>> y=dsolve('D2y+12*Dy+100*y=500','y(0)=0,Dy(0)=0','x')
得到结果为Yzs(x)=5 - (15*sin(8*x))/(4*exp(6*x)) - (5*cos(8*x))/exp(6*x)
从结果可以看出：零输入响应为系统齐次解的一部分，而零状态响应为系统的特解加上齐次解的一部分。
7、齐次性、叠加性与零状态响应、零输入响应的联系
（1）系统的响应满足叠加性，即系统的全响应为零状态响应与零输入响应之和。
（2）当输入为零时，系统的零输入响应对应各个初始状态呈线性，即同时满足齐次性与叠加性。
例如，当输入u（t）=0，初始状态I（0）=0.5A 、Uc（0）=1V时，输出记为VP1；输入u（t）=0，初始状态I（0）=1A、Uc（0）=0.5V，输出记为VP2；输入u（t）=0，初始状态I（0）=1.5A、Uc（0）=1.5V，输出记为VP3。
仿真结果为：
从图中可以看出，VP3=VP1+VP2，即满足线性。
（3）当初始状态为零时，系统的零状态响应对应各个输入呈线性，即同时满足齐次性与叠加性。
例如，当输入u（t）=5V，初始状态I（0）=0 、Uc（0）=0时，输出记为VP1；输入u（t）=7V，初始状态I（0）=0、Uc（0）=0，输出记为VP2；输入u（t）=12V，初始状态I（0）=0、Uc（0）=0，输出记为VP3。
仿真结果为：
从图中可以看出，VP3=VP1+VP2，即满足线性。