第八节分子对称性和分子点群
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分子对称性和分子点群
熊夫利斯记号隐含了该点群中代表性的对称元 素符号。
例如：H2O分子，有1个C2轴，2个v反映面，所以
属于 C2v点群，SO2，H2S也属于此点群；
NH3分子，它有1个C3轴和3个v反映面，属
于C3v点群，类似的如CHCl3，NF3等。
二、 主要点群
1. C1点群
H
C
Br
Cl
F
HCBrClF分子，无任何对称元素(除C1外)，属 于C1点群，该类化合物称为非对称化合物。如： SiFClBrI、POFClBr等；
3C4， 4C3， 6C2， 9σ，i，3S4，4S6， E，属于 Oh点群
3.2.3 分子点群的确定
➢首先确定该分子是否属于某一特殊点群，如Td； ➢如非特殊点群，应先寻找旋转轴，如果没有旋转 轴，则寻找对称中心或反映面。 ➢如有旋转轴，先指定主轴位置，再看是否存在Sn； ➢在垂直Cn轴的平面中寻找一组n重轴； ➢看分子中含有何种类型的反映面，确定分子点群。
典型类型
C2
C3
C3v
C∞v
C2h
C3h
D3h
D4h D6h
D3d
D ∞h
下一页
起点
非 线 性 无Cn 分 子
有Cn
分子点群的确定
线性分子
C ∞v , D∞h
有n个大于2的高 立方群 次轴(n≥3)
无轴群 有S n(n为偶数，n ≠2)
有n个垂直于C
n
轴的C2
二面体群
无垂直于C n的C2 轴向群
有i
同理，各个对称操作作用于Tx 、Tz，也可 以得到类似的结果。
Tx
Tx
Tx
Tz
Tz
Tz
C2v
E
例如：H2O分子，有1个C2轴，2个v反映面，所以
属于 C2v点群，SO2，H2S也属于此点群；
NH3分子，它有1个C3轴和3个v反映面，属
于C3v点群，类似的如CHCl3，NF3等。
二、 主要点群
1. C1点群
H
C
Br
Cl
F
HCBrClF分子，无任何对称元素(除C1外)，属 于C1点群，该类化合物称为非对称化合物。如： SiFClBrI、POFClBr等；
3C4， 4C3， 6C2， 9σ，i，3S4，4S6， E，属于 Oh点群
3.2.3 分子点群的确定
➢首先确定该分子是否属于某一特殊点群，如Td； ➢如非特殊点群，应先寻找旋转轴，如果没有旋转 轴，则寻找对称中心或反映面。 ➢如有旋转轴，先指定主轴位置，再看是否存在Sn； ➢在垂直Cn轴的平面中寻找一组n重轴； ➢看分子中含有何种类型的反映面，确定分子点群。
典型类型
C2
C3
C3v
C∞v
C2h
C3h
D3h
D4h D6h
D3d
D ∞h
下一页
起点
非 线 性 无Cn 分 子
有Cn
分子点群的确定
线性分子
C ∞v , D∞h
有n个大于2的高 立方群 次轴(n≥3)
无轴群 有S n(n为偶数，n ≠2)
有n个垂直于C
n
轴的C2
二面体群
无垂直于C n的C2 轴向群
有i
同理，各个对称操作作用于Tx 、Tz，也可 以得到类似的结果。
Tx
Tx
Tx
Tz
Tz
Tz
C2v
E
分子的对称性与群论基础群与分子点群
群与分子点群
3、分子点群
立方群
3）、 Ih 点群
对称元素: 6个 C5 轴(相对顶点)、 10个 C3 轴(相对面心)、 15个 C2 轴(相对棱心)、 对称中心.
120个对称操作,分为10个共轭类:
Eˆ , 6 Cˆ5 ,Cˆ54 , 6 Cˆ52,Cˆ53 , 10 Cˆ3 , Cˆ32 , iˆ , 6 Sˆ10 , Sˆ190 , 6 Sˆ130 , Sˆ170 , 10 Sˆ6 , Sˆ65 ,
24
群与分子点群
4、子群与类
如果群的某个元素与其他元素的乘积都可交换，则该元素
自成一类（不与其他元素共轭）。
若：
PA = AP ,
PB =
BP , … ...
必有：
A-1PA = P , B-1PB =
P , …… 即:对元于素分子P 点不群与：其他元素共轭。 恒等操作自成一类； 反演操作自成一类。
O2 , CO2 , C2 H 2
13
群与分子点群
3、分子点群
立方群
具有多于一个高次轴(Cn，n>2)的群，对应于凸正 多面体
4个 C3 轴 3个 C2 轴
T
Th (i)
Td (6d)
正四面体
3个 C4 轴 4个 C3 轴 6个 C2 轴
O Oh (i)
正八面体 正六面体
6个 C5 轴 10个 C3 轴
27
群与分子点群
5、同构与同态
2)、同态 定义：考虑群G与群H，若G的一组元素对应与H的一个元 素，且群G的元素的乘积对应于群H的相应元素的乘积， 则称群H 是群G的一个同态映像。
群G： …., {Aik} , …, {Aj l }, …., {AikAjl} , ….
分子点群知识点总结
分子点群知识点总结一、分子点群的概念分子点群是指具有一组对称操作的一组点，这组对称操作将物体的分子对称元素转移到其他的等价位置，同时保持分子结构不变。
分子点群是对称性理论的一部分，对于研究分子和晶体的结构有着重要的意义。
在分子的对称性分析中，分子点群可以用来描述分子的对称性。
分子点群中的所有点都是等价的，点到点之间的距离称为距离（r），如果将分子点群中的一个点和其对应点之间的直线或轴称为对称轴或对称平面，对称操作称为对称操作元素。
每种分子点群都能够被描述为一组对称操作的集合，这些对称操作可以是旋转，镜面反射，或者各种组合。
二、分子点群的分类根据对称性理论的描述和发展，分子点群可以根据对称操作的种类和数量被分为32种，它们分为10个普通点群和22个符号点群。
普通点群是最简单的，它们是由5种对称轴或镜面来构成的。
这5种对称轴或镜面包括：以Cn和Sn表示的旋转轴和反射面，其中n 表示对称轴或者平面的阶数。
在普通点群中，不存在反射面，其对称操作由旋转轴进行旋转得到。
符号点群相对较复杂，它们是由旋转轴和反射面组成的，符号点群中存在反射面，可以通过反射面和旋转轴的组合得到对称操作。
在实际的分子对称性分析中，符号点群较为常见，根据分子的特性和结构，可以通过符号点群来描述其对称性。
三、分子点群的应用1. 预测分子结构分子点群的应用很广泛，其中之一就是用来预测分子结构。
分子的对称性是分子结构的一个重要特征，通过分析分子点群可以得到分子的对称元素和等价位置，从而可以推测出分子的整体结构。
在化学合成和材料研究中，对分子结构的预测是十分重要的，它可以帮助科学家合成具有特定性质的物质，并且有助于了解分子在空间中的排列方式和相互作用。
2. 分子的光学性质分子的对称性决定了分子在光学性质上的表现。
根据分子的点群可以预测分子是否具有光学活性，以及分子的对称元素和等价位置。
光学活性指的是分子能够对圆偏振光发生旋光作用，从而表现出左旋或右旋的性质。
结构化学分子的对称性
注意：在区别这两种点群时一定要注意不能用有没有
σ d 面来区别，因为在Dnh群中有时也存在 σ d 面。
D2h群：乙烯
平面型的对硝基苯分子 C6H4(NO2)2，草酸根离子[C2O4]2-等，稠 环化合物萘等都属于D2h点群。
D3h 群 ：
乙烷重叠型
BF3
Tc6Cl6
CO32-、NO3- 或三角形骨架的环丙烷，三角双锥PCl5， 三棱柱型的Tc6Cl6金属簇合物等都属于D3h点群。
D4h群
XeF4
确定分子点群的几点其他思路
（1）对称中心：
（a） 有对称中心，且主轴为奇数时，则分子属于Dnd点群。
如：完全交叉式的乙烷（D3d点群），椅式环己烷（D3d点群）等。
主轴C3轴
主轴C3轴
对称中心i
对称中心i
确定分子点群的几点其他思路
(b) 有对称中心，且主轴为偶数时，则分子属于Cnh或Dnh点群。进一 步去找镜面或垂直于主轴的C2轴，如果只有一个镜面或没有垂直于 主轴的C2轴，则属于Cnh点群；如果有二个以上的镜面或有垂直于主 轴的C2轴，则属于Dnh点群。如图2所示分子属于这种情况。
D4d群 S8
D5d群 交错型二茂铁
正多面体
正多面体指的是由同样的正多边形组成的，各 个顶点、棱都等价的多面体。
数学上已证明共存在五个正多面体，它们分别 为：正四面体、立方体、正八面体、正十二面体 和正二十面体。
正多面体的面(F)、顶点(V)、棱(E)满足Euler方程：
F+V=E+2
正多面体
C4v群 ：BrF5
C5v群：Ti(C5H5)
C∞v群：N2O
所有没有对称中心的线形分子都属于C∞v。如：CO、 HCN、HCl等。
σ d 面来区别，因为在Dnh群中有时也存在 σ d 面。
D2h群：乙烯
平面型的对硝基苯分子 C6H4(NO2)2，草酸根离子[C2O4]2-等，稠 环化合物萘等都属于D2h点群。
D3h 群 ：
乙烷重叠型
BF3
Tc6Cl6
CO32-、NO3- 或三角形骨架的环丙烷，三角双锥PCl5， 三棱柱型的Tc6Cl6金属簇合物等都属于D3h点群。
D4h群
XeF4
确定分子点群的几点其他思路
（1）对称中心：
（a） 有对称中心，且主轴为奇数时，则分子属于Dnd点群。
如：完全交叉式的乙烷（D3d点群），椅式环己烷（D3d点群）等。
主轴C3轴
主轴C3轴
对称中心i
对称中心i
确定分子点群的几点其他思路
(b) 有对称中心，且主轴为偶数时，则分子属于Cnh或Dnh点群。进一 步去找镜面或垂直于主轴的C2轴，如果只有一个镜面或没有垂直于 主轴的C2轴，则属于Cnh点群；如果有二个以上的镜面或有垂直于主 轴的C2轴，则属于Dnh点群。如图2所示分子属于这种情况。
D4d群 S8
D5d群 交错型二茂铁
正多面体
正多面体指的是由同样的正多边形组成的，各 个顶点、棱都等价的多面体。
数学上已证明共存在五个正多面体，它们分别 为：正四面体、立方体、正八面体、正十二面体 和正二十面体。
正多面体的面(F)、顶点(V)、棱(E)满足Euler方程：
F+V=E+2
正多面体
C4v群 ：BrF5
C5v群：Ti(C5H5)
C∞v群：N2O
所有没有对称中心的线形分子都属于C∞v。如：CO、 HCN、HCl等。
分子对称性和点群
规则三. 点群中不可约表示特征标间的正交关系:
k
hjr(Rj)*s(Rj)nrs
j1
对不可约表示: ( R ) 2 n
或
R
k 为群中所有共轭类的数目;
hj 为共轭类j中的群元素个数.
k
hj
(Rj)2
n
j1
对可约表示:
(R)2 n
R
如 D3 群在直角坐标系下的表示
A(R )290011112
a
17
2. Sn 点群 (n为偶数) S n,S 2 n,S 3 n,..S n n . .I, S2 i
3有. C一n个v 点C群n 轴和 n 个包含该轴的对称面 v
C
v
a
18
4. Dn点群 有一个Cn轴和n个垂直于该轴的C2轴. (暂没有实例）
5. Cnh点群 有一个Cn轴和一个垂直于该轴的对称h.
S3 hC3 S32 h2C32 C32 , S33 h3C33 hI h S34 h4C34 C34 C3,S35 h5C35 hC32, S36 h6C36 I
当n为偶数时, 当n为奇数时,
Sn nhnCn nI
S n n h n C n n h ,S 2 n n h 2 n C 2 n I n
例2. 数的集合 {1, -1, i, -i}, 乘法规则为代数乘法, 则构成一个群.
恒等元素为1. 数 (-1) 的逆元素为(-1).数 (i) 的逆 元素为 (-i).
例3. 空间反演群 {E,i}, i为空间反演操作.
i2 = E
a
10
• 例4. D3={e,d,f,a,b,c}
e: 恒等操作 d: 绕z轴顺时针转动 120º f: 绕z轴顺时针转动 240º a: 绕a轴顺时针转动 180º b: 绕b轴顺时针转动 180º c: 绕c轴顺时针转动 180º
分子的对称性和群论初步
属4阶群
H3BO3分
子
C3h C31, C32 , C33 E, h , S31, S35
属6阶群 S31 hC31，S32 C32，S33 h S34 C31，S35 hC32，S36 E
Cnh Cnk (k 1,n 1), E, h , hCnl (l 1,l 1)
非全同：不能通过平移或转动等第一类对称操 作使两个图形叠合。
2.旋光异构体：一对等同而非全同的分子构成 的一对对映体。
3.手性分子：没有第二类对称元素的分子。
R（右，顺时针方向转）和 S（左，逆时针旋转） 外消旋体：等量的R和S异构体混合物一定无旋光
性方向相反
4.对称性和旋光性的关系
✓ 若分子具有反轴Ι（先旋转360°/n,再反演）的对 称性，一定无旋光性；若分子不具有反轴的对称性， 则可能出现旋光性。
元的数目有限的群称为有限群，数目无限的群 称为无限群。
点群：一个有限分子的对称操作群 ☞“点”的含义 ✔这些对称操作都是点操作，操作时分子中至少
有一个点不动。 ✔分子的对称元素至少通过一个公共点。
2.2 群的乘法表
※顺序
乘法表由行和列组成，在行坐标x和列坐标y的 交点上找到的元是yx，即先操作x，后操作y。每一 行和每一列都是元的重新排列。
C6轴： C6轴包括C2 和C3 的全部对称操作。
1.3 反演操作和对称中心 i
反演操作： 将分子的各点移到对称中心连线的延长线上，
且两边的距离相等。若分子能恢复原状，即反演操 作。
✔对称因素：对称中心 i ✔特点：延长线，等距
除位于对称中心的原子外，其余均成对出现
若对称中心位置在原点 （0,0,0）处，反演操作i的表 示矩阵为：
✓ 一重反轴=对称中心，二重反轴=镜面，独立的反 轴只有I4 。则具有这三种对称操作的无旋光性， 不具有这3种对称元素的分子都可能有旋光性。
H3BO3分
子
C3h C31, C32 , C33 E, h , S31, S35
属6阶群 S31 hC31，S32 C32，S33 h S34 C31，S35 hC32，S36 E
Cnh Cnk (k 1,n 1), E, h , hCnl (l 1,l 1)
非全同：不能通过平移或转动等第一类对称操 作使两个图形叠合。
2.旋光异构体：一对等同而非全同的分子构成 的一对对映体。
3.手性分子：没有第二类对称元素的分子。
R（右，顺时针方向转）和 S（左，逆时针旋转） 外消旋体：等量的R和S异构体混合物一定无旋光
性方向相反
4.对称性和旋光性的关系
✓ 若分子具有反轴Ι（先旋转360°/n,再反演）的对 称性，一定无旋光性；若分子不具有反轴的对称性， 则可能出现旋光性。
元的数目有限的群称为有限群，数目无限的群 称为无限群。
点群：一个有限分子的对称操作群 ☞“点”的含义 ✔这些对称操作都是点操作，操作时分子中至少
有一个点不动。 ✔分子的对称元素至少通过一个公共点。
2.2 群的乘法表
※顺序
乘法表由行和列组成，在行坐标x和列坐标y的 交点上找到的元是yx，即先操作x，后操作y。每一 行和每一列都是元的重新排列。
C6轴： C6轴包括C2 和C3 的全部对称操作。
1.3 反演操作和对称中心 i
反演操作： 将分子的各点移到对称中心连线的延长线上，
且两边的距离相等。若分子能恢复原状，即反演操 作。
✔对称因素：对称中心 i ✔特点：延长线，等距
除位于对称中心的原子外，其余均成对出现
若对称中心位置在原点 （0,0,0）处，反演操作i的表 示矩阵为：
✓ 一重反轴=对称中心，二重反轴=镜面，独立的反 轴只有I4 。则具有这三种对称操作的无旋光性， 不具有这3种对称元素的分子都可能有旋光性。
《分子对称性》课件
05
分子对称性的实例分析
烷烃的分子对称性
烷烃的分子结构：由碳原子和氢原子组成，碳原子之间以单键相连
烷烃的对称性：烷烃分子具有对称性，可以划分为对称中心和旋转 对称轴 烷烃的对称性分类：根据对称性的不同，可以分为Cn、Dn、Cnv、 Dnh等类型
烷烃的对称性应用：在化学合成、药物设计等领域具有重要应用
添加 标题
杂环化合物的分子对称性：指杂环化合物 分子中存在的对称性关系
添加 标题
实例分析：苯环、吡啶环、嘧啶环等杂环 化合物的分子对称性
添加 标题
分子对称性的应用：在药物设计、材料科 学等领域具有重要应用
添加 标题
分子对称性的研究进展：近年来，杂环化 合物的分子对称性研究取得了重要进展， 为相关领域的发展提供了新的思路和方法。
对称操作和对称元素
对称操作：在空间中保持分子 不变的操作，如旋转、反射等
对称元素：在分子中保持不变 的元素，如原子、键等
对称性：分子在空间中的对称 性，如旋转对称、反射对称等
对称操作和对称元素的关系： 对称操作保持对称元素不变， 对称元素在空间中保持对称性
对称性的分类
对称性分为旋转对称性和反射 对称性
官能团
拉曼光谱（Raman）：通 过拉曼光谱实验测定分子结
构中的振动模式
电子显微镜（EM）：通过 电子显微镜实验测定分子结
构中的精细结构
对称性分析的方法
化学键对称性：研究分子中 化学键的对称性，如单键、 双键、三键等
空间对称性：研究分子在空 间中的对称性，如旋转对称、 反射对称等
电子对称性：研究分子中电 子的分布和对称性，如电子
对称性在化学反应中的应用主要体现在化学反应的预测、反应机理的解析、反应产物的 预测等方面。 对称性在化学反应中的应用还可以帮助科学家更好地理解化学反应的本质，为化学反应 的设计和优化提供指导。
分子的对称性和点群
分类
分子只有一个n次旋转轴。
Eˆ,Cˆn ,Cˆn2 ,,Cˆnn1
n个群元素
例 CHFClBr H2O2
C1群 C2群
非交叉非重叠的CH3-CCl3
C3群
第10页/共31页
（2）Cnv 群
2n个群元素
分子有一个n次旋转轴和n个包含该轴的对称面 。
Eˆˆv,(1C)ˆ,nˆ,
Cˆn2 ,, Cˆnn1
分子偶极矩：分子正负电荷重心间距r与电荷量q的乘积
rq
第26页/共31页
偶极矩必须坐落在分子的对称元素上 （1）如果分子有n次旋转轴，则偶极矩必位于该轴上； （2）如果分子有一个对称面，则偶极矩必位于此面上；
（3）当分子有多个对称面时，则偶极矩必位于它们的交线上；
（4）如果分子有两个对称元素相交于一点，那么偶极矩只能位于两个对称元素 的交点上。
生分子等价图形的对称操作。
n
象转轴：进行象转所凭借的对称轴。
Sn
Sˆn Cˆnˆ h ˆ hCˆn 偶数次象转轴才独立
Sˆ2k1 2k 1
Cˆ 2k1 2k 1
ˆ
2k h
1
Eˆˆh ˆh
第6页/共31页
（二） 对称元素的种类： 对称操作所凭借的元素。E，Cn，，i，Sn
第7页/共31页
对称轴:进行旋转所凭借的直线称旋转轴。
Cn
主轴：一个分子可能存在多个旋转轴，其中n最大者称作主轴。
Cˆn1,Cˆn2,Cˆn3,...,Cˆnn Cˆnn Eˆ
2 恒等操作
Eˆ
不对分子施加任何操作。
E
第1页/共31页
恒等元素
3 反映
ˆ
反映:将分子中各点移至某一平面另侧等距离处后能够得到分子等价图形的操作。
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E , C n , C n2 , … , C n 1 n 1 v 2 v … n s , , v
C
nv
,s
,s
C2 v
C2 H 2Cl2
C3 v
NH 3
C v
CO
点群示例
Cnv 群
C v
C3v
CO
NH 3
点群定义
Cnh 群
群中含有一个 Cn 轴，还有一个垂直于Cn 轴面σh,当 n为奇数时，此群相当于Cn 和σh的乘积，当n为偶数时，Cnh相当 于Cn 和 i 的乘积，因此群阶为2n。
二、分子点群
1、群的基本概念 i、群的定义 一个集合G含有A、B、C、D等元素，在这些元
素之间定义一种运算（通常称为“乘法”），如果满足下四个 件，则称为集合G为群。
封闭性 缔和性
有单位 元 素
G含有A、B、C、D等元素，若A和B是G中任意两个元 2 素，则有 AB C 及 A D ，C和D仍属G中的元素
n
n1
n n
E
（2）对称轴 (Cn )和旋转操作 (Cn )
操作演示
C３
C２
（3）对称面 s 和反映操作 s
对称面所相应的对称操作是镜面的一个反映
s v 面：包含主轴
对称面
s h 面：垂直于主轴 s d 面：包含主轴且平分相邻 C2轴夹角
2
（4）对称中心 (i ) 和反演操作 ( i ) 对于分子中任何一个原子来说，在中心点的另一侧，必能 找到一个同它相对应的同类原子，互相对应的两个原子和 中心点同在一条直线上，且到中心点有相等距离。这个中 心点即是对称中心。
将这首诗从头朗诵到尾, 再反过来, 从尾到头去朗 诵, 分别都是一首绝妙好 诗. 它们可以合成一首 “对称性”的诗，其中 每一半相当于一首“手 性”诗.
一 、对称元素和对称操作
每一次操作都能够产生一个和原来图形等 价的图 对称操作 形，经过一次或连续几次操作能使图形完全复原。
对称元素 对分子几何图形施行对称操作时，所依赖的几何
的，每个元素与自身共轭，即
… E C2 C2 E
1 2 v
每个元素为一类。
C2 v群共有四类，
… s s s s C C2 C C E v v
1 2 2 v
Cn 群
点群定义 点群表示
点群示例
无任何对 称 元素
对称元素是n重旋转轴，共有n个旋转操作， 标记为Cnn 。
s z 2
y
x
对称操作的乘积
如果一个操作产生的结果和两个或多个其他操作 连续作用的结果相同，通常称这一操作为其他操 作的乘积。
Example 分子具有 A B , C , D 等对称操作，若其中某些操作 , 满足于关系A B C ， 即对分子先后施行 和 B A 操作， 其结果相当于对分子单独施行 C 操作，则称 C 为 A 和 B 的乘积。
Cn 轴定义
将分子图形以直线为轴旋转某个角度能产生 分子的等价图形。
单重（次）轴C1 二重（次）轴C2 三重（次）轴C3
2 2 / 2 2 / 3
n重（次）轴Cn 2 / n 操作定义
旋转轴能生成n个旋转操作，记为： … , C n , Cn …
2
…
C ,C
BF3
C2 H 2Cl2
有对称中心
无对称中心
（5）象转轴 (Sn )和旋转反映操作 ( S n ) 如果分子图形绕轴旋转一定角度后，再作垂直此轴的 镜面反映，可以产生分子的等价图形，则将该轴和镜 面组合所得到的对称元素称为象转轴。
S n Cn s h s h Cn
S sh C
k n k n k nFra bibliotek
S
S
C
sh
k n
(k为奇数时)
(k为偶数时) (n为奇数时) (n为偶数时)
S1 s h S 2 C2 s h i
n n
S
n n
E
（5）象转轴 (Sn )和旋转反映操作 ( S n )
操作演示
在反式二氯乙烯分子中, Z轴是C2轴, 且有垂直于Z轴的镜面,因此Z轴必 为S2 (见左图), 此时的S2不是独立的。 而Y轴不是C2轴, 且没有垂直于Y 轴的镜面, 但Y轴方向满足S2对称性 (见右图), 此时的S2是独立的。
G中各元素之间的运算满足乘法结合率，即三个元 素相乘其结果和乘的顺序无关，即 ( AB)C A( BC )
G中具有单位元素，它使集合G 中的任一元素足于 ER RE R
1 1
G中任一元素R均有其逆元素 R ， R 有逆元素 且有 RR 1 R 1 R E
亦属于G，
B、群的阶和子群
C
2 E , C n , C n , C n3 , … , C n 1 n n E ) (C n
n
C1
CHFClBr
Cn 群
点群示例
C2
C3
H 2O2
部分交错
CCl3CH3
Cnv 群
点群定义 点群表示 点群示例
群中有Cn 轴，还有通过 Cn轴的n个对称面.
C C n×s
2 … , C nn 1 , s E ,C n,C n , C 2×s , … , C n 1 × s n h n h h
, C n×s
h
nh
h
,
点群示例
Cn
C 1h
HClO
C 2h
C4 H 6
点群定义
Dn 群
群中元素的数目为群的阶，群中所包含的小群称为子群。群阶和 子群的关系为： 大群阶（h）/子群阶（g）=正整数（k）
C、共轭元素和群的分类 若X和A是群G中的两个元素，有 X 1 AX B ，这时，称A 和 B为共轭元素。群中相互共轭的元素的完整集合构成群的类。 Example 在 H 2O的 C2v群中的任意两个元素之积是可以交换
要素（点、线、面及其组合）。
转 120
o
（1） 恒等元素 ( E ) 和恒等操作 ( E )
恒等操作
恒等操作是所有分子几何图形都具有 的，其相应的操作是对分子施行这种 对称操作后，分子保持完全不动，即 分子中各原子的位置及其轨道的方位 完全不变。
（2）对称轴 (Cn )和旋转操作 (Cn )
C
nv
,s
,s
C2 v
C2 H 2Cl2
C3 v
NH 3
C v
CO
点群示例
Cnv 群
C v
C3v
CO
NH 3
点群定义
Cnh 群
群中含有一个 Cn 轴，还有一个垂直于Cn 轴面σh,当 n为奇数时，此群相当于Cn 和σh的乘积，当n为偶数时，Cnh相当 于Cn 和 i 的乘积，因此群阶为2n。
二、分子点群
1、群的基本概念 i、群的定义 一个集合G含有A、B、C、D等元素，在这些元
素之间定义一种运算（通常称为“乘法”），如果满足下四个 件，则称为集合G为群。
封闭性 缔和性
有单位 元 素
G含有A、B、C、D等元素，若A和B是G中任意两个元 2 素，则有 AB C 及 A D ，C和D仍属G中的元素
n
n1
n n
E
（2）对称轴 (Cn )和旋转操作 (Cn )
操作演示
C３
C２
（3）对称面 s 和反映操作 s
对称面所相应的对称操作是镜面的一个反映
s v 面：包含主轴
对称面
s h 面：垂直于主轴 s d 面：包含主轴且平分相邻 C2轴夹角
2
（4）对称中心 (i ) 和反演操作 ( i ) 对于分子中任何一个原子来说，在中心点的另一侧，必能 找到一个同它相对应的同类原子，互相对应的两个原子和 中心点同在一条直线上，且到中心点有相等距离。这个中 心点即是对称中心。
将这首诗从头朗诵到尾, 再反过来, 从尾到头去朗 诵, 分别都是一首绝妙好 诗. 它们可以合成一首 “对称性”的诗，其中 每一半相当于一首“手 性”诗.
一 、对称元素和对称操作
每一次操作都能够产生一个和原来图形等 价的图 对称操作 形，经过一次或连续几次操作能使图形完全复原。
对称元素 对分子几何图形施行对称操作时，所依赖的几何
的，每个元素与自身共轭，即
… E C2 C2 E
1 2 v
每个元素为一类。
C2 v群共有四类，
… s s s s C C2 C C E v v
1 2 2 v
Cn 群
点群定义 点群表示
点群示例
无任何对 称 元素
对称元素是n重旋转轴，共有n个旋转操作， 标记为Cnn 。
s z 2
y
x
对称操作的乘积
如果一个操作产生的结果和两个或多个其他操作 连续作用的结果相同，通常称这一操作为其他操 作的乘积。
Example 分子具有 A B , C , D 等对称操作，若其中某些操作 , 满足于关系A B C ， 即对分子先后施行 和 B A 操作， 其结果相当于对分子单独施行 C 操作，则称 C 为 A 和 B 的乘积。
Cn 轴定义
将分子图形以直线为轴旋转某个角度能产生 分子的等价图形。
单重（次）轴C1 二重（次）轴C2 三重（次）轴C3
2 2 / 2 2 / 3
n重（次）轴Cn 2 / n 操作定义
旋转轴能生成n个旋转操作，记为： … , C n , Cn …
2
…
C ,C
BF3
C2 H 2Cl2
有对称中心
无对称中心
（5）象转轴 (Sn )和旋转反映操作 ( S n ) 如果分子图形绕轴旋转一定角度后，再作垂直此轴的 镜面反映，可以产生分子的等价图形，则将该轴和镜 面组合所得到的对称元素称为象转轴。
S n Cn s h s h Cn
S sh C
k n k n k nFra bibliotek
S
S
C
sh
k n
(k为奇数时)
(k为偶数时) (n为奇数时) (n为偶数时)
S1 s h S 2 C2 s h i
n n
S
n n
E
（5）象转轴 (Sn )和旋转反映操作 ( S n )
操作演示
在反式二氯乙烯分子中, Z轴是C2轴, 且有垂直于Z轴的镜面,因此Z轴必 为S2 (见左图), 此时的S2不是独立的。 而Y轴不是C2轴, 且没有垂直于Y 轴的镜面, 但Y轴方向满足S2对称性 (见右图), 此时的S2是独立的。
G中各元素之间的运算满足乘法结合率，即三个元 素相乘其结果和乘的顺序无关，即 ( AB)C A( BC )
G中具有单位元素，它使集合G 中的任一元素足于 ER RE R
1 1
G中任一元素R均有其逆元素 R ， R 有逆元素 且有 RR 1 R 1 R E
亦属于G，
B、群的阶和子群
C
2 E , C n , C n , C n3 , … , C n 1 n n E ) (C n
n
C1
CHFClBr
Cn 群
点群示例
C2
C3
H 2O2
部分交错
CCl3CH3
Cnv 群
点群定义 点群表示 点群示例
群中有Cn 轴，还有通过 Cn轴的n个对称面.
C C n×s
2 … , C nn 1 , s E ,C n,C n , C 2×s , … , C n 1 × s n h n h h
, C n×s
h
nh
h
,
点群示例
Cn
C 1h
HClO
C 2h
C4 H 6
点群定义
Dn 群
群中元素的数目为群的阶，群中所包含的小群称为子群。群阶和 子群的关系为： 大群阶（h）/子群阶（g）=正整数（k）
C、共轭元素和群的分类 若X和A是群G中的两个元素，有 X 1 AX B ，这时，称A 和 B为共轭元素。群中相互共轭的元素的完整集合构成群的类。 Example 在 H 2O的 C2v群中的任意两个元素之积是可以交换
要素（点、线、面及其组合）。
转 120
o
（1） 恒等元素 ( E ) 和恒等操作 ( E )
恒等操作
恒等操作是所有分子几何图形都具有 的，其相应的操作是对分子施行这种 对称操作后，分子保持完全不动，即 分子中各原子的位置及其轨道的方位 完全不变。
（2）对称轴 (Cn )和旋转操作 (Cn )