江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数课件 苏
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太仓市第二中学九年级数学下册《27.2.3 二次函数解析式的求法》课件1
12
归纳小结
二次函数解析式的确定
(1）过三点或已知三对对应值的二次函数解 析式的确定 （2）过顶点和一普通点的二次函数解析式确 定 （3）过二个与x轴的交点和一普通点的二次函 数解析式确定 （4）与坐标轴的交点，对称轴及最值有关二 次函数解析式确定
13
4 2
A
-2
o
B
5
当C（0，3）时，函数的 解析式为：y=-x² +2x+3
4
-4
当C（0，-3）时，函数的 解析式为：-y=-x² +2x+3 即y=x² -2x-3
-5
2
-2
7
-4
练习1.已知一个二次函数的图象过点 （0，1），它的顶点坐标是（8，9）， 求这个二次函数的关系式． 1 2 y ( x 8) 9 8 2.已知二次函数的图象过（0，1）、 （2，4）、（3，10）三点，求这个二次 函数的关系式． 3 2 3 y x x 1 2 2
5
4
2
Ａ
B
5
例4:已知：二次函数 的图像的顶点的坐标 是（1，4）,并且抛物 线与x轴的两个交点的 距离是4，求这个函数 的解析式。
-2
x＝１
-4
6
例5:已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其 中A的坐标为（-1，0）B的坐标为（3，0），并且 △ABC的面积是6，求这个函数的解析式。 分析：由题意可知OC的长是3，所以 C 点C的坐标为（0，3)或（0，-3）
8
练习3
已知抛物线与x轴交于A（－1，0）， B（2,0）并经过点M(0,1），求抛物 线的解析式？
1 1 2 1 y ( x 1)( x 2) x x 1 2 2 2
归纳小结
二次函数解析式的确定
(1）过三点或已知三对对应值的二次函数解 析式的确定 （2）过顶点和一普通点的二次函数解析式确 定 （3）过二个与x轴的交点和一普通点的二次函 数解析式确定 （4）与坐标轴的交点，对称轴及最值有关二 次函数解析式确定
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4 2
A
-2
o
B
5
当C（0，3）时，函数的 解析式为：y=-x² +2x+3
4
-4
当C（0，-3）时，函数的 解析式为：-y=-x² +2x+3 即y=x² -2x-3
-5
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练习1.已知一个二次函数的图象过点 （0，1），它的顶点坐标是（8，9）， 求这个二次函数的关系式． 1 2 y ( x 8) 9 8 2.已知二次函数的图象过（0，1）、 （2，4）、（3，10）三点，求这个二次 函数的关系式． 3 2 3 y x x 1 2 2
5
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Ａ
B
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例4:已知：二次函数 的图像的顶点的坐标 是（1，4）,并且抛物 线与x轴的两个交点的 距离是4，求这个函数 的解析式。
-2
x＝１
-4
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例5:已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其 中A的坐标为（-1，0）B的坐标为（3，0），并且 △ABC的面积是6，求这个函数的解析式。 分析：由题意可知OC的长是3，所以 C 点C的坐标为（0，3)或（0，-3）
8
练习3
已知抛物线与x轴交于A（－1，0）， B（2,0）并经过点M(0,1），求抛物 线的解析式？
1 1 2 1 y ( x 1)( x 2) x x 1 2 2 2
江苏省太仓市第二中学中考数学 二次函数复习课件
ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项正确的是 （
）
(A)1.6<x1<1.8
(B)1.8<x1<2.0
(C)2.0<x1<2.2
(D)2.2<x1<x1<2.2时，
-0.20<ax2+bx+c<0.22.
4.二次函数y=x2+4的最小值是_______. 【解析】当x=0时，y最小值=4. 答案：4
【解析】（1）当t=5时，y=195;当t=25时，y=205. ∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分 钟时更集中.
(2)当0<t≤10时，y=-t2+24t+100 =-(t-12)2+244, 该图象的对称轴为t=12. 在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以，当t=10时，有 最大值240. 当20<t≤40时，y=-7t+380,y随t的增大而减小， 所以，当t=20时，y有最大值240. 所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中， 能持续10分钟.
(3)当0<t≤10时， 令y=-t2+24t+100=180, ∴t=4.当20<t≤40时， 令y=-7t+380=180, ∴t≈28.57.所以，学生注意力在180以上的持续时间为 28.57-4=24.57(分钟）. 所以，经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态 下讲解完这道题目.
1.（2008·鸡西中考）对于抛物线y=
(x-5)2+3，下列
说法正确的是
（）
(A)开口向下，顶点坐标（5，3）
(B)开口向上，顶点坐标（5，3）
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的应用课件(2) 苏科版共34页
人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
江苏省太仓市第二中学九年级数学下 册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
江苏省太仓市第二中学九年级数学下 册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的图象和性质课件 苏科版
在对称 轴左侧
Y随x的增 大而减小 Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小 Y随x的增 大而增大
在对称 轴右侧
Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小 Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小
a＞0
y=ax2 a＜0
向上
向下
y=ax2+ k
a＞0 a＜0
向上
向下
二次函数y=a(x-h)2的性质
Y的最 值
在对称 轴左侧
在对称 轴右侧
a＞0 y=ax2 a＜0 a＞0
向上
Y轴（0，0）Fra bibliotek最小值是0
Y随x的增大而 减小
Y随x的增大而 增大
向下
Y轴
（0，0）
最大值是0 Y随x的增大而
增大
Y随x的增大而 减小
向上
Y轴
（0，k）
最小值是k
Y随x的增大而 Y随x的增大而 减小 增大
y=ax2+k
a＜0
向下
（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函 数 y=2（x-3）2 的图像，其对称轴是 直线x=3 ，顶点 是 （ 3， 0） ，当x ＞3 时，y随x的增大而增大；当 x ＜3 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后 2 得到函数 y= -3（x+1） 的图像，其顶点坐标是 （-1，0） ， 对称轴是 直线x=-1 ，当x= -1 时，y有最 大 值， 是0 .
y=9（x－3）2 的
图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向 上 ，对 （－2，0） 称轴是 直线x=－2 ，顶点坐标是 ，当x ＞－2 时， y随x的增大而增大，当x= －2 时，y有最 小 值是 0 .
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的图象课件(1) 苏科版
图像的开口大小不一样 a决定了图像在同一直角坐标 系中的开口大小: |a|越小图像开口就越大
1.下列二次函数图像开口，按从 小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1)
1 2 1 2 (1)f(x)= x ; (2)f(x)= x 4 2
1 2 2 (3)f(x)=- x ; (4) f(x)=-3x 3
(2)图象关于y轴对称.
(3) 图象顶点在原点.
y=2x2
1 y= 2x2
y=2x2
y=x2
观察图象，回答问题： (1)、 y=x2 ， y=2x2， 2 图象的相 y=-x2 ， y= 1 x 2 同点是什么？不同点是什 么？
相同点：图象都是抛物线，抛物线y=ax2的顶 点是原点，对称轴是y轴。 不同点：当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除 顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展； 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点 外），它的开口向下，并且向下无限伸展。且开 口大小不同.
二次函数y=ax² + bx+c（a ≠ 0） 其图象又是什么呢？。
Zx````xk
2 二次函数y=ax 的图像
x
y=x2 y= - x2 ...
... ...
-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25
-1 -0.5 1
0
0.5 0.25 -0.25
1 1 -1
1.5 2.25
2
...
0.25 0 -1 -0.25 0
练习
1.填空：已知二次函数 （1）y=-x2;
（3）y=15x2
（5） ；
zx```xk
（2）
3； 2 y x 5
（4） y=-4x2; （6） y=4x2.
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数课件2 苏科版
二次函数（2）
3.(2010·济南中考)二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则
函数值y＜0时x的取值范围是(
(A)x＜-1 (C)-1＜x＜2 (B)x＞2
)
(D)x＜-1或x＞2
【解析】选C.由图象观察可得.
二、填空题(每小题6分，共24分) 6.(2010·金华中考)若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图 所示，关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=】根据二次函数图象的对称性可得 .
答案：-1
2．(2010·成都中考)把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得
抛物线的函数解析式为(
(A)y=x2+1
)
(B)y=(x+1) 2
(C)y=x2-1
(D)y=(x-1)2
【解析】选D.根据抛物线的平移规律，左右平移，变自变量，
“左加右减”，故选D.
8.(2010·镇江中考)已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的 最大值为_____. 【解析】式子可变形为x+y=-x2-2x+3，利用配方法或公式法 可求得-x2-2x+3=-(x2+2x+1)+4=-(x+1)2+4. 即：x+y的最大值为4. 答案：4
3.(2010·济南中考)二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则
函数值y＜0时x的取值范围是(
(A)x＜-1 (C)-1＜x＜2 (B)x＞2
)
(D)x＜-1或x＞2
【解析】选C.由图象观察可得.
二、填空题(每小题6分，共24分) 6.(2010·金华中考)若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图 所示，关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=】根据二次函数图象的对称性可得 .
答案：-1
2．(2010·成都中考)把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得
抛物线的函数解析式为(
(A)y=x2+1
)
(B)y=(x+1) 2
(C)y=x2-1
(D)y=(x-1)2
【解析】选D.根据抛物线的平移规律，左右平移，变自变量，
“左加右减”，故选D.
8.(2010·镇江中考)已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的 最大值为_____. 【解析】式子可变形为x+y=-x2-2x+3，利用配方法或公式法 可求得-x2-2x+3=-(x2+2x+1)+4=-(x+1)2+4. 即：x+y的最大值为4. 答案：4
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
d 在变化，设为（ ，h 4 y 2 线
x (10,0) 解析式可得 d 关系式； (-10,0) O 与h d
( 0,-4 )
）代入抛物
A( 2,h-4)
（2）设水位上升hm时，水面与抛物线
d 交于点（ ，h 4 2
1 d 则 h4 × 25 4
2
）
∴
d 10 4 h
（3）设正常水位时桥下的水深为2m， 为保证过往船只顺利航行，桥下水面的 宽度不得小于18m，求水深超过多少米 时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
C
y
∴该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5
B A O
2.5米
4米
3.05米
(2) 问球出手时离地面多高时才能投
中？
C
A
3.05米
x
球的出手点A的横 坐标为-2.5，将x=2.5代入抛物线表达 式得y=2.25,即当出 手高度为2.25m时， 才能投中。
O
2.5米
如图，一个学生推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约 1.4米，铅球落在点B处，铅球运行中在学生前3米处（即OC＝3）达 到最高点，最高点高为3.2米。已知铅球经过的路线是抛物线。根据图 示的直角坐标系，你能算出该学生的成绩吗？
（3）根据逆向思维可求水面宽度为 18m，即d＝18时，水位上升多少米？
说明：要求抛物线的函 数关系式，关键是确定 其上的点的坐标，再选 用适当的形式求其关系 式。
18 10 4 h ，h 0.76 （3）当d＝18时，
0.76 2 2.76
∴当水深超过2.76m时会影响过往船只 在桥下图所示的直角 坐标系，则球的最高点和 1.在建立的坐标系中,点A、 球篮的坐标分别 C B、C 的坐标分别是怎样 (0,3.5),B(1.5,3.05). 的? 设所求的二次函数的表达 2. 抛物线的解析式如何设 式为y=ax2+c.将点B和点C的 定 ? 坐标代入，得
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的图象课件 苏科版
对称轴是直线x=
b 2a
二次函数的图象
例 1 ．已知二次函数 y x 2 2 x 1，试在 平面直角坐标系画出它的函数图象。
解：
y ( x 1) 2 2
列表
y
4 3 2 1 -2 -1
x -1 0 1 2 3 y=(x-1)2-2 2 -1 -2 -1 2 描点画图 注意：
的顶点坐标 写出对称轴,与坐标轴交点坐标，当x取 何值时，y随x的增大而增大，当x取何值 时，y随x的增大而减小？
1 2 3 1 2 3 解：y x x ( x 2 x 1 1) 2 2 2 2
= -1/2（x+1)2+2
∴抛物线的顶点坐标是（－1，2），对 称轴是直线x＝－1
二次函数的增减性
抛物线 y ax bx c （a 0 ） ， a 0 时，开口向上，结合图象可知：
2
y
b ①当 x 时， y 随着x 的增大而减小； 2a b x y x ②当 时， 随着 的增大而增大； o 2a 2 4ac b b ③当 x 时，函数有最小值 。 4a 2a
3 3 令 x 0，y ， ∴抛物线与y轴交点（0， ） 2 2
令
1 2 3 y 0， x x 0 2 2
的解为
x1 3，x2 1
∴抛物线与x轴交于点(－3，0)，(1，0) 当 X<-1 时，y随x的增大而增大， 当
x 1 时，y随x的增大而减小。
画出y= -x2+2x+3的图象，并分析它的性质
y M(1,4) (2 ,3) (3,0) 1 2 3 x=1 x
(0,3)
• ∵a= —1＜0，∴开口 向下 • 当x=1时，y有最大值4
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的应用课件(2) 苏科版34页PPT
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
江苏省太仓市第二中学九年级数学下 册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
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1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的应用课件(2) 苏科版34页文档
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。10、倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
江苏省太仓市第二中学九年级数学下 册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
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6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
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打开记忆
函数的定义：
在某个变化过程中，有两个变量x和y， 对于x在某一范围内每取一个确定的值，另一 个变量y都有一个唯一确定的值与它对应，那 么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是x 的函数．
问题1
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的 棱长为x,表面积为y, 它们的具体关系可以表示为
年后的产量为 y 201x2
即 y 20 x2 40x 20③
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
d 1 n2 3 n②
22
y 20 x2 40x 20③
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的 函数叫做x的二次函数。
下列函数中，哪些是二次函数？若是,分 别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t²
(4) y=(x+3)²-x²
(5)y= _x1_²-x
(6) v=10π r²
下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2
(是)
(2) y x2 1 x
(否 )
(3) y (x 2)(x 3) ( 是)
(4) y x2 2x 3 (否 )
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2(否)
例２: 关于x的函数 y (m 1)xm2m
是二次函数, 求m的值.
﹛ ﹛ 解: 由题意可得
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
一般地,二次函数y=ax²+bx+c 的自变量 x可以是任何实数.
但在实际问题中，函数自变量的取值 通常有一定的范围.
y=6x2①
（1）求盒子的表面积S与小正方形边长x之间的 函数关系式；并直接写出x的取值范围。
（2）当小正方形边长为3cm时，
求盒子的表面积。
（3）当表面积为125cm2时，求小正方形的边长.
x
x
15
x
x
15
写出下列各函数关系，并判断它们是什 么类型的函数．
１.菱形的两条对角线的和为２６cm， 求菱形的面积Ｓ与一对角线x之间的函 数的关系？
y=6x2①
问题2
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从
一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连
接相同两顶点的对角线是同一条 M
N
对角线,所以多2)当x=3时,矩形的面积为多少?
解：(1) y x(20 2x) (o<x<10)
2x2 20x
(2)当x 3时y 2 32 20 3 42m
做一做:
（１）、用总长为60cm的铁丝围成矩形场 地，矩形面积s(平方厘米)与矩形的一边长 x(cm)之间的关系：
解 : S x(30 x) x2 30 x
（２）矩形的长是4厘米，宽是3厘米， 如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米, 则面积增加到y平方厘米，试写出y与x 的关系式．
解 : y (4 x)(3 2x) 2x2 11x 12
例５ 正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边 长为x(cm)的小正方形，用余下的部分做一个无盖的盒 子
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=ax+b (a ≠0),其中包括正比例函数
y=kx(k≠0),
反比例函数y= k
(k≠0)
二次函数y=ax2+xbx+c(a≠0).
已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，
b，c是常数），
当a ＿＿0＿＿时，是二次函数；
当a ＿ ＿0 ，b ＿0＿时，是一次函数；
2
即 d 1 n2 3 n②
22
问题3
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今 后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x 的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两
解：S= 1 x(26-x)
2
1
= -2 x2+13x
它是一个关于x的二次函数。
(x＞0)
d 1 n2 3 n②
22
(n≥3的整数)
y 20 x2 40x 20③ (x ＞ 0)
二次函数的一
y＝a般x2形＋b式x:＋c
a是二次项系数 b是一次项系数
, (其中a、b、c是常数 a≠0)
C是常数项
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
当a 0，b 0，c 0时，是正比例函数．
例３、y=（m+3）x m2-7 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是反比例函数？ （3） m取什么值时，此函数是二次函数？
练一练
1.若函数y=(m+1)xm2 2m +1(m-3)x+m 是二次函数,则m=___3__
2. y (a 1)xa2 2 (a 3)x a (1)a =0 时为二次函数； (2)a = -1 时为一次函数．
练习
3. 已知函数 y (k 2 k )x2 kx 2 k (1) k为何值时，y是x的二次函数？ (2) k为何值时，y是x的一次函数？
例４.要用长20m的铁栏杆，一面靠墙， 围成一个矩形的花圃，设连墙的一边 为x,矩形的面积为y,试(1)写出y关于x 的函数关系式.
m2 m 2
m1= -1 m2=2
m1 0
m≠ -1
解得，m 2
当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
练习:1.m取何值时，函数 y=(m+1)x m2 2m1 +(m-3)x+m 是二次函数？
2.当k为何值时，函数
y=(k-1) xk2 1 +3为二次函数
函数的定义：
在某个变化过程中，有两个变量x和y， 对于x在某一范围内每取一个确定的值，另一 个变量y都有一个唯一确定的值与它对应，那 么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是x 的函数．
问题1
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的 棱长为x,表面积为y, 它们的具体关系可以表示为
年后的产量为 y 201x2
即 y 20 x2 40x 20③
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
d 1 n2 3 n②
22
y 20 x2 40x 20③
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的 函数叫做x的二次函数。
下列函数中，哪些是二次函数？若是,分 别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t²
(4) y=(x+3)²-x²
(5)y= _x1_²-x
(6) v=10π r²
下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2
(是)
(2) y x2 1 x
(否 )
(3) y (x 2)(x 3) ( 是)
(4) y x2 2x 3 (否 )
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2(否)
例２: 关于x的函数 y (m 1)xm2m
是二次函数, 求m的值.
﹛ ﹛ 解: 由题意可得
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
一般地,二次函数y=ax²+bx+c 的自变量 x可以是任何实数.
但在实际问题中，函数自变量的取值 通常有一定的范围.
y=6x2①
（1）求盒子的表面积S与小正方形边长x之间的 函数关系式；并直接写出x的取值范围。
（2）当小正方形边长为3cm时，
求盒子的表面积。
（3）当表面积为125cm2时，求小正方形的边长.
x
x
15
x
x
15
写出下列各函数关系，并判断它们是什 么类型的函数．
１.菱形的两条对角线的和为２６cm， 求菱形的面积Ｓ与一对角线x之间的函 数的关系？
y=6x2①
问题2
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从
一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连
接相同两顶点的对角线是同一条 M
N
对角线,所以多2)当x=3时,矩形的面积为多少?
解：(1) y x(20 2x) (o<x<10)
2x2 20x
(2)当x 3时y 2 32 20 3 42m
做一做:
（１）、用总长为60cm的铁丝围成矩形场 地，矩形面积s(平方厘米)与矩形的一边长 x(cm)之间的关系：
解 : S x(30 x) x2 30 x
（２）矩形的长是4厘米，宽是3厘米， 如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米, 则面积增加到y平方厘米，试写出y与x 的关系式．
解 : y (4 x)(3 2x) 2x2 11x 12
例５ 正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边 长为x(cm)的小正方形，用余下的部分做一个无盖的盒 子
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=ax+b (a ≠0),其中包括正比例函数
y=kx(k≠0),
反比例函数y= k
(k≠0)
二次函数y=ax2+xbx+c(a≠0).
已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，
b，c是常数），
当a ＿＿0＿＿时，是二次函数；
当a ＿ ＿0 ，b ＿0＿时，是一次函数；
2
即 d 1 n2 3 n②
22
问题3
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今 后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x 的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两
解：S= 1 x(26-x)
2
1
= -2 x2+13x
它是一个关于x的二次函数。
(x＞0)
d 1 n2 3 n②
22
(n≥3的整数)
y 20 x2 40x 20③ (x ＞ 0)
二次函数的一
y＝a般x2形＋b式x:＋c
a是二次项系数 b是一次项系数
, (其中a、b、c是常数 a≠0)
C是常数项
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
当a 0，b 0，c 0时，是正比例函数．
例３、y=（m+3）x m2-7 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是反比例函数？ （3） m取什么值时，此函数是二次函数？
练一练
1.若函数y=(m+1)xm2 2m +1(m-3)x+m 是二次函数,则m=___3__
2. y (a 1)xa2 2 (a 3)x a (1)a =0 时为二次函数； (2)a = -1 时为一次函数．
练习
3. 已知函数 y (k 2 k )x2 kx 2 k (1) k为何值时，y是x的二次函数？ (2) k为何值时，y是x的一次函数？
例４.要用长20m的铁栏杆，一面靠墙， 围成一个矩形的花圃，设连墙的一边 为x,矩形的面积为y,试(1)写出y关于x 的函数关系式.
m2 m 2
m1= -1 m2=2
m1 0
m≠ -1
解得，m 2
当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
练习:1.m取何值时，函数 y=(m+1)x m2 2m1 +(m-3)x+m 是二次函数？
2.当k为何值时，函数
y=(k-1) xk2 1 +3为二次函数