通用版2019版高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形9阅读与欣赏三教案理
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图象与性质教学案(含解析)
【第4节 三角函数的图象与性质】之小船创作考试要求 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内的单调性.知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎭⎪⎪⎫3π2，－1，(2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 RR{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 最小2π2ππ[常用结论与微点提醒]1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( )(3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( )(4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x在每一个区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(新教材必修第一册P213T3改编)下列函数中，是奇函数的是( )A.y ＝|cos x ＋1|B.y ＝1－sin xC.y ＝－3sin(2x ＋π)D.y ＝1－tan x解析 选项A 中的函数是偶函数，选项B ，D 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y ＝－3sin(2x ＋π)＝3sin 2x ，所以是奇函数，选C. 答案 C3.(老教材必修4P36T2改编)函数y ＝－32cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x －π6＋3的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π A ＝32B.T ＝π2A ＝92C.T ＝4π A ＝92D.T ＝2π A＝－32解析 T ＝2π12＝4π，A ＝32＋3＝92.答案 C4.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B.1C.35D.15解析cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A5.(2019·北京卷)函数f (x )＝sin 22x 的最小正周期是________.解析 由降幂公式得f (x )＝sin 22x ＝1－cos 4x 2＝－12cos 4x＋12，所以最小正周期T ＝2π4＝π2.答案 π26.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6.答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________.(2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________.解析 (1)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π（k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π（k ∈Z ）， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z规律方法 三角函数与基本初等函数复合，求其定义域，一般有以下几种情形： (1)分式中的分母不为零；(2)偶次方根下的数(或式)大于等于零； (3)指数式的底数大于零且不等于1；(4)对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零；(5)由几部分数学式子组成的，那么函数的定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.【训练1】 (一题多解)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________.解析 法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z .法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 考点二 三角函数的值域(最值) 【例2】 (1)函数y ＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的值域为________. (2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2的最大值是________. 解析(1)∵y ＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6， ∴函数y ＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的值域为[－3，3].(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1]. ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1.答案 (1)[－3，3] (2)1规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型： (1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)(2020·衡水调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 解析 (1)由x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12－2，1.答案(1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，π (2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12－2，1考点三 三角函数的周期性与对称性多维探究角度1 三角函数的周期性【例3－1】 (1)函数f (x )＝|tan x |的最小正周期是______. (2)函数f (x )＝cos 232x －sin 232x 的最小正周期是________.解析 (1)y ＝|tan x |的图象是y ＝tan x 的图象保留x 轴上方部分，并将下方的部分翻折到x 轴上方得到的，所以其最小正周期为π.(2)函数f (x )＝cos 232x －sin 232x ＝cos 3x ，最小正周期T ＝2π3.答案 (1)π (2)2π3规律方法 三角函数周期的一般求法：(1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 和函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的最小正周期T ＝2π|ω|；(2)函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)＋k 的最小正周期T ＝π|ω|；(3)不能用公式求周期的函数，可考虑用图象法求周期.角度2 三角函数图象的对称性【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)若函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)图象的一个对称中心为M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π9，0，距离点M 最近的一条对称轴为直线x ＝5π18，则ω＝________. 解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6， 函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称.(2)函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3，因为图象的对称中心为M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π9，0，距离点M 最近的一条对称轴为x ＝5π18，所以5π18－π9＝T 4，即T ＝2π3.故ω＝2πT ＝3.答案 (1)C (2)3规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练3】 (1)(角度1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2π3，0 B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π3，0 C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π3，0 (2)(角度2)(2020·武汉调研)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎪⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3解析 (1)由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π， 得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2π3，0. (2)f (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋θ－3cos⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π3＝±2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.答案 (1)A (2)A考点四 三角函数的单调性多维探究角度1 求三角函数的单调区间【例4－1】 (1)(2020·岳阳质检)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5π3，π3B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5π6，7π6 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，2π D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2π3，4π3 (2)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间是______.解析 (1)由2k π－π2≤x 2＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得，4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3(k ∈Z )，又x ∈[－2π，2π]，所以－5π3≤x ≤π3.故y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5π3，π3.故选A.(2)由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ). 答案 (1)A(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 角度2 根据三角函数的单调性求参数 【例4－2】 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.解析 由π2<x <π，ω>0得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，54. 答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，54 规律方法 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练4】 (1)(角度1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z )B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ) (2)(角度2)(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D.π解析 (1)函数的解析式可化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ). (2)f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4， 由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 (1)D (2)AA 级 基础巩固一、选择题1.函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C.πD.2π解析∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π.答案 C 2.函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π6B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－π12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） 解析 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.答案 D 3.若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2B.π3C.π4D.π6解析 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.答案 D 4.若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( )A.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x 解析∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2上单调递增. 答案 B5.(2019·昆明诊断)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( ) A.周期为π，最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称，为奇函数B.周期为π，最大值为1，图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π8，0对称，为奇函数C.周期为π，最大值为1，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π8，π8上单调递减，为奇函数D.周期为π，最大值为1，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数 解析 将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2＝sin 2x 的图象，则函数g (x )的周期为π，最大值为1，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π4上单调递增，且为奇函数，故选D. 答案 D 二、填空题 6.函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 解析 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4， 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 7.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23.答案 238.(2020·合肥调研)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π6，则下列说法正确的是________(填序号). ①f (x )的周期是π2；②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；③直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴；④f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎥⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z . 解析 函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x＝5π3不是f (x )的对称轴，③错；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎥⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，④正确. 答案 ④ 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋12.由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使得f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.故实数m 的最小值为π3.10.已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )的图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π4，且T＝π，∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，3π8；令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )，令k ＝0，得f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3π8，π2. B 级 能力提升11.(2020·山西百日冲刺)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≤π4，cos x ，x >π4，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是周期函数 B.f (x )是奇函数C.f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D.f (x )在5π2处取得最大值解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可知函数f (x )不是周期函数，所以A 不正确；同时图象不关于原点对称，所以不是奇函数，所以B 不正确； 若x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝22(cos x －sin x )， f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝22(cos x －sin x )，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ； 若x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝22(cos x ＋sin x )， f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝22(cos x ＋sin x )， 此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ，综上，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ，即图象关于直线x ＝π4对称，所以C 正确；当x ＝5π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＝cos 5π2＝0不是函数的最大值，所以D 错误，故选C.答案 C12.(2019·长沙模拟)已知P (1，2)是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点，设∠BPC ＝θ，若tan θ2＝34，则f (x )图象的对称中心可以是( ) A.(0，0)B.(1，0)C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，0D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫52，0 解析 由已知作出图形，连接BC ，过P 作BC 的垂线，如图所示.由题意知A ＝2.又∠BPC ＝θ，所以tan θ2＝12BC 2×2＝34，解得BC ＝6，所以T ＝6＝2π|ω|，又∵ω>0，解得ω＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3x ＋φ.将点P (1，2)的坐标代入函数解析式，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3＋φ＝2，解得φ＝π6＋2k π(k ∈Z ).令k ＝0，得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x ＋π6.令π3x ＋π6＝m π(m ∈Z )，解得x ＝3m －12(m ∈Z ).令m ＝1，得x ＝52，即f (x )图象的对称中心可以是⎝⎛⎭⎪⎪⎫52，0.故选D.答案 D 13.若函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________. 解析 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ). 又∵函数g (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4a ，7π6上均单调递增，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a 3≤π6，4a ≥2π3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.答案⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π6，7π24 14.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.C 级 创新猜想15.(开放题)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＋1，将f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若g (x 1)g (x 2)＝9，则|x 1－x 2|的值可以是________(答案不唯一，写出一个即可).解析 f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＋1＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，将函数f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则所得图象对应的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6，再将所得的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6＋1的图象，则函数g (x )的值域为[－1，3]，又g (x 1)g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝g (x )max ＝3，则|x 1－x 2|＝nT (n ∈N ，T 为g (x )的最小正周期)，又T＝π2，故|x 1－x 2|＝n π2(n ∈N )，故可填π2.答案 π2(答案不唯一)。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.5三角恒等变换教学案 理
4.5 三角恒等变换考纲要求1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．1234．形如a sin α＋b cos α的化简a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝__________，sin φ＝__________，即tan φ＝b a.1．(2012重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )．A ．－32B ．－12C ．12D ．322．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( )． A ．－cos 1 B ．cos 1C ．3cos 1D ．－3cos 13．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4等于( )． A ．－a B ．a C ．1－a D ．1＋a4．函数f (x )＝2sin x －2cos x 的值域是__________．5．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则tan 2α＋1cos 2α＝__________.一、两角和与差的三角函数公式的应用【例1－1】在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )．A.14B.13C.12D.53【例1－2】 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .方法提炼1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．请做演练巩固提升2 二、角的变换【例2－1】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－34，则sin 2x ＝__________.【例2－2】 已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．方法提炼1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.提醒：特殊的角也看成已知角，如α＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.请做演练巩固提升3三、三角函数式的化简、求值【例3－1】 化简：1＋sin α＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π＜α＜2π)．【例3－2】 已知34π＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103，求5sin2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值．方法提炼1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则．(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．2．三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数的值，其次判断该角对应的区间，从而达到解题的目的．请做演练巩固提升5 四、三角恒等式的证明【例4－1】 求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.【例4－2】 已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，证明：α＋β＝π4. 方法提炼1．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简、左右归一或变更论证．2．三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．请做演练巩固提升6不能挖掘隐含条件而增解【典例】 若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．错解：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425.∵θ∈(0，π)，∴2θ∈(0,2π)．∴cos 2θ＝±1－2sin 22θ＝±725.正解：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425，即2sin θcos θ＝－2425＜0.则sin θ与cos θ异号．又sin θ＋cos θ＝15＞0，∴π2＜θ＜3π4.∴π＜2θ＜3π2. 故cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725.答题指导：涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．1．(2012辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )．A ．－1B ．－22 C.22D ．12．如果cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )．A ．－a 2B.a2 C ．－a D ．a 3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )．A.2941B.129C.141 D ．1 4．sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°·1－cos 20°＝__________.5．化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β.6．已知sin β＝m sin(2α＋β)(m ≠1)，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－mtan α.参考答案基础梳理自测知识梳理1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－11－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 3．2α α 1－2sin 2α22cos2α2－1±1－cos α2±1＋cos α2 sin α1＋cos α 1－cos αsin α 4．a a 2＋b2ba 2＋b 2基础自测1．C 解析：因为sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°，所以原式＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12， 故选C.2．C 解析：2＋cos 2－sin 21＝1－sin 21＋1＋cos 2＝cos 21＋2cos 21＝3cos 1.3．B 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝a ＝22(sin θ＋cos θ)， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(sin θ＋cos θ)，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a . 4．[－22，22]解析：f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，又－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，∴－22≤f (x )≤2 2.5．2 013 解析：tan 2α＋1cos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α ＝1＋tan α1－tan α＝2 013. 考点探究突破【例1－1】 B 解析：由题意得 tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3，又tan A ＋tan B ＝233，解得tan A tan B ＝13.故选B.【例1－2】 解：原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 【例2－1】 18 解析：sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－1＝18.【例2－2】 解：∵π4＜α＜3π4，∴－3π4＜－α＜－π4，－π2＜π4－α＜0.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45. ∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4＋β＜π.又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝3665＋2065＝5665.【例3－1】 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2·(－cos α)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π.∴cos α2＜0.∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.【例3－2】 解：∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0，解得tan α＝－3或tan α＝－13.又∵3π4＜α＜π，∴tan α＝－13.∵5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝5·1－cos α2＋4sin α＋11·1＋cos α2－8－2cos α＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22＝－526.【例4－1】 证明：∵左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．【例4－2】 证明：∵3sin β＝sin(2α＋β)， 即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)， ∴3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α.又∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝12.∴tan(α＋β)＝2tan α＝1.∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β＝π4.演练巩固提升1．A 解析：将sin α－cos α＝2两端同时平方得，(sin α－cos α)2＝2， 整理得1－2sin αcos α＝2，于是sin 2α＝2sin αcos α＝－1，故选A. 2．C 解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a . 3．D 解析：tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝29352935＝1，故选D.4. 2 解析：∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1，cos 80°·1－cos 20°＝sin 10°·2sin 210°＝2sin 210°.∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 5．解：解法一：原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.解法二：原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos2β＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2α·cos 2β＝12＋12cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝12.6．证明：由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α得sin[(α＋β)－α]＝m ·sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，即(1－m )sin(α＋β)cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α. 两边同除以(1－m )cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝1＋m1－mtan α(m ≠1)，即等式成立．。
高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象与性质教学案 理
4.3 三角函数的图象与性质考纲要求1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．周期函数及最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f (x )为周期函数，T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．x ∈Rx ∈Rx ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z ______ ______ ______在______上递增，1．函数y ＝cos ⎝⎭⎪x ＋3，x ∈R ()．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数_D ．既是奇函数又是偶函数2．下列函数中，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数的是( )．A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象的一条对称轴方程是( )．A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )．A ．0B ．1C ．－1D ．π45．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )．A ．π3B ．2π3C ．π D．4π3一、三角函数的定义域与值域【例1】(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域．(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．方法提炼1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x ，cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．请做演练巩固提升2二、三角函数的单调性【例2－1】已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数【例2－2】设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值和最小值．方法提炼1．熟记y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间即可，注意A 的正负以及要先把ω化为正数．求y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 和y ＝A tan(ωx ＋φ)＋k 的单调区间类似．请做演练巩固提升3三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性【例3－1】设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称图形；④在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________(用序号表示即可)．【例3－2】(2012湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域．方法提炼1．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；(3)利用图象．2．三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．请做演练巩固提升1不注意A ，ω的符号，易把单调性弄反或把区间左右的值弄反【典例】设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5③f (x )既不是奇函数也不是偶函数④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是__________(写出正确结论的编号)．解析：由f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴，又f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 的周期为π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3π4可看作x ＝π6的值加了34个周期．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝0，故①正确．∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30，∴7π10和π5与对称轴的距离相等．∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，故②不正确． ∵x ＝π6是对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.∴π3＋φ＝±π2＋2k π，k ∈Z .∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z .∵tan φ＝b a ＝13，∴a ＝3b .∴f (x )＝2|b |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6或f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6.∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知，f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ，f (x )＝2|b |sin⎝⎛⎭⎪⎫2x －56π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z ，由于f (x )的解析式不确定，∴单调递增区间也不确定，故④不正确．∵f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，∴－a 2＋b 2≤f (x )≤a 2＋b 2.又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0.∴－a 2＋b 2＜b ＜a 2＋b 2.∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图象相交，故⑤不正确． 答案：①③答题指导：1．在解答本题时易犯以下两点错误：(1)在求④中f (x )的单调递增区间时，运算化简不准确，而使判断错误；(2)对于⑤的判断不是根据推导，而是凭借印象想当然做出判断，而使解答错误．2．解决三角函数性质的问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：(1)化简时公式应用要准确；(2)有的题目涉及到角的范围时要考虑全面； (3)和其他内容结合时要注意三角函数的值域．1．(2012大纲全国高考)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )．A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π32．函数y ＝ln(sin x －cos x )的定义域为__________．3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递增区间为__________．4．已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．5．已知函数f (x )＝sin x (cos x －3sin x )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a ⎝⎛⎭⎪⎫0＜a ＜π2个单位，向下平移b 个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，求a ，b 的值；(3)求函数f (x )的单调增区间．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．f (x ＋T )＝f (x )2．{y |－1≤y ≤1} {y |－1≤y ≤1} R ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π π2＋2k π－π2＋2k π 2k π π＋2k π 奇 偶 奇 (k π，0)，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z x ＝k π＋π2，k ∈Z x ＝k π，k ∈Z 2π 2π π基础自测1．C 解析：∵f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R 既不是奇函数，也不是偶函数．2．D 解析：y ＝sin x 和y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数，y＝sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上不单调，y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数．3．B 解析：令2x ＋π2＝k π(k ∈Z )．即x ＝k π2－π4(k ∈Z )，检验知，x ＝－π4，故选B.4．A 解析：由题意，周期T ＝π4，∴ω＝πT ＝4.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫4×π4＝tan π＝0.故选A.5．A 解析：画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，故选A.考点探究突破 【例1】解：(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，即函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2，或0<x <π2.(2)设sin x ＝t ，则t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，22. ∴y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，22. 故当t ＝12，即x ＝π6时，y max ＝54，当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝1－22. 【例2－1】A 解析：∵函数f (x )的最小正周期为6π， ∴2πω＝6π，得ω＝13，在x ＝π2时，函数f (x )取得最大值，∴13×π2＋φ＝2k π＋π2. 又∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π3.由2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k π－52π≤x ≤6k π＋12π(k ∈Z )．∴f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k π－52π，6k π＋π2(k ∈Z )．取k ＝0，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52π，π2是f (x )的一个增区间，∴函数f (x )在区间[－2π，0]上是增函数．【例2－2】解：f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin 2x－cos 2x .由f ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3.因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )为增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4，f (x )为减函数， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2. 又因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2. 【例3－1】①②⇒③④(答案不唯一，也可填①③⇒②④) 解析：若把①②作条件可知ω＝2ππ＝2，ωx ＋φ＝2×π12＋φ＝k π＋π2，取φ＝π3.因此f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 可验证③④都是正确的，因此①②⇒③④，同理可验证①③⇒②④.【例3－2】解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．演练巩固提升1．C 解析：∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，∴f (0)＝±1.∴sin φ3＝±1.∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C.2．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z解析：由已知得sin x －cos x ＞0，即sin x ＞cos x .在[0,2π]内满足sin x ＞cos x 的x 的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π.又正弦、余弦函数的周期为2π，∴所求定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ π4＋2k π<x <⎭⎬⎫54π＋2k π，k ∈Z . 3．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z ) 解析：由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )．4．解：(1)f (x )＝sin x 2＋3cos x2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2＝2cos x 2.∴g (－x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝2cos x2＝g (x )，∴函数g (x )是偶函数．5．解：f (x )＝sin x (cos x －3sin x )＝sin x cos x －3sin 2x＝12sin 2x －3×1－cos 2x 2＝12sin 2x ＋32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32.(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a 个单位得y ＝sin 2(x ＋a )的图象，再向下平移b 个单位，得函数y ＝sin(2x ＋2a )－b 的图象，依题意得a ＝π6，b ＝32.(3)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 三角函数的图象与性质教案 理(含解析)
【第3讲 三角函数的图象与性质】之小船创作基础知识整合正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．3．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的定义域是( )答案 D 解析y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k ∈Z .故选D.2．(2019·长沙模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2π，－5π3B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，2π C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5π3，π3 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，2π 答案 C解析 令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3(k ∈Z )，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5π3，π3.故选C.3．(2019·衡水中学调研)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22 D ．0答案 B 解析 由已知x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最小值为－22. 4．(2019·柳州摸底)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的周期为πB ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π12，0对称 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2上是增函数 D ．f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称答案 C解析 T ＝2π2＝π，A 正确；x ＝π12时，2x －π6＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12＝sin0＝0，B 正确；由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k∈Z )得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k ∈Z )，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π3上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，π2上单调递减，C 错误；x ＝－π6时，2x－π6＝－π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＝－1，D 正确．故选C. 5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.答案 5 3π4＋2k π(k ∈Z )解析 函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．核心考向突破考向一 三角函数的定义域例1 (1)(2019·烟台模拟)函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R 答案 C解析 ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .(2)(2019·江苏模拟)函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为________．答案⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg sin2x ＋9－x2的定义域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2. 触类旁通错误!2求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴.3对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式组分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集.即时训练 1.函数y ＝2sin x －1的定义域为( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，5π6 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π6，k π＋5π6(k ∈Z ) 答案 B解析 由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．2．函数y ＝lg (sin x －cos x )的定义域是________． 答案x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫π4＋2k π<x <5π4＋2k π，k ∈Z解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x >0.解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示：在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4，5π4内sin x >cos x ，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫π4＋2k π<x <5π4＋2k π，k ∈Z .解法二：利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x >cos x ，只须π4<x <5π4(在[0,2π]内)．所以定义域为x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫π4＋2k π<x <5π4＋2k π，k ∈Z .解法三：sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4>0，由正弦函数y＝sin x 的图象和性质可知2k π<x －π4<π＋2k π，解得2k π＋π4<x <5π4＋2k π，k ∈Z .所以定义域为x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫π4＋2k π<x <5π4＋2k π，k ∈Z .考向二 三角函数的值域例2 (1)(2019·青海模拟)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，0上的值域是________．答案 [－1， 2 ]解析 因为－π2≤x ≤0，所以－3π4≤2x ＋π4≤π4，所以当2x ＋π4＝－3π4，即x ＝－π2时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1；当2x ＋π4＝0，即x ＝－π8时，f (x )有最大值，f (x )max＝2，即f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，0上的值域为[－1， 2 ]．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的最大值与最小值的差为________．答案 2解析 令t ＝sin x －cos x ，又x ∈[0，π]， ∴t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4，t ∈[－1，2]．由t ＝sin x －cos x ，得t 2＝1－2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t22.∴原函数变为y ＝t ＋1－t22，t ∈[－1，2]．即y ＝－12t 2＋t ＋12.∴当t ＝1时，y max ＝－12＋1＋12＝1；当t ＝－1时，y min ＝－12－1＋12＝－1.故函数的最大值与最小值的差为2. 触类旁通求解三角函数的值域最值，首先把三角函数化为y＝A sin ωx ＋φ＋k 的形式，再求最值值域，或用换元法令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x化为关于t 的二次函数求值域最值.解题时要注意所换元的取值范围.即时训练 3.(2018·银川模拟)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．答案 2－3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6x －π3≤1， 故－3≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6x －π3≤2. 即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3.4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.考向三 三角函数的性质角度1 三角函数的奇偶性例3 (1)已知函数y ＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋θ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )A ．0 B.π6 C.π4 D.π3答案 B解析 因为函数f (x )为偶函数，所以θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )．又因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，所以θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意．故选B.(2)(2019·哈尔滨模拟)若函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数，则|φ|的最小值为________．答案 π6解析 依题意得，－π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋5π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.角度2 三角函数的对称性例4(1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称答案 A解析 由T ＝π知ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3. 函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )．故选A.(2)(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．答案 －π6解析 ∵函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π3对称，∴x ＝π3时，函数取得最大值或最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3＋φ＝±1. ∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π6.角度3 三角函数的单调性 例 5 (1)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的一个单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4，7π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3π4，π4 答案 A 解析y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4，故由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，解得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．因此，函数y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． (2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，12 D ．(0,2)答案 A解析 由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )．∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≥4k ＋12，ω≤2k ＋54.令k ＝0，得12≤ω≤54.故选A.触类旁通函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(wx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．2对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为k π，0k ∈Z求解，令ωx＋φ＝k πk∈Z得其对称中心.,利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋\f(π,2)k ∈Z 求解，令ωx ＋φ＝k π＋\f(π,2)k ∈Z得其对称轴.即时训练 5.(2019·长沙模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2内单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，3π4内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2内单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4，3π4内单调递增 答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x .因为当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2内单调递减． 6．设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2π3上是减函数，那么ω的值可以是( )A.12 B ．2 C ．3D ．4答案 A解析 因为函数f (x )＝2cos ωx在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，T 2上单调递减，所以要使函数f (x )＝2cos ωx (ω>0)在区间 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2π3上单调递减，则有2π3≤T 2，即T ≥4π3，所以T ＝2πω≥4π3，解得ω≤32.所以ω的值可以是12.故选A.7．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案 π6解析 依题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－13π6(k ∈Z )，所以|φ|的最小值是π6.。
2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-4三角恒等变换课件文
(2)4cos50°－tan40°＝4sin40°－tan40°
＝4sin40°ccooss4400°°－sin40°＝2sin80°－cossin403°0°＋10°
＝2cos10°－12ccooss1400°°－
3 2 sin10°
＝32cos10c°o－s4023°sin10°
＝ 3 cosc3o0s°4＋0°10°＝ 3. [答案] (1)1 (2) 3
第
四
三角函数 解三角形
章
第四节
三角恒等变换
高考概览 1.巧变角：三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察 角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换， 化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问 题顺利获解．对角变换时：(1)可以通过诱导公式、两角和与差的 三角公式等；(2)注意倍角的相对性；(3)注意拆角、拼角技巧，例 如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋2 β－ α－2 β＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，
(2)三角函数求值的方法策略
类型
要点
给角 关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角
求值 函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数
类型
要点
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的 给值
三角函数值，解题关键在于“变角”，使其 求值
角相同或具有某种关系
给值 实质是转化为给值求值，关键是变角，把所
求角 求角用含已知角的式子表示，由所得的函数
角度 1：给角求值 (1)化简：sin50°(1＋ 3tan10°)＝________.
(2)4cos50°－tan40°＝________. 化成“一角一
高三数学第一轮复习 解三角形教案
高三数学第一轮复习解三角形教案三角形是几何学中研究的一个重要的图形，它拥有许多特征和性质，因此在数学中被广泛地研究和应用。
在高三数学第一轮复习中，对于三角形的解题方法和相关知识的掌握是非常重要的。
本文将为大家介绍三角形的基本概念、常用定理和解题技巧。
一、三角形的基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。
2. 三角形的分类：(1) 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、一般三角形。
(2) 根据角度分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
(3) 根据边角关系分类：外角、内角、对角、邻角等。
3. 三角形的元素：三角形的边、角和顶点。
二、三角形的常用定理1. 三角形内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180°。
2. 直角三角形的性质：(1) 斜边平方等于两直角边平方和的定理（勾股定理）。
(2) 直角三角形内角的关系：直角对顶角为90°，直角三角形的其它两个内角为锐角。
三、三角形的解题技巧1. 判断三角形的类型：(1) 根据边长关系判断三角形的类型：边长相等的三角形为等边三角形，两边相等的三角形为等腰三角形，其余为一般三角形。
(2) 根据角度关系判断三角形的类型：有一个角大于90°的三角形为钝角三角形，有一个角等于90°的三角形为直角三角形，其余为锐角三角形。
2. 运用三角形的性质和定理解题：(1) 利用三角形内角和定理解决求角度的问题。
(2) 运用勾股定理解决用已知信息求三角形边长的问题。
(3) 利用等腰三角形的性质解决求角度或边长的问题。
四、三角形解题的思路1. 首先，根据问题中给出的已知条件判断三角形的类型，并利用已知信息列写方程。
2. 其次，根据三角形的性质和定理对三角形进行推导和运算，求解未知量。
3. 最后，验证解答的合理性，并作出结论。
通过掌握三角形的基本概念、常用定理和解题技巧，我们不仅可以更好地理解三角形的属性和性质，还能够灵活运用这些知识解决实际问题。
高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-5三角函数的图象和性质学案理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-5三角函数的图象和性质学案理考纲展示►1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质．考点1 三角函数的定义域与值域正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z). (1)[教材习题改编]函数y＝Asin x＋1(A>0)的最大值是3，则它的最小值是________．答案：－1解析：依题意，得A＋1＝3，所以A＝2，所以函数y＝2sin x＋1的最小值为1－2＝－1.(2)[教材习题改编]不等式2cos x>1的解集为________．答案：解析：不等式2cos x>1，即cos x>，作出y＝cos x的图象(图略)，得解集为.求三角函数最值(值域)的两种方法：化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式来求；换元法．(1)[2013·天津卷改编]函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．答案：－22解析：由x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.(2)已知x∈，则函数y＝－cos2x＋cos x＋1的最小值为________．答案：1－22解析：y ＝－cos2x ＋cos x ＋1＝－2＋，令t ＝cos x ，因为x∈，所以－≤t≤， 所以当t ＝cos x ＝－时，ymin ＝－2＋＝.[典题1] (1)函数y ＝lg(2sin x －1)＋的定义域是________．[答案] ，k∈Z[解析]要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋有意义，则即⎩⎪⎨⎪⎧sin x>12，cos x≤12. 解得2k π＋≤x<2k π＋，k∈Z.即函数的定义域为，k∈Z.(2)函数y ＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值的和为________．[答案] 2－3[解析] ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin ≤1， 故－≤2sin≤2.即函数y ＝2sin(0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－.所以最大值与最小值的和为2－.[题点发散1] 若将本例(2)中的函数换为“y＝3－sin x －2cos2x ，x∈”，如何解决？解：∵x∈，∴sin x∈. 又y ＝3－sin x －2cos2x ＝3－sin x －2(1－sin2x)＝22＋，∴当sin x ＝时，ymin ＝；当sin x ＝－或sin x ＝1时，ymax ＝2.故函数的最大值与最小值的和为2＋＝. [题点发散2] 若将本例(2)中的函数换为“y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]”，如何求解？解：令t＝sin x－cos x，又x∈[0，π]，∴t＝sin，t∈[－1， ]．由t＝sin x－cos x，得t2＝1－2sin xcos x，即sin xcos x＝.∴原函数变为y＝t＋，t∈[－1， ]．即y＝－t2＋t＋.∴当t＝1时，ymax＝－＋1＋＝1；当t＝－1时，ymin＝－－1＋＝－1.故函数的最大值与最小值的和为0. [题点发散3] 若将本例(2)中的函数换为“y＝sin x(cos x－sin x)，x∈”，如何求解？解：y＝sin x(cos x－sin x)＝sin xcos x－sin2x＝sin 2x－1－cos 2x2＝(sin 2x＋cos 2x)－12＝sin－.∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，ymax＝.当2x＋＝或2x＋＝，即x＝0或x＝时，ymin＝0，故函数的最大值与最小值的和为. [点石成金] 1.求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型：(1)形如y ＝asin x ＋bcos x ＋k 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；(2)形如y ＝asin2x ＋bsin x ＋k 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sinx±cos x，化为关于t 的二次函数求值域(最值).1.函数y ＝的定义域为________． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x≤2k π＋5π4，k∈Z解析：解法一：要使函数有意义，必须使sin x －cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.解法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为.解法三：sin x －cos x ＝sin≥0，将x －视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知，2k π≤x－≤π＋2k π(k∈Z)，解得2k π＋≤x≤2k π＋(k∈Z)．所以定义域为.2．函数f(x)＝cos2x ＋sin x 的值域为________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54 解析：f(x)＝cos2x ＋sin x ＝－sin2x ＋sin x ＋1＝－2＋，又∵x∈，∴sin x ∈，∴f(x)∈.考点2 三角函数的单调性(1)[教材习题改编]函数y＝2cos x在区间[－π，0]上是________函数，在区间[0，π]上是________函数．答案：增减解析：由余弦函数的单调性，得函数y＝2cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数．(2)[教材习题改编]函数y＝tan的最小正周期是________，单调增区间是________．答案：2 ，k∈Z 单调性问题中的误区：单调区间表达不全；忽略影响单调性的符号．(1)函数y＝2sin x－1的单调递增区间是_____________．答案：(k∈Z)解析：函数y＝2sin x－1的单调性与正弦函数y＝sin x单调性一致．(2)函数y＝2－3cos x的单调递减区间是_____________________．答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)解析：函数y＝2－3cos x的单调递减区间即为函数y＝－cos x的单调递减区间，也就是函数y＝cos x的单调递增区间，即[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．[典题2] (1)[2017·福建连城朋口中学高三上期中]函数y ＝cos 的单调递增区间是( ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) [答案] B[解析] ∵cos＝cos ，∴只需求y ＝cos 的单调递增区间，由2k π－π≤x－≤2k π得，－＋2k π≤x≤＋2k π，所以y ＝cos 的单调递增区间是 (k∈Z)，故选B.(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是( )A. B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.D ．(0,2][答案] A[解析] 由＜x ＜π得ω＋＜ωx ＋＜πω＋，由题意知⊆，∴ ∴≤ω≤，故选A.[点石成金] 1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再求y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．2．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解．3．若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.求函数f(x)＝sin的单调减区间．解：由已知可得，函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调减区间为(k∈Z)．考点3 三角函数的奇偶性、周期性及对称性续表0) x＝kπ影响奇偶性判断的两个因素：函数化简有误；不注意定义域．下面两题请填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”中的一个．(1)函数y ＝sin 是________．(2)函数f(x)＝|sin x|＋cos x ，x∈[－π，π)是________．答案：(1)偶函数 (2)非奇非偶函数解析：(1)因为y ＝sin ＝sin ＝－sin ＝－cos x ，则函数y ＝sin 是偶函数．(2)因为函数定义域不关于原点对称，所以函数不具奇偶性.正、余弦函数中每一条经过其最值点且垂直于x 轴的直线都是它的________，也就是说正、余弦函数在对称轴处取得__________．答案：对称轴 最大值或最小值[考情聚焦] 正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．主要有以下几个命题角度：角度一三角函数的周期性[典题3] (1)函数y ＝1－2sin2是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为的奇函数D ．最小正周期为的偶函数[答案] A[解析] y ＝1－2sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4 ＝cos 2＝－sin 2x ，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．(2)设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f ＝f ＝－f ，则f(x)的最小正周期为________．[答案] π[解析] ∵f(x)在区间上具有单调性，所以≥－，即T ≥，又f＝f，所以x＝和x＝均不是f(x)的对称轴，其对称轴应为x＝＝，又因为f＝－f，且f(x)在区间上具有单调性，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为＝，故函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π.角度二求三角函数的对称轴或对称中心[典题4] (1)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )B.πA.3C.D.3π4[答案] A[解析] ＝2，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，∴f＝sin＝±1.∵0＜φ＜π，∴＜φ＋＜，∴φ＋＝，∴φ＝. (2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________．[答案] π6[解析] 由题意，得3cos＝3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.角度三三角函数的奇偶性[典题5] 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为( )B.A．0D. πC.3[答案] B [解析] 据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．[点石成金] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检测f(x0)的值进行判断．(3)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是把“ωx＋φ”看作一个整体，然后根据y＝sin x和y＝cos x的图象的对称轴或对称中心进行求解. [方法技巧] 1.讨论三角函数的性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．对于函数y＝sin(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．3．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝.4．三角函数中奇函数一般可化为y ＝Asin ωx 或y ＝Atan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝Acos ωx ＋b 的形式．5．在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，g(x)＝Acos(ωx ＋φ)，x ＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0,0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0.[易错防范] 1.闭区间上的最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调区间时要注意ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．真题演练集训1．[2015·四川卷]下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cosB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案：A 解析：y ＝cos ＝－sin 2x ，最小正周期T ＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确．2．[2016·浙江卷]设函数f(x)＝sin2x ＋bsin x ＋c ，则f(x)的最小正周期( )A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D．与b无关，但与c有关答案：B解析：由于f(x)＝sin2x＋bsin x＋c＝＋bsin x＋c.当b＝0时，f(x)的最小正周期为π；当b≠0时，f(x)的最小正周期为2π.c的变化会引起f(x)图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B. 3．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )B．9A．11D．5C．7答案：B解析：因为x＝－为函数f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，所以＝＋(k∈Z，T为周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在上单调，所以T≥，k≤.又当k＝5时，ω＝11，φ＝－，f(x)在上不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，f(x)在上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9. 4．[2015·浙江卷]函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案：π(k∈Z)解析：∵f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝＋sin 2x＋1＝sin 2x－cos 2x＋32＝sin＋，∴函数f(x)的最小正周期T＝π.令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．5．[2015·重庆卷]已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性．解：(1)f(x)＝sinsin x －cos2x＝cos xsin x －(1＋cos 2x)＝sin 2x －cos 2x －32 ＝sin －，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π.当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．课外拓展阅读三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解．前面考点3中介绍了两种类型，还有如下几种常见类型．1．y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 型函数的最值可将y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 中的sin x 看作t ，即令t ＝sin x ，则y ＝at2＋bt＋c ，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x 的取值范围，求出t 的范围．另外，y ＝acos2x ＋bcosx ＋c ，y ＝asin2x ＋bcos x ＋c 等形式的函数的最值都可归为此类．[典例1] 设x∈，求函数y ＝4sin2x －12sin x －1的最值．[思路分析]令t ＝sin x ，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3→t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1→求得y＝4t2－12t－1的最值，即原函数的最值[解] 令t＝sin x，由于x∈，故t∈.y＝4t2－12t－1＝42－10，因为当t∈时，函数单调递减，所以当t＝－，即x＝－时，ymax＝6；当t＝1，即x＝时，ymin＝－9.2．y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函数的最值可利用降幂公式将y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x整理转化为y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C求最值．[典例2] 求函数y＝sin x(cos x－sin x)的最大值．[思路分析][解] y＝sin x(cos x－sin x)＝sin xcos x－sin2x＝sin 2x－1－cos 2x2＝(sin 2x＋cos 2x)－12＝sin－.因为0<x<，所以<2x＋<，所以当2x＋＝，即x＝时，ymax＝.3．y＝型函数的最值此类题目的特点是分子或分母中含有sin x或cos x的一次式的形式，一般可将其化为f(y)＝sin(ωx＋φ)的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值．[典例3] 求函数y＝的最值．[思路分析][解] 由y＝，得ysin x－cos x＝－2y，所以sin(x－φ)＝－2y(其中φ为辅助角)，所以sin(x－φ)＝，又|sin(x－φ)|≤1，所以≤1，2≤1，解得－1≤y≤1，故ymax＝1，ymin＝－1.4．y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x＋c型函数的最值对于y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c，令sin x＋cos x＝t，t∈[－， ]，因为(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，所以sin xcos x＝，则函数就变为y＝at ＋b·＋c的形式，因此，此类函数的最值也可通过换元转化为二次函数的最值问题．对于形如y＝a(sin x－cos x)＋bsin xcos x＋c的函数也可采用同样的方法，另外，此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同．[典例4] 求函数y＝(4－3sin x)(4－3cos x)的最小值．[思路分析][解] y＝16－12(sin x＋cos x)＋9sin xcos x，令t＝sin x＋cos x，则t∈[－，]，且sin xcos x＝，所以y＝16－12t＋9×＝(9t2－24t＋23)．故当t＝时，ymin＝.5．通过换元转化为代数函数的最值通过换元的方法将三角函数的最值问题转化为代数函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性等求函数的最值．[典例5] 已知x∈(0，π)，求函数y＝的最大值．[思路分析]令sin x＝→转化为求代数函数y＝31t＋3t的最值→利用基本不等式求最值[解] 令sin x＝t(0<t≤1)，则y＝＝≤＝，当且仅当t＝时等号成立．故ymax＝.[典例6] 已知x∈(0，π)，求函数y＝sin x＋的最小值．[思路分析] 令sin x＝t(0<t≤1)，然后求导，利用函数的单调性求最值．[解] 设sin x＝t(0<t≤1)，则原函数可化为y＝t＋，因为y′＝1－＝＝，所以当0<t≤1时，y′<0，则y＝t＋在(0,1]上为减函数，所以当t＝1时，ymin＝3.即函数y＝sin x＋的最小值是3.温馨提示y＝sin x＋型三角函数求最大值时，当sin x>0，a>1时，不能用基本不等式求最值，宜用函数在区间上的单调性求解．。
书稿：高考数学一轮复习教案word文档(文),第四章三角函数及解三角形
(2)已知 sin 2θ<0 ，且 |cos θ|＝－ cos θ，则点 P(tan θ， cos θ)在第几象限？
(1)答案
{
x|2kπ＋
π≤ 3
x≤
2kπ＋
2 3π，
k∈
Z}
Байду номын сангаас
解析
∵ sin
x≥
3 2 ，作直线
3 y＝ 2 交单位圆于
A、B 两点，连接
OA、
OB，则 OA 与 OB 围成的区域 ( 图中阴影部分 )即为角 α的终边的范围，
α 2角终边在第一或第三象限．
探究提高 所有与 α角终边相同的角 (连同角 α在内 )，可以表示为 β＝ k·360°＋ α，
k∈ Z ；在确定 α角所在象限时，有时需要对整数 k 的奇、偶情况进行讨论．
已知角 α＝ 45°，
(1)在区间 [－ 720 °，0°] 内找出所有与角 α有相同终边的角 β； (2)设集合 M ＝ x|x＝ k2× 180°＋45°， k∈ Z ， N＝ x|x＝ k4× 180°＋45°， k∈ Z ，那么两集合的关系是什么？
{ α|k·360 °<α<k·360 °＋ 90°， k∈ Z} ．
(2) 终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数 值相等．
2． 对三角函数的理解要透彻
三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角
( 弧度制 ) 的集合到一个比值的集合的
函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围． y
(2)所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，构成的角的集合是 S＝{ β|β＝ k·360 °＋α，
k∈ Z } ．
高考数学一轮复习《解三角形》教案
福建省长泰一中高考数学一轮复习《解三角形》教案（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(二) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时 三角形中的有关问题1利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 2．余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ⑴ 已知三边，求三角；⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 例1. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 及边c ．解 A 1＝60° C 1＝75° c 1＝226A 2＝120° C 2＝15° c 2＝226-变式训练1：(1)A B C ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = （ ）A ．14B ．34C ．4D ．3解：B 提示：利用余弦定理解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ． 解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,sin sin sin A B C a b c A b S A B C++∠===++ 则= ．解：3提示：由面积公式可求得4c =，由余弦定理可求得a =例2. 在△AB C 中，若 sinA ＝2sinB cos C ， sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解：sinA ＝2sinBcosC ⇒sin(B ＋C)＝2sinBcosC ⇒sin(B －C)＝0⇒B ＝Csin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇒a 2＝b 2＋c 2 ⇒∠A＝90°∴ △ABC 是等腰直角三角形。
高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第一课时 余弦定理和正弦定理
,
= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2
a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;
2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,
2
即 cos A-cos A+=0,
sin B=2× = ,
2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,
2
2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+
综上,b= ,c=
+
.
或 c=
-
(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×
=
=
.
- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.
解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=
2sin Acos A=2×
(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形
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9 阅读与欣赏（三）
三角函数中有关最值问题的6种求法
可化为二次函数的三角函数最值
函数y ＝cos 2x ＋2cos x 的最小值是________．
【解析】 y ＝cos 2x ＋2cos x ＝2cos 2
x ＋2cos x －1＝2⎝
⎛⎭⎪⎫cos x ＋12
2－32
≥－32
，当且仅当cos
x ＝－1
2
时取得最小值．
【答案】 －
32
利用三角函数的有界性把某些三角函数最值化为闭区间上的二次函数的最值，利用求闭区间
上二次函数最值的方法求解函数最值．
y ＝a ＋bsin x c ＋dcos x
型的最值
函数y ＝
3－sin x
4－cos x
的最大值和最小值分别为________．
【解析】 法一：y ＝
3－sin x
4－cos x
，即sin x －y cos x ＝3－4y ，即1＋y2sin(x ＋φ)＝3－4y ，
即sin(x ＋φ)＝3－4y 1＋y2
，由正弦函数的有界性，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪
3－4y 1＋y2≤1，该不等式两端平方，得
12－2615≤y ≤12＋2615，故其最大值为12＋2615，最小值为12－26
15
.
法二：y ＝
3－sin x 4－cos x
的几何意义是圆x 2＋y 2
＝1上的点与点(4，3)连线的斜率，设该两点连线
的斜率为k ，则需使直线y －3＝k (x －4)与圆x 2
＋y 2
＝1存在公共点，所以⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
3－4k 1＋k2≤1，
下面解法同法一．
【答案】
12＋2615，12－26
15
y ＝
a ＋bsin x
c ＋dcos x
类三角函数最值的基本解决方法是法一中的解法，其根据是正弦函数的有界
性．
函数图象平移距离的最小值
将函数f (x )＝sin 4x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的
图象向左平移φ(φ>0)个单位，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为( )
A.π
16
B.π12
C.π
6
D.
π4
【解析】 伸长后得y ＝sin 2x ，平移后得y ＝sin 2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)，该函数为偶函数，则只要2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π2＋π4(k ∈Z )，取k ＝0，得φ的最小值为π4
.故
选D.
【答案】 D
函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题中首先确定函数图象平移后的解析式，再根据新
函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值．
y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω的最值
已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π2
对称，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π8＝1，当φ
＝
π
4
ω时f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－
3π8，－3π16上单调递增，则ω的最大值和最小值之和为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【解析】 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π2
对称，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝±2.
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π8＝1.当π2－38π＝T 8时，T 取最大值．
此时ω最小，ωmin ＝2.
当φ＝π4
ω时，f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4
ω＝2sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，函数f (x )＝2sin ω⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x ＋π4的图象向右平移π
4
个单位得函数g (x )＝2sin ωx 的图象，问题等价于函数g (x )＝2sin ω
x 在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π8，π
16上单调递增，
故只要12×
2πω≥2×π
8
，即ω≤4.
综上可知2≤ω≤4，故ω的最大值和最小值之和为6.故选C.
【答案】 C
根据已知的函数性质，确定ω满足的条件求得其最值或者取值范围．
三角形面积的最值
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足4cos 2
A
2－cos 2(B ＋C )＝72
，若a
＝2，则△ABC 的面积最大值是________．
【解析】 因为B ＋C ＝π－A ，
所以cos 2(B ＋C )＝cos(2π－2A )＝cos 2A ＝2cos 2
A －1，又cos 2
A 2＝
1＋cos A
2
，
所以4cos 2
A
2－cos 2(B ＋C )＝72
可化为4cos 2
A －4cos A ＋1＝0，
解得cos A ＝12
.
又A 为三角形的内角，所以A ＝π
3
，
由余弦定理得4＝b 2＋c 2
－2bc cos A ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，
当且仅当b ＝c 时取等号，
所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×
3
2
＝3，
即△ABC 的面积的最大值为3.
【答案】
3
该类求解面积问题是建立面积的函数关系式或者使用基本不等式得出三角形两边之积的最大
值，再根据三角形面积公式求得最大值．
三角形中的三角函数最值
(2018·山西五校高三联考)已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c .若4S ＋a 2＝b 2＋c 2，则sin C －cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
B ＋π4取最大值时
C ＝________.
【解析】 4S ＋a 2＝b 2＋c 2
⇒4×12
bc sin A ＝2bc cos A ⇒tan A ＝1⇒A ＝π4
.
sin C －cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫B ＋π4＝sin C －cos(B ＋A )＝sin C ＋cos C ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫C ＋π4≤2.当且仅当C ＝
π
4
时取等号．
【答案】
π
4
求解关键是求出一个角，根据三角形内角和定理，把求解目标化为一个角的三角函数，求该三
角函数的最值，要特别注意角的范围．。