广东省北京师范大学东莞石竹附属学校2020学年高二数学6月月考试题文

合集下载

广东省珠海市北京师范大学(珠海)附属高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

广东省珠海市北京师范大学（珠海）附属高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题一、单选题1．某物体做直线运动，其运动规律是23s t t=+，则它在第4秒末的瞬时速度为（） A ．12316米/秒 B ．12516米/秒C ．8米/秒D ．674米/秒 2．()4111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中,含x 2的项的系数为A ．4B ．6C ．10D ．123．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A ．（-1,1]B ．（0,1]C ．[1，+∞）D ．（0，+∞）4．4本不同的书，分给甲､乙､丙三人，每人至少一本，不同分法的种数为（） A ．24B ．36C ．42D ．645．一唱片公司欲知唱片费用x （十万元）与唱片销售量y （千张）之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：1010101010221111128,303.4,75,598.5,237iii ii i i i i i i xx y y x y ==========∑∑∑∑∑，则y 与x 的相关系数r 的绝对值为（）（相关系数：()()niix x y y r --=∑A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．甲乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一队赢得四局胜利时，该队获胜，比赛结束）．现在的情形是甲胜3局，乙胜2局．若两人胜每局的概率相同，则甲获得冠军的概率为（） A ．34B ．35C ．23D ．127．已知函数()e 1xf x x =+，过点()2,1P 可作曲线()y f x =的切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量(,)Y B n p ~，当n 充分大时，二项随机变量Y 可以由正态随机变量X 来近似，且正态随机变量X 的期望和方差与二项随机变量Y 的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了12p =的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p 进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（）（附：若()2,X N μσ~，则0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，3309().973P X μσμσ-≤≤+≈）A ．0.1587B ．0.0228C ．0.0027D ．0.0014二、多选题9．若()102100121021,x a a x a x a x x -=++++∈R L ，则（） A ．2180a =B ．01a =-C ．012101a a a a ++++=LD ．1002410132a a a a -++++=L10．已知首项为1-的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且7889,S S S S ><，则（）A ．1187d <<B ．105S S >C ．()8min n S S =D ．150S >11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和4个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件1A ：第一次取出的是红球；事件2A ：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（）A ．事件1A ，2A 为互斥事件B ．事件B ，C 为独立事件 C ．3()7P B =D ．21()2P C A =三、填空题12．已知随机变量()2,X N μσ~，若(2)0.2,(3)0.5P X P X <=<=，则(4)P X <的值为．13．在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有7%，6%，5%的人患了流感．若这三个地区的人口数的比为5:3:2，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是．14m 对任意()R,0,a b ∞∈∈+恒成立，则实数m 的取值范围是．四、解答题15．已知函数3()32f x x x =-+．(1)求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； (2)求()f x 在区间[2,0]-上的最值．16．已知数列{}n a 中，11a =，()1212n n a a n -=+≥． (1)求{}n a 的通项公式； (2)求和：1211ni ii a =-+∑17．某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X 表示样本中合格品的个数． (1)若有放回的抽取，求X 的分布列与期望；(2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过14的概率．18．为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产．(1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X 次，求随机变量X 的分布列与期望；(2)设每件新产品为次品的概率都为(01)p p <<，且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为()f p ，问p 取何值时，()f p 最大．19．（1）已知关于x 的方程ln x ax =有两个解，求a 的取值范围；（2）已知关于x 的不等式x a x ≥（0a >，且1a ≠）对任意x ∈ 0,+∞ 恒成立，求常数a 的取值范围；（3）已知函数e x y =和函数ln y x =的图象分别与直线(0)x t t =>交于,P Q 两点，设线段 PQ的长的最小值为m ，证明：522m <<.。

高二数学6月月考试题文_1(共9页)

高二年级第二学期文科(wénkē)数学月考试题2021.6本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。

考生答题时，将答案答在答题卡上，在套本套试卷上答题无效。

第一卷一、选择题〔本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的〕〔〕A． B． C． D．2. 命题“〞，那么为〔〕A． B．C． D．3. 以下函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是〔〕A． B． C． D．4．三个数，，的大小关系为( )A. B. C. D.5．假设，且角的顶点为坐标原点、始边为轴的正半轴，终边经过点，那么点的横坐标x是〔〕A．2 B. 2 C．－22 D.－236. 命题函数的最小正周期为；命题函数的图像关于原点中心对称，那么以下命题是真命题的是〔〕A. B. C. D.7. 假设(jiǎshè)，那么〔〕A． B． C． D．8. 假设函数的导函数，那么使得函数单调递减的一个充分不必要条件是〔〕A． B． C． D．9. 函数的图像大致为〔〕10. 假设直线与的图象有三个不同的交点，那么实数的取值范围是〔〕A． B． C． D．11. 偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，那么的值可以为〔〕A．1 B．2 C．3 D．412. 函数〔〕．假设存在，使得，那么实数的取值范围是〔〕A． B． C． D．第二卷二、填空题〔本大题一一共4小题(xi ǎo t í)，每一小题5分〕 13．设函数是定义在R 上的周期为3的偶函数，当时，，那么 .14．，那么. 15. 对于函数的图象：① 关于直线对称； ② 关于点对称；③ 可看作是把的图象向左平移个单位而得到；④ 可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到.以上表达正确的序号是 .的一非零实根是，的一非零实根是，函数在有且仅有一个极值点，那么的取值范围是 .三、解答题〔本大题一一共6题，一共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或者演算步骤〕17．〔本小题满分是10分〕，求值：〔1〕〔2〕18．〔本小题满分(m ǎn f ēn)是12分〕函数01322=-+x x 1x )0(0132≠=-+a x ax〔1〕求曲线在点处的切线方程；〔2〕求函数的单调区间和极值.19．〔本小题满分是12分〕函数〔〕的一段图象如下图.〔1〕求函数()f x的解析式；〔2〕假设，求函数()f x的值域.20．〔本小题满分是12分〕函数在与处都取到极值．(1)求的值；(2)假设对不等式恒成立，求的取值范围．21．〔本小题满分是12分〕函数.〔1〕求)f的最小正周期和单调递增区间；(x〔2〕假设方程在上有解，务实数m的取值范围.22．〔本小题满分是12分〕函数．〔1〕求()f x的单调(dāndiào)区间；〔2〕令，假设有两个不同的根，求的取值范围；〔3〕存在且，使成立，求的取值范围．高二年级第一学期月考数学〔文科〕试题答题卡一、选择题〔12×5分＝60分〕二、填空题〔4×5＝20分〕13. 14. 15. 16. 三、解答题：〔本大题一一共6小题(xi ǎo t í)，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕 17.〔本小题满分是10分〕18.〔本小题满分是12分〕高〔〕班姓名：学号：成绩：19.〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕20.〔本小题满分是12分〕21.〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕22.〔本小题满分是12分〕内容总结（1）高二年级第二学期文科数学月考试题2021.6本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部（2）③可看作是把的图象向左平移个单位而得到。

广东省北京师范大学东莞石竹附属学校15—16学年上学期高二第二次月考数学(文)试题(附答案)

广东省-北京师范大学东莞石竹附属学校15—16学年上学期高二第二次月考数学（文）试题满分：150 考试时间：120分钟一．选择题（每小题5分，共60分）1．已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ C ） A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在 B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意2．双曲线22916y x -=1的实轴长是（ C ）A ．3B . 4C ．6D ．83．已知命题①若a >b ，则1a <1b ，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( D )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真4. 等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( C ).8A .10B .12C .14D5. 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为(B ) A.22 B. 32 C. 34 D.236．若1x >，则11x x +-的最小值是（ D ）Ａ．21xx - Ｂ．Ｃ．2 Ｄ．37．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ A ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8．已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>则C 的渐近线方程为（ C ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =± 9．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为（ C ）A.3 B. 23 C. 23或3 D. 310．椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标( A )A ．±43B ．±23 C ．±22 D ．±43 11. 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A. )2,(-∞ B. )2,(--∞ C. ()2,2- D. ]2,2(- 12 .不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-. 其中真命题是( B ) A .2p ，3p B .1p ，2p C . 1p ，4p D .1p ，3p 二．填空题（每小题5分，共20分）13．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则1426a a a a ++的值是 5814．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12, 13)，则a ＋b 的值是___-14_______ 15．椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为___4或__-54_______ 16．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(s i ns i n )(b A B c b C+-=-，则ABC ∆三、解答题（6小题，共70分）17．（10分）已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线的标准方程.因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，（2）A 点的坐标为(±15，4)，（4）设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，（5）所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b2＝1，（7）解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，（9）所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. （10）18．（12分）ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.（1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+；（2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值.由余弦定理得22222221cos 2222a c b a c ac a c B ac ac ac +-+-+===- 2c a =22243cos 44a a B a +∴==3cos 4B ∴=19. （12分）已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为 ∅，命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．由题意得，命题p 和命题q 一真一假．p 命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1.q 命题为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12.p 真q 假时，13＜a ≤1，p 假q 真时，－1≤a ＜－12，∴p 、q 中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为{a |13＜a ≤1或－1≤a ＜－12}．20．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t ，需矿石4t ，煤3t ，生产乙种产品1t ，需矿石5t ，煤10t ．每1t 甲种产品的利润是7万元，每1t 乙种产品的利润是12万元．工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过200t ，煤不超过300t ，则甲、乙两种产品应各生产多少，才能使利润总额达到最大？（1）设甲、乙各应生产,xt yt ，则有4520031030000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，（2）目标函数712z x y =+，当20,24x y ==时，z 取到最大值428万元．答：略．21．（12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

2019-2020学年高二6月月考数学(文)试题 Word版含解析

2019-2020学年高二下期6月份考试文科数学试题一､选择题 1. 若复数z 的虚部小于0，|z |5=，且4z z +=，则iz =（）A. 13i +B. 2i +C. 12i +D. 12i -【★答案★】C 【解析】【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为2||45z m =+=，所以1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解. 2. 设x ∈R ，则“|x |＞3”是“2x＞8”的（）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B 【解析】【分析】分别解出不等式，利用充要条件的判定方法即可得出．【详解】由3x >，则3x <-或3x >，所以28x >或1028x<<，故充分性不成立；若28x >，则3x >，所以3x >，故必要性成立，所以“3x >”是“28x >”的必要不充分条件，故选B【点睛】本题考查了不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 已知命题p ：∀x ∈R，x+1x≥2；命题q ：∃x 0∈[0,]2π，使sin x 0+cos x 0=2，则下列命题中为真命题的是 ( ) A. p ∨(⌝q )B. p ∧(⌝q )C. (⌝p )∧(⌝q )D. (⌝p )∧q【★答案★】D 【解析】【分析】先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假. 【详解】对于命题p ：当x ≤0时，x+1x≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则⌝p 是真命题；对于命题q ：当x 0=4π时，sin x 0+cos x 0=2，则q 是真命题．结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题．故★答案★为D.【点睛】(1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.4. 已知一系列样本点(,)i i x y (1,2,3,i =…,)n 的回归直线方程为ˆ2,yx a =+若样本点(,1)r 与(1,)s 的残差相同，则有()A. r s =B. 2s r =C. 23s r =-+D. 21s r =+【★答案★】C 【解析】【分析】分别求得两个残差，根据残差相同列方程，由此得出正确选项.【详解】样本点(,1)r 的残差为21r a +-，样本点(1,)s 的残差为2a s +-，依题意212r a a s +-=+-，故23s r =-+，所以选C.【点睛】本小题主要考查残差的计算，考查方程的思想，属于基础题.5. 执行如图所示的程序框图，若输出的数3S =，那么判断框内可以填写的是（）A. 6?k ≥B. 6?k ≤C. 7?k ≥D. 7?k ≤【★答案★】C 【解析】【分析】由程序框图，写出运行结果，根据程序输出结果是3S =，可得判断框内应填入的条件. 【详解】初始0,2,1S m k ===，第一次运行12,,22S m k ===不输出，第二次运行5,1,32S m k ==-=不输出，第三次运行3,2,42S m k ===不输出，第四次运行71,,522S m k ===不输出，第五次运行4,1,6S m k ==-=不输出，第六次运行3,2,7S m k ===，停止运行输出3S =，所以判断框要填7?k ≥. 故选：C.【点睛】本题考查补全循环结构程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.6. 已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( ) A. a k ＋a k ＋1＋…＋a 2kB. a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1C. a k －1＋a k ＋…＋a 2kD. a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【★答案★】D 【解析】由题设可知数列的第k 项是k 个数，对于★答案★A 中，由于2k k k -=，因此有1k +个项，故不正确；对于★答案★B ，因为211k k k --+=，所以有1k +个项，故不正确；对于★答案★C ，因为211k k k -+=+，所以有2k +个项，故也不正确；对于★答案★D ，因为2211k k k --+=-，所以有k 个项，故正确，应选★答案★D ．点睛：解答本题的关键是运用观察归纳的思维方法，首先确定第k 项必有k 个数这一事实，依据单项选择题的问题特征，运用逐个检验和验证的数学筛选法进行逐一判定，最终达到减少选择项或得到选择项的目的．7. 如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB AB ⊥ 时，其离心率为512-，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于（）A.512+ B.512- C. 51- D. 51+【★答案★】A 【解析】【分析】设“黄金双曲线”的方程22221(0,0)x y a b a b-=>>，则B （0，b ），F （－c ，0），A （a ，0）．根据FB AB 0⋅=得到e 2－1＝e ，计算得到★答案★.【详解】设“黄金双曲线”的方程22221(0,0)x y a b a b-=>> ，则B （0，b ），F （－c ，0），A （a ，0）．在“黄金双曲线”中，因为FB AB ⊥，所以 FB AB 0⋅=又FB (,),AB (,)c b a b ==- ，所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac .在等号两边同除以a 2，得e 2－1＝e ，解得e ＝512+.（152e -=舍去）故选：A【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和推理能力. 8. 用三段论推理命题：“任何实数的平方都大于，因为是实数，所以”你认为这个推理（）． A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确【★答案★】A 【解析】：任何实数的平方大于0，这句话是错误的，所以导致后面的结论是错误的，因此大前提错误． 9. 已知a ,b ,c 为直角三角形中的三边长,c 为斜边长,若点(,)M m n 在直线:30l ax by c ++=上,则22m n +的最小值为( ) A. 2B. 3C. 4D. 9【★答案★】D 【解析】【分析】写出勾股定理，将M 点坐标代入直线l 的方程，根据22m n +的几何意义，求得其最小值. 【详解】由于a ，b ，c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，所以222c a b =+.由于点(,)M m n 在直线:30l ax by c ++=上，22m n +表示直线l 上的点到原点的距离的平方，原点到直线的l 的距离为22333c cd ca b ===+，所以22m n +的最小值为239=. 故选：D【点睛】本小题主要考查勾股定理，考查点到直线的距离公式，属于基础题. 10. 设a,b∈R,且a 2+2b 2=6,则a+b 的最小值是( ) A. -22? B. 533-C. -3D. 72-【★答案★】C 【解析】由题意利用三角换元的方法整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意，设6cos a θ=，3sin b θ=，则()()3sin 2cos 3sin a b θθθϕ+=+=+，其中tan 2ϕ=，当()sin 1θϕ+=-时，+a b 取得最小值3-.本题选择C 选项.【点睛】换元法是解数学题的一种基本思想方法，而三角代换法是换元法的灵魂.三角换元法在解决函数、不等式、数列、解析几何、立体几何的难题方面往往可以起到化繁为简、化难为易、出奇制胜的功效.形如()2220x y RR +=>的代数式或方程，只须进行如下换元：cos ,sin x R y R θθ==即可.11. 过点()4,3P ,且斜率为23的直线的参数方程( ) A. 34132313x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ B. 33132413x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ C. 24133313x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩D. 23133413x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩【★答案★】A 【解析】【分析】由斜率可得倾斜角的正切值，进而可得sin?,cos?αα的值，由此可得直线的参数方程．【详解】设直线的倾斜角为α，则tan α23=， ∴22133313sin?cos?13131313，，αα==== ∴直线的参数方程213413313313x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，为．（t 为参数）．【点睛】求直线的参数方程时，首先要确定直线过的定点，求出参数的系数，然后根据直线参数方程的形式写出参数方程即可．12. 设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有（）A. 108M ≤<B.118M ≤< C. 18M ≤< D. 8M ≥【★答案★】D 【解析】【详解】试题分析：因为1a b c ++=，利用基本不等式代换，2(,)a b ab a b R ++≥∈所以()()()111a b c a b c a b c b c a c a b a b c abc +++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2228bc ac ababc⨯⨯≥= ．考点：基本不等式．二､填空题 13. 已知22334422,33,44,33881515+=+=+=⋯，若66a at t+=(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a t -=________. 【★答案★】29- 【解析】【分析】根据已知等式，推测出规律，由此求得,a t 的值，进而求得a t -的值. 【详解】根据已知等式可知，等式为2211n n n n n n +=--（*,2n N n ∈≥），所以26,6135a t ==-=，所以63529a t -=-=-.故★答案★为：29- 【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.14. 若正数,a b 满足3ab a b ++=，则+a b 的最小值为__________．【★答案★】2 【解析】【分析】利用基本不等式可得：()24a b ab +≤，将3ab a b ++=转化成：()()243a b a b ≤+++，解得：2a b +≥或6a b +≤-（舍去），检验等号成立即可．【详解】因为,a b 正数，所以2a bab +≤成立. 所以()24a b ab +≤所以()()234a b ab a b a b =++++≤+即：()()21240b a a b +-+≥+ 解得：2a b +≥或6a b +≤-（舍去）当3a bab a b =⎧⎨++=⎩时，等号成立，即：1a b ==时，等号成立.所以+a b 的最小值为2【点睛】本题主要考查了基本不等式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题．15. 如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围__________. 【★答案★】()1,+∞ 【解析】【分析】先求得34x x -+-的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】由于3434341x x x x x x -+-=-+-≥-+-=，当34x ≤≤时等号成立.所以1a >.故★答案★为：()1,+∞【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式，属于基础题.16. 已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第j 行的数记为ij a ，如3,210=a ，5,424=a .若2018ij a =，则i j +=__________．【★答案★】72 【解析】分析：先求出2018排在第几行，再找出它在这一行的第几列，即得i j +的值.详解：第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，，第n 行有n 个偶数，则前n 行共有(1)1+2+3++2n n n +=个偶数，2018在从2开始的偶数中排在第1009位，所以(1)1009,45.2n n n +≥∴≥ 当n=44时，第44个偶数为44(441)219802+⨯=，所以第44行结束时最右边的偶数为1980, 由题得2018排在第45行的第27位，所以i j +=45+27=72.故★答案★为72.点睛：(1)本题主要考查归纳推理和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过解不等式(1)10092n n +≥找到2018所在的行. 三､解答题17. （1）复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |=1，且1z z +=，求z ；（2）已知复数25(15)3(2)12m z i m i i=-+-+-为纯虚数，求实数m 的值.【★答案★】（1）1322z i =-；（2）2m =-. 【解析】【分析】（1）设()0,0z a bi a b =+><，根据1,1z z z =+=列方程，解方程求得,a b ，也即求得z . （2）利用复数的乘法和除法运算化简z ，根据z 为纯虚数，求得实数m 的值.【详解】（1）设()0,0z a bi a b =+><，依题意1,1z z z =+=，即22121a b a bi a bi a ⎧+=⎨++-==⎩，解得1232ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1322z i=-.（2）依题意()()()2225125632563 1212m iz m mi i m m i m mi ii i+=----=+-----+()226253m m m m i =--+--.由于z为纯虚数，则22602530m mm m⎧--=⎨--≠⎩，解得2m=-.【点睛】本小题主要考查复数的有关概念和运算，属于基础题.18. 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对心肺疾病入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050（1）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰好有1名女性的概率；（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量2K，你有多大把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：2()P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【★答案★】（1）4人；（2）815；（3）有99.5%把握认为心肺疾病与性别有关【解析】【分析】（Ⅰ）根据分层抽样定义，每个个体被抽中的概率相等，即可求得抽到男性人数；（Ⅱ）根据古典概型概率计算，列出所有可能，即可求得恰有1个女生的概率；（Ⅲ）根据独立性检验的公式求2K，求得后与表中临界值比较，即可判断是否有把握【详解】（Ⅰ）在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽4人；（Ⅱ）设4男分为：A、B、C、D；2女分为：M、N，则6人中抽出2人的所有抽法：AB、AC、AD、AM、AN、BC、BD、BM、BN、CD、CM、CN、DM、DN、MN共15种抽法，其中恰好有1个女生的抽法有8种所以恰好有1个女生的概率为815.（Ⅲ）由列联表得2=8.3337.879K ，查临界值表知：有99.5％把握认为心肺疾病与性别有关. 【点睛】本题考查了简单抽样方法，古典概率的求法及独立性检验方法的应用，属于基础题．19. 十九大指出，必须树立“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这一理念将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展.以下是近几年我国新能源汽车的年销量数据及其散点图(如图所示)：年份2013 2014 2015 2016 2017年份代码x 1 2 3 4 5新能源汽车的年销量/y万辆1.5 5.917.732.955.6(1)请根据散点图判断y b x a =+与2y c x d =+中哪个更适宜作为新能源汽车年销量y 关于年份代码x 的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由）(2)根据()1的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测2019年我国新能源汽车的年销量.(精确到0.1)121()()ˆˆˆ,()niii nii w w yy cdy cw w w ==--==--∑∑ 附令2i i w x =，y()521ii x x =-∑()521ii w w =-∑()()51iii x x yy =--∑()()51iii w w y y =--∑22.72 10374135.2851.2【★答案★】(1)2 y c x d =+更适宜；(2)1?09.4万辆．【解析】【分析】（1）根据散点图知y ＝cx 2+d 更适宜回归方程；（2）依题意计算w 与回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x ＝7时y 的值即可．【详解】()1根据散点图得，2y c x d =+更适宜作为年销量y 关于年份代码x 的回归方程.()2依题意得，1491625115w ++++==，()51521()851.2 2.28374()i i i i i w w y y c w w ==--==≈-∑∑，则22.72 2.2811 2.36d y c w =-=-⨯=-，22.28 2.36.y x ∴=- 令7x =，则 2.2849 2.36109.36109.4y =⨯-=≈，故预测2019年我国新能源汽车的年销量为109.4万辆．【点睛】本题考查了散点图、变量间的相关关系、非线性回归分析等基础知识，也考查了数据处理能力、运算求解能力和应用概率统计知识进行决策的意识，是基础题．20. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为34x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为4sin ρθ=，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，求线段MN 的长.【★答案★】2 【解析】【分析】将曲线1C 的参数方程转化为标准的直线的参数方程，将曲线2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后利用直线参数方程中参数的几何意义，求得线段MN 的长.【详解】由34x t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得32142x t y t ''⎧-=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（'t 为参数），由4sin ρθ=两边乘以ρ并化简得2240x y y +-=.将32142x t y t ''⎧-=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2240x y y +-=并化简得'2'20t t +=，所以''''12122,0t t t t +=-⋅=，所以()21212''''4402tt t N t M =+-⋅=+=.【点睛】本小题主要考查直线的参数方程化为标准的直线的参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数方程中参数的几何意义求弦长，属于中档题. 21. 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数)M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2OP OM =. （1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线12,C C 交于不同于原点的点,A B 求AB .【★答案★】（1）4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩ ()α为参数；（2）23.【解析】【分析】(1)先设出点P 的坐标,然后根据点P 满足的条件代入曲线1C 的方程即可求出曲线2C 的方程;（2）根据(1)将求出曲线1C 的极坐标方程,分别求出射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为1ρ,以及射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为2ρ,最后根据21||AB ρρ=-求出所求.【详解】（1）设(),P x y ,则由条件知,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于M 点在1C 上, 所以2cos 2()22sin 2xy ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩()α为参数从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩()α为参数. (2)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin3πρ=,射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以21||23AB ρρ=-=.【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系，是基础题．22. 选修4-5：不等式选讲已知函数()225f x x =+-.（1）解不等式：()1f x x ≥-；（2）设函数()2g x m x m =+-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求m 的取值范围. 【★答案★】（1）(][),82,-∞-⋃+∞（2）[)3,+∞ 【解析】【详解】分析：（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；(2) 因为当x ∈R 时，()()225f x g x x m +=+-++ 252x m m m -≥-++，所以()()3f x g x +≥恒成立，等价于523m -++≥，从而可得结果. 详解：（1）依题意，2251x x +-≥-；当1x <-时，原式化为2251x x ---≥-，解得8x ≤-；当11x -≤≤时，原式化为2251x x +-≥-，解得43x ≥；舍去当1x >时，原式化为2251x x +-≥-，解得2x ≥；综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-⋃+∞（2）当x ∈R 时，()()225f x g x x m +=+-++ 252x m m m -≥-++ 当1x =-时，等号成立.所以，x ∈R 时，()()3f x g x +≥ 523m m ⇔-++≥，当2m ≥-时，523m m -++≥等价于523m m -++≥，解得3m ≥. 当2m <-时，523m m -++≥等价于523m m ---≥，无解所以m 的取值范围为[)3,+∞. 点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2020-2021学年北师大版高二第一次月考数学(文)试题及答案

（新课标）最新北师大版高中数学必修五高二上学期第一次月考试题( 文科数学 )一、选择题1、焦距为6，离心率53=e ，焦点在x 轴上的椭圆标准方程是（）15422=+y x A 、 1251622=+y x B 、 14522=+y x C 、 1162522=+y x D 、 2、抛物线24x y =的准线方程是（） A 、12y =B 、1y =-C 、116x =-D 、18x =3、双曲线1322-=-y x 的渐近线方程为（） A 、x y 3±= B 、x y 31±= C 、x y 33±= D 、x y 3±= 4、与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（） A 1222=-y B 1422=-y C 13322=-y D 1222=-y 5、抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（） A ．y x 82= B ．y x 82-= C ．y x 162= D ．y x 162-=6、已知椭圆125222=+y a x )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（） A 、10 B 、20 C 、241 D 、 4148、设P 为椭圆上一点，且∠PF 1F 2 = 30°，∠PF 2F 1 = 45°，其中F 1，F 2为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 的值等于（）A B C D9、直线1y x =-交椭圆221mx ny +=于M,N 两点,MN 的中点为P,若2op k =(O 为原点),则mn等于 ( )A.2C. 2-D.10、如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ）A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题11、若圆22240x y x y +--=的圆心到直线x-y+a=0则a 的值为___________.12、双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________13、已知点A(4,4)，若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x210＋y26＝1的右焦点重合，该抛物线上有一点M，它在y轴上的射影为N，则|MA|＋|MN|的最小值为___________。

高二数学下册6月月考文科试题(附答案)

高二数学下册6月月考文科试题（附答案）高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好掌握高中，编辑教员为大家整理了高二数学下册6月月考文科试题，希望大家喜欢。

★祝考试顺利★★本卷须知：1. 本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题) 两局部。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第一卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应标题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽洁净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上有效.3. 回答第二卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上有效.第一卷一、选择题(每题5分，共60分)1、设，且为正实数，那么A.2B.1C.0D.2、选集，集合，那么集合中元素的个数为A.1B.2C.3D.43、2成立是0成立的A.充沛不用要条件B.必要不充沛条件C.充沛必要条件D.既不充沛也不用要条件4、双曲线的焦距为，点在的渐近线上，那么的方程为A. B. C. D.5、以下四个判别：① 某校高三(1)班的人和高三(2)班的人数区分是，某次测试数学平均分区分是，那么这两个班的数学平均分为 ;② 对两个变量和停止回归剖析，失掉一组样本数据：由样本数据失掉回归方程必过样本点的中心 ;③ 调查某单位职工安康状况，其青年人数为，中年人数为，老年人数为，现思索采用分层抽样，抽取容量为的样本，那么青年中应抽取的集体数为 ;④ 频率散布直方图的某个小长方形的面积等于频数乘以组距。

个个个个6、函数的定义域是A. B. C. D.7、如图的顺序是用来计算A. 的值B. 的值C. 的值D. 的值8、假定 ,那么A. B. C. D.9、设变量满足约束条件，那么的最大值为A. B. C. D.10、对恣意有，，且在上为减函数，那么A. B.C. D.11、点在经过两点的直线上，那么的最小值为A. B. C. D.不存在12、抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且，过点向直线作垂线，垂足区分为，的面积区分为记为与，那么A. B. C. D.第二卷本卷包括必考题和选考题两个局部。

北京市北京师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学(文)试题

北京市北京师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}{|11},(2)0A x x B x x x =-<<=-，那么A ∩B ＝（）A ．{|10}x x -<<B ．{|12}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|02}x x x 或 2．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 3．已知非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是（）A ．0a b +>B ．11a b > C ．2ab b < D ．330a b -< 4．设:12,:21x p x q <，则p 是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b6．下列四个命题：①0x R ∃∈，使200230x x ++=； ②命题“00,lg 0x R x ∃∈>”的否定是“,lg 0x R x ∀∈<”；③如果,a b ∈R ，且a b >，那么22a b >；④“若αβ=，则sin sin αβ=”的逆否命题为真命题，其中正确的命题是（） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+B．14+C ．26D．12+8．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（） A ． B ． C ． D ．二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是____________. 10．若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值为_________.11．已知函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时， ()4x f x =，则()512f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝__________.12．已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x 且⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是___________. 13．如图，某机器人的运动轨道是边长为1米的正三角形ABC ，开机后它从A 点出发，沿轨道先逆时针运动再顺时针运动，每运动6米改变一次运动方向（假设按此方式无限运动下去），运动过程中随时记录逆时针运动的总路程s 1和顺时针运动的总路程s 2，x 为该机器人的“运动状态参数”，规定：逆时针运动时x ＝s 1，顺时针运动时x ＝-s 2，机器人到A 点的距离d 与x 满足函数关系d ＝f （x ），现有如下结论：①f （x ）的值域为［0，1］；②f （x ）是以3为周期的函数；③f （x ）是定义在R 上的奇函数；④f （x ）在区间［－3，－2］上单调递增.其中正确的有_________（写出所有正确结论的编号）.三、双空题14．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点的坐标为_____________，复数z 的模||z ＝__________.四、解答题15．求下列函数的值域：（Ⅰ）2211x y x -=+ （Ⅱ）y = 16．已知函数()||2f x x x x =-.（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性并求函数()f x 的零点；（Ⅱ）写出()f x 的单调区间；（只需写出结果）（Ⅲ）试讨论方程()f x m =的根的情况.17．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF ，AF ∥BE ，AB ⊥BE ，AB ＝BE ＝2，AF ＝1.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求证：AC ∥平面DEF ；（Ⅲ）求三棱锥A —DEF 的体积.18．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点()01A ，﹣，且离心率为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）经过点11（，），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P Q ，（均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．19．已知函数()x f x xe =与函数21()2g x x ax =+的图象在点（0，0）处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b R =-∈，求函数()h x 在[1,2]上的最小值.20．已知椭圆 2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点(0,)(0)M m m >的直线交x 轴与点N ，交C 于点,A P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .（ⅰ）设直线,PM QM 的斜率分别为12,k k ，证明21k k 为定值；（ⅱ）求直线AB 的斜率的最小值.参考答案1．A【解析】求解一元二次不等式可得{}20B x x x =<或，结合交集的定义可得{|10}.A B x x ⋂-<<＝本题选择A 选项.2．C【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.【考点】复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈的共轭复数是(,)a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.3．D【解析】A 项错，如取2a =-，1b =-，0a b +<，B 项错，11b a a b ab--=，a ，b 正负无法判断，故1a 与1b 大小无法判断， C 项错，2()ab b b a b -=-，无法判断正负，D 项对，3322()()a b a b a b ab -=-++恒为正．故选D ．4．A【解析】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为A.考点：充分条件与必要条件.【方法点睛】判断p 是不是q 的充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当p 成立时，q 也成立，就说p 是q 的充分条件，否则称为不充分条件；而当q 成立时，p 也成立则p 是q 的必要条件，否则称为不必要条件；当p 能证明q 的同时q 也能证明p ，则p是q 的充分条件．5．B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.6．D【解析】2230x x ++=中441380,=-⨯⨯=-<故不存在0x R ∈，使200230x x ++=，①错；命题“00,0x R lgx ∃∈>”的否定是“,lg 0x R x ∀∈≤”，故②错；如果,a b R ∈，且0a b >>，那么22a b <，故③错；“若αβ=，则sin sin αβ=”为真命题，故其逆否命题为真命题，故④对.本题选择D 选项.7．A【详解】【分析】解：几何体如图，底面为矩形，AB=4,BC=2,侧面PCD⊥底面ABCD,PC=PD=3.∵平面PCD⊥平面ABCD ，BC⊥CD,平面PCD∩平面ABCD=CD,BC ⊂平面ABCD,∴BC⊥PC,同理AD⊥PD,由勾股定理计算得到PA,PB 的长度如图所示，作出侧面PAB 底边AB 上的高，计算高的长度如图所示,该几何体的表面积为1114222343420222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+ 选A.8．D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选：D.9．【解析】试题分析：222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=故答案应填：【考点】双曲线性质【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，22221(0,0)x y a b a b-=>>揭示焦点在x 轴，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c =渐近线方程为b y x a=±，离心率为c a a =．10．4【解析】由约束条件20,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩作出可行域如图，由图可知A (2,0).化目标函数z =2x −y 为y =2x −z ，由图可知，当直线y =2x −z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为max 2204z =⨯-=.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.11．－2【解析】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以 ()()()()()11,1121f f f f f -=--=-+=，所以()()11f f -=，即()10f =， 1251112422222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()5122f f ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭. 【考点】函数的奇偶性和周期性【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性，属于基础题，在求值时，只要把52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭利用奇偶性与周期性化为自变量在()0,1上的函数值即可．而()1f 的求解还需用到奇函数的性质.12．12[,)33【详解】试题分析：由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程()23x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以232,3解得a a <<，因此a 的取值范围是12[,)33. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．13．①②④【解析】∵x ∈[0,3]时，点P 作逆时针运动，分段如下：(1)当x ∈[0,1],点P 在AB 上,f (x )=x ；(2)当x ∈(1,2],点P 在BC 上,在△ABP 中运用余弦定理可得：()f x =即()f x =(3)当x ∈(2,3]时,点P 在CA 上,f (x )=3−x ，又∵x ∈[−3,0)时，点P 作顺时针运动，函数时求解方法同上，(1)当x ∈[−1,0),点P 在AC 上,f (x )=−x ；(2)当x ∈[−2,−1),点P 在BC 上,在△ACP 中运用余弦定理()f x =(3)当x ∈[−3,−2)时,点P 在BA 上,f (x )=3−x ，根据以上分析,画出函数f (x )的图象如图，显然：①正确；②正确；③错误，该函数为偶函数；④正确.故填：①②④.点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．（－1，－3）【解析】由i 3i z ⋅=-,得()()23313i i i z i i i---===---， ∴复数z 对应的点的坐标为(−1,−3)，z ==15．（Ⅰ）[1,1)-；（Ⅱ）[)4,+∞.【解析】试题分析：(Ⅰ)对函数的解析式进行恒等变形：2211y x =-+，据此可得函数的值域为[)1,1-；(Ⅱ)结合函数的定义域和均值不等式的结论可得函数的值域为[)4,+∞.试题解析： (Ⅰ)整理函数的解析式有：[)2221211,111x y x x -==-∈-++；(Ⅱ)函数的定义域为()0,∞+，4y==≥，当且仅当4x =时等号成立. 故函数的值域为[)4,+∞.16．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)单调递增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；单调递减区间为（－1，1）；(Ⅲ)答案见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）首先确定函数的定义域，然后结合()()f x f x -=-可得()f x 为奇函数.令()0f x =，可得函数的零点为－2，0，2.（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞；单调递减区间为（－1，1）. （Ⅲ）结合函数的解析式绘制函数图象，观察图象可得：当1m <-或1m >时，方程()f x m =有一个根；当1m =±时，方程()f x m =有两个根；当11m -<<时，方程()f x m =有三个根.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为R ，关于坐标原点对称，因为()()()()()222f x x x x x x x x x x f x -=----=-+=--=-，所以()f x 为奇函数.令()0f x =，即()20,20x x x x x -=-=，解得：1230,2,2x x x ===-，所以函数的零点为－2，0，2.（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞；单调递减区间为（－1，1）.（Ⅲ）由函数的解析式可得：()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，绘制函数图象如图所示，观察函数图象可得：当1m <-或1m >时，方程()f x m =有一个根；当1m =±时，方程()f x m =有两个根；当11m -<<时，方程()f x m =有三个根.17．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)23. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质可得BE ⊥平面ABCD ，BE ⊥AC ，且AC ⊥BD .结合线面垂直的判断定理有AC ⊥平面BDE .（Ⅱ）设AC ∩BD ＝O ，很明显O 为BD 中点，设G 为DE 的中点，连结OG ，FG ，结合几何关系可证得四边形AOGF 为平行四边形，故AC ∥FG ，由线面平行的判断定理可得AC ∥平面DEF .（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE ⊥平面ABCD ，则AF ⊥AD .又AB ⊥AD ，故AD ⊥平面ABEF ，转化顶点有：1233A DEF D AEF AEF V V S AD --∆==⨯⨯=. 试题解析：（Ⅰ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，且AB ⊥BE ，所以BE ⊥平面ABCD ，因为AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC，又因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD. 因为BD∩BE＝B，所以AC⊥平面BDE. （Ⅱ）设AC∩BD＝O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点，设G为DE的中点，连结OG，FG，则OG∥BE，且12OG BE=，由已知AF∥BE，且12AF BE=，则AF∥OG，且AF＝OG.所以四边形AOGF为平行四边形，所以AO∥FG，即AC∥FG，因为AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF.（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ABCD，因为AF∥BE，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD.又因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，所以AD⊥平面ABEF，因为AB＝AD＝2AF＝2，所以111332A DEF D AEF AEF V V S AD AF AB AD --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 112122323=⨯⨯⨯⨯=，故三棱锥C DEF -的体积为23. 18．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）证明见解析．【分析】（1）根据A 点坐标得到b 的值，根据离心率得到c a的值，结合222a b c =+，可求得,a c 的值，从而求得椭圆方程.（2）写出直线,P Q 的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，然后计算直线AP 和直线AQ 点的斜率之和，化简后可得定值为2.【详解】解：（1）由题设知：c a =，1b =，结合222a b c =+，解得a = 所以椭圆E 的方程为2212x y +=. （2）由题设知：直线PQ 的方程为()()112y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得：()()()221241220k x k k x k k +--+-=，由已知0∆>，设()()1122,,,P x y Q x y ，120x x ≠，则()1224112k k x x k -+=+，()1222212k k x x k -=+，从而直线,AP AQ 的斜率之和为121212121122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=+=+ ()121122k k x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()121222x x k k x x +=+- ()()()412222k k k k k k -=+-- ()2212k k =--=. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系.椭圆方程有两个参数,a b ，故需要两个条件就可以求解出来.求解时要注意题目是否给定椭圆焦点在哪个坐标轴上.直线和椭圆的位置关系，要熟练掌握将直线方程代入椭圆方程，化简后写出韦达定理这一个步骤.19．(Ⅰ)1a =；(Ⅱ)224e b -.【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式可得()01f '=，()0g a '=，结合题意可知()()00f g '='，1a =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()()212x h x f x bg x xe bx bx =-=--，则()()()()11x x x h x e xe b x x e b =+-+=+-'.分类讨论可得：当b e ≤时，()h x 的最小值为()312h e b =-，当2e b e <<时，()h x 的最小值为212bln b -，当2b e ≥时，()h x 的最小值为224e b -.试题解析：（Ⅰ）因为()x x f x e xe '=+，所以()01f '=，因为()g x x a '=+，所以()0g a '=，因为()f x 与()g x 的图象在（0，0）处有相同的切线，所以()()00f g '='，所以1a =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()212g x x x =+，令()()()[]21,1,22x h x f x bg x xe bx bx x =-=--∈，则()()()()11x x x h x e xe b x x e b =+-+=+-'. （1）当0b ≤时，[]()1,2,0x h x ∀∈'>，所以()h x 在[]1,2上是增函数，故()h x 的最小值为()312h e b =-；（2）当0b >时，由()0h x '=得，x lnb =，①若1lnb ≤，即0b e <≤，则[]()1,2,0x h x ∀∈'>，所以()h x 在[]1,2上是增函数，故()h x 的最小值为()312h e b =-.②若12lnb <<，即2e b e <<，则()()()1,,0,,2x lnb h x x lnb ∀<∀∈'∈，()0h x '>，所以()h x 在()1,lnb 上是减函数，在(),2lnb 上是增函数，故()h x 的最小值为()212h lnb bln b =-； ③若2lnb ≥，即2b e ≥，则[]()1,2,0x h x ∀∈'<，所以()h x 在[]1,2上是减函数，故()h x 的最小值为()2224h e b =-. 综上所述，当b e ≤时，()h x 的最小值为()312h e b =-，当2e b e <<时，()h x 的最小值为212bln b -，当2b e ≥时，()h x 的最小值为224e b -.20．（Ⅰ） 22142x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）见解析，（ⅱ）直线AB的斜率的最小值为2【解析】试题分析：（Ⅰ）分别计算a,b 即得.（Ⅱ）（ⅰ）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由M(0,m)，可得,P Q 的坐标，进而得到直线PM 的斜率k ，直线QM 的斜率'k ，可得'k k为定值. （ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .直线PA 的方程为y=kx+m ，直线QB 的方程为y=–3kx+m.联立 22,{1,42y kx m x y =++=应用一元二次方程根与系数的关系得到21x x -，21y y -，进而可得.AB k 应用基本不等式即得.试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c.由题意知24,2a c ==所以2,a b ===.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ）（ⅰ）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由M(0,m)，可得00(,2),(,2).P x m Q x m -所以直线PM 的斜率002m m m k x x -==，直线QM 的斜率0023m m m k x x '--==-. 此时3k k'=-. 所以k k'为定值–3. （ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .直线PA 的方程为y=kx+m ，直线QB 的方程为y=–3kx+m.联立 22,{1,42y kx m x y =++= 整理得222(21)4240k x mkx m +++-=. 由20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+，所以. 同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++. 所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++， 22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++，所以221216111(6).44AB y y k k k x x k k-+===+- 由00,0m x >>，可知k>0，所以16k k +≥k =时取得.6=，即7m =，符号题意.所以直线AB 的斜率的最小值为2. 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，基本不等式【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）的方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系，得到关于参数的解析式或方程是关键，易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错误百出..本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分析问题、解决问题的能力等.。

高二数学6月月考试题普通班文试题(共10页)

高二普通班6月月考文科(wénkē)数学试题一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A． B． C． D．，那么〔〕A．0 B． C． D．1的图象过点，那么〔〕A．-2 B． C．12D．2，，，那么〔〕A． B． C． D．5．以下函数中,既是奇函数又是增函数的为〔〕A．B．C．D．6.那么〔〕A. B. C. D.7．设某中学的高中女生体重〔单位：kg〕与身高〔单位：〕具有线性相关关系，根据一组样本数据〔…，〕，用最小二乘法近似得到回归直线方程为，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A．y与x具有正线性相关关系 B．回归直线过样本的中心点C．假设该中学某高中女生身高增加1cmD．假设该中学某高中女生身高为160cm kg.8．设，那么(n à me) 的大小关系是( ) A.B.C.D.9．执行如下图程序框图，假设使输出的结果不大于50，那么输入的整数的最大值为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．710．设那么A ．都不大于B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-11．输出1000以内能被3和5整除的所有正整数，令．算法程序框图如图示，其中③处应填写上Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．12．假设，那么=A.1000B.600 C 二、填空题〔20分〕13．假设，那么＝________.14．如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面局部，正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是_____________．15．观察如图，那么(nà me)第__行的各数之和等于20212．16．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线相切的直线方程是.(3) 假设样本的平均数是5，方差是3，那么数据的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.三、解答题〔70分，17题10分，其余12分〕17．集合，，.〔1〕假设，求；〔2〕假设，且，求的取值范围.18．某机构为了调查该民对我国申办年足球世界杯的态度，随机选取了位民进展调查，调查结果统计如下：支持不支持总计男性民女性民总计〔1〕根据数据，把表格数据填写(tiánxiě)上完好；〔2〕能否在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办年足球世界杯与性别有关？请说明理由.19．宝宝的安康成长是妈妈们最关心的问题，父母亲为婴儿选择什么品牌的奶粉一直以来都是育婴中的一个重要话题，为理解过程奶粉的知名度和消费者的信任度，某调查小组特别调查记录了某大型连锁超2021年与2021年这两年销售量前5名的五个品牌奶粉的销量〔单位：罐〕，绘制如下的管状图：〔1〕根据给出的这两年销量的管状图，对该超这两年品牌奶粉销量的前五强进展排名；〔2〕分别计算这5个品牌奶粉2021年所占总销量〔仅指这5个品牌奶粉的总销量〕的百分比〔百分数准确到各位〕，并将数据填入如下饼状图中的括号内；〔3〕该超2021年飞鹤奶粉(nǎifěn)的销量为〔单位：罐〕，试以这3年的销量得出销量关于年份的线性回归方程，并据此预测2021年该超飞鹤奶粉的销量.相关公式：20．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A,B两点，线段AB的长是8，AB的中点到轴的间隔是．(1)求抛物线的HY方程；(2)在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．21. 〔此题12分〕函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设．〔1〕求的值；〔2〕假设不等式在上有解，务实数k的取值范围．22.〔本小题满分是12分〕函数〔其中〕〔1〕求在处的切线方程；〔2〕函数(hánshù)，假设，那么，务实数的取值范围.14.16.〔1〕〔2〕〔4〕17.【答案(dáàn)】(1) ;(2) .【解析】分析：〔1〕分别求出集合A，B，根据集合的交、并、补集的混合运算计算即可；〔2〕由题意得，分当时和时两种情况解决即可.详解：〔1〕∵，∴，∴，又，∴，∴.〔2〕∵，∴.∵，∴，∴.①假设，那么，∴.②假设，那么，那么.综上，的取值范围为.18.【答案】(1)见解析；〔2〕能在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办年足球世界杯与性别有关.【解析】分析：〔1〕根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表；〔2〕根据〔1〕做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进展比拟得到结论.详解(xiánɡ jiě)：〔1〕支持不支持总计男性民女性民总计〔2〕因为的观测值，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办年足球世界杯与性别有关.19.【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析〔3〕，销量为.详解：〔1〕该超这俩年品牌奶粉销量的前五强排名分别为：飞鹤奶粉，伊利奶粉，贝因美奶粉，雅士利奶粉，完达山奶粉.〔2〕〔3〕那么销量关于年份的线性回归方程为，当，故预测2021年该超飞鹤奶粉的销量为.20.【答案】〔1〕〔2〕【解析(jiě xī)】分析：〔1〕先由抛物线的定义得到再根据AB的中点到轴的间隔是得到即得p的值.(2)先假设，再根据，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直求出点P的坐标.详解：〔1〕设抛物线的方程是，由抛物线定义可知又AB中点到x轴的间隔为3，∴∴p＝2，所以抛物线的HY方程是.(2)设，那么在P处的切线方程是，直线PQ:代入得，故所以,而所以，得，所以，故存在点满足题意.21. 解：〔1〕，因为，所以在区间上是增函数，故，解得．…………………5分〔2〕由〔1〕可得，……………………6分所以(su ǒy ǐ)(2)20x x f k -⋅≥可化为，即，令，那么……………………………………9分因为，故，记，因为1[,2]2t ∈，故，……………………11分所以实数的取值范围是． …………12分22. 解：(Ⅰ)由题意得，，∴)(x f 在))1(,1(f 处的切线斜率为，∴)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程为，即. ……………4分(Ⅱ)由题意知函数，所以==， ……………6分假设，当 1x >时，，所以在上是减函数，故=0； …………8分 ②假设，那么，当时，＜0，当时，)(x g '＞0，所以)(x g 在上是减函数，在上是增函数；)(x g <)1(g =0； ……………10分 ③假设，那么，当1x >时，，所以)(x g 在(1,+∞〕上是增函数，)1(g =0；综上：实数a 的取值范围为……………12分内容总结（1）12分。

北京市高二下学期6月月考数学试题(解析版)

首师大附中（通州校区）高二月考数学试卷一、单选题（每小题4分，共40分）1. 某物体做直线运动，位移y (单位：m)与时间t (单位：s)满足关系式，那么该物体在s 221y t =+3t =时的瞬时速度是（）A. 2m/sB. 4m/sC. 7m/sD. 12m/s【答案】D 【解析】【分析】对求导，将代入导函数，可求出答案. 221y t =+3t =【详解】对求导，得，221y t =+4y t '=当时，（m/s ）， 3t =4312y '=⨯=所以物体在s 时的瞬时速度是12m/s. 3t =故选：D.【点睛】本题考查瞬时速度，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．2. 在的二项式展开式中，常数项是（）921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A. 504 B.C. 84D.84-504-【答案】C 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式 29118319C ()()(1)C r r r r r rr n T x x x---+=-=-令，解出，再代入通项公式中即可1830r -=r 【详解】根据二项展开式的通项公式 291183199C ()()(1)C r r r r r r r T x x x---+=-=-令，解得1830r -=6r =6679(1)C 84T ∴=-=故选：C3. 若直线与曲线相切，则（）2y x =ln 2y a x =+=aA. 1B. 2C. eD.2e 【答案】B 【解析】【分析】设切点，则由导数的几何意义可得，解方程组可得.()00,x y 0000022ln 2a x y x y a x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩a 【详解】设切点坐标为，.()00,x y ay x'=则，解得. 0000022ln 2a x y x y a x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩002ln 22a x y a a a a ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩令，则， ()ln22af a a a =+-()ln ln 2f a a '=-所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 02a <<()0f a '<()f a 2a >()0f a '>()f a 所以，所以方程的根为． ()()min 20f a f ==ln 22aa a =+2a =故选：B .4. 设随机变量，，若，则（） ()2,X B p ()4,Y B p ~()409P X ==()D Y =A.B.C.D.23434989【答案】D 【解析】【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p 的方程，解出p ()2,X B p ()409P X ==的值，再根据，由二项分布的方差公式求得结果． ()4,Y B p ~【详解】因为随机变量， ()2,X B p 所以， 0224(0)C (1)9P X p ==-=解得或（舍）， 13p =53p =所以，14,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以. ()11841339D Y ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：D ．5. 某学校安排了4场线上讲座，其中讲座A 只能安排在第一或最后一场，讲座B 和C 必须相邻，则不同的安排方法共有（）种 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12【答案】C 【解析】【分析】首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，即可得,B C 22A D 22A A 12A 到答案.【详解】设四场讲座为，,,,A B C D 首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，,B C 22A D 22A A 12A 综上共有种.221222A A A 8=故选：C6. 盒子里有5个球，其中有2 个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为（） A.B.C.D.163101234【答案】D 【解析】【分析】设第1次抽到白球为事件A ，第2次抽到红球为事件B ，求出，，利用()25P A =()310P AB =条件概率公式求出概率.【详解】设第1次抽到白球为事件A ，第2次抽到红球为事件B ，则，， ()25P A =()2335410P AB =⨯=则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为. ()()()3310245P AB P B A P A ===故选：D7. 某人射击一次击中的概率是，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）0.63A.B.C.D.81125541253612527125【答案】A 【解析】【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解.【详解】由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为：， 232333333811555125C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.8. 盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率不是的事件为310（）A. 恰有1只是坏的B. 4只全是好的C. 恰有2只是好的D. 至多2只是坏的【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意计算随机地抽取4只的总事件数，再根据组合的方法分别计算各选项中的事件数再判断即可【详解】盒中有10只螺丝钉，盒中随机地抽取4只的总事件数为：，∴410C 210=其中有3只是坏的，所以可能出现的事件有：恰有1只坏的，恰有2只坏的，4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：∴，，，，1337C C 105⨯=2237C C 63=47C 35=4132273737C C C C C 203++=恰有1只坏的概率为：， ∴10512102=恰有2只好的概率为：， 63321010=4只全是好的概率为:， 3512106=至多2只坏的概率为:； 2032921030=故选：ABD ． 9. 对于函数的描述，下列说法正确的是（） ()ln xf x x=A. 函数存在唯一的零点B. 函数在区间上单调递增()f x ()f x (0,e)C. 函数在区间上单调递增D. 函数的值域为R()f x (e,)+∞()f x 【答案】C 【解析】【分析】求出函数的定义域，利用导数研究函数的性质，得到函数的零点及单调性即可判断选项()f x A ，B ，C 选项，利用最值以及函数值即可判断选项D ．【详解】对于A ，由题意函数，定义域为，，，无解,A 错误； ()ln x f x x =(01)(1⋃)∞+()0ln xf x x==又因为，当或时，，故函数单调递减， 2ln 1()ln x f x x-'=01x <<1e x <<()0f x '<()f x 当时，，故函数单调递增，B 错误C 正确； e x >()0f x '>()f x 当又,,且当时，，所以，故函数()()1,e x f x f >≥()e e f =()e f x ∴≥01x <<ln 0x <()0f x <()f x 的值域不为R . 故选：C ．10. 设函数在R 上可导，其导函数为，已知函数的图象如图所示，有下列结()f x ()f x '(1)()y x f x '=-论：①有极大值()f x ()2f -②在区间上是增函数 ()f x ()1,+∞③的减区间是； ()f x ()2,-+∞④有极小值.()f x ()1f 则其中正确结论的个数是（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C 【解析】【分析】根据，的正负求出的正负，可得函数的单调性及极值，判断选项.1x -(1)()y x f x '=-()f x '【详解】当时，由的图象可知，所以， <2x -(1)()y x f x '=-0y >()0f x '>当时，由的图象可知，所以， 2<<1x -(1)()y x f x '=-0y <()0f x '<当时，由的图象可知，所以， 1x >(1)()y x f x '=-0y >()0f x '<即函数在上递增，在上单调递减， ()f x (,2)-∞-(2,)-+∞所以有极大值.()f x ()2f -故①③正确，②④错误. 故选：C二、填空题（每小题5分，共25分）11. 设随机变量的分布列为，则__________，数学期望X ()()1,2,3,4iP X i i a====a ()E X =___________. 【答案】 ①. 10②. 3【解析】【分析】利用分布列中所有取值的概率之和为1，算出a 的值，再用期望公式计算.()E X 【详解】随机变量的分布列为， X ()()1,2,3,4iP X i i a===，解得；()()()()123412341P X P X P X P X a a a a∴=+=+=+==+++=10a =.()12341234310101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：10；3.12. 二项展开式，则________；()523450123452x a a x a x a x a x a x +=+++++3a =135a a a ++=________．【答案】 ①.②.40121【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第项为，即可根据题意，求出1r +5152r r r r T C x -+=⋅⋅.135a a a ++【详解】因为展开式的第项为，()52x +1r +5152r r r r T C x -+=⋅⋅令，得；3r =3235240a C =⋅=令，得；1r =1154280a C ⋅==令，得=5r 505521a C =⋅=因此. 135121a a a ++=故答案为：；.40121【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.13. 一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，则至少取到2个正品的概率为__________ 【答案】##0.845【解析】【分析】根据已知，利用古典概型以及组合数进行计算求解.【详解】一个箱子中有6个大小相同产品，从中任取3个产品，有种取法， 36C 20=其中4个正品、2个次品，至少取到2个正品有种取法， 321442C C C 16+=所以至少取到2个正品的概率为. 164205=故答案为：. 4514. 若在上是减函数，则b 的取值范围是___________. ()()21ln 22f x x b x =-++()1,-+∞【答案】 (],1-∞-【解析】【分析】根据导数的性质，结合参变分离法进行求解即可. 【详解】因为， 21()ln(2)2f x x b x =-++所以， ()2bf x x x '=-++因为在上是减函数， ()()21ln 22f x x b x =-++()1,-+∞所以在上恒成立， ()02bf x x x '-+≤+=()1,-+∞即， (2)0x x b -++≤所以2(2)(1)1b x x x ≤+=+-当时，，所以，()1,x ∈-+∞2(1)11x +--＞1b ≤-故答案为： (],1-∞-15. 给出如下关于函数的结论： ()1ln xf x x+=①；②对，都，使得；③，使得1322f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()10,1x ∀∈()21,x ∃∈+∞()()21f x f x =00x ∃>；()00f x x >其中正确的结论有___________.（填上所有你认为正确结论的序号）【答案】①③ 【解析】【分析】通过导数求函数的单调区间，对于①作差法比较大小；由单调性判断值域，来判断②是否正确；对于③化简,构造函数来解决是否存在的问题. ()f x x -【详解】对于①，函数，定义域为， ()1ln xf x x+=()0,∞+1323232(1ln 2)1ln 23ln 2ln 223232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 2322ln 8(2ln12)0323⎛⎫⎛⎫=-⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，故 ①正确； 1322f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于②，，，，单调递增，，，单2ln ()xf x x-'=()0,1x ∈()0f x '>()f x ()1,x ∞∈+()0f x '<()f x 调递减，当时，，，都有，找不到，使()110,1e x =∈()110e f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()21,x ∀∈+∞()20f x >()21,x ∈+∞得，故②错误；()()21f x f x =对于③，，令， 21ln 1ln ()x x x f x x x x x ++--=-=2()1ln h x x x =+- 则，2112()2,0x h x x x x x-'=-=>故，，单调递增，，，单调递减，x ⎛∈ ⎝()0h x '>()h x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0h x '<()h x，211()1ln ln 222h x h ≤=+-=- ，， 11ln 2022->0f ∴=>即，使得，故③正确； 00x ∃>()00f x x >故答案为：①③【点睛】比大小问题多采用作差的方法将差值与0比较从而得到两个数的大小关系；导数是研究函数的重要工具，通过导数可以判断出函数的单调性，变化趋势等，从而求解相关题目.三、解答题（共85分）16. 袋子中有标号为1号的球3个，标号为2号的球3个，标号为3号的球2个，如下表.现从这8个球中任选2个球.标号1号2号 3号合计个数 3 328（1）求选出的这2个球标号相同的概率；（2）设随机变量X 为选出的2个球标号之差的绝对值，求X 的分布与数学期望. 【答案】（1）14（2）分布列见解析， ()2728E X =【解析】【分析】（1）求8个球中任选2个球的方法数，再求选出的这2个球标号相同的方法数，利用古典概型公式求概率；（2）根据随机变量X 的取值，计算相应的概率，列出分布列，由期望公式计算数学期望. 【小问1详解】从这8个球中任选2个球，有种结果， 28C 28=其中这2个球标号相同有种结果，222332C C C 7++=所以从这8个球中任选2个球，其中这2个球标号相同的概率为. 71284P ==【小问2详解】随机变量X 可能的取值为0，1，2，， ()22233228C C C 710C 284P X ++====， ()1111332328C C C C 151C 28P X ⋅+===，()112328C C 632C 2814P X ====则X 的分布列为： X 012P14 1528 314数学期望. ()1153270124281428E X =⨯+⨯+⨯=17. 已知函数，其中. ()()2ln 21f x a x x a x =+-+0a >（1）求函数的单调区间； ()f x （2）当时，判断函数零点的个数. 102a <<()f x 【答案】（1）答案见解析（2）一个零点，理由见解析【解析】【分析】（1）求出，分、、讨论可得答案；()f x '12a =102a <<12a >（2）由（1）当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为102a <<()f x ()0,a 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭可得函数的极大值，再利用导数证明可得答案. ()f x ()f a ()0f a <【小问1详解】， ()()()()()212210x x a af x x a x x x--'=+-+=>令得， ()0f x '=21,2x x a ==当时，，则函数在上单调递增， 12a =()0f x '≥()f x ()0,∞+当时，或时，， 102a <<0x a <<12x >()0f x ¢>时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 12a x <<()0f x '<()f x ()0,a 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，或时，，时，， 12a >102x <<x a >()0f x ¢>12x a <<()0f x '<所以函数在，上单调递增，在上单调递减.()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(),a +∞1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 12a =()f x ()0,∞+当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 102a <<()f x ()0,a 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，函数的单调递增区间为在，，单调递减区间为. 12a >()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(),a +∞1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问2详解】当时，函数仅有一个零点的个数，理由如下， 102a <<()f x 由（1）得当时，函数在，单调递增，在单调递减；则函数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()0,a 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭的极大值为，()f x ()()()2ln 21ln 1f a a a a a a a a a =+-+=--且极小值为，令，， ()12f f a ⎛⎫<⎪⎝⎭()ln 1g x x x =--10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，， ()1110x g x x x -'=-=>10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以在上单调递增，()g x 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， ()13ln 2022g x g ⎛⎫<=--<⎪⎝⎭所以当时，，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()ln 10f a a a a =--<，()()()()224222e ln e e 21e e 1e 2f a a a =+-+=--因为，所以，，可得，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,1a ∈22e 10,e 20a ->->()2e0f >如下图，作出函数的大致图象， ()f x 由图象可得当时，函数仅有一个零点的个数. 102a <<()f x【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力.18. 某公司生产一种产品，销售前要经过两次检测，两次检验都合格，该产品即为合格品，否则为次品.已知该产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两次检测是否合格相互独立. 16110（1）求每生产一台该产品是合格品的概率；（2）据市场调查，如果是合格品，则每台产品可获利200元；如果是次品，则每台产品获利100元.该公司一共生产了2台该产品，设随机变量X 表示这2台产品的获利之和，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）34（2）的分布列见解析；的数学期望为350元. X X 【解析】【分析】（1）根据题意设出事件直接运用概率的乘法公式进行计算即可；（2）先得到的可能取值为，再直接求解各个概率即可，通过离散型随机变量的期望公X 200,300,400式求解数学期望即可. 【小问1详解】记“生产一台该产品是合格品”为事件，A 则，()11593116106104P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：每生产一台该产品是合格品的概率为. 34【小问2详解】由（1）知，每生产一台该产品是合格品的概率为， 34每生产一台该产品是次品的概率为， 31144-=的可能取值为，X 200,300,400则， ()1112004416P X ==⨯=，()3133002448P X ==⨯⨯=，()3394004416P X ==⨯=所以的分布列为：XX 200 300400P 116 38916所以（元）. ()1392800200300400350168168E X =⨯+⨯+⨯==答：的分布列见上；的数学期望为350元.X X 19. 甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.规定成绩超过85分为优秀.两位同学的测试成绩如下表：（单位：分）同学次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲 80 83 82 86 95 93 —— 乙80818488899694（1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩优秀的概率；（2）从甲同学进行的6次测试中随机选取2次，设表示这2次测试成绩达到优秀的次数，求的分布ξξ列及数学期望；E ξ（3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设随即变量X 表示这3次测试是成绩优秀的次数，随机变量Y 表示这3次测试成绩不是优秀的次数；请直接写出EX 与EY 的关系式，比较DX 与DY 的大小（只需结论，不需过程）【答案】（1）； 713（2）ξ0 1 2P 15 35 15；()1E ξ=（3），. EX EY >DX DY =【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，代入古典概型的概率计算公式即可求解；（2）根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望ξ即可求解；（3）根据题意先求出所有与的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，分别计算出期望与方X Y 差再比较大小即可. 【小问1详解】从甲、乙两名同学共进行的13次测试中，测试成绩超过85分的共7次，由古典概型的计算公式可知，该次测试成绩优秀的概率， 713P =所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次测试成绩优秀的概率为. 713【小问2详解】从甲同学进行的6次测试中随机选取2次，这2次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为0，1，2，ξ则，，， ()203326C C 10C 5P ξ===()113326C C 31C 5P ξ===()023326C C 12C 5P ξ===所以的分布列为ξξ0 1 2P 1535 15所以. 1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=【小问3详解】从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试是成绩优秀的次数的可能取值为0，1，2，3,X 则，，()303437C C 10C 35P X ===()213437C C 121C 35P X ===，，()123437C C 182C 35P X ===()033437C C 43C 35P X ===所以的分布列为XX 0 1 2 3P 135 **** **** 435所以. 112184120123353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 222212112121218124840240123735735735735171549DX ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭同理可得这3次测试成绩不是优秀的次数的分布列为YY 0 1 2 3P 435 1835 1235 135所以. 41812190123353535357EY =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22229491891291840240123735735735735171549DY ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，.EX EY >DX DY =20.已知函数，. ()()211e 12xf x x ax =--+a ∈R （1）请直接写出函数恒过那个定点； ()f x （2）判断函数的极值点的个数，并说明理由； ()f x （3）若对任意，恒成立，求的取值范围. x ∈R ()0f x ≥a 【答案】（1）()0,0（2）当时，则函数有一个极值点； 0a ≤()y f x =当或时，则函数有两个极值点； 01a <<1a <()y f x =当时，则函数无极值点.1a =()y f x =（3） 0a ≤【解析】【分析】（1）用赋值法，令含参数的项为零，可得答案；（2）利用导数，令导数等于零，根据分类讨论，结合极值的判定方法，可得答案；（3）根据（2），利用函数的最小值的情况，可得答案. 【小问1详解】令，，故函数的定点为. 0x =()()021001e 0102f a =--⋅+=()y f x =()0,0【小问2详解】，令，即.()()()e 1e e x x x f x x ax x a '=+--=-()0f x '=()e 0x x a -=当时，，，解得，0a ≤e 0x a ->()0f x '=0x =x(),0∞-()0,∞+ ()f x '-+()f x 递减极小值递增则函数有一个极值点；()y f x =当时，，解得或，且，01a <<()0f x '=ln x a =0ln 0a <x(),ln a -∞ln a()ln ,0a()0,∞+ ()f x '+-+()f x 递增极大值递减极小值递增则函数有是两个极值点； ()y f x =当时，，解得，1a =()0f x '=0x =x(),0∞-()0,∞+ ()f x '++()f x 递增0递增则函数无极值点；()y f x =当时，，解得或，且，1a >()0f x '=0x =ln a 0ln a <x(),0∞-()0,ln aln a()ln ,a +∞()f x '+- 0+()f x 递增极大值递减极小值递增则函数有两个极值点；()y f x =综上，当时，则函数有一个极值点； 0a ≤()y f x =当或时，则函数有两个极值点； 01a <<1a <()y f x =当时，则函数无极值点.1a =()y f x =【小问3详解】当时，由（2），可知，即恒成立； 0a ≤()()min 00f x f ==()0f x ≥当时，有，不满足题意，01a <<,()x f x →-∞→-∞当时，由（2），在单增，当时，，故不满足题意， 1a =()f x (,)-∞+∞0x <()(0)0f x f <=当时，由（2），在上递减，所以，不满足题意， 1a >()f x (0,ln )a ()(0)0f x f <=综上，当时，恒成立.0a ≤()0f x ≥21. 已知函数，.()ln f x a x bx b =-+()()e 0x g x a x x=->（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值； ()y f x =()y g x =()1,c ,a b （2）当且时，证明：为函数的极小值点； a b =e a <1x =()()()F x f x g x =+【答案】（1）e,e a b ==（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）将交点分别代入和可得，再利用导数的几何意义使斜率相等可得()1,c ()f x ()g x e a =；e a b ==（2）易知，通过构造函数可证明当时其在时()()()21e x x ax F x x --'=()e x x ax ϕ=-e a <()0,x ∈+∞恒大于零，即可得出的单调性进而得出证明. ()F x 【小问1详解】根据题意可得，即，()1f c =0c =所以也在上，即可得，即；()1,0()()e 0xg x a x x=->()1e 0g a =-=e a =又因为在交点处具有公共切线，所以，()1,0(1)(1)f g ''=易知，； ()a f x b x '=-()()22e 1e ex x xx x g x x x-⋅-'==，所以，可得()10g '=()10f a b '=-=e a b ==【小问2详解】当时，a b =()()()(),0n e l xF x f x g x a x x x xa =++=->， ()()()()221e e 1xx x ax x a F x a x x x ---'=-+=令，，则，()e xx ax ϕ=-()0,x ∈+∞()e xx a ϕ'=-当时，在恒成立，单调递增，1a ≤()e 0xx a ϕ'=->()0,x ∈+∞()x ϕ所以，可得 ()()010x a ϕϕ=-≥>()0x ϕ>当时，令可得，1e a <<()e 0xx a ϕ='-=ln x a =所以时，，单调递减；()0,ln x a ∈()0x ϕ'<()x ϕ时，，单调递增；()ln ,x a ∈+∞()0x ϕ'>()x ϕ即函数在处取得最小值，所以，()x ϕln x a =()()()ln 1ln 0x a a a ϕϕ≥=->综上可得时，恒成立，e a <()e 0xx ax ϕ=->所以当时，，单调递减；()0,1x ∈()()()21e 0x x a F x x x'--=<()F x 当时，，单调递增；()1,x ∈+∞()()()21e 0x x a F x x x'--=>()F x 所以，是的极小值点.1x =()F x。

东莞市2020年6月高三数学(文)高考模拟最后一卷附答案解析

东莞市2020年6月高三数学（文）高考模拟最后一卷一、单选题1．已知集合{}2|3A x x x =<，{}1,1,2,3B =-，则AB =（）A ．{}1,1,2-B ．{}1,2 C ．{}1,2- D ．{}1,2,32．已知复数1234+=+iz i，i 为虚数单位，则||z ＝（） A ．15B ．55C ．12D ．223．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( ) A ．5π B ．6πC ．3πD ．4π4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，满足346a a +=，529a =，则7S=（）A ．352 B ．21C ．492D ．285．某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195、196、190、194、200，则这批轮胎基本合格的概率为（） A ．25B ．35C ．45D ．7106．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线Γ的离心率为（）A ．324B ．233C ．2 D ．227．已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．12C ．2D ．38．已知函数()x xa f x e e =+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（） A ．2 B ．2 C ．2ln 2 D ．ln 29．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230--=OA OB OC 则（）A ．123OA AB AC =+ B ．123OA AB AO =-+ C ．123OA AB AC =-D ．123OA AB AO =--10．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B ＝6,c ＝3,B ＝2C ,则cos C 的值为（） A ．35B ．34C ．33D ．3211．在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．7πB ．8πC ．163πD ．283π12．已知函数||2()x f x e ax =-，对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（） A ．(,]2e-∞ B ．(,]2e -∞-C ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为________.14．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q =______. 15．若非零向量a 、b 满足4b a =，()2a b a -⊥，则a 与b 的夹角为_____．16．在三棱锥A BCD -中，,2,23,22AB AD AB AD BC CD ⊥====，当三棱锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________. 三、解答题 17．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和．18．已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，2AB AD EA ===，4CD CF ==．（1）求证：平面⊥BDF 平面BCF ；（2）求点B 到平面ECD 的距离．19．为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(]15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(]15,30以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．质量指标值频数(]15,202 (]20,258 (]25,3020(]30,3530(]35,4025(]40,4515合计 100（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计（3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标t 的关系式为2,30451,1530t y t <≤⎧=⎨<≤⎩．若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知点()0,0O、点()4,0P -及抛物线2:4C y x =．（1）若直线l 过点P 及抛物线C 上一点Q ，当OPQ ∠最大时求直线l 的方程；（2）问x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的任一条直线与抛物线C 交于点A 、B ，且点M 到直线AP 、BP的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．21．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=．若P 为曲线1C 上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足2OP OQ ⋅=，记动点Q 的轨迹为2C ．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求OMN 的面积．23．已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈．（1）当1k=时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．答案解析东莞市2020年6月高三数学（文）高考模拟最后一卷一、单选题1．已知集合{}2|3A x x x =<，{}1,1,2,3B =-，则AB =（）A ．{}1,1,2-B ．{}1,2 C ．{}1,2- D ．{}1,2,3【答案】B【解析】先求得集合{}|03A x x =<<，再结合集合交集的运算，即可求解.由题意，集合{}{}{}2|3|(3)0|03A x x x x x x x x =<=-<=<<，又有{}1,1,2,3B =-，则A B ={}1,2.故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再结合集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．已知复数1234+=+iz i，i 为虚数单位，则||z ＝（） A ．15B ．55C ．12D ．22【答案】B【解析】利用复数模的性质z z =，以及乘除法的模的性质计算．222212121253434534i i z z i i +++=====+++．故选：B ．【点睛】本题考查求复数的模，利用模的性质求解更加方便简捷．复数模的性质：z z =，1212z z z z =，1122z z z z =． 3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( ) A ．5π B ．6πC ．3πD ．4π【答案】A【解析】由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积．【详解】圆锥的侧面展开图是半径为5，弧长为2π的扇形，其面积11(21)5522S l r ππ=⋅=⋅=，所以圆锥的侧面展开图面积为5π. 【点睛】本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算． 4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，满足346a a +=，529a =，则7S=（）A ．352 B ．21C ．492D ．28【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得341512562289a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得1121a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，71761497721222S a d ⨯=+=⨯+=. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本量的求解，考查计算能力，属于基础题.5．某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195、196、190、194、200，则这批轮胎基本合格的概率为（） A ．25B ．35C ．45D ．710【答案】D【解析】可知轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，列举出所有的基本事件，并列举出“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，从这批轮胎中随机选取3个，所有的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、()195,190,200、()195,194,200、()196,190,194、()196,190,200、()196,194,200、()190,194,200，其中，事件“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、()195,194,200、()196,190,194、()196,194,200，共7个，因此，这批轮胎基本合格的概率为710 P=.故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般要列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.6．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于,AC BD，则双曲线Γ的离心率为（）A．324B．233C．2D．22【答案】A【解析】求得圆锥的高，可得矩形ABCD的对角线长，即有AC，BD的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：设与平面α平行的平面为β，以,AC BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>.由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为24y x =±，由24=ba，得离心率222223214+===+=c a b bea a a.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题． 7．已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】A 【解析】由3cos 5α=计算出tan 2α，再将tan 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭用两角差的正切公式拆开，代入求值即可. 【详解】解：3cos 5α=，22cos 2cos112sin 22ααα=-=-，且α为锐角 25cos25α∴=，5sin 25α=5sin152tan 2225cos 25ααα∴=== 1tantan11422tan 14231tan tan 11422παπαπα--⎛⎫∴-=== ⎪⎝⎭++⨯ 故选：A【点睛】本题考查二倍角公式与同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式，属于中档题.8．已知函数()x xa f x e e =+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（） A ．2 B ．2 C ．2ln 2 D ．ln 2【答案】D【解析】先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果. 【详解】()f x 为偶函数，则()()(1)0x xx x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x xf x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =. 故选：D 【点睛】本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题. 9．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230--=OA OB OC 则（）A ．123OA AB AC =+ B ．123OA AB AO =-+ C ．123OA AB AC =-D ．123OA AB AO =--【答案】A【解析】由向量的线性运算化简．【详解】∵161230--=OA OB OC ，∴1612()3()0OA OA AB OA AC -+-+=，整理得123OA AB AC =+．故选：A ．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是把,OB OC 用,,OA AB AC 表示．10．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B ＝6,c ＝3,B ＝2C ,则cos C 的值为（） A ．35B ．34C ．33D ．32【答案】D【解析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得6cos b C =，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得26a c ==，进而根据余弦定理即可求解cos C 的值．【详解】解：3c =，2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，由正弦定理sin sin b cBC ,可得2sin cos sin b c C C C=,可得6cos b C =，cos cos 6b C c B +=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得6sin cos sin cos 2B C C B R+=，又()sin cos sin cos sinsin B C C B B C A +=+=，可得6sin 2sin 62A R A R=⇒=，可得26a c ==，22223636cos 926s cos 26co C Ca b c C ab ∴+-⨯+-==⨯，可得23cos 4C =， c a <，则C 为锐角，解得3cos 2C =．故选：D ．【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题. 11．在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．7π B ．8πC ．163πD ．283π【答案】D【解析】如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°，分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°，进而可求得R 的值．【详解】解：如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120° 设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F 则由AH ＝2332⨯=可得AE 23=AH 233=，EH 13=AH 33= 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60° 所以OE ＝1，则R ＝OA 22213AE EO =+=则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 故选：D【点睛】本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题． 12．已知函数||2()x f x e ax =-，对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A ．(,]2e-∞B ．(,]2e-∞-C ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据题意，结合函数的性质，得出()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，转化为(0,)x ∈+∞时，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，分离参数，得到2x e a x ≤在(0,)+∞上恒成立，再构造新函数()x eg x x=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解.【详解】根据函数()f x 对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，可得函数()f x 在区间(,0)-∞为单调递减函数，由||2||2()()()x x f x ea x e ax f x --=---=，可得函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，所以函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，当(0,)x ∈+∞时，函数2()xf x e ax =-，可得()2xf x e ax '=-，根据函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，可得()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即20xe ax -≥在(0,)+∞上恒成立，可转化为2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立，令()x e g x x =，则()2(1)x e x g x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为(1)g e =，所以2(1)a g e ≤=，解得2e a ≤，即实数a 的取值范围是(,]2e-∞. 故选：A .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用函数的单调性求解参数问题，其中解答中把函数的单调性转化为函数的导数恒成立，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 二、填空题13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为________.【答案】3【解析】根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解2y x z =-+在y 轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过()1,1B点时，z 最大，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求2z x y =+的最大值等价于求解直线2y x z =-+在y 轴截距的最大值由2y x =-平移可知，当2y x z =-+过点B 时，在y 轴截距最大由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩得：()1,1B max 213z ∴=+=本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在y 轴截距最大值的问题，属于常规题型. 14．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q =______. 【答案】12或2【解析】由214a =，378S =，可得：11174448q q ++=，化简解出即可得出．【详解】解：由214a =，378S =， ∴11174448q q ++=，化为：22520q q -+=．解得12q =或2．故答案为：12或2．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．若非零向量a 、b 满足4b a =，()2a b a -⊥，则a 与b 的夹角为_____．【答案】3π 【解析】设a 与b 的夹角为θ，由()2a b a -⊥得出()20a b a -⋅=，结合平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，再结合角θ的取值范围可求得角θ的值，即可得解. 【详解】设a 与b 的夹角为θ，4b a =，()2a b a -⊥，则()2220a b a a a b -⋅=-⋅=，即2222cos 24cos 0a a b a a θθ-⋅=-=，可得1cos 2θ=，0θπ≤≤，3πθ∴=.因此，a 与b 的夹角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用平面向量垂直求夹角，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 16．在三棱锥A BCD -中，,2,23,22AB AD AB AD BC CD ⊥====，当三棱锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________. 【答案】8:3π【解析】根据题意，当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大.此时取BD 的中点O ，由,2,23AB AD AB AD ⊥==，得4BD =，OA=2，同理根据22BC CD ==，且222BC CD BD +=，由直角三角形中线定理可得2OC =，从而得到外接圆半径R =2，再分别利用体积公式求解. 【详解】如图所示：当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大. 取BD 的中点O ，因为,2,23AB AD AB AD ⊥==，所以4BD =，OA=2，22BC CD ==，222BC CD BD +=，2OC =，外接圆半径R =2， V 球343233R ππ==，11432232323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为8:3π. 故答案为：8:3π 【点睛】本题主要考查组合体的体积问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题 17．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和．【答案】（1）2nn a =；（2）222n n +-.【解析】（1）分别令1n =、2n =可分别求得2a 、3a ，进而可求得等比数列{}n a 的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得{}n a 的通项公式；（2）由已知条件得出数列{}2nn b 是等差数列，确定该数列的首项和公差，求得数列{}2nn b 的通项公式，进一步可求得数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法可求得数列{}n b 的前n 项和．【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+．当1n =时，则221212a b b =+=，即2122a =，可得24a =；当2n =时，则332413ab b =+=，即3338a =，可得38a =. 322a q a ∴==，212aa q==，111222n n n n a a q --∴==⨯=；（2）1121n n n n a b b ++=+，即11221n n n n b b ++=+，11221n n n n b b ++∴-=，且121b =，所以，数列{}2nn b 是以1为首项，以1为公差的等差数列，则()2111nnbn n =+-⨯=，2n nnb ∴=. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则231232222n n nS =++++，① 231112122222n n n n nS +-∴=++++，② ①-②得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--，222n n n S +∴=-. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.18．已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，2AB AD EA ===，4CD CF ==．（1）求证：平面⊥BDF 平面BCF ；（2）求点B 到平面ECD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）由FC ⊥平面ABCD ，可得BD FC ⊥，并推导出BD BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出BD ⊥平面BCF ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）计算出三棱锥E BCD -的体积，并计算出ECD 的面积，利用等体积法可计算出点B 到平面ECD 的距离．【详解】（1）//FC EA 且AE ⊥面ABCD ，FC ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD FC ∴⊥，AB AD ⊥且2AB AD ==，由勾股定理得2222BD AB AD =+=，且45ABD ∠=，//AB CD ，45BDC ∴∠=，由余弦定理得2222cos 458BC BD CD BD CD =+-⋅=，22BC ∴=，222BC BD CD ∴+=，90CBD ∴∠=，BC BD ∴⊥，FCBC C =，BD ∴⊥平面BCF ，BD ⊂平面BDF ，平面BCF ⊥平面BDF ；（2）AE平面ABCD ，BC BD ⊥，且22BCBD ==，142BCDS BC BD ∴=⋅=△， 11842333E BCD BCD V S AE -∴=⋅=⨯⨯=△，AE 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AE ∴⊥，AD AB ⊥，//AB CD ，CD AD ∴⊥，AE AD A =，CD平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，CD DE ∴⊥，又2222DE AE AD =+=，114224222CDES CD DE ∴=⋅=⨯⨯=△，设点B 到平面ECD 的距离为h ，则B CDE E BCD V V --=，即1833CDES h ⋅=， 88242CDEh S∴===.因此，点B 到平面ECD 的距离为2.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(]15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(]15,30以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．质量指标值频数(]15,202 (]20,258 (]25,3020 (]30,3530(]35,4025(]40,4515合计 100（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计（3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标t 的关系式为2,30451,1530t y t <≤⎧=⎨<≤⎩．若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）估计新、旧设备所生产的产品优质品率分别为70%、55%；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”，理由见解析；（3）471.【解析】（1）根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的优质品率；（2）根据题中所给的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合临界值表，可得出结论；（3）根据新设备所生产的优质品率，分别计算出1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可收回成本. 【详解】（1）估计新设备所生产的产品优质品率为302515100%70%100++⨯=，估计旧设备所生产的产品优质品率为()50.060.030.02100%55%⨯++⨯=；（2）根据题中所给数据可得到如下22⨯列联表：非优质品优质品合计新设备产品30 70 100旧设备产品 45 55 100 合计 75125200()22220030557045 4.8 3.84110075125K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯，因此，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；（3）新设备所生产的产品的优质品率为0.7，∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有10000.7700⨯=件优质产品，有300件合格品，则每台新设备每天所生产的产品的纯利润为700230011700⨯+⨯=（元），8000001700471÷≈（天），因此，估计至少需要471天方可收回成本.【点睛】本题考查理由频率分布直方图和频数分布表求频率，同时也考查了利用独立性检验解决实际问题，考查学生的数据处理能力与计算能力，属于基础题. 20．已知点()0,0O、点()4,0P -及抛物线2:4C y x =．（1）若直线l 过点P 及抛物线C 上一点Q ，当OPQ ∠最大时求直线l 的方程；（2）问x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的任一条直线与抛物线C 交于点A 、B ，且点M 到直线AP 、BP 的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）240x y ++=或240x y -+=；（2）存在，且点M 的坐标为()4,0.【解析】（1）要使得OPQ ∠最大，则过P 的直线与抛物线相切，设过点P 的直线方程为4x my =-，与抛物线的方程联立，由0∆=求得m 的值，由此可得出直线l 的方程；（2）由题意可知，直线AP 、BP 的斜率互为相反数，设点(),0M m ，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式求得实数m 的值，由此可得出结论. 【详解】（1）如下图所示，当过点P 的直线l 与抛物线相切时，即当点Q 为切点时，OPQ ∠最大.当直线l 与x 轴重合时，则点P 与点Q 重合，不合乎题意；当直线l 与x 轴不重合时，可设直线l 的方程为4x my =-，联立244x my y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得24160y my -+=，则216640m ∆=-=，解得2m =±. 因此，当OPQ ∠最大时，直线l 的方程为240x y ++=或240x y -+=；（2）假设存在这样的点M 满足条件，设点(),0Mm ，因为点M 到直线AP 、BP 的距离相等，则MP 为APB ∠的角平分线，所以APMBPM ∠=∠，可得0AP BP k k +=，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2440y ty m --=，由韦达定理得124y y t +=，124y y m =-.()()()()1221121212444444AP BP y x y x y y k k x x x x ++++=+=++++()()()()()()()()122112121212442404545y ty m y ty m ty y m y y x x x x ++++++++===++++，()()1212240ty y m y y ∴+++=，即()()24440t m t m ⨯-++=，整理得()1640t m -=，由题意可知，等式()1640t m -=对任意的t R ∈恒成立，所以，4m =. 因此，在x 轴上存在点()4,0M ，使得点M 到直线AP 、BP 的距离相等.【点睛】本题考查利用直线与抛物线相切求直线方程，同时也考查了抛物线中存在定点满足条件，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.21．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1[,)e+∞.【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()21x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知()10x b x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞∵()()()21x x e ax f x x --'=，0a <，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '>∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增.（2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭()1xb x e lnx =-- 由题意，()10x bx e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10x b x e lnx --≤恒成立；不符题意.②若0b >，记()()1x h x b x e lnx =--，则()1x h x bxe x'=-,显然()h x '在[)1,+∞单调递增，（i ）当1b e≥时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥'∴[)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥= （ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1110bh e b e b ⎛⎫=-> ⎝'->⎪⎭∴存在01x >，使()0h x '=.当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>∴()hx 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意综上所述，所求b 的取值范围是1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=．若P 为曲线1C 上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足2OP OQ ⋅=，记动点Q 的轨迹为2C ．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求OMN 的面积．【答案】（1）()()22125x y -++=（去掉原点）；（2）35.【解析】（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，根据题意得出12ρρ=，将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程，可得出一个等式，然后将12ρρ=代入等式，化简可得出曲线2C 的极坐标方程，进而利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，计算出圆心到直线MN 的距离，利用勾股定理求出MN ，并计算出原点到直线MN 的距离，利用三角形的面积公式可求得OMN 的面积.【详解】（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，2OP OQ ⋅=，12ρρ∴=，可得12ρρ=.将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程得11cos 2sin 1ρθρθ-=，将12ρρ=代入等式11cos 2sin 1ρθρθ-=，得24cos sin 1θθρρ-=，即2cos 4sin ρθθ=-，等式两边同时乘以ρ得22cos 4sin 0ρρθρθ-+=，化为直角坐标方程得22240x y x y +-+=，即()()22125x y -++=，因此，曲线2C 的直角坐标方程为()()22125x y -++=（去掉原点）；（2）曲线1C 的直角坐标方程为210x y --=，曲线1C 为直线，曲线2C 是以点()1,2P-为圆心，以5为半径的圆（去掉原点），圆心P 到直线MN 的距离为45d =，22465252555MN d ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，原点到直线MN 的距离为15h =，因此，OMN 的面积为11651322555OMN S MN h =⋅=⨯⨯=△. 【点睛】本题考查曲线极坐标方程的求解，考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了圆的内接三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈．（1）当1k=时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{|1}k k ≤-. 【解析】（1）当1k=时，去绝对值，把()f x 写成分段函数，不等式()1f x ≤等价于3个不等式组，解即得；（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立.分2x -≤和2x >-两种情况解不等式，求实数k 的取值范围．【详解】（1）1k =，1()|1||3|22f x x x ∴=-++-．35,3,221(),31,2233, 1.22x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩由()1f x ≤得3,351,22x x <-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或31,11,22x x -≤≤⎧⎪⎨-+≤⎪⎩或1,33 1.22x x >⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得x ∈∅或11x -≤≤或513x <≤，∴不等式()1f x 的解集为5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立当2x -≤时，1|||3|022x k x x -++≥≥+恒成立；当2x >-时，1|||3|22x k x x -++≥+恒成立3||22x x k x +⇔-+≥+恒成立,即1||2x x k +-≥恒成立，当21x -<≤-时，1||2x x k +-≥显然恒成立，当1x >-时，1||2x x k +-≥恒成立12x x k +⇔-≥或12x x k +-≤-恒成立，即21x k ≥+或2132x k ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立． 211k ∴+≤-，解得1k ≤-，∴实数k 的取值范围为{|1}k k ≤-．【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查分类讨论，属于较难的题目.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

广东省北京师范大学东莞石竹附属学校2020学年高二数学6月月考试题文时间：120分钟总分：150分命题人：一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分）。

1．已知集合A＝{x|﹣2＜x≤4}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（）A．（0，4] B．（0，2] C．（﹣2，0）D．（﹣2，+∞]2．设复数（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．44．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5＝a4+2，则S7＝（）A．﹣14 B．﹣7 C．7 D．145．下列说法中错误的是（）A．从某社区65户高收入家庭，28户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样为分层抽样．B．线性回归直线一定过样本中心点（）C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D．若一组数据1、a、2、3的众数是2，则这组数据的中位数是26．已知向量＝（2，1），＝（m，﹣1），且⊥（2），则m的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．47．箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球，则摸到1号球的概率为（）A．B．C．D．8．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+y的最小值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣9．若ab＞0，＝1，则a+b的最小值是（）A．4 B．7 C．8 D．710．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A＝60°，c＝8，a＝b+2，那么△ABC的周长等于（）A．12 B．20 C．26 D．11．已知椭圆C的方程为，焦距为2c，直线与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）＝，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆C：（x﹣3）2+（y+1）2＝4与直线l：x+y﹣2＝0交于M、N两点，则|MN|＝．14．曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为．15．如果函数f（x）满足f（n2）＝f（n）+2，n≥2，且f（2）＝1，那么f（256）＝．16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}是等差数列，S n是前n项和，且a2+a6＝l6，S5＝30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）汕尾市基础教育处为调查在校中学生每天放学后的自学时间情况，在本市的所有中学生中随机抽取了120名学生进行调查，现将日均自学时间小于1小时的学生称为“自学不足”者．根据调查结果统计后，得到如下2×2列联表，已知在调查对象中随机抽取1人，为“自学不足”的概率为．（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为“自学不足”与“配在智能手机”有关？附表及公式：，n＝a+b+c+d19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD ⊥底面ABCD，PD＝AB＝2，E，F分别为AB，PC的中点．（1）证明：直线EF∥平面PAD；（2）求三棱锥B﹣EFC的体积．20．（12分）已知椭圆C： +＝1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线经过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点，试探讨k为何值时，OA⊥OB．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x．（1）求函数f（x）的极值；（2）若对任意x＞0，有解，求a的取值范围．22．（10分）平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知与直线l平行的直线l' 过点M（2，0），且与曲线C交于A，B两点，试求|MA|•|MB|．高二年级6月考考试文科数学参考答案一、选择题（本大题12小题，共50分）二、填空题：（本大题共须作4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题横线上。

13、 4 14、y＝2x﹣215、 7 16、三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是等差数列，S n是前n项和，且a2+a6＝l6，S5＝30．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：b，求数列{b n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）数列{a n}是公差为d的等差数列，S n是前n项和且a2+a6＝16，S5＝30，可得2a1+6d＝16，5a1+10d＝30，...........................................2分解得a1＝d＝2，...........................................4分则a n＝2n；...........................................6分（Ⅱ）＝＝﹣，...........................................8分{b n}的前n项和T n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．...........................................12分解：（1）由题意可得，自学不足的认识为120×＝40，非自学不足的人数80人，结合已知可得下表，...........................................5分（2）根据上表可得k＝＝15＞6.635...........................................10分∴有99%的把握认为“自学不足”与“配在智能手机”有关．...........................................12分20解：（Ⅰ）证明：取PD的中点G，连接FG，∵F为PC的中点，∴FG∥CD，FG＝，∵AE∥CD，AE＝，∴AE∥FG，AE＝FG，则四边形AEFG为平行四边形，∴EF∥AG，又∵EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；..........................................6分（Ⅱ）解：，..........................................7分F到平面BCE的距离为，..........................................8分∴．..........................................12分20.解：（I）依题意椭圆的两个焦点和短轴的两个端点都圆x2+y2＝1上，可得b＝1，c＝1所以a2＝2，........................................2分所以椭圆C的方程；；........................................4分（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y＝k（x﹣2），由消去y得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，........................................5分所以，........................................6分因为OA⊥OB，所以，即x1x2+y1y2＝0，.......................................7分而，所以，所以，........................................9分解得：，此时△＞0，所以．........................................12分21.解：（1）令f'（x）＝e x﹣1＝0，x＝0（2分）∴f（x）极小值＝f（0）＝1，无极大值；（4分）（2）对任意x＞0，即，设，g'（x）＝e x﹣1﹣ax，（8分）①当a≤0时，g'（x）单调递增，g'（0）＝0，g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（0）＝0，成立；（9分）②当0＜a≤1时，令h（x）＝g'（x），h'（x）＝e x﹣a＞0，g'（x）单调递增，g'（0）＝0，g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（0）＝0，成立；（10分）③当a＞1时，当0＜x＜lna时，h'（x）＝e x﹣a＜0，g'（x）单调递减，g'（0）＝0，g'（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）＜g（0）＝0，不成立．（11分）综上，a≤1（12分）22.解：（1）把直线l的参数方程化为普通方程为y＝（x﹣1）+1．........................................2分由，可得ρ2（1﹣cos2θ）＝2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝2x．........................................4分（2）直线l的倾斜角为，∴直线l′的倾斜角也为，又直线l′过点M（2，0），∴直线线l′的参数方程为（t′为参数），......................................6分将其代入曲线C的直角坐标方程可得3（t′）2﹣4t′﹣16＝0，........................................8分设点A，B对应的参数分别为，．由一元二次方程的根与系数的关系知为，＝﹣．∴|MA|•|MB|＝．........................................10分。