【2014龙岩市5月质检】福建省龙岩市一级达标学校联盟2014届高三毕业班5月联合考试理科数学试题

数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并指出了一种或者几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分. 1-5 DDCAD 6-10 ABAAB二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分20分11．-1 12．1或127 13．-1或0 14．2 15．34m ≤≤三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查二倍角公式、降幂公式、向量的数量积、递推数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）(4,1)m x = ,2(cos (),tan 2)8n παα=+, ()f x m n =⋅2()4cos ()tan 28f x x παα∴=++()2(1cos(2))tan 24f x x παα∴=+++ ………………………………4分由1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααa α 是锐角， 42πα=∴cos(2)04πα∴+= 12)(+=∴x x f . ………………………7分（Ⅱ）)(,111n n a f a a ==+ ，121+=∴+n n a a ， ………………………9分)1(211+=+∴+n n a a , 2111=+++n n a a , {}1+∴n a 是首项为11+12a ==，公比2=q 的等比数列,12-=∴n n a …11分n n S n n n --=---=+2212)12(21. …………………………………13分17．本小题主要考查茎叶图、样本中位数、古典概型，独立重复试验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）由题意可知4524440=++x 解得6=x . ……………………3分（Ⅱ）没有一天空气质量超标的概率为37310724C C =至少有一天空气质量超标的概率为71712424-=. …………………7分（Ⅲ）3,2,1,0=ξ ………………………8分12527)53()0(3===ξP 12554)53)(52()1(213===C P ξ12536)53()52()2(223===C P ξ 1258)52()3(3===ξPξ∴的分布列为P 0123ξ1252712554125361258∴数学期望 2754368601231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………13分 18．本小题主要考查直线与直线、平面与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分13分．解：（Ⅰ）由ABC ADC ≅可知AC 既是等腰ABD ∆也是等边BCD ∆的角平分线，也是高，所以AO ⊥BD ，CO ⊥BD …………………………2分由于在平面图形中，AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，折起后这种关系不变，且AO CO O ⋂= 所以折起后BD ⊥平面AOC ， ……………………………4分 又AC ⊂平面AOC ，故BD ⊥AC ，即不论(0,)θπ在内为何值，均有AC BD ⊥. …………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BD ⊥平面AOC ，又BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD过点A 作AE ⊥OC 于点E ，因为平面AOC ⋂平面BCD OC =， 所以AE ⊥平面BCD ，即AE 是三棱锥A BCD -的高，在Rt AOE ∆中，sin 2sin AE AO θθ==，1442BCD S ∆=⨯⨯故三棱锥A BCD -的体积为12sin 3V θθ=⨯=，当三棱锥A BCD -sin 1θ=，此时点E 与点O 重合.…9分解法一：由上面证明易得CO ⊥平面ABD ，过O 点作OF ⊥AD 于点F ，连接CF ， 因为AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥OC ，又OF ⋂OC =O ， 所以AD ⊥平面OFC ，所以AD ⊥CF ，则∠OFC 就是二面角B AD C --的平面角. ………11分在Rt OFC ∆中，OF OC =CF所以cos OF OFC CF ===∠所以二面角B AD C --的余弦值为7. …………………………13分 解法二：根据上面的证明过程可知OC 、OD 、OA 两两垂直，则分别以OC 、OD 、OA 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C （0，0），D （0，2，0），A （0，0，2），(23,2,0),(0,2,2)CD AD =-=-，设平面ACD 的法向量为(,,)m x y z =则0203,(3,3,3)22003x m CD y y m y z m AD z ⎧=⎧⎧=⎪-+=⎪⎪⇒⇒==⎨⎨⎨-=⎪=⎪⎩⎪⎩=⎩取. …………11分 又平面ABD 的一个法向量(1,0,0)n=， 所以7cos ,7||||m n m n m n <>==显然所求角是锐二面角，所以二面角B AD C --的余弦值为7. ………13分 19．本小题主要考查椭圆标准方程与性质、直线与圆锥曲线位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等．满分13分． 解：（Ⅰ） )1,0(),1,0(-B A ，)21,(m M ∴13(,),BM (,)22AM m m =-=. ………2分又BM AM ⊥∴0=⋅即432=m ，解得23±=m . ……5分 （Ⅱ）直线AM 的斜率为m k 211-=，直线BM 斜率为m k 232=.∴直线AM 的方程为121+-=x m y ，直线BM 的方程为123-=x my .…6分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+,121.1422x m y y x 得04)1(22=-+mx x m ，14,0221+==∴m m x x .)11,14(222+-+∴m m m m C ……………………………………8分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+1231422x m y y x 得012)9(22=-+mx x m ， 912,0221+==∴m m x x )99,912(222+-+∴m m m m D ……………………10分据已知，3,02≠≠m m .∴直线CD 的斜率m m m m m m m m m m m m m m k 43)3(4)3)(3(9121499112222222222+-=---+=+-++--+-=∴直线CD 的方程为)14(43112222+-+-=+--m mx m m m m y . ………12分 令0=x ，得,2=y ∴CD 与y 轴交点的位置与m 无关. …………13分（第18题图）20．本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等．满分14分． 解：（Ⅰ）2()33(1)33(1)()f x x t x t x x t '=-++=--，又()f x 在(0,2)无极值 1t ∴= …………………………………………3分（Ⅱ）①当0t ≤时，()f x 在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增，()f x ∴在[]0,2的最小值为13(1)22f t =+②当01t <<时，()f x 在(0,)t 单调递增，在(,1)t 单调递减，在(1,2)单调递增， (1)(0)f f ∴≤或()(2)f t f ≥由()(2)f t f ≥得：3234t t -+≥在01t <<时无解(1)(0)01f f t ≤⎧∴⎨<<⎩ 103t ∴<≤ ③当1t =时，不合题意；④当12t <<时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)t 单调递减，在(,2)t 单调递增， (1)(2)12f f t ≥⎧∴⎨<<⎩或()(0)12f t f t ≤⎧⎨<<⎩ 即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩或3213112212t t t ⎧-++≤⎪⎨⎪<<⎩ 523t ∴≤<或3t ≤（舍去） ⑤当2t ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，max 13()(1)22f x f t ∴==+ 综上：15,,33t ⎛⎤⎡⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭时，存在0(0,2)x ∈，使得0()f x 是()f x 在[]0,2上的最值. …………………………………………………8分 （Ⅲ）当1t =时，若2()552x f x xe x x m ≤-+-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立即322331552xx x x xe x x m -++≤-+-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立32221x m xe x x x ∴≤--++， 即2(22)1x m x e x x ≤--++对任意[)0,x ∈+∞恒成立令2()22xg x e x x =--+，[)0,x ∈+∞()22x g x e x '=--,若000()220x g x e x '=--=，即0022x e x =+则002x <<022min 000000()()222222x g x g x e x x x x x ∴==--+=+--+2040x =-> ()0xg x ∴≥，()11xg x ∴+≥，1m ∴≤. ……………………14分21．（1）本小题主要考查矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分７分．（Ⅰ）设矩阵,a b B c d ⎛⎫=⎪⎝⎭则由 1A PBP -=得AP PB = 即531313,201212a b c d --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得32392226a cb d ac bd -+=-⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩ 解得2,0,0,3a b c d ====，即20.03B ⎛⎫=⎪⎝⎭………………4分 （Ⅱ）由（1）知2202040,030309B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以324020800903027B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……………………7分 （2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分７分． 解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为：22(1)1x y -+=直线l 的直角坐标方程：y x =. ……………………3分（Ⅱ）圆心（1，0）到直线l的距离d =， 则圆上的点到直线的最大距离为d r +=+12||AB == 所以ABM ∆面积的最大值为11(1)222ABM S ∆=+=.……7分 （3）本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．满分７分．解：（Ⅰ）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或,∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ……………… 3分（Ⅱ）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………… 7分。