日照实验高级中学2015届高三第二次周考(数学理)

数学试题（理）2014.10注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．禁止使用计算器．3．答卷之前将姓名、班级等信息填写在答题卡与答题纸的相应位置.4．答卷必须使用黑色0.5毫米中性笔，使用其它类笔不给分． 画图题可先用铅笔轻轻画出，确定答案后，用中性笔重描． 禁止使用透明胶带，涂改液，修正带．5．选择题填涂在答题卡上，填空题的答案抄写在答题纸纸上．解答题必须写出详细的解题步骤，必须写在答题纸相应位置，否则不予计分．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：每小题5分，共10题，50分．1．已知集合 A ＝{0,1, 2,3} ，集合 {|||2}B x N x =∈≤ ，则A B =（ ）A ．{ 3 }B ．{0，1，2}C ．{ 1，2}D ．{0，1，2，3}2．若0()3f x '=-，则000()()limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 3．函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞4．已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ）A.1B. 2C. 3D. -15．已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f （ ）A. 3-B. 1-C. 1D. 36．已知集合A ={2，0，1，4}，B ={k |k R ∈，22k A -∈，2k A -∉}，则集合B 中所有元素之和为（ ）A ．2B ．-2C ．0D 7．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．1 8．若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13-C.13D.19．下列四个图中，函数 ）ABCD10．如图所示的是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x +等于（ ）A ．32 B ．34 C ．38 D ．316第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：每小题5分，共5题，25分．11．物体运动方程为23t S =-，则2t =时瞬时速度为12．已知()f x =2lg()1a x+-是奇函数，则实数a 的值是13．如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为a ，拱高为b ，其面积为____________．14．不等式632(2)(2)x x x x -+>+-的解集为____________．15．已知()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则(2)f =____________．三、解答题：共6小题，75分．写出必要文字说明、证明过程及演算步骤.16．(本小题满分12分)已知函数()f x 的定义域为(2,2)-，函数()(1)(32)g x f x f x =-+- （Ⅰ）求函数()g x 的定义域；（Ⅱ）若()f x 是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式()0g x ≤的解集.17．(本小题满分12分)已知曲线 32y x x =+- 在点 0P 处的切线 1l 平行直线410x y --=，且点 0P 在第三象限.（Ⅰ）求0P 的坐标；（Ⅱ）若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点0P ,求直线l的方程.18．（本小题满分12分）若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为()f x 的不动点．已知函数3()3f x x bx =++，其中b 为常数．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若存在一个实数0x ，使得0x x =既是()f x 的不动点，又是()f x 的极值点．求实数b 的值；19．（本小题满分12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 20．(本小题满分13分)已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠' （Ⅰ）当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;（Ⅱ）若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积. 21．（本小题满分14分）设关于x 的方程012=--mx x 有两个实根βαβα<,,，函数()122+-=x mx x f 。

（Ⅰ）求()()ββααf f +的值；（Ⅱ）判断()x f 在区间()βα,的单调性，并加以证明； （Ⅲ）若μλ,均为正实数，证明：βαμλλβμαμλμβλα-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++f f数学试题（理）参考答案一、选择题：BBCAC BCBCC二、填空题：11．4ln 2 12． -1 3．23ab 14.｛x|x<-1或x>2｝ 15．10 13．建立平面直角坐标系，求出抛物线方程积分即可．2-2课本P60原题．14．原不等式等价于623(2)(2).x x x x +>+++设3()f x x x =+，则()f x 在R 上单调增.所以，原不等式等价于22()(2)212f x f x x x x x >+⇔>+⇔<->或 所以，原不等式解集为｛x|x<-1或x>2｝15．依题意，()3x f x -为常数。

设()3x f x m -=，则()4f m =，()3x f x m =+。

∴ 34mm +=，340mm +-=。

易知方程340mm +-=有唯一解1m =。

∴ ()31xf x =+，2(2)3110f =+=。

三、解答题：16．解：（Ⅰ）由题意可知：1321215232222x x x x -⎧--⎧⎪⇒⎨⎨--⎩⎪⎩＜＜＜＜＜＜＜＜，解得1522x << (3)分∴函数()g x 的定义域为15(,)22………………………………………………………………4分（Ⅱ）由()0g x ≤得(1)(32)f x f x -+-≤0， ∴(1)(32)f x f x -≤--又∵()f x 是奇函数， ∴(1)(23)f x f x -≤- …………………………………8分又∵()f x 在(2,2)-上单调递减，∴2121223222123x x x x x --⎧⎪--⇒⎨⎪--⎩＜＜＜＜＜≤≥………………11分∴()0g x ≤的解集为⎥⎦⎤⎝⎛2,21 (12)分 17．解:（Ⅰ）由32y x x =+－，得231y x '=+，…………………………………………………………2分由1l 平行直线410x y --=得2314x +=，解之得1x =±.当1x =时， 0y =; 当1x =－时， 4y =－.…………………………………………4分又∵点0P 在第三象限, ∴切点0P 的坐标为(1,4)－－ ……………………………………6分（Ⅱ）∵直线1l l ⊥, 1l 的斜率为4, ∴直线l 的斜率为14-, ………………………………8分∵l 过切点0P ,点0P 的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+………………………………………………………11分即4170x y ++= …………………………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）因3()3f x x bx =++，故2()3f x x b '=+． ………………………………………1分当0b ≥时，显然()f x 在R 上单增； …………………………………………………………3分当0b <时，由知x >或x < ………………………………………5分 所以，当0b ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0b <时，()f x的单调递增区间为(,-∞，)+∞ …………………………6分（Ⅱ）由条件知203000303x b x bx x ⎧+=⎨++=⎩，于是300230x x +-=，………………………………………8分 山东中学联盟网即2000(1)(223)0x x x -++=，解得01x =……………………………………………11分从而3b =-． (12)分 19．解:（Ⅰ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时，…………………………………2分要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=………………………………………4分答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升……………………5分（Ⅱ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设油耗为()h x 升， 依题意得313100()(8)12800080h x x x x =-+218001512804x x =+- （0120x <≤）…7分方法一:则332280080()640640x x h x x x-'=-= （0120x <≤）……………………………8分令()0h x '=，解得80x =，列表得………………………10分所以当80x =时，()h x 有最小值(80)11.25h =．…………………………………………………11分方法二: 2180015()12804h x x x =+-214004001512804x x x =++-…………………………8分2154x x ≥-＝11.25………………………………………10分当且仅当214004001280x x x==时成立，此时可解得80x =………………………………11分答：当汽车以80千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升．…12分 20．解:（Ⅰ）∵()ln f x x =,∴当0x >时,()ln f x x =，1()f x x '= 当0x <时,()ln()f x x =-,11()(1)f x x x '=⋅-=-. ∴当0x ≠时,函数()ay g x x x==+.…………………………………………………………4分（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知当0x >时,()a g x x x=+, ∴当0,0a x >>时, ()≥g xx =.∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是∴依题意得2=∴1a =.…………………………………………………………………8分（Ⅲ）由27361y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2121322,51326x x y y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩ ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积 232271()()36S x x dx x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=2ln 23ln 247-+………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）∵,αβ是方程210x mx --=的两个根，∴m αβ+=，1αβ=-， (1)分∴()221m f ααα-=+，又m αβ=+，∴()222()1f ααβαβααααβ-+-==+-1α=，………3分即()1f αα=，同理可得()1f ββ=∴()f αα＋()2f ββ=……………………………………………………………………4分（Ⅱ）∵()2222(1)(1)x mx f x x --'=-+， (6)分将m αβ=+代入整理的()222()()(1)x x f x x αβ--'=-+……………………………………7分又()(),,0x f x αβ'∈>，∴()x f 在区间()βα,的单调递增; ………………………8分（Ⅲ）∵λαμβαλμ+-+()0μβαλμ-=>+，λαμββλμ+-+()0μαβλμ-=<+∴λαμβαβλμ+<<+ (10)分由（Ⅱ）可知()()()f f f λαμβαβλμ+<<+，同理()()()f f f μαλβαβλμ+<<+()()f f f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭…………………………………………12分由（Ⅰ）可知1()f αα=，1()f ββ=，1αβ=-，∴11()()||||||f f αβαβαβαβαβ--=-==- ∴βαμλλβμαμλμβλα-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++f f ……………………………………………14分。