江苏省运河中学高三周末学情调研(11月19日

江苏省运河中学高三周末学情调研（11月19日）数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合},1{},,20{2≤=∈<<=x x B R x x x A 则=B A2. “y x =”是“y x =”的 条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”） 3. 已知,54cos ),0,2(=-∈x x π则=x 2tan . 4. 在等比数列}{n a 中，若,1,4497==a a a 则=12a5. 已知符号函数,0,10,00,1sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=x x x x 则不等式2sgn )1(>+x x 的解集是6. 已知向量,,31==、之间的夹角为,60︒则=+⋅)(7. 已知等比数列}{n a 的各项都为正数，它的前三项依次为1，,52,1++a a 则数列}{n a 的通项公式=n a二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本题满分14分）已知函数)(2cos cos sin 2)(R x x x x x f ∈+=(1)当x 取什么值时，函数)(x f 取得最大值，并求其最大值;(2)若θ为锐角，且,32)8(=+πθf 求θtan 的值. 16.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足.cos cos )2(C b B c a =- （1）求B 的大小；（2）设),2cos ,3(),1,(sin A n A m ==求n m ⋅的取值范围.17. 已知等差数列{}n a 满足：53=a ，2284=+a a 。

{}n a 的前n 项和为n S 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得n S n 5>成立的最小正整数n 的值。

（3）设()111++⋅⋅-=n n n n a a c ，求数列{}n c 的前n 项和n T 。

18.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备,M M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%. （1）求第n 年初M 的价值n a 的表示式； （2）设na a a A nn +++=21，若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，求须在第几年初开始对M 更新.19.已知函数.)(,ln )(2ax x x g x x f +-==（1）函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求a 的取值范围； （2）在（1）的结论下，设],2ln ,0[,)(2∈+=x ae e x x x ϕ求函数)(x ϕ的最小值.20. 已知数列}{n a 满足：为常数），（为奇数为偶数，a R a N n n a a n a a n n n ,,.,212 ,41*212∈∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=+数列}n b ｛中，122-=n a b n .(1)求;,,321a a a（2）证明：数列}{n b 为等差数列；（3）求证：数列}{n b 中存在三项构成等比数列时，a 为有理数.江苏省运河中学高三周末学情调研（11月19日）数学试题参考答案1.（0，1]2.充分不必要3.724-4.45.),1()3,(+∞--∞6.257.13-n 8.3 9.12+=x y 10.6π 11.3- 12.)5,31( 13. )44,32(15.(1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+2222x x ⎫=+⎪⎪⎭24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x 取得最大值,(2)∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=.∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<. ∴sin 23θ==.∴sin 2tan 2cos 2θθθ==. ∴22tan 1tan θθ=-. ∴2tan 0θθ+-=.∴)(1tan 0θθ-=.∴tan θ=或tan θ=不合题意,舍去) . 16. 解：（1）因为C b B c a cos cos )2(=- 所以C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=- 即C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2+=化简得),sin(cos sin 2B C B A +=即.sin cos sin 2A B A = 而,0sin >A 所以21cos =B 又因为B 为三角形的内角，故3π=B （2）因为),2cos ,3(),1,(sin A A ==所以,817)43(sin 2sin 21sin 32cos sin 322+--=-+=+=⋅A A A A A n m 因为△ABC 为锐角三角形，所以,26ππ<<A 因此)1,21(sin ∈A 故n m ⋅的取值范围是]817,2( 17. 解：（1）.2,63,11,22684=∴=∴=∴=+d d a a a 12-=∴n a n ……3分（2）22)112(n n n s n =+-=，,52n n >∴n 的最小正整数为6。

……6分（3）)14()1()12)(12()1(211--=+--=++n n n c n n n ⎪⎩⎪⎨⎧--=为偶数）（为奇数）n n n n 2241(14…8分 ①n 为奇数时，22214)321173(422-+=-+-++++-=n n n n Tn …10分 ②n 为偶数时，n n n Tn 22)121173(42--=-++++-= ………12分⎪⎩⎪⎨⎧---+=∴为偶数）（为奇数）n n n n n n T n 22(22222………………………………14分18. 解：（I ）当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列．12010(1)13010;n a n n =--=-当6n ≥时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为34为等比数列，又670a =，所以6370();4n n a -=⨯因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为612010(1)13010,6370(),74n n n n n n a a n ---=-≤⎧⎪=⎨=⨯≥⎪⎩ (II)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当16n ≤≤时，1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=-当7n ≥时，666786333()570704[1()]780210()4443780210()4.n n n n n n S S a a a A n---=++++=+⨯⨯⨯-=-⨯-⨯= 因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又86968933780210()780210()4779448280,7680,864996A A ---⨯-⨯==>==<所以须在第9年初对M 更新．19. 解：（I ）依题意：ax x x x h -+=2ln )(()h x 在（0,+∞）上是增函数，021)('≥-+=∴a x x h 对x ∈（0,+∞）恒成立，0,21>+≤∴x x x a ，则12x x+≥ b ∴的取值范围是(-∞. （II ）设xe t =，则函数化为at t y +=2，]2,1[∈t 4)2(22a a t y -+= 当12≤-a ，即222≤≤-a 时，函数y 在[1,2]上为增函数，当1t =时，1min +=a y ；,]2,1[4,22;42,24,2212min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，a aa ，y a t a a -≤≥--=-=-<<-<-< 当2t =时， 42min +=a y .综上所述： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤+-<<--≤≤-+=.4,42;24,4;222,1)(2a a a aa a x ϕ20.江苏省运河中学高三周末学情调研（11月19日）数学试题答题纸班级姓名考号平面向量单元训练（11月19日）一、填空题：（每小题5分，共70分）1. 若),2,2(-=则与a 垂直的单位向量的坐标为2. 设),31,(cos ),sin ,23(αα==b a 且//，则锐角=α3. 若菱形ABCD 的边长为2=+-CB4. 设向量)4,2(),3,1(-=-=b a ，若表示向量c a b a ,23,4-的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为5. 已知向量b a ,的夹角为︒120,3=1==-________.6. 已知向量,是平面内的两个互相垂直的单位向量，若向量满足0)()(=-⋅-，的最大值为7. 设F E D ,,分别是△ABC 的三边AB CA BC ,,上的点，且FB AF EA CE BD DC 2,2,2===,则CF BE AD ++与BC 的位置关系为8. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(-B A 若点C 满足,βα+=其中,,R ∈βα且,1=+βα则点C 的轨迹方程为9. 设向量),(),22cos ,68(cos ),67cos ,23(cos R t b t a u b a ∈+=︒︒=︒︒=的最小值是10.如图，在△ABC 中，D AC AB BAC ,1,2,120==︒=∠是边BC 上一点，,2BD DC =则=⋅ 11.在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅= ,则△ABC 面积的最大值是 .12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，－1），B （－3，－4）两点，若点C 在AOB ∠的平分线上，且OC C 的坐标是A B C D13. 已知O 是锐角三角形ABC 的外接圆的圆心，且,θ=∠A 若,2sin cos sin cos AO m AC BC AB C B =+则=m （用θ表示）14. 直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足)(21AC AB OA OP ++=,则AP = 二、解答题：15.已知),5,0(),1,3(=-=且,,//⊥求点C 的坐标.16.已知,是两个不共线的向量，且).sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==（1）求证：+与-；（2）若,4),4,4(πβππα=-∈且,53=⋅b a 求αsin 的值.平面向量单元训练1.)22,22(或)22,22(-- 2. 4π 3. 2 4. )6,4(- 5. 19 6. 2 7. 共线 8. 052=-+y x 9. 22 10. 38- 11. 2 12. )3,1(-- 13. sin θ 14. 1 15. )429,3(- 16. 102-。