立体几何角度求解全攻略

立体几何中的角度问题攻略新东方孟祥飞异面直线角：采用平移法，或者向量线面角：（1）当射影线好找时采用定义法，（2）当射影线不好找时建议采用向量法，但是等体积法也是不错的选择二面角：（1）当二面角的二面为双等腰图形或者全等对称或者二面交线垂线相对好平移的情况，采用定义法即可（2）当二面交线垂线不好平移（主要原因为计算量太大）建议直接采用向量法，但是三垂线法也是不错的选择，可以减少平移运算。

（3）三垂线法也会出现射影线不好找的情况，此时可以采用等体积转化。

S 中，E，F为中点，求异面直线BE，SF所称角度例题：1.正四面体ABCSEA CFB异面直线角的求法只需记住平移和向量即可，但是有些小题考查可能不好建系，所以需要大家对平移好好掌握，而平移其实就是构建辅助线，辅助线的构造基本和证明线面平行时的构造相同，即平行四边形构造和中位线构造，相对而言中位线可能够难想一点，中位线构造常常出现在三棱锥中。

SEPA CPF和SF所成平面角即所求FBSE这样的构建也是不错的选择EQ 和EB 所成角为所求A CQF B求三边套余弦定理即可，令正四面体边长为2，则EB=3，EQ=23，QB=27 所以32323247343cos =⨯⨯-+=QEB 此题还可以采用五坐标向量法来求解，2.三棱锥A BCD -，且,,,)(,>=<+===AC EF f DFCFBE AE λλλαβαλλ>=<BD EF ,λβ，求)(λf 的单调性 A EQB DFC此题的方法也为平移转化，由于是三棱锥，所以采用中位线（等比例线）方式平移，如图，不难发现，其实题目设计成求和角单调性，由于内角和为定值π，其实就是求角EQF 的单调性，而角EQF 为棱AC 和BD 之间角，是为定值的3.正方体1111D C B A ABCD -，E 是1BC 中点，求DE 与ABCD 所成角。

D 1 C 1 A 1 B 1 ED C Q A B线面角在求解时，我们觉得可能难度略大于异面直线，但是同学们注意其实把方法掌握，一样是很简单的，因为立体几何的特点是规律性非常强！我们看此题，线面角的定义是射影和斜线的成角，所以我们要先找DE 直线的射影，不难发现DE 的射影即为DQ ，所以所求线面角的平面角即为∠EDQ ，只需求解直角三角形EDQ 即可求出线面角的三角函数值。

但是同学们请思考，你知道这个题为什么简单吗？请看下面4.正方体1111D C B A ABCD -，求1BB 与平面C AB 1所成角。

D 1 C 1 A 1 B 1 Q D C A B还是正方体，这个题就不好做，因为我们在想采用定义法的话，你会发现这次射影不好找了，是谁的问题呢？是平面的问题，刚才所求平面是底面，由于有侧棱垂直底面，所以引垂线找射影都是很自然的，但是当平面为斜切面时候，我们觉得就不是那么自然了，由点B 想向平面C AB 1引垂线找射影其实并不简单，当然聪明的同学会知道点B 的垂足点其实在三角形C AB 1的几何中心Q 上，没错，如图，但是此时的三角形1B QB 还是需要运算求解，不是很轻松，再想如果图形复杂，斜面不是等边图形求解将会更复杂，甚至垂足点都不好早，所以这个方法就不是最优解了，当然这时我们首先可以选择建议（详解略），我想为大家推荐另外一种解法，是这样的，BQ 线段其实既是垂线段，又是三棱锥C AB B 1-的高，如果我们能求出这个高，然后比上B 1B ，即可求出射影和斜线的正弦，即线面角的正弦，而求高是不一定非要引垂线的，我们都知道可以等体积求高嘛，所以这个方法有时候叫做等体积法，如下：1313111BB S BQ S V ABC C AB C AB B ⨯=⨯=-，将两个面积算出，以及侧棱带入， 即可算出BQ 大小，在算1BB BQ即为线面角正弦。

5.正方体1111D C B A ABCD -，E ，F 分别是所在棱中点， （1）求证F C E A ,,,1四点共面 （2）求11B A 与ECF A 1所成角F D 1 C 1A 1B 1 线面角 射影 dD CA E B此题同学们即发现如果由B1点向平面FCE A 1引垂线找射影的话就会较为麻烦？不会麻烦，这个垂线是非常难引的，所以可以采用的是等体积法，但是要注意等体积法只适用于三棱锥可以换底！所以如果我们要求点1B 到平面FCE A 1的距离，必须要将平面FCE A 1分成三角形平面FE A 1，构建三棱锥FE A B 11-， 设点1B 到平面FCE A 1距离为d ，得三棱锥体积侧棱长⨯=⨯=-111113131FB A FE A FE A B S d S V ，即可求出d ，然后线面角正弦=11B A d6.正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F 为中点，求1BC 和平面BDEF 所成角度 E D 1 C 1 A 1 F B 1D C A B对于这道题而言，大家会发现再采用等体积换底求高再比出线面角正弦的方法，此题也不是很适用了，因为在我们设法求点1C 到平面BDF （将平面BDEF 拆分成三角形才可换底求高），但是三棱锥BDF C -1令任何一面为底面都不易求出体积，大家可以尝试一下。

不过，我们其实还是可以求出点1C 到所求线面角中的平面BDEF 的距离，直接取四棱锥体积h S V BDEF BDEF C ⨯=-311，而体积BDEF C V -1是可以采用割补法求出的，即ADB EFA FD D C DBC C BDEF C V V V V V -------=11111正方体，但是明显发现这种方法过于繁琐，是不可取的，所以此时建议使用坐标法，具体如下： z E D 1 C 1 A 1 F B 1D C yx A B设棱长为2，则点D （0,0,0），点B （2,2,0），点E （1,0,2），点F （2,1,2）， 点1C （0,2,2），得出)0,2,2(),2,0,1(),2,0,2(1==-=DB DE BC ， 设法向量),,(000z y x n =，则，)1,2,2(2,02202{00000--=⇒==+=+n x y x z x 取设所求线面角为θ，则套线面角向量坐标公式得，22|32224|||||||sin 11=⨯--=⨯∙=n BC n BC θ 得，1BC 和平面BDEF 所成角度为4π同时请同学们注意，除了此题，以上几题也均可以使用空间向量法来求解，并且空间向量法无需构建辅助线，操作流程简便，更适合求解立体几何中的角度问题，应该属于更优解法。

再求解线面角时，要注意由于法向量和直线向量之间的角度并非线面角，所以经过诱导公式变形后得到是线面角的正弦，具体公式为：||||||sin n a n a ⨯∙=θ，请大家牢记！7.正方体1111D C B A ABCD -，E 为BC 中点，求E B 1与平面C AD 1所成角。

FD 1 C 1 A 1 B 1D CE A B此题情况想为同学们建议一个题型概念，这种类型属于无交点型的线面角问题，如图，所求E B 1与平面C AD 1所成角之间是没有交点的，我们可以先将其平移，产生交点后再求解，如图CF E B ⇒1，但是此题平移后仍然不易求解，属于和上题情况类似，不好直接引垂线并且无法等体积换底求高，只能采用割补法求体积再求高，较为麻烦，所以建议采用空间向量法。

另有方法，请同学们注意，当无交点情况出现，其实我们除了可以平移直线，其实还可以采用平移平面法，如下图。

D 1 C 1 A 1 B 1D CE A B平面C AD 1向上平移后变为如图所示的正八边形，此八边形在正方体中是非常特殊的，它垂直于体对角线D B 1，且将体对角线等分，设棱长为2后，我们可以用比正弦的方法迅速得出所求线面角正弦53sin 1==E B d θ（21=d D B 1） 8.如图21,l l 是互相垂直的异面直线，MN 是他们公垂线段，点A ，B 在1l 上，C 在2l ，MN MB AM ==，（1）求证NB AC ⊥，（2）若︒=∠60ACB ，求NB 与平面ABC 所角。

D C L 1L 2AM N B此题出自06年的全国I 卷，希望通过此同学们可以将几种求线面角的方法经行巩固，（1）求证NB AC ⊥略 （2）解法一：（构造线面角的平面角即定义法，由点N 向平面ABC 引垂线去构建射影）设MN MB AM ===1，且AB MN ⊥，等腰三角形三线合一， 显然BN AN =，又由于ABN ,平面⊥⇒⊥⊥CN MN CN AB CN ，所以︒=∠=∠90CNB CNA ， 所以△CNA 和△CNB 全等，所以AC=BC ， 又︒=∠60ACB ，所以△ABC 为等边三角形，所以AB=AC=BC=2，所以CN=22422=-=-BN BC 所以4π=∠=∠NBA NBC ，这是希望大家记住一个由点向平面引垂线的小方法，叫做引垂线的角分线法，如图 P B α A C直线AB ，AC 是平面α内的两条直线，直线PA 和平面α相交于点P ，如果PAC PAB ∠=∠，由点P 向平面α引垂线垂足落在BAC ∠的角分线上（证明略）。

利用此结论，由点N 向平面ABC 引垂线，由于△ABC 为等边三角形，角分线和中线重合，所以垂足会落到中线AD 上，则射影为AD 则所求线面角的平面角为∠NBD1,3,2===ND BD NB ，由余弦定理可得，32626242cos 222===⨯-+=∠BD NB ND BD NB NBD （注：此题由于属于斜面情况，所以射影是不好构建的，这里我们引入了一个小方法，常见引垂线的小方法其实有很多，例如：1，面面垂直的性质定理：面面垂直由一个平面中的点向另外一个平面引垂线会引到交线上2，角分线引法，如上3，如果图形为侧棱两两垂直的直角三棱锥情况，由顶点向底面引垂线，垂足落在底面三角形的垂心上4，如果图形为侧棱都相等三棱锥情况，由顶点向底面引垂线，垂足落在底面三角形的外心上） 解法二：（等体积换底求高比正弦法）D C L 1 L 2 AM N B三棱锥体积CN S V h S V NAB NAB C ABC ABC N ⨯⨯==⨯⨯=--3131，又CN=22422=-=-BN BC323222160sin 21=⨯⨯⨯=︒⨯⨯=BC AC S ABC ， 1222121=⨯⨯=⨯⨯=AN BN S NAB ，所以代入CN S V h S V NAB NAB C ABC ABC N ⨯⨯==⨯⨯=--3131，得3223=⇒=h h ，设线面角为θ，则31232sin ===BNh θ，即32cos =θ解法三：（空间向量法）zD C L 1x L 2AM NB y点N （0,0,0），点A （2，0,0），点B （0，2，0），点C （0,0，2），则=NB （0，2，0），)2,0,2(),0,2,2(-=-=AC AB ， 设法向量),,(000z y x n =，则，)1,1,1(,1,022022{00000=⇒==+-=+-n x z x y x 取，设线面角为θ， 31322||||||sin =∙=∙∙=n NB n NB θ，32cos =θ 9.四棱锥ABCD P -的底面为直角梯形，DC AB //，⊥︒=∠PA DAB ,90底面，且121====AB DC AD PA ，M 是PB 中点，（1）求AC 与PB 所成角 （2）求二面角B MC A -- P MQA B E D C 解法一：（定义法构建二面角的平面角）想求解二面角应该首先了解二面角的定义，两平面的交线叫做二面角的棱，例如此题所求B MC A --，即平面AMC 和平面BMC 其二面角棱即为MC ，在两个平面中分别做棱的垂线，垂线之间的角为二面角的平面角，例如此题我们需要先构造辅助线，构造出二面角的平面角，要由点A 向棱MC 引垂线，由点B 再向MC 引垂线，但是引发问题为，如果两条辅助垂线没有相交，则变为异面直线角还需构建平行辅助线继续构造平面角，这也是定义法的缺陷，但是请同学们仔细观察。