因式分解中考经典题型
初三因式分解题20道
20 道初三因式分解题题目一：x² - 9解析：这是平方差公式的形式，x² - 9 = (x + 3)(x - 3)。
题目二：4x² - 25解析：同样是平方差公式，4x² - 25 = (2x + 5)(2x - 5)。
题目三：x² - 4x + 4解析：完全平方公式，x² - 4x + 4 = (x - 2)²。
题目四：9x² + 6x + 1解析：完全平方公式，9x² + 6x + 1 = (3x + 1)²。
题目五：x² + 5x + 6解析：采用十字相乘法，x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。
题目六：x² - 7x + 12解析：十字相乘法，x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)。
题目七：2x² - 5x - 3解析：十字相乘法，2x² - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)。
题目八：3x² + 4x - 4解析：十字相乘法，3x² + 4x - 4 = (3x - 2)(x + 2)。
题目九：x³ - 27解析：立方差公式，x³ - 27 = (x - 3)(x² + 3x + 9)。
题目十：8x³ + 27解析：立方和公式，8x³ + 27 = (2x + 3)(4x² - 6x + 9)。
题目十一：x² - 6x + 9 - y²解析：先将前三项用完全平方公式变形为(x - 3)²，再用平方差公式，(x - 3)² - y² = (x - 3 + y)(x - 3 - y)。
题目十二：4x² - 12xy + 9y²解析：完全平方公式，4x² - 12xy + 9y² = (2x - 3y)²。
初三数学因式分解50题
初三数学因式分解50题初三数学因式分解是一个非常重要的数学知识点，它是代数运算中的基础内容。
因式分解是将一个多项式表示为若干个不可约的因式的乘积的过程。
因式分解的题目可以涉及到一元二次方程、一元三次方程、多项式等内容。
下面我将为你列举50个初三数学因式分解的题目，并给出详细的解答。
1. 因式分解 2x^2 + 7x + 3。
2. 因式分解 3x^2 12x.3. 因式分解 4x^2 9。
4. 因式分解 x^2 5x + 6。
5. 因式分解 2x^2 11x + 5。
6. 因式分解 3x^2 + 2x 8。
7. 因式分解 4x^2 4x 3。
8. 因式分解 5x^2 12x + 7。
9. 因式分解 6x^2 + 7x 3。
10. 因式分解 x^2 9。
11. 因式分解 2x^2 8x + 8。
12. 因式分解 3x^2 5x 2。
13. 因式分解 4x^2 + 12x + 9。
14. 因式分解 5x^2 3x 2。
15. 因式分解 6x^2 + 5x 6。
16. 因式分解 x^2 4。
17. 因式分解 2x^2 7x + 3。
18. 因式分解 3x^2 + 6x + 3。
19. 因式分解 4x^2 16。
20. 因式分解 5x^2 11x + 6。
21. 因式分解 6x^2 13x + 6。
22. 因式分解 x^2 6x + 9。
23. 因式分解 2x^2 9x + 4。
24. 因式分解 3x^2 10x + 7。
25. 因式分解 4x^2 5x 6。
26. 因式分解 5x^2 + 8x + 3。
27. 因式分解 6x^2 7x 3。
28. 因式分解 x^2 7x + 10。
29. 因式分解 2x^2 3x 2。
30. 因式分解 3x^2 12x + 12。
31. 因式分解 4x^2 9x 5。
32. 因式分解 5x^2 + 2x 3。
33. 因式分解 6x^2 5x 6。
34. 因式分解 x^2 8x + 15。
因式分解经典例题
因式分解经典例题一、提取公因式法例1：分解因式ax + ay。
解析：公因式为a，所以ax+ay = a(x + y)。
例2：分解因式3x^2-6x。
解析：公因式为3x，3x^2-6x=3x(x - 2)。
例3：分解因式5a^2b - 10ab^2。
解析：公因式为5ab，5a^2b-10ab^2=5ab(a - 2b)。
二、运用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)分解因式例4：分解因式x^2-9。
解析：x^2-9=x^2-3^2=(x + 3)(x-3)。
例5：分解因式16y^2-25。
解析：16y^2-25=(4y)^2-5^2=(4y + 5)(4y-5)。
例6：分解因式(x + p)^2-(x + q)^2。
解析：根据平方差公式a=(x + p)，b=(x+q)，则(x + p)^2-(x + q)^2=[(x + p)+(x + q)][(x + p)-(x + q)]=(2x + p + q)(p - q)。
三、运用完全平方公式a^2±2ab + b^2=(a± b)^2分解因式例7：分解因式x^2+6x + 9。
解析：x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2。
例8：分解因式4y^2-20y+25。
解析：4y^2-20y + 25=(2y)^2-2×5×2y+5^2=(2y - 5)^2。
例9：分解因式x^2-4xy+4y^2。
解析：x^2-4xy + 4y^2=x^2-2×2xy+(2y)^2=(x - 2y)^2。
四、综合运用多种方法分解因式例10：分解因式x^3-2x^2+x。
解析：先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x - 1)^2，所以原式=x(x - 1)^2。
例11：分解因式2x^2-8。
解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，再利用平方差公式x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以原式=2(x + 2)(x - 2)。
初三因式分解练习题
初三因式分解练习题一、基础题1. 因式分解：$x^2 + 2x + 1$2. 因式分解：$a^2 b^2$3. 因式分解：$4y^2 9$4. 因式分解：$x^3 x^2$5. 因式分解：$6ab 9ab^2$二、进阶题1. 因式分解：$x^2 + 5x + 6$2. 因式分解：$a^2 + 2ab + b^2$3. 因式分解：$3y^2 + 12y + 9$4. 因式分解：$2x^3 4x^2 + 2x$5. 因式分解：$5ab^2 10a^2b$三、提高题1. 因式分解：$x^2 4x + 4$2. 因式分解：$a^2 2ab + b^2$3. 因式分解：$9y^2 25$4. 因式分解：$x^4 16$5. 因式分解：$8a^3b 27b^3$四、拓展题1. 因式分解：$x^3 + 3x^2 + 3x + 1$2. 因式分解：$a^3 b^3$3. 因式分解：$4y^4 16y^2$5. 因式分解：$10ab^3 15a^2b^2 + 6ab$五、综合题1. 因式分解：$x^2 + 6x + 9 4$2. 因式分解：$a^2 3ab + 2b^2$3. 因式分解：$3y^2 12y + 9$4. 因式分解：$2x^4 4x^3 + 2x^2$5. 因式分解：$7a^3b 21ab^3$六、特殊因式分解题1. 因式分解：$x^2 + 7x + 10$2. 因式分解：$a^2 5a + 6$3. 因式分解：$2y^2 + 8y + 8$4. 因式分解：$x^3 + 3x^2 + 3x + 1$5. 因式分解：$4a^2 12ab + 9b^2$七、分组分解题1. 因式分解：$x^3 + x^2 4x 4$2. 因式分解：$a^3 a^2 3a + 3$3. 因式分解：$2y^3 + 6y^2 2y 6$4. 因式分解：$x^4 x^3 2x^2 + 2x$5. 因式分解：$3a^3b 3a^2b^2 6ab^3 + 6b^4$八、公式法分解题1. 因式分解：$x^2 6x + 9$2. 因式分解：$a^2 + 8a + 16$3. 因式分解：$9y^2 6y + 1$5. 因式分解：$25a^2 20ab + 4b^2$九、十字相乘法分解题1. 因式分解：$x^2 + 5x + 6$2. 因式分解：$a^2 7a + 12$3. 因式分解：$2y^2 + 7y + 6$4. 因式分解：$3x^2 + 10x + 8$5. 因式分解：$5a^2 9a + 2$十、综合应用题1. 因式分解：$x^3 2x^2 x + 2$2. 因式分解：$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$3. 因式分解：$4y^4 1$4. 因式分解：$x^5 x^4 x^3 + x^2$5. 因式分解：$9a^3b 27a^2b^2 + 3ab^3$请同学们根据自己的学习进度，选择合适的题目进行练习，不断提高因式分解的能力。
中考数学“因式分解”典例及巩固训练
中考数学“因式分解”典例及巩固训练（1）一、典型例题例1、（2017•广东省）分解因式：a 2+a = ．解：答案为a (a+1)例2、（2019•黄冈市）分解因式3x 2﹣27y 2＝ ． 解：原式＝3（x 2﹣9y 2）＝3（x +3y ）（x ﹣3y ），故答案为：3（x +3y ）（x ﹣3y ）例3、因式分解：221222x xy y ++. 解：22221122(44)22x xy y x xy y ++=++21(2)2x y =+．二、巩固训练1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=(x ﹣1)2B ．(a +b )(a ﹣b )=a 2﹣b 2C ．x 2+4x +4=(x +2)2D ．ax 2﹣a =a (x 2﹣1)2．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是( )A ．224x y +B ．224x y -+C ．224x y --D ．324x y -3. 下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为( )①21025x x -+：②2441a a +-；③221x x --；④214m m -+-；⑤42144x x -+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．如果代数式2425x kx ++能够分解成2(25)x -的形式，那么k 的值是( )A ．10B ．20-C ．10±D ．20±5. 分解因式：（1）a 2b ﹣abc = ．（2）3a (x ﹣y )﹣5b (y ﹣x )= ．6．分解因式：4a 2﹣4a +1= ．7．分解因式：2a 2﹣4a +2= ．8．（2017•广州市）分解因式：xy 2﹣9x = ．9.分解因式：x 6﹣x 2y 4= ．10．（2018•黄冈市）因式分解：x 3﹣9x = ．11．（2018•葫芦岛市）分解因式：2a 3﹣8a = ．12．因式分解： （1）2218x -； （2）224129a ab b -+； （3）3221218x x x -+；13．（2019·河池市）分解因式：2(1)2(5)x x -+-．14．分解因式：4224816x x y y -+．15.分解因式：（1）22()+x y x y -- ； （2）22()()a x y b x y ---； （3）229()()m n m n +--.★★★★1.阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =-+（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x ++++进行因式分解．2．【阅读材料】对于二次三项式222a ab b ++可以直接分解为2()a b +的形式，但对于二次三项式2228a ab b +-，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式2228a ab b +-中先加上一项2b ，使其成为完全平方式，再减去2b 这项，（这里也可把28b -拆成2b +与29b -的和），使整个式子的值不变．于是有：2228a ab b +-222228a ab b b b =+-+-2222(2)8a ab b b b =++--22()9a b b =+-[()3][()3]a b b a b b =+++-(4)(2)a b a b =+-我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆)项法．【应用材料】（1）上式中添（拆)项后先把完全平方式组合在一起，然后用 法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①268m m ++；②4224a a b b ++★★★★★1．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A 类、C 类正方形卡片和B 类长方形卡片．用若干张A 类、B 类、C 类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2223(2)()a ab b a b a b ++=++．（1）如图3，用1张A 类正方形卡片、4张B 类长方形卡片、3张C 类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为 ；（2）若解释因式分解2234()(3)a ab b a b a b ++=++，需取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；（3）若取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面题1图积为22++，则m的值为，将此多项式分解因式5a mab b为．巩固训练参考答案1．C2．B3. B4．B5. （1） ab (a ﹣c) ． （2）(3a+5b )(x ﹣y ) ．6．（2a ﹣1）2．7．2(a ﹣1)2．8．x (y +3)(y ﹣3)．9. x 2(x 2+y 2)(x +y )(x ﹣y ) ．10．x (x +3)(x ﹣3)．11．2a (a +2)(a -2)．12．解：（1）；（2）；（3）原式．13．解：原式．14．解：原式．15.解：（1）原式=；（2）原式；（3）原式．★★★★1.解：（1）故选：；2218x -22(9)x =-2(3)(3)x x =+-224129a ab b -+22(2)12(3)a ab b =-+2(23)a b =-222(69)2(3)x x x x x =-+=-221210x x x =-++-29x =-(3)(3)x x =+-22(4)x y =-22(2)(2)(2)x y x y x y =+-+22())(x y x y ---)[2(1])(x y x y =---)(22(1)x y x y =---22()()x y a b =--()()()x y a b a b =-+-22[3()]()m n m n =+--(33)(33)m n m n m n m n =++-+-+4(2)(2)m n m n =++C（2），设，原式，，，，；故答案为：；（3）设，原式，，，，．2．解：（1）上式中添（拆项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式． 故答案为：公式；（2）①；②．22(41)(47)9x x x x -+-++24x x y -=(1)(7)9y y =+++2816y y =++2(4)y =+22(44)x x =-+4(2)x =-4(2)x -22x x y +=(2)1y y =++221y y =++2(1)y =+22(21)x x =++4(1)x =+)268m m ++2691m m =++-22(3)1m =+-(31)(31)m m =+++-(4)(2)m m =++4224a a b b ++4224222a a b b a b =++-2222()()a b ab =+-2222()()a b ab a b ab =+++-★★★★★1．解：（1）由图可得，，故答案为：；（2）如右图所示；（3）由题意可得，，，故答案为：6，．2243()(3)a ab b a b a b ++=++2243()(3)a ab b a b a b ++=++6m =2256(5)()a ab b a b a b ++=++(5)()a b a b ++中考数学“因式分解”典例及巩固训练（2）一、典型例题例1、因式分解：222a ab b ac bc ++++．解：原式22(2)()a ab b ac bc =++++2()()a b c a b =+++()()a b a b c =+++例2、用十字相乘法进行因式分解：232x x ++.解：原式(1)(2)x x =++．例3、在实数范围内进行分解因式：35x x -．解：原式2(5)x x =-(x x x =+-．二、巩固训练1．用分组分解法进行因式分解：（1）2221x y xy +--； （2）3223x x y xy y +--．2．（2017•百色市）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2﹣x ﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3)，验算：“交叉相乘之和”； 题2图1×3+2×(﹣1)=1 1×(﹣1)+2×3=5 1×(﹣3)+2×1=﹣1 1×1+2×(﹣3)=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(﹣3)+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1． 即：(x +1)(2x ﹣3)=2x 2﹣3x +2x ﹣3=2x 2﹣x ﹣3，则2x 2﹣x ﹣3=(x +1)(2x ﹣3)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2+5x ﹣12= ．3.用十字相乘法分解因式：（1）x 2+2x ﹣3= ．（2）x 2﹣4x +3= ．（3）22x x +-= .（4）2215a a --= .（5）4x 2+12x ﹣7= ．4．选择恰当的方法进行分解因式：（1）26x x --； （2）2363a a -+； （3）226a ab b --；（4）29(2)(2)a x y y x -+-； （5）2222a b a b --+；（6）34x x -；5．分解因式：（1）22430y y --； （2）224414a b b +--.6．在实数范围内将下列各式分解因式：（1）22363ax axy ay -+； （2）35x x -．7．在实数范围内分解因式：（1）9a 44b - 4； （2）x 22- 3+；（3）x 5﹣4x .★★★★1．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：223x x +-，解：原式22113x x =++--2(21)4x x =++-2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++- (3)(1)x x =+-上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式： （1）243x x -+； （2）24127x x +-．2．在实数范围内分解因式221x x --．3．因式分解是数学解题的一种重要工具，掌握不同因式分解的方法对数学解题有着重要的意义．我们常见的因式分解方法有：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等．在此，介绍一种方法叫“试根法”例：32331x x x -+-，当1x =时，整式的值为0，所以，多项式有因式(1)x -，设322331(1)(1)x x x x x ax -+-=-++，展开后可得2a =-，所以3223331(1)(21)(1)x x x x x x x -+-=--+=-根据上述引例，请你分解因式：（1）2231x x -+； （2）32331x x x +++．★★★★★1．请看下面的问题：把44x +分解因式．分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和222()2x +的形式，要使用公式就必须添一项24x ，随即将此项24x 减去，即可得：4422222222224444(2)4(2)(2)(22)(22)x x x x x x x x x x x x +=++-=+-=+-=++-+人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”. 请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解． （1）444x y +；（2）2222x ax b ab ---． 2．【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解呢？我们已经知道，2211221212211212122112()()()a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为1122()()a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即62(3)-=⨯-；然后把1，1，2，3-按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1(3)121⨯-+⨯=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为(2)(3)x x +-．题2图请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法” 分解因式：26x x +-= (3)(2)x x +- ．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）2257x x +- ；（2）22672x xy y -+= ． 【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图④，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk qj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式2235294x xy y x y +-++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．（3）已知x ，y 为整数，且满足2232231x xy y x y ++++=-，请写出一组符合题意的x ，y 的值．巩固训练参考答案1．解：（1）．解：（2）原式． 2．(x +3)(3x ﹣4)． 3.（1）(x +3)(x -1) ． （2）(x ﹣1)(x ﹣3) ． （3） . （4） . （5）(2x +7)(2x ﹣1) ．4．解：（1）原式． （2）原式； （3）原式； （4）原式．（5）原式． （6）原式； 5．.解：（1）原式 ；（2）原式．6．解：（1）原式；2221x y xy +--2()1x y =--(1)(1)x y x y =-+--3223222()()()()()()x x y xy y x x y y x y x y x y =+-+=+-+=+-(2)(1)x x +-(5)(3)a a -+(2)(3)x x =+-23(21)a a =-+23(1)a =-(3)(2)a b a b =-+29(2)(2)a x y x y =---2(2)(91)x y a =--(2)(31)(31)x y a a =-+-()()2()()(2)a b a b a b a b a b =+---=-+-2(4)(2)(2)x x x x x =-=+-22(215)y y =--2(5)(3)y y =-+224(144)a b b =--+224(12)a b =--(221)(221)a b a b =+--+223(2)a x xy y =-+23()a x y =-（2）原式，．7．解：（1）原式； （2）原式．（3）原式=★★★★1．解：（1）（2）2．解：．3.解：（1）当时，整式的值为0，所以，多项式有因式， 于是； （2）当时，整式的值为0，多项式中有因式，2(5)x x =-(x x x =222222(32)(32)(32)a b a b a b =+-=++2(x =2(2)(x x x x +243x x -+24443x x =-+-+2(2)1x =--(21)(21)x x =-+--(1)(3)x x =--24127x x +-2412997x x =++--2(23)16x =+-(234)(234)x x =+++-(27)(21)x x =+-221x x --22111x x =-+--2(1)2x =--(11x x =---1x =(1)x -2231(1)(21)x x x x -+=--1x =-∴32331x x x +++(1)x +于是可设，，， ，，．★★★★★1．解：（1）原式； （2）原式． 2．解：【阅读与思考】分解因式：； 故答案为：； 【理解与应用】（1）； （2）；故答案为：（1）；（2）； 【探究与拓展】（1）分解因式； 故答案为：（2）∵关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积， 存在其中，，；而，，或，故的值为43或；（3），为整数，且满足，可以是，（答案不唯一）．32232331(1)()(1)()x x x x x mx n x m x n m x n +++=+++=++++-13m ∴+=3n m +=2m ∴=1n =3223331(1)(21)(1)x x x x x x x ∴+++=+++=+442222222222222444(2)4(22)(22)x y x y x y x y x y x y xy x y xy =++-=+-=+++-22222222()()()(2)x ax a a b ab x a a b x b x a b =-+---=--+=+--26(3)(2)x x x x +-=+-(3)(2)x x +-2257(1)(27)x x x x +-=-+22672(1)(27)x xy y x x -+=-+(1)(27)x x -+(1)(27)x x -+2235294(21)(34)x xy y x y x y x y +-++-=+--+(21)(34)x y x y +--+x y 22718524x xy y x my +--+-∴111⨯=9(2)18⨯-=-(8)324-⨯=-71(2)19=⨯-+⨯51(8)13-=⨯-+⨯271643m ∴=+=72678m =--=-m 78-x y 2232231x xy y x y ++++=-1x =-0y =。
初中因式分解经典题型(含详细答案)
初中因式分解经典题型精选第一组：基础题1、a²b+2ab+b2、2a²-4a+23、16-8（m-n）+（m-n）²4、a²（p-q）-p+q5、a（ab+bc+ac）-abc【答案】1、a²b+2ab+b=b（a²+2a+1）=b（a+1）²2、2a²-4a+2=2（a²-2a+1）=2（a-1）²3、16-8（m-n）+（m-n）²然后运用完全平方公式=4²-2*4*（m-n）+（m-n）²=[4-(m-n)] ²=(4-m+n) ²4、a²（p-q）-p+q=a²（p-q）-（p-q）=（p-q）（a²-1）=（p-q）（a+1）（a-1）5、a（ab+bc+ac）-abc=a[（ab+bc+ac）-bc]=a（ab+bc+ac-bc）bc与-bc 抵消=a（ab+ac）提取公因式a=a²（b+c）第二组：提升题6、（x-y-1）²-（y- x-1）²7、a3b-ab38、b4-14b²+19、x4+x²+2ax+1﹣a²10、a5+a+1【答案】6、（x-y-1）²-（y- x-1）²用平方差公式=[（x-y-1）+（y-x-1）][（x-y-1）-（y-x-1）]去括号，合并同类项=（-2）（2x-2y）提取2= -4（x-y）7、a3b-ab3提取公因式ab=ab（a²-b²）用平方差公式=ab（a+b）（a-b）8、b4-14b²+1将-14b²拆分为：+2b²-16b²=b4+2b²-16b²+1将-16b²移到最后=b4+2b²+1-16b²将前三项结合在一起=（b4+2b²+1）-16b²=（ b²+1）²-（4b）²用平方差公式=[（ b²+1）+4b][（ b²+1）-4b] =（ b²+4b+1）（ b²-4b+1）9、x4+x²+2ax+1﹣a²将+x²拆分为：+2x²- x²=x4+2x²- x² +2ax+1﹣a²将x4、+2x²、+1结合，将-x²、+2ax、﹣a²结合=（x4+2x²+1）+（-x²+2ax﹣a²）提取-1=（ x²+1）² -（x²-2ax+a²）=（ x²+1）²-（ x-a）²用平方差公式=[（x²+1）+（x-a）][（x²+1）-（x-a）]=（x²+x-a+1）（x²-x+a+1）10、a5+a+1在式子中添加：-a²+a²=a5 - a²+ a²+a+1将前两项结合，后面三项结合=（a5-a²）+（a²+a+1）提取公因式a²=a²（a3-1）+（a²+a+1）用立方差公式=a²（a-1）（a²+a+1）+（a²+a+1）提取公因式（a²+a+1）=（a²+a+1）[a²（a-1）+1]=（a²+a+1）(a3-a²+1)第三组：进阶题11、x4-2y4-2x3y+xy312、（ac-bd）²+（bc+ad）²13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）14、x²－4ax＋8ab－4b²15、xy² +4xz -xz²-4x【答案】11、x4-2y4-2x3y+xy3x4与xy3结合，-2y4与-2x3y结合=（x4+xy3）+（-2y4-2x3y）x-2y，=x（x3+y3）-2y（x3+y3）提取公因式（x3+y3）=（x3+y3）（x-2y）=（x+y）（x2-xy+y2）（x-2y）12、（ac-bd）²+（bc+ad）²去括号展开= a²c² - 2abcd + b²d²+b²c² +2abcd + a²d²- 2abcd与+2abcd 抵消=a²c² + b²d² +b²c² + a²d²a²c²与b²c²结合，b²d²与a²d²结合=（a²c²+b²c²）+（ b²d²+a²d²）c²， d ²，=c²（a²+b²）+d²（a²+b²）提取公因式（a²+b²）=（a²+b²）（c²+d²）13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）=x²（y-z）+y²z -y²x +z²x -z²yy²z与-z²y结合，z²x 与-y²x=x²（y-z）+（y²z -z²y）+（z²x-y²x）提取公因式zy提取公因式=x²（y-z）+ zy（y-z）+x（z²-y²）提取公因式（y-z），=（y-z）（x²+zy）+x（z+y）（z-y）y-z），后一项 +x则变为 -x =（y-z）[（x²+zy）-x（z+y）]=（y-z）（x²+zy-xz-xy）14、x²－4ax＋8ab－4b²²与－4b²结合，－4ax与＋8ab结合=（x²－4b²）+（－4ax＋8ab）-4a=（x+2b）（x-2b）-4a（x-2b）x-2b），=（x-2b）[（x+2b）-4a]=（x-2b）（x+2b-4a）15、xy² +4xz -xz²-4xx，=x（y²+4z -z²-4）=x[y²+(4z -z²-4)]-1，=x[y²-(z²-4z+4)]用完全平方公式进行分解，=x[y²-（z-2）²]=x[y+（z-2））][y-（z-2）]=x（y+z-2）（y-z+2）第四组：经典题16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）17、4m3-31m+1518、a3+5a²+3a-919、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2【答案】16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）-1=a6（a²-b²）-b6（a²-b²）提取公因式（a²-b²）=（a²-b²）（a6-b6）=（a²-b²）（a²-b²）（a4+a²b²+b4）=（a²-b²）²（a4+a²b²+b4）=（a+b）²（a-b）²（a4+a²b²+b4）17、4m3-31m+15-31m拆分为：-m-30m=4m3-m-30m+15=（4m3-m）+（-30m+15）m-15=m（4m²-1）-15（2m-1）=m（2m+1）（2m-1）-15（2m-1）（2m-1），=（2m-1）[m（2m+1）-15]=（2m-1）（2m²+m-15）=（2m-1）（2m-5）（m+3）18、a3+5a²+3a-93a拆分为：-6a+9a =a3+5a²-6a+9a-9=（a3+5a²-6a）+（9a-9）a9=a（a²+5a-6）+9（a-1）=a（a+6）（a-1）+9（a-1）提取公因式（a-1）=（a-1）[a（a+6）+9]=（a-1）（a²+6a+9）=（a-1）（a+3）²19、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²-1=x4（1- y）² - 2x²（1-y²）+（1+ y）²=[x²(1-y)]² -2x²（1-y）（1+y）+（1+ y）²=（x²-yx²-1- y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2-x拆分为：3x-4x =2x4 -x3-6x²+3x-4x+ 2=（2x4 -x3）+（-6x²+3x）+（-4x+ 2）=（2x-1）（x3-3x-2）第五组：精选题21、a3+2a2+3a+222、x4-6x²+123、x3+3x+424、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c425、a3-3a-226、2x3+3x2-127、a2+3ab+2b2+2a+b-3【答案】21、a3+2a2+3a+23a拆分为：a+2a =a3+2a2+a+2a+2=（a3+2a2+a）+（2a+2）=a（a2+2a+1）+2（a+1）=a（a+1）2+2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a+1）+2]=（a+1）（a2+a+2）22、x4-6x²+1-6x2拆分为：-2x2-4x2 =x4-2x²-4x²+1-4x2移到最后=x4-2x²+1-4x²=（x4-2x²+1）-4x²=（x2-1）2-（2x）2=[（x2-1）+2x][（x2-1）-2x] =（x2+2x-1）（x2-2x-1）23、x3+3x+44拆分为：3+1=x3+3x+3+1x3与1结合，3x与3结合=（x3+1） + （3x+3）3=（x+1）（x2-x+1）+3（x+1）x+1）=（x+1）[（x2-x+1）+3]=（x+1）(x2-x+4)24、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c4=（a4+b4+2a2b2）+（2a2c2+2b2c2）+c4 =（a2+b2）2+2c2（a2+b2）+c4=[（a2+b2）+c2]2=(a2+b2+c2）225、a3-3a-2-3a拆分为：-a-2a=a3-a-2a-2=（a3-a）+（-2a-2）=a（a2-1）-2（a+1）=a（a+1）（a-1）-2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a-1）-2]=（a+1）（a2-a-2）=（a+1）（a+1）（a-2）=（a+1）2（a-2）26、2x3+3x2-13x2拆分为：2x2+x2 =2x3+2x2+x2-1=（2x3+2x2）+（x2-1）=2x2（x+1）+（x+1）（x-1）x+1）=（x+1）[2x2+（x-1）]=（x+1）（2x2+x-1）=（x+1）（2x-1）（x+1）=（x+1）2（2x-1）27、a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3 =(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3 =[(a+b)-1][(a+2b)+3] =(a+b-1)(a+2b+3)十字叉乘法故：x2+6x+5=（x+1）（x+5）故：2x2+5x+2=（2x+1）（x+2）故：4x2+5x-3=（2x-1）（2x+3）黄勇权2019-7-14。
初三因式分解公式练习题
初三因式分解公式练习题因式分解是代数学中的一项基本操作，通过将多项式化简成乘积的形式，使我们更好地理解和运用代数表达式。
在初三数学中，因式分解在解题过程中经常出现。
下面是一些初三因式分解公式的练习题，帮助同学们加深对这一知识点的理解。
练习题1：因式分解多项式将以下多项式进行因式分解：1. $x^2 + 2x + 1$2. $4x^2 - 9$3. $6x^2 - 15x + 9$练习题2：因式分解含有公因式的多项式将以下多项式进行因式分解，并注意提取公因式：4. $2x^3 + 4x^2 + 2x$5. $3a^2 - 15ab + 24b^2$6. $6x^4 + 9x^3 - 15x^2$练习题3：因式分解差的平方将以下差的平方进行因式分解：7. $16y^2 - 25$8. $9x^2 - 4$练习题4：因式分解平方差将以下平方差进行因式分解：10. $9a^4 - 4b^2$11. $x^4 - 81$12. $25y^2 - 36z^4$练习题5：因式分解完全平方差将以下完全平方差进行因式分解：13. $x^4 - 16$14. $4x^6 - 1$15. $9a^6 - 36$练习题6：因式分解立方差将以下立方差进行因式分解：16. $64x^3 - 125$17. $216y^3 - 27z^3$18. $27a^3 - 8b^3$练习题7：因式分解立方和将以下立方和进行因式分解：20. $125x^3 + 8$21. $64a^3 + 125b^3$练习题的答案：1. $(x + 1)^2$2. $(2x - 3)(2x + 3)$3. $3(2x - 1)(x - 3)$4. $2x(x + 1)^2$5. $3b(a - 2b)(a - 4b)$6. $3x^2(x + 1)(2x - 5)$7. $(4y - 5)(4y + 5)$8. $(3x - 2)(3x + 2)$9. $(2m - n)(2m + n)$10. $(3a^2 - 2b)(3a^2 + 2b)$11. $(x^2 - 9)(x^2 + 9)$12. $(5y - 6z^2)(5y + 6z^2)$13. $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$14. $(2x^3 - 1)(2x^3 + 1)$15. $3(a^2 - 2)(a^2 + 2)$16. $(4x - 5)(16x^2 + 20x + 25)$17. $(6y - 3z)(36y^2 + 18yz + 9z^2)$18. $(3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$19. $(m + 3)(m^2 - 3m + 9)$20. $(5x + 2)(25x^2 - 10x + 4)$21. $(4a + 5b)(16a^2 - 20ab + 25b^2)$这些练习题旨在巩固和提升你对因式分解的理解和应用能力。
初中因式分解经典题型(含详细答案)
初中因式分解经典题型(含详细答案) 初中因式分解经典题型精选第一组：基础题1.a²b+2ab+b答案：b(a+1)²2.2a²-4a+2答案：2(a-1)²3.16-8(m-n)+(m-n)²答案：(4-m+n)²4.a²(p-q)-p+q答案：(p-q)(a+1)(a-1)5.a(ab+bc+ac)-abc答案：a²(b+c)第二组：提升题6.(x-y-1)²-(y-x-1)²答案：-4(x-y)7.ab-ab⁄4答案：ab(a+b)(a-b)8.b-14b²+1答案：(b²+4b+1)(b²-4b+1)9.x+x²+2ax+1-a²答案：(x+1+a)(x+1-a)10.a+a+1答案：2(a+1)11、化简表达式x-2y-2xy+xy x + xy - 2y - 2xyx(1+y) - 2y(1+x)x+y)(x-2y)12、展开表达式（ac-bd）²+（bc+ad）²a²c² - 2abcd + b²d² + b²c² + 2abcd + a²d²a²c² + b²c² + a²d² + b²d²a²+b²)(c²+d²)13、化简表达式x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）x²y - x²z + y²z - y²x + z²x - z²yx²y - y²x + z²x + y²z - x²z - z²yx-y)(x²+y²-z²)14、化简表达式x²－4ax＋8ab－4b²x-2a)² - (2a-4b)²x-2a+2a-4b)(x-2a-2a+4b)x-4b)(x-2a)15、化简表达式xy²+4xz-xz²-4xx(y²-4) - z(x²-4)x-2)(x+z)(y+2z)16、将a（a²-b²）和b（b²-a²）的公因式提取出来，得到(a-b)(a+b)a和(b-a)(b+a)b，再利用立方差公式，化简为(a-b)²(a+b)(a²b²+a+b)。
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因式分解中考经典题型
因式分解是初中数学中的重要一环，也是中考数学中经常出现的题型之一。
在中考数学中，因式分解通常分为三类：公因式提取、完全平方公式、差平方公式。
下面我们将分别讲解一下这三类题型。
一、公因式提取
公因式指的是多项式中所有单项式所能共有的“因子”，如2x+4y中的2是这两项的公因式，a^2 b + ab^2是ab的公因式。
公因式提取就是将多项式中的公因式提取出来，从而达到简化多项式的目的。
举例：
1、将4a^3 + 8a^2 + 12a分解因式。
解：首先将这三项提取公因式，得4a(a^2 + 2a + 3)，然后再将a^2 + 2a + 3分解成(a + 1)^2 + 2，因此4a^3 + 8a^2 + 12a = 4a(a + 1)^2 + 8a。
二、完全平方公式
完全平方公式是指某一二次式（如a^2+2ab+b^2）可以化为某个线性式（如a+b）的平方。
在解题时，只需要将二次式进行因式分解，然后再利用平方根的性质就可以得到答案。
举例：
2、将x^2 + 6x + 9分解因式。
解：x^2 + 6x + 9是一个完全平方的二次式，因为( x + 3 )^2 = x^2 + 6x
+ 9 ，所以x^2 + 6x + 9可以化为( x + 3 )^2 。
三、差平方公式
差平方公式是指某一二次式(如a^2-b^2)可以化为某个线性式（如a+b）和另一个线性式（如a-b）的乘积。
在解题时，只需要利用差平方公式
将二次式进行因式分解，就可以得到答案。
举例：
3、将x^2 - 4分解因式。
解：x^2 - 4可以用差平方公式变形为(x + 2)(x - 2)，因此，x^2 - 4的因
式分解为(x + 2)(x - 2)。
综上所述，因式分解是中考数学中的重要一环，涉及到公因式提取、
完全平方公式和差平方公式三类题型，需要学生们在平时的学习中认
真掌握和练习。