概率统计学第一章
概率论与数理统计学1至7章课后答案
一、习题详解：3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ----⎧--+≥≥=⎨⎩其他求}{12,35P X Y <≤<≤.解：因为 257(2,5)1222F ---=--+，6512221)5,1(---+--=F5322221)3,2(---+--=F ，4312221)3,1(---+--=F所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤<==+--=----745672322220.02343.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1)且 0)1,2(===Y X P ，6.053)2,2(452223=====C C C Y X P 4.052)1,3(451233=====C C C Y X P ，0)2,3(===Y X P 故(X ,Y )的概率分布为3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次中出现正面的次数, 用Y 表示3次中出 现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为|32||)3(|-=--=X X X Y ，又X 的可能取值为0,1,2,3 所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且 81)21()3,0(3====Y X P ，83)21()21()1,1(2113====C Y X P 83)21()21()1,2(1223====C Y X P ，81)21()3,3(3====Y X P故(X ,Y )3.4设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(6),01,02,(,)0,a x y x y f x y --≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 (1) 确定常数a ;(2) 求}{0.5, 1.5P X Y ≤≤(3) 求{(,)}P X Y D ∈,这里D 是由0,0,1x y x y ==+=这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为dxdy y x a dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰--=+∞∞-+∞∞-102)6(),(dx x x a dx y x a ⎰⎰---=---=10221022])4()6[(2])6(21[a dx x a 9)5(210=-=⎰由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得9a =1，故a =1/9.(2) dxdy y x Y X P ⎰⎰--=≤≤5.005.10)6(91)5.1,5.0( dx x dx y y x ⎰⎰--=--=5.005.005.102]89)6(23[91]21)6([91 125)687(5.00=-=⎰dx x (3) 1101{(,)}(,)(6)9xDP X Y D f x y dxdy dx x y dy -∈==--⎰⎰⎰⎰278)1211(181]21)6([9110210102=--=--=⎰⎰-dx x x dx y y x x3.5 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1) 求分布函数(,)F x y ; (2) 求}{P Y X ≤解：(1) 求分布函数(,)F x y ; 当0,0x y >>，(2)220(,)(,)22(1)(1)yxyxx yu v u v x y F x y f u v dudv e dudv e du e dv e e -+-----∞-∞====--⎰⎰⎰⎰⎰⎰其他情形，由于(,)f x y =0，显然有(,)F x y =0。
概率与统计课件(一)概率论的基本概念
2
0
A B
表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事
件为事件A与事件B的和（并）事件,或记为A+B. 事件A1，A2，…An 的和记为 ,或A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An
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表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的 积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共
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例1.27 一张英语试卷，有10道选择填空题，每题有4 个选择答案，且其中只有一个是正确答案.某同学投机 取巧，随意填空，试问他至少填对6道的概率是多大？
解 设B=“他至少填对6道”.每答一道题有两个可能的 结果：A=“答对”及 =“答错”，P（A）=1/4，故 作10道题就是10重贝努里试验，n=10，所求概率为
定义1.2: 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时, 频率 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数 n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的 概率，记为 P ( A) p
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2、概率的公理化定义
定义1.3
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概率的性质：
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解 设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙三个车间， B表示产品为“次品”的事件，易知A1，A2，A3是样本 空间Ω的一个划分，且有 P（A1）=0.45，P(A2)=0.35，P(A3)=0.2， P(B｜A1)=0.04，P(B｜A2)=0.02，P(B｜A3)=0.05.
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第三节 条件概率、全概率公式
1、条件概率的定义
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• 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{bb,bg,gb,gg} • （1）事件A=“家中至少有一个女孩“发生的概率？ • (2)若已知事件B=“家中至少有一个男孩”，再求事 件A发生的概率？ •
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
概率论与数理统计第一章1-4高职高专
A
B
时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B
习 题（P 50-51） 1.
ABC 2% 23% 20% 3% 7% 5% ABC
B
C
ABC 30%
A
2. (1) ABC=A
BC
B A
C
(2)
A
B C
3. 试把 相容的事件的和。
表示成n个两两互不
A
B
AB
ABC
C
6. 解：
(1) (2) (3) (4) (5)
第三节
频率定义
频率与概率
频率——对于随机事件A，若在N次试验中出现
—— A 与B 互相对立 每次试验 A、 B中
B A
A
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为 B A 注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且 Ai
n
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个分割
(1) 将3名优秀生分配到三个班级，共有3！种分 法，其余12名新生平均分配到三个班级，共有 种分法，因此所求概率为
交换 ( B C ) ( AB)C A( BC ) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B)( A C )
概率论与数理统计1.1随机事件
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为 { 0 , 1, 2 , 3 } .
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现
象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.
例如
只包含两个样本点的样本空间
{H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
统计推断、预测或者决策。
2.《概率论与数理统计》的地位
《概率论与数理统计》是高校理、工、农、 医科、经济类、管理类等本科专业必修的一门 重要的基础课，也是这些硕士研究生入学考试
的一门必考科目。
3.《概率论与数理统计》与其它学科 的联系及其应用
●《概率与数理统计》是一门应用性很强又 颇具特色的数学学科，它在工程技术、科学研 究、经济管理、企业管理、经济预测等众多领 域都有广泛的应用；
0 1 100 n 答案：（ 1） { , , , } n n n ( 2 ) { 3 , 4 , ,10 }, ( 3 ) { 3 , 4 , } ( 4 ) {10 ,11 , }, ( 5 ) { AB , AC , AD , AE , BA , BC , BD , BE , CA , CB , CD , CE , DA , DB , DC , DE , EA , EB , EC , ED }, ( 6 ) {甲胜乙负，甲负乙胜， 平局 }
例如 可设 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数” 等 等.
随机事件与样本空间的关系
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
统计学第一章思考题及习题
统计学第一章思考题及习题第一章思考题及习题：?单选题：?1.在统计学的形成和发展过程中，首先将古典概率论引入社会经济现象研究的学者是( A)。
?A.阿道夫・凯特勒B.威廉・配第C.约翰・格朗特D.赫尔曼・康令B.构成总体的单位，必须是不同的?2. 在确定统计总体时必须注意()A。
?A. 构成总体的单位，必须是同质的?C.构成总体的单位，不能有差异D.构成总体的单位，必须是不相干的单位?3.一个统计总体(D)。
?A.只能有一个标志 B.只能有一个指标 C.可以有多个标志D.可以有多个指标?4.在某地区2021年GDP和人均GDP资料中，属于下面哪一种类统计指标(B)。
?A.客观指标和主观指标 B.数量指标和质量指标?C.时期指标和时点指标 D.实体指标和行为指标?5.对某市高等学校科研所进行调查，统计总体是(D)。
?A.某市所有的高等学校B.某一高等学校科研所?C.某一高等学校D. 某市所有高等学校科研所?6.要了解某市国有工业企业设备情况，则统计总体是(?)。
?A.该市全部国有工业企业B.该市每一个国有工业企业?C.该市国有工业企业的全部设备D.该市国有工业企业的每一台设备?7.有200个公司全部职工每个人的工资资料，如要调查这200个公司职工的工资水平情况，则统计总体为（A）。
?A.200个公司的全部职工工资 B.200个公司 C.200个公司职工的全部工资 D.200个公司每个职工的工资?8.下列标志中属品质标志的是（A）?A.性别B.年龄C.商品价格D.工业企业的总产值?9.某企业职工人数为1200人，这里的“职工人数1200人”是（C）。
?A.标志B.变量C.指标D.标志值?10.某班四名学生统计学考试成绩分别为70分、80分、86分和95分，这四个数字是（B）。
?A.标志B.标志值C.指标D.变量?11.工业企业的职工人数、职工工资是（D）。
?D.前者是离散型变量，后者是连续型变量?A.连续型变量B.离散型变量C.前者是连续型变量，后者是离散型变量?多选题：?1.对某市工业生产进行调查，得到以下资料，其中的统计指标是(BCE)。
吴赣昌编概率论与数理统计第1章
事件可以用文字表示，事件也可以表示为样 本空间的子集，后者反映了事件的实质，且 更便于今后计算概率。 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之 间有一定的关系，事件之间的关系是由他们 所包含的样本点所决定的，这种关系可以用 集合之间的关系来描述。
四、事件之间的关系
（熟练掌握）
1.事件的包含与相等(p4)“A发生必导致B发生”，即A中的样 本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。 A与B两个事件相等：A＝B AB且BA。
A B A B,
k k
AB A B
可推广 Ak Ak ,
5、差积转换律
A A .
k k k k
A B A B A ( A B)
例1.3 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运 算关系表示下列事件：
A B C
1.2 频率与概率
1. 频率 定义 1.设在相同条件下， 进行了n次试验，若随机 事件在n次试验中发生了r A 次，则此比值：
n
rn A n 称为事件A在n次试验中发生的频率，记作 fn A，即
r A n fn A = n
频率具有如下的性质 (1)对任一事件A，0 fn(A) 1；
第一章 随机事件及其概率
随机事件及其运算 频率与概率 古典概型和几何概型
条件概率
事件的独立性
1.1随机试验、样本空间、随机事件
一、随机试验（简称“试验”） 试验Ⅰ：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后任意摸出 一球 试验Ⅱ：一个盒子中有10个大小完全相同的球，5个白色，5个 黑色，搅匀后任意摸出一球 随机试验的特点(p2) (1)试验可以在相同条件下大量重复进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验所 有可能的结果—可观察性； (3) 进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，但若进行 大量重复试验的话，其可能结果的出现又有一定的统计规律 性。 满足上述特点的试验称为随机试验，一般记为E。
概率与统计学总结
设 A, B,C 为事件，则有 交换律： A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A. 结合律： A∪ (B ∪ C) = (A∪ B) ∪C; A∩ (B ∩ C) = (A∩ B) ∩C. 分配律： A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 德·摩根律： A∪ B = A ∩B; A∩ B = A ∪ B.
乘法定理： 设 P(A)>0，则有 P(AB)=P(B｜A)P(A) 一般，设 A1, A2, … , An 为 n 个事件，n≥2,且 P( A1A2 ^ An−1) >0,则有
P( A1 A2 ^ An ) = P( An ｜ A1 A2 ^ An−1)P( An−1 ｜ A1A2 ^ An−2 )^ P( A2 ｜ A1)P( A1)
设 A,B,C 是三个事件，如果满足等式： P( AB) = P( A)P(B) P( AC) = P( A)P(C) P(BC) = P(B)P(C) P( ABC) = P(A)P(B)P(C) 则称事件 A,B,C 相互独立。
一般，设 A1, A2, … , An 是 n(n≥2)个事件，如果对于其中任意 2 个，任意 3 个，……，
划分： 设 S 为试验 E 的样本空间， B1, B2, ^ Bn 为 E 的一组事件，若 1. Bi Bj = φ,i ≠ j,i, j = 1,2, ^ , n 2. B1 ∪ B2 ∪^ Bn = S , 则称 B1, B2, ^ Bn 为样本空间 S 的一个划分
全概率公式： 设 试验 E 的 样本空间 为 S ， A 为 E 的 事件， B1, B2, ^ Bn 为 S 的 一个划分 ，且 P(Bi ) > 0(i = 1,2, ^ , n) ，则 P( A) = P( A ｜ B1)P(B1) + P( A ｜ B2 )P(B2 )+^+P( A ｜ Bn )P(Bn )
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合 ,D表
示 灯 亮
则可
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16、 十个考签 中有四个难的,三 人参加抽签 (不放 回),甲 先、乙次、丙最后,记 事件
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⒛ 、 18盒 同类 电子元件 中有 5盒 是 甲厂生产的 ,7盒 是 乙厂生产的 ,4盒 是 丙厂生产 在 任 的 ,其 余是丁厂 生产 的,该 四厂的产 品合格 品率依次 为 0.8,0.7,0.6,0.5,现 一 个厂 一 意从 某一 盒 中任取 个元件 ,经 测试发现是 不合格 品 , 试 问该盒产 品属于哪
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学 号
22、 猎人在距 离 100m处 射 击一动物,击 中的概率 为 0.6;如 果未击中,则 进行第二次射 击。但因动物逃跑而使距 离变为 150m,如 果第二次又未击中,则 进行第 三次射 击,这 时距 离为 ⒛Om,假 定击中的概率与距离成反 比,求 猎人最多射击三次的情 况下击中动
三次射击中至少有一次击 中的概
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至 少 有 一 个 发 生 AVBt/C; (4)彳 不发 生 ∧ β C
∶(6) /,B.C中
发生 用
,B,C都
不 多 于 一 个 发 生 A^瓦 Et/^Ξ
(7)/,B,C中
4 设 、 用 一
不 多 于 两 个发 生 ∧ VBVg(8)/,B9C中
了 四 个 零 件 , Ⅱ l 表 示 事 件 “ 他 生 产 的 第 ' 个
10只 产品 中有 3只 次品 ,每 次从其中取一只 (取后不放回),直
取 出 ,写 出 抽 取 次 数 的 样 本 空 间 :Ω =「 3、 仵 `s' ˉ
到将 3只 次品都
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…
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2、说 出下列各对事件的关系
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